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福建省三明一中、二中2012-2013学年高一上学期期末联考数学试题


2012-2013 学年高一上学期期末联考数学试题
(考试时间:2013 年 1 月 25 日上午 8:30-10:30 满分:100 分)

第Ⅰ 卷(选择题,共 30 分)
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分)
2 1.设集合 M ? {?1,0,1} , N ? {x x ? x} ,则 M ? N ?

(

) D. {?1,0,1}

A. {0} 2. 已知 ?

B. {0,1}

C. {?1,1} )

?
2

? ? ? 0 ,则点 P(sin ? , cos? ) 位于(
B.第二象限

A.第一象限

C.第三象限

D.第四象限 )

3.设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 x 2 ? x ,则 f (1) 的值是 ( A. ? 3 B. ? 1 4.下列各组函数中表示同一函数的是 ( A. f ( x) ? x 与 g ( x) ? ( x ) 2 B. f ( x) ? lg( x ? 1) 与 g ( x) ? lg x ? 1 C. f ( x) ? x 与 g ( x) ? 1
0

C.1 )

D.3

D. f ( x) ?

x2 ?1 与 g (t ) ? t ? 1 (t ? 1) x ?1

5. 设 a, b 是不共线的两个向量,已知 AB ? 2a ? mb , BC ? a ? b , CD ? a ? 2b .若

A, B, D
三点共线,则 m 的值为 ( A.1 B.2 ) C.-2 D.-1 ) D. y ? x ) D. ABCD 是正方形
?2

6.下列函数中,既是偶函数,又在区间 (0,??) 上单调递减的是( A. y ? x
3

B.

y ? x ?1

C. y ? x

2

7.在平行四边形 ABCD 中, | AB ? AD |?| AB ? AD | ,则必有( A. AD ? 0 B. AB ? 0 或 AD ? 0

8. 设函数 f ( x) ? cos( 2 x ?

?

C. ABCD 是矩形 )

6

) ,则下列结论正确的是 (

A. f ( x ) 的图像关于直线 x ?

?
3

对称

B. f ( x ) 的图像关于点(

?
12

,0) 对称

C. f ( x ) 的图像是由函数 y ? cos 2 x 的图象向右平移

? 个长度单位得到的 12

D. f ( x ) 在 ?0, 9.函数 y ? a ?
x

? ?? ? 上是增函数。 ? 6?
1 (a ? 0, a ? 1) 的图象可能是 ( a
)

10.设函数 f ( x)( x ? R) 满足 f (? x) ? f ( x), f ( x) ? f (2 ? x) , 且当 x ? [0,1] 时,f ( x) ? x 3 . 又函数 g ( x) ? x cos(? x) ,则函数 h( x) ? g ( x) ? f ( x) 在 [? , ] 上的零点个数为 ( A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

1 3 2 2

)

第Ⅱ 卷(非选择题,共 70 分)
二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 11. 若 f ( x ? 1) ? 1 ? lg x ,则 f (9) ? 12.已知幂函数 y ? f (x) 过点 ( 2 ,8) ,则 f (3) 的值为 13. 已知单位向量 e1 ,e2 的夹角为 60°,则 2e1 ? e2 ? __________; 14. 在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作锐角 ? ,角 ? 的终边与单位圆交于点 A, 若点 A 的横坐标为 ; ;

2 5 ,则 tan ? ? 5

;

15.用 min?a, b? 表示 a,b 两数中的最小值。若函数 f ( x) ? min x , x ? t 的图像关于直线 x= ?

?

?

1 对称,则 t 的值为 2

.

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 55 分.解答应写出文字说明,证明过程和解题过程.) 16. (本小题满分 9 分) 设集合 A ? x x ? 8x ? 15 ? 0 , B ? {x ax ? 1 ? 0}
2

?

?

1 ,试判定集合 A 与 B 的关系; 5 (II)若 B ? A ,求实数 a 的取值集合.
(I)若 a ?

17. (本小题满分 9 分) 已知 a ? ( 3 sin x, cos x),b ? (cosx, cos x) , x ? R ,函数 f ( x) ? 2a ? b ? 1; (I)求 f ( x ) 的最小正周期; (II)求 f ( x ) 在区间 [ ?

? ? , ] 上的最大值和最小值。 6 4

19. (本小题满分 9 分) 某服装厂某年 1 月份、2 月份、3 月份分别生产某名牌衣服 1 万件、1.2 万件、1.3 万件, 为了估测当年每个月的产量, 以这三个月的产品数量为依据, 用一个函数模型模拟该产品的
x 月产量 y 与月份 x 的关系,模拟函数可选用函数 y ? p ? q ? r (其中 p, q, r 为常数)或二

次函数。又已知当年 4 月份该产品的产量为 1.36 万件,请问用以上哪个函数作为模拟函数 较好,并说明理由。

20.(本小题满分 9 分) 在平面直角坐标系中,已知向量 a ? (?1,2), 又点 A(8,0), B(?8, t ), C (8 sin ? , t ), (I)若 AB ? a, 求向量 OB 的坐标; (II) 若向量 AC 与向量 a 共线,当 t sin ? 取最大值时,求 OA? OC .

21. (本小题满分 10 分) 已知实数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x ( x ? a) . (I)讨论 f (x) 在 R 上的奇偶性; (II)求函数 f (x) 的单调区间; (III)求函数 f (x) 在闭区间 ?? 1, ? 上的最大值。 2

? ?

1? ?

普通高中 2012—2013 学年第一学期三明一、二中联合考试

高一数学试题参考答案

三、解答题(本大题共 6 小题,共 55 分) 16、 (本小题满分 9 分)
2 解: (I)由 x ? 8 x ? 15 ? 0 得 x ? 3 或 x ? 5 ,故 A={3,5}

当a ?

1 时,由 ax ? 1 ? 0 得 x ? 5 .故 B ? ?5? 5

真包含于 A. …………4 分

(II)当 B= 时,空集 ? ? A ,此时 a ? 0 ;…………5 分 时,a ? 0 ,集合 B ? ? ? ,B ? A , 此时

当B

?1 ? ?a ?

1 1 1 1 ? 3 或 ? 5 ,? a ? 或 a ? a a 3 5

综上,实数 a 的取值集合 ?0, , ? ………9 分 考查集合的有关概念;考查基本运算能力、分类与整合思想。 17、 (本小题满分 9 分) 解: (法一) f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos x ? 1 ? (I)
2

? 1 1? ? 3 5?

3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin( 2 x ?

?
6

),

函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? ;…………4 分

(II)因为 ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

所以,当 2 x ? 当 2x ?

?

?

6
6

?

?
2

2? ,…………5 分 3

即x?

?

??

?
6

6

时,函数 f ( x ) 取得最大值 2;

即x??

?
6

时,函数 f ( x ) 取得最小值 ?1 ;…………9 分
2

(法二) (I) f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos x ? 1 ? 函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? ;…………4 分 (II)因为 ?

3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 cos( 2 x ?

?
3

),

2? ? ? ? 2 x ? ? ,…………5 分 3 3 6

所以,当 2 x ? 当 2x ?

?

?

3 3

?0即x? ??

?

2? ? 即 x ? ? 时,函数 f ( x ) 取得最小值 ?1 ;…………9 分 3 6

6

时,函数 f ( x ) 取得最大值 2;

考查平面向量的数量积概念;三角函数中两角和的正、余弦公式、二倍角公式;三角函数的 周期、单调、最值等性质;考查三角函数与平面向量的综合运用能力和化归与转化思想。 18、 (本小题满分 9 分) 解:(I) ? ? ?

?
6

, f ( x ) ? 2 sin( x ?

1 3

?
6

)

…………3 分

? 10 5 ? 12 (II)f (3? ? ) ? 2 sin ? ? ,? sin ? ? , ? ? [0, ],? cos? ? ; 2 13 13 2 13 ? 6 3 ? 4 f (3? ? 2?) ? 2 sin(? ? ) ? 2 cos? ? ,? cos? ? , ? ? [0, ],? sin ? ? . 2 5 5 2 5
………7 分

cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?

12 3 5 4 16 ? ? ? ? …………9 分 13 5 13 5 65

考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、诱导公式、和角公式;考查基本运算能 力、数形结合思想。 19、 (本小题满分 9 分) 解:设 y1 ? f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0)
2

? f (1) ? a ? b ? c ? 1 ? 依题意: ? f ( 2) ? 4a ? 2b ? c ? 1.2 ? f (3) ? 9a ? 3b ? c ? 1.3 ?

?a ? ?0.05 ? 解得 ?b ? 0.35 ?c ? 0.7 ?
故 f (4) ? 1.3 ………4 分

y1 ? f ( x) ? ?0.05x 2 ? 0.35x ? 0.7

设 y2 ? g ( x) ? p ? q x ? r

? g (1) ? p ? q ? r ? 1 ? 2 依题意: ? g (2) ? p ? q ? r ? 1 ? 2 ? g (3) ? p ? q 3 ? r ? 1.3 ?

? p ? ? 0 .8 ? 解得 ?q ? 0.5 ? r ? 1 .4 ?

y2 ? g ( x) ? ?0.8 ? 0.5 x ? 1.4

故 g (4) ? 1.35 ………8 分

由以上可知,函数 y2 ? g ( x) ? ?0.8 ? 0.5 x ? 1.4 作为模拟函数较好。………9 分 考查二次函数、指数型函数知识;考查运算求解能力、数据处理能力和选择函数模型能力。 20、 (本小题满分 9 分) 解: (I) AB ? (?16, t ), a ? (?1,2),因为 AB ? a ? 0, 所以, 16 ? 2t ? 0, t ? ?8 故 OB ? (?8,?8) …………4 分 (II)因为向量 AC 与向量 a 共线, AC ? (8 sin ? ? 8, t ) , a ? (?1,2)

8 sin ? ? 8 t ? , t ? 16 ? 16 sin ? ,…………6 分 ?1 2 1 t sin ? ? 16sin ? ? 16sin 2 ? ? ?16(sin ? ? ) 2 ? 4 ………7 分 2 1 故,当 sin ? ? 时, t sin ? 取最大值 4,此时, OC ? (4,8) 2
所以, 所以, OA ? OC ? (8,0) ? (4,8) ? 32 …………9 分 考查平面向量的共线、垂直、数量积概念和平面向量的坐标运算,考查二次函数的最值与平 面向量、三角函数知识的综合运用能力、化归与转化和函数与方程思想。 21、 (本小题满分 10 分) 解: (I)当 a ? 0 时, f ( x) ? x x ,因为 f (? x) ? ? f ( x) ,故 f (x) 为奇函数; 当 a ? 0 时, f (x) 为非奇非偶函数………2 分

?x 2 , x ? 0 ? (II)当 a ? 0 时, f ( x) ? x x ? ? 故函数 f (x) 的增区间 (??,??) ……3 分 ?? x 2 , x ? 0 ?
当 a ? 0 时, f ( x) ? x ( x ? a) ? ?

? x( x ? a), x ? 0 ?? x( x ? a), x ? 0
?a ? ? ?

故函数 f (x) 的增区间 ( ?? , ), (0,?? ) ,函数 f (x) 的减区间 ? ,0? ………5 分 2 2

a

a 1 1 a ? ?1 即 a ? ?2 时, f (?1) ? ?1 ? a , f ( ) ? ? 2 2 4 2 5 1 当 a ? ? 时, f ( ?1) ? f ( ) , f (x) 的最大值是 f (?1) ? ?1 ? a 2 2 5 1 1 1 a 当 ? ? a ? ?2 时, f ( ?1) ? f ( ) , f (x ) 的最大值是 f ( ) ? ? ………7 分 2 2 2 4 2
(III)①当

a 1 1 a a a a a2 ② 当 ? 1 ? ? 0 即 ? 2 ? a ? 0 时, f ( ) ? ? , f ( ) ? ? , ? 2 2 4 2 2 2 2 4
1 a 1 a 1 a a2 1 1 f( )? f( ) ? ? ? ? ? (a ? 1) 2 ? ? 0 , f ( ) ? f ( ) 2 2 2 2 4 2 4 4 2
所以,当 ? 2 ? a ? 0 时, f (x) 的最大值是 f ( ) ? 综上,当 a ? ?

1 2

1 a ? ………9 分 4 2

5 时, f (x) 的最大值是 f (?1) ? ?1 ? a 2 5 1 1 a 当 ? ? a ? 0 时, f (x) 的最大值是 f ( ) ? ? ………10 分 2 2 4 2
考查分段函数的奇偶性、单调性和最值问题的综合运用能力,考查数形结合、分类与整合思 想。


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