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一次函数的图象和性质1


正比例函数的图象和性质
函数 解析式 自变量取值范围 正比例函数 y = k x (k≠0) 全体实数 经过(0,0)和 (1,k)两点的 一条直线. y
O x o x

图象的特征

y

图象的位置

当k>0时,在一、三象限; 当k<0时,在二、四象限。 当k>0时,y随x的增大而增大; 当k<0时,y随x的增大而减小。

性质

在同一坐标系内画出下列函数的图像

(1)y =2x

(2) y =2x+3 (3)y=2x-4

解: (1) y=2x是一条

经过(0,0)和(1,2)
的直线.
4

y
3
2 1 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4

y =2x

o

x
1 2 3 4

(2)y=2x+3

y y=2x+3
x … -1 o 1 y … 1 3 5
-4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 4 3 2 1

y=2x

o

x
1 2 3 4

2


7


(3)y=2x-4
4

y y=2x+3
(0,3)
3 2 1

( 0 , -4 )

y=2x y=2x-4

( 2,0 )
(-3/2,0)
-4 -3 -2 -1

o
-1 -2 -3 -4

x
1 2 3 4

一次函数 y = k x + b (k≠0)是 经过 ( 0 , b )

b 和(- — , 0)的一条直线. k 一次函数 y = k x + b(k≠0)
(1) 当 x = 0 时, y =0 ·k + b = b,
所以一次函数 y = k x + b 经过 ( 0 , b ) 点.

(2) 当 y = 0 时, k x + b = 0, x =

b , 0) 点. 所以一次函数 y = k x + b 经过 (- — k

b -— k

练习一 1、
1 -— 2__)和( 2 过点( 0 , __, 0 ).

直线y=4x+2

2、

直线 y = -3x – 1
1 -— -1 ). 过点(___ 3 , 0 )和( 0,__

练习二:

请画出函数y=x-1与函数y=-2x-2的图象。

思考:
由图象可知: 直线y=k x 与 直线y=k x + b
(k ≠0)的位置关
互相平行 系是_______.
-4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4

y y=2x+3
4 3 2 1

y=2x y=2x-4

o

x
1 2 3 4

例1
请写出与直线 y = 3 x 平行且经过点 (1,4)的一次函数解析式。
解:设所求解析式为 y

= 3x + b,

因为点(1,4)在直线 y = 3x + b 上, 所以3×1 + b=4 , 解得 b = 1。

即所求函数为 y = 3x + 1.

一次函数y=k x + b(k≠0)的图象
⑴当k>0,b>0
4

y y=2x+3
y=2x y=2x-4
3

图象经过一、二、

三象限;
⑵当 k>0, b<0
-4 -3 -2 -1

2
1

o
-1 -2 -3 -4

x
1 2 3 4

图象经过一、三、
四象限;

一次函数y=k x + b(k≠0)的图象 ⑶当 k < 0, b > 0 y=k x
图象经过一、二、 (k<0)
y=kx+b

y

四象限;
⑷当 k < 0, b < 0 o

x

图象经过二、 三、
四象限;
y=kx+b

一次函数y= k x+b(k≠0)的图象
y=k x+b
图像的位置

b> 0
y
图象经 过一、 二、三 象限

b< 0

k> 0
o

图象经过

x

y o x y

一、三、四 象限

k< 0
o

y x

图象经过 一、二、四 象限

图象经过

o

x

二、三、四 象限

练习三: 1、 将函数y= - 2x的图象沿y轴向上 平移5个单位,得到的直线的解析式为
y= - 2x+5 一、二、四 __________ ,图象经过第 ________ 象限。

2、 将函数y= -0.5x的图象沿y轴向下 平移3个单位,得到的直线的解析式为 _________ 二、三、四 y= -0.5x-3 ,图象经过第 ________ 象限。

3、下图中哪一个是 y = x - 1的大致图 像?

A

B

C

D

例2、已知一次函数y=(m-1)x+2m+1。
(1)若图象经过原点,求m的值。
解:经过原点的一次函数是正比例函数, 1 2m+1=0 所以 m= m -1≠0 所以 m= y= 3 2 x.
1 2 2

m≠1

.

(2)若一次函数y=(m-1)x+2m+1 图象平行于直线y=2x,求m的值。
解:由题意可得 m – 1 = 2 所以 m = 3,

即y =(m-1)x+2m+1 = 2x + 7.

(3)若一次函数y=(m-1)x+2m+1 图象交y轴于正半轴,求m的取值 范围。
解:若图象交 y 轴于正半轴, b>0,

2m+1>0 m-1≠0

m>-1/2 m≠1

所以 m>-1/2 且 m≠1。

(4)若一次函数y=(m-1)x+2m+1 图象经过一、二、四象限, 求m 的取值范围。
解:由题意可知 k<0, b>0 m-1<0
2m+ 1 >0

m< 1

1 所以< m<1. 2

1 m> 2

例3 一个有水水池,现要将水池的水排出, 3 米 如图(1)试写出水池中剩水量Q( )与排水 时间t(时)之间的函数关系式; 2)在平面直角坐标系中,画出这个函数的图象。

t(时) Q( 米 3 ) Q( 米 3 )

1
57 60-3

2 54 60-3X2

5
45 60-3X5

10
30 60-3X10

t 3t
60-3t

20
0

21
-3

60-3X20 60-3X21

解:(1)由题意,得:Q=60-3t=-3t+60 其中自变量的取值范围是0≤t≤20。

(2)由Q=-3t+60,有
Q(米3) 60● A 50 40 30 20 10 0 10 20 30 B


t Q

0 60

20 0

t(时)

一 次 函 数 的 图 象 小 结

函数 一次函数 y = k x + b (k≠0) 解析式 自变量取值范围 全体实数 b ? 经过 (0,b) 和 ( ,0)两点的一条 图象的特征 k 直线. b>0 b<0 图 象 的 位 置 k> 0 k< 0

例2:在同一坐标系作出下列函数的图象

(1)y = 2x+1

(2)y = -2x+1

根据图象回答,当自变量xy 逐渐增大时, 函数y的值怎样变化? 4 解:
3 x 0 -1/2 2 y =2x+1

y =2x+1 1

0 (-1/2,0)
-4 -3 -2 -1

1 (0,1) (1/2,0) -1 o 1 2 3 4

x

x 0 1/2 y=-2x+1 1 0

-2

y= -2x+1

一次函数y=kx+b (k?0)的性质:

当k>0时,y随x的增大而增大;

y

x

一次函数y=kx+b (k?0)的性质: 当k<0时,y随x的增大而减小. y

x

一次函数通常选取(0,b), (-b/k,0)两点连线

? 一次函数 y = kx + b ( k ≠ 0 ) 有以 下性质: ? (1)当 k > 0 时,y 随 x 的增大 而增大。 ? (2)当 k < 0 时,y 随 x 的增大 而减少。

1 、画出下列函数的草图:① y=2x+1, ②y=-3x+4,③y=0.5x,④y=x-6;

③ 其中过原点的直线是________ ;

函数y随x的增大而增大的是__________;


①④

函数y随x的增大而减小的是___________;

图象在第一、二、三象限的是 ① ________ 。

、一次函数图象与性质 一 次 函 数 y=kx+b

y
图象

y o
x

y
x

y
x

b
o
k>0 b>0 一、二、三 y随x的增 大而增大

b

b
k>0 b<0

o

o

b
k<0 b<0

x

k,b的符号 经过象限

k<0 b>0

( b≠0)

一、三、四 一、二、四 y随x的增 大而增大 y随x的增 大而减少

二、三、四 y随x的增 大而减少

增减性

大大不过四 大小不过二
小大不过三 小小不过一

排“兵”布阵

抢答题

1.在平面直角坐标系中,函数y=-2x+3的图象经过( A.一、二、三象限 B.二、三、四象限 D C.一、三、四象限 D.一、二、四象限 2(2009宁夏)5.一次函数y=3x-2的图象不经过( B ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.一次函数y=2x+1的图象不经过( D ) A第一象限 B.第二象限C第三象限D第四象限

已知一次函数y=x-2的大致图像为 ( C
y
y

A
x

B

y

C
x x

D

y

x

排“兵”布阵

抢答题
一三四象限


1 函数y=3x-4经过

2一次函数y=-x-5的图像不经过____ 象限 3一次函数y = (m-3)x+m+1的图象经过 一、二、四象限, 1 . 2 则正整数m= ________.

o
b 0,

4根据一次函数的图象,说出解析式y=kx+b中
k与b的取值范围.K 0,
k<0 b>0

逆向思维

小试牛刀

已知函数 y = kx的图象在二、四象限,那么函 y 数y = kx-k的图象可能是( B )
y

0 (A )

x

0
y 0 x (B)

x y

0

x

(C)

(D)

已知一次函数 y=(1-2m)x+m-1 , 求满足下列条件 的m的值:
1 (1)函数值y 随x的增大而增大; m ? 2 1 (2)函数图象与y 轴的负半轴相交; m ? 1且m ? 2 (3)函数的图象过第二、三、四象限; 1 ? m ? 1 2 (4)函数的图象过原点。 m ? 1

y

5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 12345 1 2 3 4 5
x

(1)下列函数中,y的值随x值的增大而增大的函数 是________. C A.y=-2x B.y=-2x+1 C.y=x-2 D.y=-x-2

(2)直线y=3x-2可由直线y=3x向 移 2 单位得到。 (3)直线y=x+2可由直线y=x-1向 移 3 单位得到。

下平
上 平

小试牛刀
(4)对于函数y=5x+6,y的值随x的值减小而 ______. 减少

(5)函数y=2x - 4与y轴的交点为 ( 0,-4),与x轴交于( 2, 0)
(6)已知一次函数y=(1-2k)x+k的函数 值y随x的增大而增大,且图象经过一、二 、三象限,则k的取值范围是__________. 0﹤k﹤1/2


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