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上海市金山中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题


金山中学 2015 学年度第一学期高二年级数学学科期末考试卷
(考试时间:90 分钟 满分:100 分)

一、填 空题(本大题满分 36 分,共 12 小题,每小题满分 3 分) 1.直线 x ? (m ? 2) y ? 4 ? 0 的倾斜角为

? ,则 m 的值是___________. 4
.

?x ? 0 ? 2.若实数 x , y 满足不等式组 ? y ? x ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
3.设复数 z 满足

1? z ? i ,则 | 1 ? z |? . 1? z 4.已知直线 5x ? 12y ? a ? 0 与圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1相切,则 a 的值为__ ___. x2 y2 5.已知方程 ____. ? ? 1 表示椭圆,则 k 的取值范围为__ 3? k 2?k 0 6.若直线 l 经过原点,且与直线 y ? 3x ? 2 的夹角为 30 ,则直线 l 方程为___________________.
7.过点 (2 2 ,0) 且方向向量为 ?k ,1? 的直线与双曲线 __________.

x2 y2 ? ? 1 仅有一个交点,则实数 k 的值为 8 4

x2 8.已知点 P 是椭圆 ? y 2 ? 1 上的在第一象限内的点,又 A(2,0) 、 B(0,1) ,O 是原点,则四边形 4
OAPB 的 面积的最大值是_________. 9.若点 O 和点 F 分别为双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支上的任意一点,则 3

OP ? FP 的取值范围为__________. x2 ? y 2 ? 1 (n ? 1) 的焦点为 F1、 10. 双曲线 F2, , P 在双曲线上 , 且满足: | PF1 | ? | PF2 |? 2 n ? 2 , n 则 ?PF . 1 F2 的面积是 11.若点 P(?1,0) 在直线 2ax ? (a ? c) y ? 2c ? 0 上的射影是 Q ,则 Q 的轨迹方程
是 . 12.已知点 P 在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上,点 Q 在直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 上,PQ 的中点为 M ( x0 , y0 ) ,且

y0 ? x0 ? 2 ,则

y0 的取值范围是 x0

.

1

二、选择题(本大题满分 12 分,共 4 小题,每小题满分 3 分) 13.设 a、b ? R , i 是虚数单位,则“ ab ? 0 ”是“复数 a ? bi 为纯虚数的” ( (A)充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 14.与双曲线



y2 ? x 2 ? 1 有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线标准方程为( ) 4 y2 x2 x2 y2 y2 x2 x2 y2 ? ? 1 (B) ? ? 1 (C) ? ? 1 (D) ? ?1 (A) 3 12 3 12 2 8 2 8 ? x ? 2 ? 3 cos? 15.设曲线 C 的参数方程为 ? ? 为参数,直线 l 的方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 ,则曲线 ? y ? ?1 ? 3 sin ? 7 10 C 上到直线 l 的距离为 的点的个数为( ) 10
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 )

x| x| y| y| 16. 已知曲线 C : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) ,下列叙述中正确的是 ( a b (A)垂直于 x 轴的直线与曲线 C 存在两个交点 (B)直线 y ? kx ? m ( k , m ? R )与曲线 C 最多有三个交点 (C)曲线 C 关于直线 y ? ? x 对称
(D)若 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y 2 ) 为曲线 C 上任意两点,则有 三、解答题(本大题满分 52 分) 17. (本题满分 6 分) 求以抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的标准方程.

y1 ? y 2 ?0 x1 ? x2

18. (本题满分 10 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分) 设 z 1 是方程 x ? 6 x ? 25 ? 0 的一个根.
2

( 1 ) 求 z1 ; ( 2 ) 设 z2 ? a ? i ( 其 中 i 为 虚 数 单 位 , a ? R ) , 若 z2 的 共 轭 复 数 z2 满 足
2 3 . | z1 ? z2 |? 1 2 5 5 ,求 z 2

2

19. (本题满分 10 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分) 如图, 直线 y=

1 1 2 x 与抛物线 y= x -4 交于 A、B 两点, 线段 AB 的垂直平分线与直线 y=-5 交于 Q 2 8


点. (1) 求点 Q 的坐标; (2) 当 P 为抛物线上位于线段 AB 下方(含 A、B) 的动点时, Δ OPQ 面积的最大值.

20. (本题满分 12 分) 在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市 O(如图)的东偏南

2 ) 方向 300 km 的海面 P 处,并以 20 km / h 的速度向西偏北 450 方向移动. 台风侵 10 袭的范围为圆形区域,当前半径为 60km ,并以 10 km / h 的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受

? (? ? arccos

到台风的侵袭?

3

21. (本题满分 14 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 4 分) 椭圆 E1 :

x2 a1
2

?

y2 b1
2

? 1 和椭圆 E2 :

x2 a2
2

?

y2 b2
2

? 1 满足椭圆

a2 b2 ? ? m (m ? 0) ,则称这两个椭 a1 b1

圆相似,m 称为其相似比. (1)求经过点 (2, 6 ) ,且与椭圆

x2 y2 ? ? 1 相似的椭圆方程; 4 2

(2)设过原点的一条射线 L 分别与(1)中的两个椭圆交于 A、B 两点(其中点 A 在线段 OB 上) ,求

| OA | ?

1 的最大值和最小值; | OB |

(3)对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为 2 的两个椭圆 C1 :

x2 y2 ? ? 1和 22 ( 2)2

C2 :

x2 y2 ? ? 1 交于 A、B 两点,P 为线段 AB 上的一点,若 | OA | , | OP | , | OB | 成等比数列, 4 2 (2 2 ) 2

则点 P 的轨迹方程为

x2 (2 2 ) 2

?

y2 。 请用推广或类比的方法提出类似的一个真命题, 不必证明. ? 1” 22

4

金山中学 2015 学年度第一学期高二年级数学学科期末考试卷 参考答案

一、填空题(本大题满分 36 分,共 12 小题,每小题满分 3 分) 1.直线 x ? (m ? 2) y ? 4 ? 0 的倾斜角为

? ,则 m 的值是 ___________3 4
6

?x ? 0 ? 2.若实数 x , y 满足不等式组 ? y ? x ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
3.设复数 z 满足

1? z ? i ,则 | 1 ? z |? 2 1? z 2 2 4.已知直线 5x ? 12y ? a ? 0 与圆 ( x ? 1) ? y ? 1相切,则 a 的值为_____ 8 或-18 1? ? 1 ? x2 y2 ? 5.已知方程 ? ? 1 表示椭圆,则 k 的取值范围为______ ? ? 3,? ? ? ? ? ,2 ? 3? k 2?k 2? ? 2 ? ?
0 6 . 若 直 线 l 经 过 原 点 , 且 与 直 线 y ? 3x ? 2 的 夹 角 为 30 , 则 直 线 l 方 程 为

___________________ x ? 0 或 y ?

3 x 3

x2 y2 ? ? 1 仅有一个交点,则实数 k 的值为 7.过点 (2 2 ,0) 且方向向量为 ?k ,1? 的直线与双曲线 8 4 __________ ? 2 ,0

x2 ? y 2 ? 1 上的在第一象限内的点,又 A(2,0) 、 B(0,1) ,O 是原点,则四边形 4 OAPB 的面积的最大值是_________. 2 x2 ? y 2 ? 1 的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支上的任意一点,则 9.若点 O 和点 F 分别为双曲线 3 OP ? FP 的取值范围为__________ 3 ? 2 3,??
8.已知点 P 是椭圆

?

?

10. 双曲线

x ? y 2 ? 1 (n ? 1) 的焦点为 F 1、 F2, , P 在双曲线上 , 且满足: | PF1 | ? | PF2 |? 2 n ? 2 , n
1

2

则 ?PF 1 F2 的面积是 是

11.若点 P(?1,0) 在直线 2ax ? (a ? c) y ? 2c ? 0 上的射影是 Q ,则 Q 的轨迹方程

x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 12.已知点 P 在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上,点 Q 在直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 上,PQ 的中点为 M ( x0 , y0 ) ,且 y ? 1 1? 。 ? ? ,? ? y0 ? x0 ? 2 ,则 0 的取值范围是 x0 ? 2 5?
二、选择题(本大题满分 12 分,共 4 小题,每小题满分 3 分) 1 3.设 a、b ? R , i 是虚数单位,则“ ab ? 0 ”是“复数 a ? bi 为纯虚数的” ( (A)充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 B )

14.与双曲线

y2 ? x 2 ? 1 有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线标准方程为( B ) 4
5

x2 y2 y2 x2 x2 y2 ? ?1 ? ? 1 (B) ? ?1 (C) 3 12 2 8 2 8 ? x ? 2 ? 3 cos? 15.设曲线 C 的参数方程为 ? ? 为参数,直线 l 的方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 ,则曲线 ? y ? ?1 ? 3 sin ? 7 10 C 上到直线 l 的距离为 的点的个数为 ( B ) 10
(A) (B) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 ( B )

y2 x2 ? ?1 3 12

x| x| y| y| 16. 已知曲线 C : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) ,下列叙述中正确的是 a b (A)垂直于 x 轴的直线与曲线 C 存在两个交点 (B) 直线 y ? kx ? m ( k , m ? R )与曲线 C 最多有三个交点 (C)曲线 C 关于直线 y ? ? x 对称
(D)若 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y 2 ) 为曲线 C 上任意两点,则有 三、解答题(52 分)

y1 ? y 2 ?0 x1 ? x2

17.(6 分)求以抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的标准方程。 解:抛物线的焦点 F(1,0) ??2 分 因为圆过原点,所以半径 R=1 ??4 分 所以所求的圆的标准方程为 ?x ? 1? ? y 2 ? 1
2

??6 分

6

18.(10 分)设 z 1 是方程 x ? 6 x ? 25 ? 0 的一个根.
2

(1)求 z 1 ; ( 2 ) 设 z2 ? a ? i ( 其 中 i 为 虚 数 单 位 , a ? R ) , 若 z2 的 共 轭 复 数 z2 满 足
2 3 . | z1 ? z 2 |? 1 2 5 5 ,求 z 2 2 解 (1) 因为 ? ? 6 ? 4 ? 25 ? ?64 ,所以 z1 ? 3 ? 4i 或 z1 ? 3 ? 4i .

??4 分 ??8 分 ??10

(2)由 | (3 ? 4i) 3 ? (a ? i) |? 625,得 125 a 2 ? 1 ? 125 5 , a ? ?2 . 当 a ? ?2 时, z ? (?2 ? i) ? 3 ? 4i ;
2 2 2


2 当 a ? 2 时, z 2 ? (2 ? i) 2 ? 3 ? 4i .

19.(10 分)如图, 直线 y=

1 1 2 x 与抛物线 y= x -4 交 2 8

于 A、B 两

点, 线段 AB 的 垂直平分线与直线 y=-5 交于 Q 点. (1) 求点 Q 的坐标; (2) 当 P 为抛物线上位于线段 AB 下方 (含 A、B) 的动点时, 求 Δ OPQ 面积的最大值。

? y? ? ? 解:(1)解方程组 ? ?y ? ? ?

1 x 2 得 A(-4,-2),B(8,4). 1 2 x ?4 8

从而 AB 的中点为 M(2,1). 直线 AB 的垂直平分线方程为 y ? ?2( x ? 2) ? 1 令 y=-5,得 x=5. ∴Q(5,-5). (2)直线 OQ 的方程为 x ? y ? 0 设 P ( x,

??4 分

1 2 x ? 4) . 8

∵点 P 到直线 OQ 的距离 d ?

|x?

1 2 x ?4| | x 2 ? 8 x ? 32 | 8 ? 2 8 2
x ? ? 4,4 3 ? 4 ? 4 3 ? 4,8

| OQ |? 5 2 1 5 2 S ? | OQ | ?d ? | x ? 8 x ? 32 | 2 16
∴当 x=8 时,△OPQ 的面积取到最大值 30.

?

? ?

?

??10 分

7

20.(12 分)在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市 O(如图)的东偏南

? (? ? arccos

2 ) 方向 300km 的海面 P 处,并以 20km/h 的速度向西偏北 45°方向移动. 台风侵袭 10

的范围为圆形区域, 当前半径为 60km,并以 10km/h 的速度 不断增大. 问几小时后该城市开始受到台 风的侵袭?

解:以海滨城市 o 为坐标原点,正东方向为 x 轴的正向建立直角坐标系,设台风中心 P( x0 , y0 ) 则

? 2 2 ? 20 ? t ? x0 ? 300? ? 10 2 ??4 分 ? 7 2 2 ? y ? ?300? ? 20 ? t 0 ? 10 2 ? 2 2 台风侵袭的区域是 ?x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ? (10t ? 60) 2
将(0,0)点代人得: t ? 36t ? 288 ? 0 答:12 小时后该城市开始受到台风气侵袭.
2

??8 分 ??12 分

解得 12 ? t ? 24

8

21.(14 分)椭圆 E1 :

x2 a1
2

?

y2 b1
2

? 1 和椭圆 E2 :

x2 a2
2

?

y2 b2
2

? 1 满足椭圆

a2 b2 ? ? m (m ? 0) , a1 b1

则称这两个椭圆相似,m 称为其相似比。 (1)求经过点 (2, 6 ) ,且与椭圆

x2 y2 ? ? 1 相似的椭圆方程; 4 2

(2)设过原点的一条射线 L 分别与(1)中的两个椭圆交于 A、B 两点(其中点 A 在线段 OB 上) ,求

| OA | ?

1 的最大值和最小值; | OB |

(3)对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为 2 的两个椭圆 C1 :

x2 y2 ? ? 1和 22 ( 2)2

x2 y2 C2 : 2 ? ? 1 交于 A、B 两点,P 为线段 AB 上的一点,若 | OA | , | OP | , | OB | 成等比数列, 4 (2 2 ) 2
则点 P 的轨迹方程为

x2 (2 2 ) 2

?

y2 。 请用推广或类比的方法提出类似的一个真命题, 不必证明。 ? 1” 22
2 2

?2 2 ? 2 ? ? x y ?a ? 16 ?a b 解: (1)设所求的椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ,则有 ? 解得 ? 2 a b ? ?b ? 8 ? 4 ? 6 ?1 2 2 ? b ?a 2 2 x y ? ?1 ∴所要求的椭圆方程为 ??4 分 16 8
(2)①当射线与 y 轴重 合时, | OA | ?

1 1 5 2 ? 2? ? | OB | 4 2 2

②当射线不与 y 轴重合时,由椭圆的对称性,我们仅考察 A、B 在第一象限的情形. 设其方程为 y=kx(k≥0,x>0) ,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)

4 ? 2 x1 ? ? y ? kx ? ? 1 ? 2k 2 ? 2 2 由?x 解得 ? y 2 ?1 ? y 2 ? 4k ? ? 2 ?4 1 ? 1 ? 2k 2 ? 16 ? 2 x2 ? ? y ? kx ? ? 1 ? 2k 2 ? 2 由 ? x2 解得 ? y 2 ?1 ? y 2 ? 16k ? ? ? 16 8 2 ? 1 ? 2k 2 ?
| OA | ?
令t ?

所以 | OA |?

2 k 2 ?1 1 ? 2k 2

所以 | OB |?

4 k 2 ?1 1 ? 2k 2

2 k 2 ?1 2k 2 ? 1 1 ? + | OB | 1 ? 2k 2 4 1 ? k 2

, 2 ?t ?2 1 ? 2k 2 1 1 | OA | ? ?t? 2 ? t ? 2在 2t | OB |

2 k 2 ?1

?

2 ,2 上是增函数,∴ f ( 2 ) ? f (t ) ? f (2) ,

?

9

5 1 9 2 ?| OA | ? ? 4 | OB | 4 9 1 由①②知, | OA | ? 的最大值为 , 4 | OB |


| OA | ?

1 5 2 的最小值为 . | OB | 4

??10 分

(3)本题根据学生提出和解决问题的质量评分

??14 分

10


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