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2013届高考数学第一轮复习教案第19讲 用样本估计总体及线性相关关系


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2013 年普通高考数学科一轮复习精品学案
第 19 讲 用样本估计总体及线性相关关系
一.课标要求:

1.用样本估计总体 ①通过实例体会分布的意义和作用,在表示样本数据的过程中, 学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,体会 他们各自的特点; ②通过实例理解样本数据标准差的意义和作用, 学会计算数据标 准差; ③能根据实际问题的需求合理地选取样本, 从样本数据中提取基 本的数字特征(如平均数、标准差) ,并作出合理的解释; ④在解决统计问题的过程中,进一步体会用样本估计总体的思 想,会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估 计总体的基本数字特征;初步体会样本频率分布和数字特征的随机 性; ⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想, 解决一些简 单的实际问题;能通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据,认 识统计的作用,体会统计思维与确定性思维的差异; ⑥形成对数据处理过程进行初步评价的意识。 2.变量的相关性 ①通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图, 并利 用散点图直观认识变量间的相关关系; ②经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。 知道最小 二乘法的思想, 能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方 程。
二.命题走向

―统计‖是在初中―统计初步‖基础上的深化和扩展,本讲主要会用 样本的频率分布估计总体的分布, 并会用样本的特征来估计总体的分 布。 预测 2013 年高考对本讲的考察是: 1.以基本题目(中、低档题)为主,多以选择题、填空题的形 式出现,以实际问题为背景,综合考察学生学习基础知识、应用基础

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知识、解决实际问题的能力; 2.热点问题是频率分布直方图和用样本的数字特征估计总体的 数字特征。
三.要点精讲

1.用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数 在一组数据中出现次 数最多的数据叫做这组数据的众数; 将一组数据按照从大到小(或从小到大)排列,处在中间位置上 的一个数据(或中间两位数据的平均数)叫做这组数据的中位数; (2)平均数与方差 如果这 n 个数据是 x1 , x2 ,......... , xn ,那么 x ? 平均数; 如果这 n 个数据是 x1 , x2 ,......... , xn ,那么 S 2 ? 数据方差;同时 s ?
1 n ? ( xi ? x) 叫做这 n 个 n i ?1

1 n ? xi 叫做这 n 个数据 n i ?1

1 n ? ( xi ? x) 叫做这 n 个数据的标准差。 n i ?1

2.频率分布直方图、折线图与茎叶图 样本中所有数据(或数据组)的频率和样本容量的比,就是该数 据的频率。所有数据(或数据组)的频率的分布变化规律叫做频率分 布,可以用频率分布直方图、折线图、茎叶图来表示。 频率分布直方图: 具体做法如下: (1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差) ;

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(2)决定组距与组数; (3)将数据分组; (4)列频率分布表; (5)画频率分布直方图。 注:频率分布直方图中小正方形的面积=组距×
频率 =频率。 组距

折线图:连接频率分布直方图中小长方形上端中点,就得到频率 分布折线图。 总体密度曲线:当样本容量足够大,分组越多,折线越接近于一 条光滑的曲线,此光滑曲线为总体密度曲线。 3.线性回归 回归分析:对于两个变量,当自变量取值一定时,因变量的取值 带有一定随机性的两个变量之间的关系叫相关关系或回归关系。 回归直线方程: x 与 y 是具有相关关系的两个变量, 设 且相应于 n 个观测值的 n 个点大致分布在某一条直线的附近,就可以认为 y 对 x ? 的 回 归 函 数 的 类 型 为 直 线 型 : y ? a ? bx 。 其 中
b?

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

n

? (x
i ?1

n

?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y

i

? x)

2

?x
i ?1

, a ? y ? b x 。我们称这个方程为 y 对
? nx
2

2 i

x 的回归直线方程。
四.典例解析

题型 1:数字特征 例 1.为了检查一批手榴弹的杀伤半径,抽取了其中 20 颗做试 验,得到这 20 颗手榴弹的杀伤半径,并列表如下:

(1)在这个问题中,总体、个体、样本和样本容量各是什么? (2)求出这 20 颗手榴弹的杀伤半径的众数、中位数和平均数,并

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估计这批手榴弹的平均杀伤半径. 解析: (1)总体是要检查的这批手榴弹的杀伤半径的全体;个体 是每一颗手榴弹的杀伤半径;样本是所抽取的 20 颗手榴弹的杀伤半 径;样本容量是 20。 (2)在 20 个数据中,10 出现了 6 次,次数最多,所以众数是 10 (米) 。 20 个数据从小到大排列, 10 个和第 11 个数据是最中间的两个 第 数,分别为 9(米)和 10(米) ,所以中位数是 (9+10)=9.5(米) 。 样本平均数 x ?
1 (7 ? 1 ? 8 ? 5 ? 9 ? 4 ? 10 ? 6 ? 11 ? 3 ? 12 ? 1) ? 9.4 (米) 20 1 2

所以,估计这批手榴弹的平均杀伤半径约为 9.4 米。 点评:(1)根据总体、个体、样本、样本容量的概念答题.要注 意:总体、个体和样本所说的考察对象是一种数量指标,不能说成考 察的对象是手榴弹,而应说是手榴弹的杀伤半径。 (2)读懂表格的意义,利用概念求众数、中位数,用样本平均数 估计这批手榴弹的平均杀伤半径. 另外在这里要会简便计算有多个重 复数据的样本的平均数。 例 2. 为估计一次性木质筷子的用量, 1999 年从某县共 600 家高、 中、低档饭店抽取 10 家作样本,这些饭店每天消耗的一次性筷子盒 数分别为: 0.6 1.7 3.7 1.2 2.2 2.1 1.5 3.2 2.8 1.0

(1)通过对样本的计算,估计该县 1999 年消耗了多少盒一次性筷

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子(每年按 350 个营业日计算) ; (2)2001 年又对该县一次性木质筷子的用量以同样的方式作了抽 样调查,调查的结果是 10 个样本饭店,每个饭店平均每天使用一次 性筷子 2.42 盒.求该县 2000 年、2001 年这两年一次性木质筷子用量 平均每年增长的百分率 (2001 年该县饭店数、 全年营业天数均与 1999 年相同) ; (3)在(2)的条件下,若生产一套学生桌椅需木材 0.07m3,求该县 2001 年使用一次性筷子的木材可以生产多少套学生桌椅。计算中需 用的有关数据为:每盒筷子 100 双,每双筷子的质量为 5g,所用木 材的密度为 0.5× 3kg/m3; 10 (4)假如让你统计你所在省一年使用一次性筷子所消耗的 木材量,如 何利用统计知识去做,简要地用文字表述出来。 解析:(1) x ?
1 (0.6 ? 3.7 ? 2.2 ? 1.5 ? 2.8 ? 1.7 ? 1.2 ? 2.1 ? 3.2 ? 1.0) ? 2.0 10

所以,该县 1999 年消耗一次性筷子为 2× 600× 350=420000(盒) 。 (2)设平均每年增长的百分率为 X,则 2(1+X)2=2.42, 解得 X1=0.1=10%,X2=-2.1(不合题意,舍去) 。 所以,平均每年增长的百分率为 10%; (3)可以生产学生桌椅套数为 (套) 。 (4)先抽取若干个县(或市、州)作样本,再分别从这些县(或 市、州)中抽取若干家饭店作样本,统计一次性筷子的用量. 点评:本题是一道统计综合题,涉及的知识点很多,需要灵活运
0.005 ? 2.42 ? 100 ? 600 ? 350 ? 7260 0.5 ? 10 3 ? 0.07

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用各种知识分析解决问题.对于第(1)小题,可先求得样 本平均数, 再利用样本估计总体的思想来求得问题的解.对于第(2)小题,实际 是一个增长率问题的应用题,可通过设未知数列方程的方法来解.对 于第(3)小题,用到了物理公式 m=ρv, 体现了各学科知识之间的联 系,让学生触类旁通,在解决实际问题时能综合运用多种知识灵活地 解决问题.第(4)小题只要能够运用随机抽样方法,能体会到用样本 估计总体的统计思想就可解决,在文字表述上要注意简洁、明了、正 确。 题型 2:数字特征的应用 例 3.甲、乙两种冬小麦试验品种连续 5 年的平均单位面积产量 如下(单位:t / hm2) 品种 甲 乙 第1年 9.8 9.4 第2年 9.9 10.3 第3年 10.1 10.8 甲 第4年 10 9.7 。
1 5

第5年 10.2 9.8

其中产量比较稳定的小麦品种是 解析:x甲 = ?
1 5

( 9.8 + 9.9 + 10.1 + 10 + 10.2) = 10.0,x乙 = ?

( 9.4 +

10.3 + 10.8 + 9.7 + 9.8) = 10.0;
2 s甲 =

1 5

2 ( 9.82 + … + 10.22) – 102 = 0.02,s甲 =

1 5

( 9.42 + … + 9.82) –

102 = 0.244 > 0.02 。 点评:方差与平均数在反映样本的特征上一定要区分开。 例 4.在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下: 9.4 9.7 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4

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(A)9.4, 0.484 9.5, 0.016 答案:D;

(B)9.4,

0.016

(C)9.5, 0.04

(D)

解析:7 个数据中去掉一个最高分和一个最低分后,余下的 5 个 数为:9.4, 9.4, 9.6, 9.4, 9.5。 则平均数为: x ?
1 5 9.4 ? 9.4 ? 9.6 ? 9.4 ? 9.5 ? 9.46 ? 9.5 ,即 x ? 9.5 。 5

方差为: s 2 ? [(9.4 ? 9.5) 2 ? (9.4 ? 9.5) 2 ? ? ? ? ? (9.5 ? 9.5) 2 ] ? 0.016 即 s 2 ? 0.016 ,故选 D。 点评:一定要根据实际的题意解决问题,并还原实际情景。 题型 3:频率分布直方图与条形图 例 5. 为检测,某种产品的质量,抽取了一个容量为 30 的样本,检测 结果为一级品 5 件,而极品 8 件,三级品 13 件,次品 14 件. (1)列出样本频率分布表; (2)画出表示样本频率分布的条形图; (3)根据上述结果,估计辞呈商品为二极品或三极品的概率约是 多少 解析:(1)样本的频率分布表为
产品 一级晶 二级晶 三级晶 次品 频数 5 8 13 4
[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

频率 0.17 0.27 0.43 0.13

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(2)样本频率分布的条形图为:

(3)此种产品为二极品或三极品的概率约为 0.27+0.43=0.7。 点评:条形图中纵坐标一般是频数或频率。 例 6. (2006 重庆理,6)为了了解某地区高三学生的身体发育情 况,抽查了该地区 100 名年龄为 17.5 岁-18岁的男生体重(kg) ,得 到频率分布直方图如下:

根据上图可得这 100 名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是 (A)20 (C) 40 答案:C; 解析:根据运算的算式:体重在〔56.5,64.5〕学生的累积频率为 2× 0.03+2× 0.05+2× 0.05+2× 0.07=0.4,则体重在〔56.5,64.5〕学生的 (B)30 (D)50

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人数为 0.4× 100=40。 点评:熟悉频率、频数、组距间的关系式。 例 7.某中学对高三年级进行身高统计,测量随机抽取的 40 名 学生的身高,其结果如下(单位:cm) 分 [140, [145, [150, [155, [160, [165, [170, [175, 合 组 145) 人 1 数 (1)列出频率分布表; (2)画出频率分布直方图; (3)估计数据落在[150,170]范围内的概率。 解析: (1)根据题意可列出频率分布表: 分 值 [140,145] [145,150] [150,155] [155,160] [160,165] [165,170] [170,175 ] 频 1 2 5 9 13 6 3 数 频 率 2 5 9 13 6 3 1 40 150) 155) 160)
[来源:学#科#网]

165)

170)

175)

180)



0.025 0.050 0.125 0.225 0.325 0.15 0.075

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[175,180] 合 计

1 40

0.025 1.00

(2)频率分布直方图如下:

(3)数据落在[150,170]范围内的概率约为 0.825。 题型 4:茎叶图 例 8.观看下面两名选手全垒打数据的茎叶图,对他们的表现进 行比较。 1961 年扬基队外垒手马利斯打破了鲁斯的一个赛季 打出 60 个全 垒打的记录。 下面是扬基队的历年比赛中的鲁斯和马利斯每年击出的 全垒打的比较图: 鲁斯 马利斯 0 8 1 3 4 6 5 2 2 3 6 8 5 4 3 3 9 9 7 6 6 1 1 4 9 4 4 5 0 6 1 解析:鲁斯的成绩相对集中,稳定在 46 左右;马利斯成绩相对 发散,成绩稳定在 26 左右。 题型 5:线性回归方程 例 9.由施肥量 x 与水稻产量 y 试验数据的关系,画出散点图, 并指明相关性。

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解析:散点图为:

通过图象可知是正相关。 例 10.在某种产品表面进行腐蚀线实验,得到腐蚀深度 y 与腐蚀 时间 t 之间对应的一组数据: 时间 t(s) 深 y( ? m) 5 10 10 15 10
网] [来 源 : 学 科

20 13

30 16

40 17

50 19

60 23

70 25

90 29

120 46

度 6
[来源:Z,xx,k.Com]

(1)画出散点图; (2)试求腐蚀深度 y 对时间 t 的回归直线方程。 略解: (1)散点图略,呈直线形。 (2)经计算可得
t =46.36, y =19.45, ? t i2 =36750, ? y i2 =5442, ? t i yi =13910。
i ?1 i ?1 i ?1 11 11 11

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?t y
B=
i ?1 11 i

11

i

? 11 ? ty

?t
i ?1

=
2 i

? 11 ? t

2

13910 ? 11 ? 46.36 ? 19.45 ? 0.3. 36750 ? 11 ? 46.36 2

A= y -b t =19.45-03 ? 46.36 ? 5.542。
? 故所求的回归直线方程为 y =0.3t+5.542。

题型 6:创新题 例 11.把容量为 100 的某个样本数据分为 10 组,并填写频率分 布表,若前七组的累积频率为 0.79,而剩下三组的频数成公比大于 2 的整数等比数列,则剩下三组中频数最高的一组的频数为 ___________. 答案:16 点评:已知前七组的累积频率为 0.79,而要研究后三组的问题, 因此应先求出后三组的频率之和为 1-0.79=0.21,进而求出后三组的 共有频数,或者先求前七组共有频数后,再计算后三组的共有频数。 由已知知前七组的累积频数为 0.79× 100=79,故后三组共有的频数为 21,依题意
a1 ? (1 ? q 3 ) =21,a1(1+q+q2)=21.∴a1=1,q=4。∴后三组 1? q

频数最高的一组的频数为 16。此题剖析只按第二种思路给出了解答, 你能按第一种思路来解吗? 例 12.某班学生在一次数学考试中成绩分布如下表:
分数段 人数 分数段 人数 分数段 人数 [0,80) 2
[来源:学科网]

[80,90) 5 [110,120 12

[90,100) 6

[100,110) 8 [130,140) 4



[120,130) 6

[140,150) 2

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那么分数在[100,110)中的频率和分数不满 110 分的累积频率 分别是______________、_______(精确到 0.01). 解析:由频率计算方法知:总人数=45. 分数在[100,110)中的频率为
8 45
45

=0.178≈0.18.
45

分数不满 110 分的累积频率为 2 ? 5 ? 6 ? 8 = 21 ≈0.47. 答案:0.18 0.47
五.思维总结

1.统计是为了从数据中提取信息,学习时根据实际问题的需求 选择不同的方法合理地选取样本, 并从样本数据中提取需要的数字特 征。不应把统计处理成数字运算和画图表。对统计中的概念(如"总 体"、"样本"等)应结合具体问题进行描述性说明,不应追求严格的 形式化定义。 2.当总体中个体取不同值很少时,我们党用样本的频率分布标 记频率分布梯形图取估计总体体分布,总体分布排除了抽样造成的错 误,精确反映了总体取值的概率分布规律。对于所取不同数值较多 或可以在实数区间范围内取值的总体,需用频率分布直方图来表示 相应的频率分布。当样本容量无限增大,分组的组距无限缩小时, 频 率分布直方图无限接近一条光滑曲线——总体密度曲线. 由于总 体分布通常不易知道,往往是用样本的频率分布估计总体分布。样 本容量越大,估计就越精确。 3.相关关系 研究两个变量间的相关关系是学习本节的目的。 对于相关关系我 们可以从下三个方面加以认识: (1)相关关系与函数关系不同。函数关系中的两个变量间是一

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种确定性关系。例如正方形面积 S 与边长 x 之间的关系 S ? x 2 就是函 数关系。即对于边长 x 的每一个确定的值,都有面积 S 的惟一确定的 值与之对应。相关关系是一种非确定性关系,即相关关系是非随机变 量与随机变量之间的关系。例如人的身高与年龄;商品的销售额与广 告费等等都是相关关系。 (2)函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系, 也可能是伴随关系。例如有人发现,对于在校儿童,身高与阅读技能 有很强的相关关系。然而学会新词并不能使儿童马上长高,而是涉及 到第三个因素——年龄,当儿童长大一些,他们的阅读能力会提高而 且由于长大身高也会高些。 (3)函数关系与相关关系之间有着密切联系,在一定的条件下 可以相互转化。 例如正方形面积 S 与其边长 x 间虽然是一种确定性关 系,但在每次测量边长时,由于测量误差等原因,其数值大小又表现 出一种随机性。而对于具有线性关系的两个变量来说,当求得其回归 直线后, 我们又可以用一种确定性的关系对这两个变量间的关系进行 估计。 相关关系在现实生活中大量存在,从某种意义上讲,函数关系是 一种理想的关系模型,而相关关系是一种更为一般的情况。因此研究 相关关系,不仅可使我们处理更为广泛的数学应用问题,还可使我们 对函数关系的认识上升到一个新的高度。 4.好破势训练,为提高能力,运用变式题目,常规题向典型问 题的转化,进行多种解法训练,从不同角度,不同侧面对题目进行全 面分析,结合典型的错解分析,查找思维的缺陷,提高分析解决问题 的能力。

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