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11-12版高中数学全程学习方略精练精析:3.2《简单的三角恒等变换》(二)(人教A版必修4)


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课后巩固作业(三十)
(30 分钟 一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.函数 f(x)=- sinxcosx 的最大值是( (A)
1 2 1 2

50 分)

) (D))
1 4

(B)-

1 2

(C)

1 4

2.函数 y=cos4x-sin4x+2 的最小正周期是( (A)π (B)2π (C)
π 2

(D) )

π 4

3.化简 1+ cos80? (A)-2cos5° (C)-2sin5°

1- cos80 等于(

(B)2cos5° (D)2sin5°
π 4

4.函数 y=cos2ω x-sin2ω x(ω >0)的最小正周期是π ,则函数 f(x)=2sin(ω x+ )的 一个单调递增区间是(
π π 2 2 π 3π (C) [- , ] 4 4

)
5π 9π , ] 4 4 π 5π (D) [ , ] 4 4

(A) [- , ]

(B) [

二、填空题(每小题 4 分,共 8 分)
tanx 的值为______. tan2x π π 6.(2011·常熟高一检测)函数 y=cos2(x- )+sin2(x+ )-1 的最小正周期 12 12

5.(2011·江苏高考)已知 tan(x+ )=2,则

π 4

为______.

三、解答题(每小题 8 分,共 16 分) 7.已知在△ABC 中,边 a,b,c 所对的角分别是 A,B,C,若向量 m =(2sinB,cos2B), n
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u r

r

世纪金榜 圆您梦想 u r r π B =(2cos2( + ),-1),且 mgn = 3 -1.求角 B 的大小. 4 2

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8.(2010·湖南高考)已知函数 f(x)=sin2x-2sin2x. (1)求函数 f(x)的最小正周期. (2)求函数 f(x)的最大值及 f(x)取最大值时 x 的集合. 【挑战能力】 (10 分)已知向量 a =(sinθ ,cosθ -2sinθ ), b =(1,2) (1)若 a ∥ b ,求 tanθ 的值. (2)若| a |=| b |,0<θ <π ,求θ 的值.
r r r r r r

答案解析
1 1 sinxcosx=- sin2x, 2 4 1 1 ∴函数 f(x)=- sinxcosx 的最大值是 . 2 4

1.【解析】选 C.∵f(x)=-

2.【解析】选 A.y=cos4x-sin4x+2 =(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)+2 =cos2x-sin2x+2=cos2x+2, ∴T=
2π =π. 2

3.独具【解题提示】利用倍角公式和辅助角公式. 【解析】选 D.
1 + cos80? = 2cos 2 40? 1- cos80 2sin 2 40

= 2 (cos40°-sin40°) =2sin(40°+135°)=2sin175°=2sin5°.
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4.【解析】选 B.y=cos2ωx-sin2ωx=cos2ωx(ω>0), 因为函数的最小正周期为π,故
2π =π,所以ω=1.则 2ω π π f(x)=2sin(ωx+ )=2sin(x+ ), 4 4 π π π ∴2kπ- ≤x+ ≤2kπ+ 2 4 2 3π π 5π 9π 即 2kπ- ≤x≤2kπ+ (k∈Z),当 k=1 时,函数的一个增区间是[ , ]. 4 4 4 4 π 5.【解析】tan(x+ )=2, 4

1 tanx 1- tan 2 x 4 = = . 则 tanx= , 3 tan2x 2 9

答案:

4 9

π π ) + 1 1 - cos(2x + ) 6 6 - 1 6.【解析】∵y= + 2 2 1 π π = [cos(2x- )-cos(2x+ ) ] 2 6 6 1 π π π π 1 = (cos2x·cos +sin2x·sin -cos2x·cos +sin2x·sin )= sin2x, 2 6 6 6 6 2 cos(2x -

∴此函数的最小正周期 T=π. 答案:π 7.独具【解题提示】利用二倍角公式和诱导公式化简求解. 【解析】∵ m · n =(2sinB,cos2B)·(2cos2( +
π B )-cos2B 4 2 π =2sinB×[cos( +B)+1]-cos2B 2

u r

r

π 4

B ),-1) 2

=2sinB×2cos2( +

=-2sin2B+2sinB-(1-2sin2B) =2sinB-1, 又 m · n = 3 -1,
u r r

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∴2sinB-1= 3 -1 ,∴sinB= 又 0<B<π,∴B= 或 B=
π 3 2π . 3

3 , 2

8.【解析】 (1)∵f(x)=sin2x-(1-cos2x) = 2 sin(2x+ )-1,
2π =π. 2 π π π (2)由(1)知,当 2x+ =2kπ+ (k∈Z),即 x=kπ+ (k∈Z)时,f(x)取得最 4 2 8 π 大值 2 -1.因此函数 f(x)取最大值时 x 的集合为{x|x=kπ+ ,k∈Z}. 8 π 4

∴函数 f(x)的最小正周期为 T=

独具【方法技巧】三角变换的技巧 (1)一般首先利用三组公式把函数化成 f(x)=Asin(ωx+ φ )+d 的形式.一组是立 方差公式、立方和公式、平方差公式、完全平方公式.二组是诱导公式和基本关 系式.三组是倍角公式、半角公式和两角和公式的逆运算. (2)充分利用基本性质进行变换,包括单调性、周期性、对称性和函数值域等. 【挑战能力】 【解析】 (1)因为 a ∥ b ,所以 2sinθ=cosθ-2sinθ, 于是 4sinθ=cosθ,故 tanθ= . (2) 由| a |=| b |知, sin2θ+(cosθ-2sinθ)2=5,所以 1-2sin2θ+4sin2θ=5. 从而-2sin2θ+2(1-cos2θ)=4,即 sin2θ+cos2θ=-1, 于是 sin(2θ+ )=π 4 1 4

r

r

r

r

2 ,又由 0<θ<π知, 2

π π 9π π 5π <2θ+ < ,所以 2θ+ = ,或 4 4 4 4 4 π 7π π 3π 2θ+ = ,因此θ= 或θ= . 4 4 2 4

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