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陕西省西工大附中2013届高三上学期第五次适应性训练数学理试题

陕西省西工大附中 2013 届高三上学期第五次适应性训练数学理试题
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分。 考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题
四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

共 50 分)

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的

1.已知集合 A ? x ? R log 2 (3 x ? 4) ? 1 , B ? ? x ? R

?

?

?

?

x ?1 ? ? 0? , 则 A ? B ? x ?3 ?
2 3
D. (??, ?1)

A. (3, ??)

B. ( ?1, ? )

2 3

C. (? ,3)

2. 设 x ? R , i 是虚数单位,则“ x ? ?3 ”是“复数 z ? ( x2 ? 2x ? 3) ? ( x ?1)i 为纯虚数” 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示,则该几何体的俯视图不可能是

4. 已知 A? 0,2 ?, B ?0, ?1? ,动点 M 满足 MA ? 2 MB ,则动点 M 的轨迹所包围的图形的 面积等于 A. ? B. 4? C. 8? D. 9?

5.采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做调查,为此将他们编号为 1,2,??,960,分 组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9,抽到的 32 人中,编号落入区间 [1,450]的人数为 A.10 B.14 C.15 D.16

6.如图,正方形 ABCD的边长为 1 ,延长 BA 至 E ,使 AE ? 1 ,连接 EC, ED , 则 D
第 1 页 共 8 页

C

sin ?CED ?
A.

3 10 10

B.

10 10

C.

5 10

D.

5 15

E 7. 已知正四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 中,AB ? 2, CC1 ? 2 2 , 为 CC1 的中点, 则直线 AC1 1
与平面 BED 的距离为 A.2 B.

3

C. 2

D.1

8.将甲、乙、丙等六人分配到高中三个年级,每个年级 2 人,要求甲必须在高一年级,乙 和丙均不能在高三年级,则不同的安排种数为 A.18 B.15 C.12 D.9

9.在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C .现作一矩形,邻边长分别等于线段 AC, CB 的长, 则该矩形面积小于 32cm 的概率为 A.
2

? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ? 10 . 对任 意两 个非 零的平 面 向量 ? 和 ? , 定义 ? ? ? ? ?? 2 ; 若平 面 向量 a, b 满 足 ? ? ? a ? b ? 0,

1 6

B.

1 3

C.

2 3

D.

4 5

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n ? a 与 b 的夹角 ? ? (0, ) ,且 a ? b , b ? a 都在集合 ? n ? Z ? 中,则 a ? b ? 4 ?2 ?
A.

? ?

B.

? ?

C. 1

D.

1 2

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填写在题中 的横线上.
5 5 5 11. 观察下列各式: =3125, =15625, =78125, 则 5 …,
5 6 7
2013

的末四位数字为

.

x?0 ? y ?1 1 ? y?0 12.设 x, y 满足约束条件 ? ,若 z ? 的最小值为 ,则 a 的值为 x ?1 4 ?4 x ? 3 y ? 12a ?
__________.
第 2 页 共 8 页

13. 已知 x ? 0 ,则 ( x ?

1 ? 2)3 的展开式中常数项等于 x

.

14.若椭圆中心为坐标原点,焦点在 x 轴上,过点(1,

1 )作圆 x 2 +y 2 =1 的切线,切点分 2

别 为 A, B , 直 线 AB 恰 好 经 过 椭 圆 的 右 焦 点 和 上 顶 点 , 则 椭 圆 方 程 是 .

15. (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分.) A.(不等式选做题)不等式 3x ? 6 ? x ? 4 ? 2 的解集为 B.(几何证明选做题)如图,直线 PC 与圆 O 相切于点 C , 割线 PAB 经过圆心 O ,弦 CD ⊥ AB 于点 E , PC ? 4 ,
B O E A P


C

PB ? 8 ,则 CE ?

.
D

s C. ( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 在 极 坐 标 系 中 , 圆 ? ? 4 c o ? 的 圆 心 到 直 线

? ? sin(? ? ) ? 2 2 的距离为
4

.

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤.
16. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 c sin A ? a cos C . (1)求角 C 的大小; (2)求 3 sin A ? cos( B ? 17. (本小题满分 12 分) 袋中装着标有数字 1,2,3 的小球各 2 个.从袋中任取 2 个小球,每个小球被取出的可 能性都相等,用 ? 表示取出的 2 个小球上的最大数字,求: (1)取出的 2 个小球上的数字不相同的概率; (2)随机变量 ? 的分布列和数学期望.

?
4

) 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大小.

18. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是平行四边形, PA ? 平 面 ABCD , AC ? AB , AB ? PA ,点 E 是 PD 的中点.

第 3 页 共 8 页

(1)求证: PB ? AC ; (2)求二面角 E ? AC ? B 的大小. 19. (本小题满分 12 分)
2 2 已知数列 ?an ? 各项均为正数,且 a1 ? 1 , an?1 ? an?1 ? an ? an .

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

1 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? 2 . 2 an

20. (本小题共 13 分) 若双曲线 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率等于 2 ,焦点到渐近线的距离为 1,直 a 2 b2

线 y ? kx ? 1 与双曲线 E 的右支交于 A, B 两点. (1)求 k 的取值范围; (2)若 AB ? 6 3 ,点 C 是双曲线 E 左支上一点,满足 OC ? m(OA ? OB) ,求 C 点坐 标. 21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? e ?
x

??? ?

??? ??? ? ?

k 2 x ? x. 2

(1)若 k ? 0 ,求 f ( x ) 的最小值; (2)若当 x ? 0 时 f ( x) ? 1 恒成立,求实数 k 的取值范围.

数学(理科)试题参考答案
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1. A 6. B 2.C 7.D 3.D 8.D 4.B 9.C 5. C 10. B

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填写在题中
第 4 页 共 8 页

的横线上. 11.3125
15.A.

12. 1
B.

13. 20

14.

x2 y 2 ? ?1 5 4

12 C. 2 5 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程

?x | 0 ? x ? 3?

或演算步骤.
16.(本小题满分 12 分) 解: (1)由正弦定理得 sin C sin A ? sin A cos C. 因为 0 ? A ? ? , 所以 sin A ? 0.从而sin C ? cos C.又cos C ? 0, 所以tan C ? 1, 又0 ? C ? ?,故C ?

?

4 3? ? A. 于是 (2)由(1)知 B ? 4

3 sin A ? cos( B ? ) ? 3 sin A ? cos(? ? A) ? 3 sin A ? cos A ? 2sin( A ? ) 4 6 3? ? ? 11? ?0 ? A ? ,? ? A ? ? , 4 6 6 12 从而当A ?

?

?

?

6

?

?

2

, 即A ?

?

故 3 sin A ? cos( B ?

?
4

3

时, 2 sin( A ?

?

6

) 取最大值 2.

) 的最大值为 2,此时 A ?

?
3

,B ?

5? . 12

17. (本小题满分 12 分) 解:(1) 记“取出的 2 个小球上的数字不相同”为事件 A , 则 P( A) ?
1 1 C32C2C2 4 ? 2 C6 5

(2)由题意, ? 可能的取值为:1,2,3.
2 C2 1 P(? ? 1) ? 2 ? , C6 15 2 1 1 C2 ? C2C4 9 3 ? ? 2 C6 15 5 2 1 1 C2 ? C2C2 5 1 P(? ? 2) ? ? ? , 2 C6 15 3

P(? ? 3) ?

所以随机变量 ? 的分布列为

?
P

1

2

3

1 15

1 3
第 5 页 共 8 页

3 5

因此 ? 的数学期望为

E? ? 1?

1 1 3 38 ? 2 ? ? 3? ? . 15 3 5 15

18. (本小题满分 12 分) 解: (1)证明: ? PA ? 平面 ABCD ,? PA ? AC

? AC ? AB ,? AC ? 平面PAB ,? PB ? AC
( 2 ) 取 AD 的 中 点 F , 连 结 EF , 则 EF ∥ PA , ? PA ? 平 面 A B C D, ? EF ? 平 面

A B C D.
取 AC 的中点 O ,连结 OF ,则 OF ∥ AB ,? AB ? AC ? OF ? AC , 连结 OE , 则 OE ? AC,??EOF 是二面角 E ? AC ? D 的平面角, 又? EF ?

1 1 PA, OF ? AB,? EF ? OF , 且EF ? OF ??EOF ? 45?. 2 2

? 二面角 E ? AC ? B 大小为135?
19. (本小题满分 12 分) 解: (1)由已知得: (an?1 ? an )(an?1 ? an ?1) ? 0 ∵ ?an ? 各项均为正数,∴ an?1 ? an ? 1 ∴数列 ?an ? 是首项为 1,公差为 1 的等差数列, ∴ an ? n .

1 n2 1 1 1 1 ? ? ? 当n ? 2时 2 n n(n ? 1) n ? 1 n 1 1 1 ?Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 2 3 n 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 2? ? 2 2 2 3 n ?1 n n
(2)由(1)可知 bn ? 20. (本小题共 13 分)

?c ?a 2 ? 1 ? ? ? 2 解: (1)由 ? a 得? 2 ?b ? 1 ? ?b ? 1 ?
设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,

故双曲线 E 的方程为 x ? y ? 1
2 2

第 6 页 共 8 页

由?

? y ? kx ? 1 2 2 得 ?1 ? k ? x ? 2kx ? 2 ? 0 x2 ? y 2 ? 1 ?

又已知直线与双曲线右支交于 A, B 两点,由

? 1? k 2 ? 0 ? 2 2 ?? ? ? 2k ? ? 8 ?1 ? k ? ? 0 ? ? ? x ? x ? 2k ? 0 1 2 ? k 2 ?1 ? 2 ? x1 x2 ? 2 ?0 ? k ?1 ?
(2) AB ? 1 ? k ?
2

解得 1 ? k ?

2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ? 2

?1 ? k ?? 2 ? k ? ? 6 ? k ? 1?
2 2 2 2

3

得 28k 4 ? 55k 2 ? 25 ? 0
2 ∴k ?

5 5 2 或k ? 7 4

又1 ? k ?

2

∴k ?

5 2

那么 x1 ? x2 ?

2k ? 4 5 , y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 2 ? 8 k 2 ?1

设 C ? x3 , y3 ? ,由已知 OC ? m(OA ? OB) ,得 ∴ ( x3 , y3 ) ? m( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? (4 5m,8m) 因 C 是双曲线 E 左支上一点,所以 ? 故 C 点的坐标为 (? 5, ?2) 21. (本小题满分 14 分)
x x 解: (1) k ? 0 时, f ( x) ? e ? x , f '( x) ? e ?1 .

??? ?

??? ??? ? ?

?80m2 ? 64m2 ? 1 ?m ? 0

得m ? ?

1 , 4

当 x ? (??,0) 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? (0, ??) 时, f '( x) ? 0 . 所以 f ( x ) 在 (??, 0) 上单调减小,在 (0, ??) 上单调增加 故 f ( x ) 的最小值为 f (0) ? 1 (2) f '( x) ? e ? kx ? 1 , f ??( x) ? e ? k
x x

ⅰ.当 k ? 1 时, f ??( x) ? 0 ( x ? 0) ,所以 f ?( x ) 在 ?0,??? 上递增,

第 7 页 共 8 页

而 f ?(0) ? 0 ,所以 f '( x) ? 0 ( x ? 0) ,所以 f ( x ) 在 ?0,??? 上递增, 而 f (0) ? 1 ,于是当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 . ⅱ.当 k ? 1 时,由 f ??( x) ? 0 得 x ? ln k 当 x ? (0,ln k ) 时, f ??( x) ? 0 ,所以 f ?( x ) 在 (0,ln k ) 上递减, 而 f ?(0) ? 0 ,于是当 x ? (0,ln k ) 时, f '( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 (0,ln k ) 上递减, 而 f (0) ? 1 ,所以当 x ? (0,ln k ) 时, f ( x) ? 1 . 综上得 k 的取值范围为 (??,1] .

第 8 页 共 8 页


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