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人高中数学必修45期末测试题及其详细答案


数学必修 4、5 综合测试
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 1 答案 1.由 a1 ? 1 , d ? 3 确定的等差数列 ?an ? ,当 an A.99 2. ?ABC 中,若 a
1 A. 2

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12 A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解 )

? 298 时,序号 n 等于(
D.101 )



9.在△ABC 中,如果 sin A : sin B : sin C ? 2 : 3 : 4 ,那么 cosC 等于(
A. 2 3 B. 2 3 C. 1 3 D. 1 4

B.100

C.96

? 1, c ? 2, B ? 60? ,则 ?ABC 的面积为(
C.1 D. 3 )

10.一个等比数列 {an } 的前 n 项和为 48, 前 2n 项和为 60, 则前 3n 项和为 ( A、63 C、75 D、83 ? 2 ? 11. a =(cos2x,sinx), b =(1,2sinx-1),x? ( , ? ) ,若 a ? b = ,则 tan(x+ )等于( 2 5 4 1 2 1 2 A. B. C. D. 3 7 7 3
12.在边长为 2 的正三角形 ABC 中,设 AB ? c , BC ? a ,



3 B. 2

B、108



3.在数列 {an } 中, a1 =1, an ?1 A.99 B.49

? an ? 2 ,则 a51 的值为(
C.102 D. 101 ) D.6

4.已知 x ? 0 ,函数 y ? A.5 B.4

4 ? x 的最小值是( x

CA ? b ,则 a ? b ? b ? c ? c ? a 等于(
A.0 B.1 C.3


D.-3

C.8

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) ) 13.不等式

5.在等比数列中, a1 ? A. 3
2

1 1 1 , q ? , an ? ,则项数 n 为( 2 2 32

2x ?1 ? 1 的解集是 3x ? 1



B. 4

C. 5

D. 6 ) D. a ? 0, ? ? 0

6.不等式 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解集为 R ,那么( A. a ? 0, ? ? 0 B. a ? 0, ? ? 0 C. a ? 0, ? ? 0

14.已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn

? n2 ? n , 那么它的通项公式为 a =_____
n

15.已知向量 a 、 b 均为单位向量,且 a ? b .若(2 a +3 b )?(k a -4 b ),则 k 的值为 _____.

?x ? y ? 1 ? 7.设 x, y 满足约束条件 ? y ? x ,则 z ? 3x ? y 的最大值为( ? y ? ?2 ?



A. 5

B. 3

C. 7
?

D. -8 )

8.在 ?ABC 中, a ? 80, b ? 100, A ? 45 ,则此三角形解的情况是(

2x 2x +sin (x?R),给出以下命题: 5 5 5? ①函数 f(x)的最大值是 2;②周期是 ;③函数 f(x)的图象上相邻的两条对称轴之间 2 5? 15? , 0 )是函数 f(x)图象的 的距离是 ; ④对任意 x?R,均有 f(5?-x)=f(x)成立;⑤点( 2 8
16.已知函数 f(x)=cos 一个对称中心. 其中正确命题的序号是______.

三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 80 分;解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤) 17.(10 分) 已知等比数列 ?an ? 中, a1 ? a 3 ? 10, a 4 ? a 6 ? 及前 5 项和。 20.(12 分)若不等式 ax ? 5 x ? 2 ? 0 的解集是 ? x (1) 求 a 的值; (2) 求不等式 ax
2
2

5 ,求其第 4 项 4

? 1 ? ? x ? 2? , ? 2 ?

? 5 x ? a 2 ? 1 ? 0 的解集.

18.(12 分)已知 A、B、C 是△ABC 的内角,向量 m ? (?1, 3), n ? (cos A, sin A), 且

m ? n ? 1。
(1)求角 A 的大小; (2)若

21.(12 分)如图,货轮在海上以 35n mile/h 的速度沿方位角(从正北方向
1 ? sin 2 B ? ?3 ,求 tanC 。 cos 2 B ? sin 2 B

顺时针转到目标方向线的水平角)为 152 ? 的方向航行.为了确定船位,在 B 点处观测到灯塔 A 的方位角为 122 ? .半小时后,货轮到达 C 点处,观测到灯 塔 A 的方位角为 32 ? .求此时货轮与灯塔之间的距离.
北 B
152
o

122

o


32
2 19. (12 分)在△ABC 中,BC=a,AC=b,a,b 是方程 x ? 2 3x ? 2 ? 0 的两个
o

C

22.( 12 分)某公司今年年初用 25 万元引进一种新的设备,投入设备后每 年收益为 21 万元。 该公司第 n 年需要付出设备的维修和工人工资等费用 an 的 信息如下图。 (1)求 an ;

根,且 2cos( A ? B) ? 1 。求:(1)角 C 的度数;

(2)AB 的长度。

(2)引进这种设备后,第几年后该公司开始获利; (3)这种设备使用多少年,该公司的年平均获利最大?
费用(万元)

an

数学必修 4、5 综合测试打题卡
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

4 2
19. (12 分)

1 2
题号 答案 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.
15. ___

n
12



1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11


__.

14.an=_____
16. ______.

20.(12 分)

三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 80 分;解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤) 17.(10 分)

21.(12 分)

18.(12 分)

18.解:(1)因为 m ? (?1, 3), n ? (cos A, sin A), 且 m ? n ? 1

22.( 12 分)

? ? 1 )=1,sin(A- )= 6 6 2 ? ? 5? ? ? ? 因为 A?(0,?),所以 A- ?(- , ),所以 A- = ,故 A= 6 6 6 6 6 3
所以-cosA+ 3 sinA=1,即 3 sinA-cosA=1 所以 2sin(A(2)

参考答案
一.选择题。 题号 答案 1 B 2 C 3 D 4 B 5 C 6 A 7 C 8 B 9 D 10 A

1 ? sin 2 B cos B ? sin B (cos B ? sin B) 2 ? ? 3 ? ?3 ? ?3 ? ? 2 2 2 2 cos B ? sin B cos B ? sin B cos B ? sin B

参考答案
一.选择题。 11 12 2 题号 1 C D C 答案 B 二.填空题。
1 13. {x ? ? x ? 2} 3

3 D

4 B

5 C

6 A

7 C

8 B

9 D

10 A

11 C

二.填空题。
1 13. {x ? ? x ? 2} 3

14. an =2n

15.6

16. ③⑤

三.解答题。

14. an =2n

15.6

16. ③⑤

17.解:设公比为 q ,

?a1 ? a1 q 2 ? 10 ? 由已知得 ? 5 3 5 ?a1 q ? a1 q ? 4 ?

三.解答题。

17.解:设公比为 q ,

?a1 (1 ? q 2 ) ? 10???① ? 即? ② 5 3 2 ?a1 q (1 ? q ) ? ?? 4 ?
②÷①得 q ?
3

?a1 ? a1 q 2 ? 10 ? 由已知得 ? 5 3 5 ?a1 q ? a1 q ? 4 ?

?a1 (1 ? q 2 ) ? 10???① ? 即? ② 5 3 2 ?a1 q (1 ? q ) ? ?? 4 ?
将q ?

1 1 , 即q ? , 8 2 1 ? a 4 ? a1 q 3 ? 8 ? ( ) 3 ? 1 , 2
5

1 代入①得 a1 ? 8 , 2

1 ? ? 8 ? ?1 ? ( ) 5 ? a (1 ? q ) 2 ? 31 ? s5 ? 1 ? ? 1 1? q 2 1? 2

1 1 , 即q ? , 8 2 1 ? a 4 ? a1 q 3 ? 8 ? ( ) 3 ? 1 , 2
②÷①得 q ?
3

将q ?

1 代入①得 a1 ? 8 , 2

1 ? ? 8 ? ?1 ? ( ) 5 ? 5 a (1 ? q ) 2 ? 31 ? s5 ? 1 ? ? 1 1? q 2 1? 2
18.解:(1)因为 m ? (?1, 3), n ? (cos A, sin A), 且 m ? n ? 1

21.在△ ABC 中,∠ B=152o-122o=30o,∠ C=180o-152o+32o=60o, ∠ A=180o-30o-60o=90o,

? ? 1 )=1,sin(A- )= 6 6 2 ? ? 5? ? ? ? 因为 A?(0,?),所以 A- ?(- , ),所以 A- = ,故 A= 6 6 6 6 6 3
所以-cosA+ 3 sinA=1,即 3 sinA-cosA=1 所以 2sin(A-

35 , 2 35 35 ∴ AC= sin30o= . 2 4
BC= 答:船与灯塔间的距离为

35 n mile. 4

22.解: (1)由题意知,每年的费用是以 2 为首项,2 为公差的等差数列,求得:

1 ? sin 2 B cos B ? sin B (cos B ? sin B) 2 ? ? 3 ? ?3 ? ?3 ? (2) ? 2 2 2 2 cos B ? sin B cos B ? sin B cos B ? sin B
?cosB+sinB=-3cosB+3sinB?4cosB=2sinB?tanB=2 tanC=tan(?-(A+B))=-tan(A+B) =?

an ? a1 ? 2(n ? 1) ? 2n
(2)设纯收入与年数 n 的关系为 f(n),则:

f ( n) ? 21n ? [2n ?
2

n( n ? 1) ? 2] ? 25 ? 20n ? n2 ? 25 2
解得10 ? 5 3 ? n ? 10 ? 5 3

tan A ? tan B 3 ?2 8?5 3 = ?? 11 1 ? tan A tan B 1? 2 3
1 2

由 f(n)>0 得 n -20n+25<0

19. 解: (1) cos C ? cos ?? ? ? A ? B ?? ? ? cos ? A ? B ? ? ? (2)由题设: ?

? C=120°

又因为 n ? N ,所以 n=2,3,4,……18.即从第 2 年该公司开始获利 (3)年平均收入为

?a ? b ? 2 3 ? ? ? ab ? 2

25 f (n) =20- (n ? ) ? 20 ? 2 ? 5 ? 10 n n

当且仅当 n=5 时,年平均收益最大. 所以这种设备使用 5 年,该公司的年平均获利最大。

? AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cosC ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos120?
? a 2 ? b 2 ? ab ? ?a ? b ? ? ab ? 2 3
2

? ?

2

? 2 ? 10

? AB ? 10
20. (1)依题意,可知方程 ax ? 5 x ? 2 ? 0 的两个实数根为
2

1 和 2, 2

由韦达定理得: 解得: a =-2

1 5 +2= ? 2 a

(2) {x ? 3 ? x ? }

1 2


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