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山东省烟台市招远二中2014-2015学年高一下学期期末数学模拟试卷 Word版含解析


山东省烟台市招远二中 2014-2015 学年高一下学期期末数学模拟 试卷
一、选择题: (本大题共 10 小题.每小题 4 分,共 48 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1. (4 分)若直线的倾斜角为 60°,则直线的斜率为() A. B. ﹣ C. D.﹣

2. (4 分)函数 A.0 B. 1

的零点个数是() C. 2 D.3

3. (4 分)直线 y=3x+1 关于 y 轴对称的直线方程为() A.y=﹣3x﹣1 B.y=3x﹣1 C.y=﹣x+1 4. (4 分)下列四个命题 ①垂直于同一条直线的两条直线相互平行; ②垂直于同一个平面的两条直线相互平行; ③垂直于同一条直线的两个平面相互平行; ④垂直于同一个平面的两个平面相互平行; 其中错误的命题有() A.1 个 B. 2 个 C. 3 个

D.y=﹣3x+1

D.4 个 ,那么原△ ABC

5. (4 分)水平放置的△ ABC 的直观图如图,其中 B′O′=C′O′=1,A′O′= 是一个()

A.等边三角形 B. 直角三角形 C. 三边中只有两边相等的等腰三角形 D.三边互不相等的三角形 6. (4 分)设 α、β、γ 为两两不重合的平面,l、m、n 为两两不重合的直线,给出下列四个 命题: ①若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β;

②若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β; ③若 α∥β,l?α,则 l∥β; ④若 α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则 m∥n. 其中真命题的个数是() A.1 B. 2 C. 3

D.4

7. (4 分)已知直线 3x+4y﹣3=0 与直线 6x+my+14=0 行,则它们之间的距离是() A. B. C. 8 D.2

8. (4 分)正三棱锥的高是 ,侧棱长为 A.60° B.30°

,那么侧面与底面所成的二面角是() C.45° D.75°

9. (4 分)下列图象表示的函数能用二分法求零点的是()

A.

B.

C.

D. 10. (4 分)已知 m,n,l 是直线,α、β 是平面,下列命题中: ①若 l 垂直于 α 内两条直线,则 l⊥α;②若 l 平行于 α,则 α 内可有无数条直线与 l 平行; ③若 m?α,l?β,且 l⊥m,则 α⊥β;④若 m⊥n,n⊥l 则 m∥l; ⑤若 m?α,l?β,且 α∥β,则 m∥l;正确的命题个数为() A.1 B. 2 C. 3 D.4

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在题中横线上.) 11. (4 分)过点(1,2)且与直线 x+2y﹣1=0 平行的直线方程是. 12. (4 分)已知点 A(1,4) ,B(4,1) ,直线 L:y=ax+2 与线段 AB 相交于 P,则 a 的范 围. 13. (4 分)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为.

14. (4 分)已知直线 L1:mx﹣(m﹣2)y+2=0 直线 L2:3x+my﹣1=0 且 L1⊥L2 则 m=. 15. (4 分)已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱高为 4,体积为 16,则这个球的体积为.

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 36 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)如图,在平行四边形 OABC 中,点 C(1,3) . (1)求 OC 所在直线的斜率; (2)过点 C 做 CD⊥AB 于点 D,求 CD 所在直线的方程.

17. (12 分) 如图所示的三个图中, 左边的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图. 它 的正视图和侧视图在右边画出(单 位:cm) . (1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积.

18. (12 分)已知点 A(3,2)和 B(﹣1,5) . (1)直线 L1:y=mx+2 过线段 AB 的中点,求 m; (2)若点 C 在直线 L1 上,△ ABC 的面积为 10,求点 C 的坐标.

19. (12 分)如图所示,已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面是边长为 a 的菱形,且∠ABC=120°, PC⊥平面 ABCD,PC=a,E 为 PA 的中点.

(1)求证:平面 EBD⊥平面 ABCD; (2)求点 E 到平面 PBC 的距离. 20. (13 分) 如图, 在斜三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 点 O、 E 分别是 A1C1、 AA1 的中点, AO⊥ 平面 A1B1C1.已知∠BCA=90°,AA1=AC=BC=2. (Ⅰ)证明:OE∥平面 AB1C1; (Ⅱ)求异面直线 AB1 与 A1C 所成的角; (Ⅲ)求 A1C1 与平面 AA1B1 所成角的正弦值.

21. (14 分)专家通过研究学生的学习行为,发现学生的注意力随着老师讲课时间的变化而 变化,讲课开始时,学生的兴趣激增,中间有一段时间,学生的兴趣保持较理想的状态,随 后学生的注意力开始分散,设 f(x)表示学生注意力随时间 x(分钟)的变化规律. (f(x)

越大, 表明学生注意力越大) , 经过试验分析得知:

(Ⅰ)讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中?能坚持多少分钟? (Ⅱ)讲课开始后 5 分钟时与讲课开始后 25 分钟时比较,何时学生的注意力更集中? (Ⅲ)一道数学难题,需要讲解 24 分钟,并且要求学生的注意力至少达到 180,那么经过 适当安排,老师能否在学生达到所需的状态下讲完这道题目?

山东省烟台市招远二中 2014-2015 学年高一下学期期末 数学模拟试卷
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 10 小题.每小题 4 分,共 48 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1. (4 分)若直线的倾斜角为 60°,则直线的斜率为() A. B. ﹣ C. D.﹣

考点: 直线的斜率. 专题: 计算题. 分析: 直接根据倾斜角和斜率之间的关系即可得到结论. 解答: 解:因为直线的斜率 k 和倾斜角 θ 的关系是:k=tanθ ∴倾斜角为 60°时,对应的斜率 k=tan60°= 故选:A. 点评: 本题主要考查直线的倾斜角和斜率之间的关系以及计算能力, 属于基础题目. 做这 一类型题目的关键是熟悉公式.

2. (4 分)函数 A.0 B. 1

的零点个数是() C. 2 D.3

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题. 分析: 先判断函数的单调性,由于在定义域上两个增函数的和仍为增函数,故函数 f(x) 为单调增函数,而 f(0)<0,f(1)>0,由零点存在性定理可判断此函数仅有一个零点. 解答: 解:函数 f(x)的定义域为 R, ∵y= 在定义域上为增函数,y= 在定义域上是减函数,

∴函数

的零点,就是上面两个函数的图象的交点,

而 f(0)=﹣1<0,f(1)= >0

故函数 故选 B.

的零点个数为 1 个

点评: 本题主要考查了函数零点的判断方法, 零点存在性定理的意义和运用, 函数单调性 的判断和意义,属基础题. 3. (4 分)直线 y=3x+1 关于 y 轴对称的直线方程为() A. y=﹣3x﹣1 B.y=3x﹣1 C.y=﹣x+1

D.y=﹣3x+1

考点: 与直线关于点、直线对称的直线方程. 专题: 直线与圆. 分析: 在直线 y=3x+1 上任意取一点(m,n) ,则有 n=3m+1 ①,设点(m,n)关于 y 轴 对称的点为(x,y) ,把点(m,n)与(x,y)的关系代入①化简可得点(x,y)满足的 关系式,即为所求. 解答: 解:在直线 y=3x+1 上任意取一点(m,n) ,则有 n=3m+1 ①,设点(m,n)关于 y 轴对称的点为(x,y) ,则由题意可得 x+m=0,n=y. 把 x+m=0,n=y 代入①化简可得 y=﹣3x+1, 故选 D. 点评: 本题主要考查求一条直线关于某直线对称的直线的方程的方法,属于中档题. 4. (4 分)下列四个命题 ①垂直于同一条直线的两条直线相互平行; ②垂直于同一个平面的两条直线相互平行; ③垂直于同一条直线的两个平面相互平行; ④垂直于同一个平面的两个平面相互平行; 其中错误的命题有() A.1 个 B. 2 个 C. 3 个

D.4 个

考点: 直线与平面垂直的性质;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 综合题. 分析: 对选项①④可利用正方体为载体进行分析, 举出反例即可判定结果, 对选项②③ 根据线面垂直的性质定理和面面平行的判定定理进行判定即可. 解答: 解:①垂直于同一条直线的两条直线相互平行,不正确,如正方体的一个顶角的 三个边就不成立 ②垂直于同一个平面的两条直线相互平行,根据线 面垂直的性质定理可知正确; ③垂直于同一条直线的两个平面相互平行,根据面面平行的判定定理可知正确; ④垂直于同一个平面的两个平面相互平行,不正确,如正方体相邻的三个面就不成立; 故选 B 点评: 此种题型解答的关键是熟练掌握空间直线与直线、 直线与平面、 平面与平面垂直和 平行的判定及性质. 5. (4 分)水平放置的△ ABC 的直观图如图,其中 B′O′=C′O′=1,A′O′= 是一个() ,那么原△ ABC

A.等边三角形 B. 直角三角形 C. 三边中只有两边相等的等腰三角形 D.三边互不相等的三角形 考点: 平面图形的直观图. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 由图形和 A′O′= 通过直观图的画法知在原图形中三角形的底边 BC=B'C',

AO⊥BC,且 AO= ,故三角形为正三角形. 解答: 解:由图形知,在原△ ABC 中,AO⊥BC, ∵A′O′= ∴AO= ∵B′O′=C′O′=1∴BC=2 ∴AB=AC=2 ∴△ABC 为正三角形. 故选 A 点评: 本题考查了平面图形的直观图的画法及其先关性质,把握好直观图与原图形的关 系,是个基础题. 6. (4 分)设 α、β、γ 为两两不重合的平面,l、m、n 为两两不重合的直线,给出下列四个 命题: ①若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β; ②若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β; ③若 α∥β,l?α,则 l∥β; ④若 α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则 m∥n. 其中真命题的个数是() A.1 B. 2 C. 3 D.4 考点: 平面与平面之间的位置关系; 空间中直线与直线之间的位置关系; 空间中直线与平 面之间的位置关系. 专题: 证明题. 分析: 由空间中面面平面关系的判定方法,线面平等的判定方法及线面平行的性质定理, 我们逐一对四个答案进行分析,即可得到答案. 解答: 解:若 α⊥γ,β⊥γ,则 α 与 β 可能平行也可能相交,故①错误; 由于 m,n 不一定相交,故 α∥β 不一定成立,故②错误; 由面面平行的性质定理,易得③正确; 由线面平行的性质定理,我们易得④正确;

故选 B 点评: 在判断空间线面的关系,熟练掌握线线、线面、面面平行(或垂直)的判定及性质 定理是解决此类问题的基础. 7. (4 分)已知直线 3x+4y﹣3=0 与直线 6x+my+14=0 行,则它们之间的距离是() A. B. C. 8 D.2

考点: 两条平行直线间的距离;直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 计算题. 分析: 根据两平行直线的斜率相等,在纵轴上的截距不相等,求出 m,利用两平行直线 间的距离公式求出两平行直线间的距离. 解答: 解:∵直线 3x+4y﹣3=0 与直线 6x+my+14=0 平行,∴ = ≠ 故直线 6x+my+14=0 即 3x+4y+7=0,故两平行直线间的距离为 ,∴m=8, =2,

故选 D. 点评: 本题考查两直线平行的性质,两平行直线间的距离公式的应用. 8. (4 分)正三棱锥的高是 ,侧棱长为 A.60° B.30° ,那么侧面与底面所成的二面角是() C.45° D.75°

考点: 棱锥的结构特征. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 设正三棱锥为 P﹣ABC, 底面为正三角形, 高 OP, O 点为△ ABC 外 (内心、 重心) , 延长 CO 交 AB 于 D,易证 AB⊥CD,PD⊥AB,则∠CDP 是 P﹣AB﹣C 二面角的平面角, 在三角形 CDP 中求出此角即可. 解答: 解:正三棱锥为 P﹣ABC 底面为正三角形, 令棱锥的高为 OP,则 O 点为△ ABC 外(内心、重心) ,且 OC= 延长 CO 交 AB 于 D,则 OD= PD= =2, =1,CD=3,BD= , =2,

∵AB⊥CD,PD⊥AB, ∴∠CDP 是 P﹣AB﹣C 二面角的平面角, cos∠CDP= , 即∠CDP=60°, 故侧面与底面所成的二面角为 60°. 故选:A 点评: 本题主要考查了二面角的平面角及求法, 同时考查了正三棱锥的性质, 解题的关键 是寻找二面角的平面角,属于基础题.

9. (4 分)下列图象表示的函数能用二分法求零点的是()

A.

B.

C.

D. 考点: 二分法的定义. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 根据函数只有满足在零点两侧的函数值异号时,才可用二分法求函数 f(x)的零 点,结合所给的图象可得结论. 解答: 解:由函数图象可得,A 中的函数没有零点,故不能用二分法求零点,故排除 A. B 和 D 中的函数有零点,但函数在零点附近两侧的符号相同,故不能用二分法求零点,故 排除. 只有 C 中的函数存在零点且函数在零点附近两侧的符号相反,故能用二分法求函数的零点, 故选 C. 点评: 本题主要考查函数的零点的定义,用二分法求函数的零点的方法,属于基础题. 10. (4 分)已知 m,n,l 是直线,α、β 是平面,下列命题中: ①若 l 垂直于 α 内两条直线,则 l⊥α;②若 l 平行于 α,则 α 内可有无数条直线与 l 平行; ③若 m?α,l?β,且 l⊥m,则 α⊥β;④若 m⊥n,n⊥l 则 m∥l; ⑤若 m?α,l?β,且 α∥β,则 m∥l;正确的命题个数为() A.1 B. 2 C. 3 D.4 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用线面平行、面面平行的性质定理和判定定理对五个命题分别分析选择. 解答: 解: 对于①, 若 l 垂直于 α 内两条直线, 如果两条直线平行, 则 l 与 α 不一定平行; 故①错误; 对于②,若 l 平行于 α,则 α 内可有无数条直线与 l 平行;根据线面平行的性质定理判断是 正确的; 对于③,若 m?α,l?β,且 l⊥m,则 α 与 β 可能平行;故③错误; 对于④,若 m⊥n,n⊥l 则 m 与 l 平行,相交或者异面;故④错误; 对于⑤,若 m?α,l?β,且 α∥β,则 m∥l 或者异面;故⑤错误; 所以正确的命题为:②; 故选:A.

点评: 本题考查了空间线面关系定理的运用; 用到了线面平行的性质定理和判定定理, 面面平行的性质定理和判定定理. 二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在题中横线上.) 11. (4 分)过点(1,2)且与直线 x+2y﹣1=0 平行的直线方程是 x+2y﹣5=0. 考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 计算题. 分析: 设过点(1,2)且与直线 x+2y﹣1=0 平行的直线方程为 x+2y+m=0,把点(1,2) 代入直线方程,求出 m 值即得直线 l 的方程. 解答: 解:设过点(1,2)且与直线 x+2y=0 平行的直线方程为 x+2y+m=0, 把点(1,2)代入直线方程得, 1+4+m=0,m=﹣5, 故所求的直线方程为 x+2y﹣5=0, 故答案为:x+2y﹣5=0. 点评: 本题考查用待定系数法求直线方程的方法,设过点(1,2)且与直线 x+2y﹣1=0 平行的直线方程为 x+2y+m=0 是解题的关键. 12. (4 分)已知点 A(1,4) ,B(4,1) ,直线 L:y=ax+2 与线段 AB 相交于 P,则 a 的范 围. 考点: 直线的斜率. 专题: 直线与圆. 分析: 根据直线斜率公式,进行求解即可得到结论. 解答: 解:作出对应的图象如图: 若直线 L:y=ax+2 与线段 AB 相交于 P, 直线 y=ax+2 过定点 C(0,2) , 则满足 kCB≤kCp≤kCA, ∵kCB= 即 即 = ,kCA= =2,

≤kCp≤2, ≤a≤2,

故答案为:

点评: 本题主要考查直线方程和直线斜率的应用,利用数形结合是解决本题的关键.

13. (4 分)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为 8﹣π.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由三视图知几何体为正方体在相对的两个顶点处分别挖去两个 个圆柱,根据三视 图的数据求出正方体的棱长、圆柱的高和底面上的半径,代入体积公式计算即可. 解答: 解: 由三视图可知, 该几何体为正方体在相对的两个顶点处分别挖去两个 个圆柱, 由三视图中的数据可得:正方体的棱长为 2,圆柱的高为 2,圆柱底面的半径都是 1, ∴几何体的体积 V= =8﹣π,

故答案为:8﹣π. 点评: 本题考查了由三视图求几何体的体积, 解题的关键是判断几何体的形状及相关数据 所对应的几何量,考查空间想象能力. 14. (4 分)已知直线 L1:mx﹣(m﹣2)y+2=0 直线 L2:3x+my﹣1=0 且 L1⊥L2 则 m=0 或 5. 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由直线垂直得到系数间的关系,化为关于 m 的方程求得 m 的值. 解答: 解:直线 L1:mx﹣(m﹣2)y+2=0,直线 L2:3x+my﹣1=0, 2 由 L1⊥L2,得 3m﹣(m﹣2)m=0,即 m ﹣5m=0,解得 m=0 或 m=5. 故答案为:0 或 5. 点评: 本题考查直线的一般式方程与直线垂直的关系, 关键是熟记直线垂直与系数间的关 系,是基础题. 15. (4 分)已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱高为 4,体积为 16,则这个球的体积为 . 考点: 球内接多面体;球的体积和表面积. 专题: 空间位置 关系与距离. 分析: 先求正四棱柱的底面边长,然后求其对角线,就是球的直径,再求其体积.

解答: 解:正四棱柱高为 4,体积为 16,底面积为 4,正方形边长为 2, 正四棱柱的对角线长即球的直径为 2 , ∴球的半径为 ,球的体积是 V= = ,

故答案为: 点评: 本题考查学生空间想象能力,四棱柱的体积,球的体积,容易疏忽的地方是几何体 的体对角线是外接球的直径,导致出错. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 36 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)如图,在平行四边形 OABC 中,点 C(1,3) . (1)求 OC 所在直线的斜率; (2)过点 C 做 CD⊥AB 于点 D,求 CD 所在直线的方程.

考点: 直线的点斜式方程;斜率的计算公式;直线的一般式方程. 专题: 计算题. 分析: (1)根据原点坐标和已知的 C 点坐标,利用直线的斜率 k= ,求出直线

OC 的斜率即可; (2)根据平行四边形的两条对边平行得到 AB 平行于 OC,又 CD 垂直与 AB,所以 CD 垂 直与 OC,由(1)求出的直线 OC 的斜率,根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1,求出 CD 所 在直线的斜率,然后根据求出的斜率和点 C 的坐标写出直线 CD 的方程即可. 解答: 解: (1)∵点 O(0,0) ,点 C(1,3) , ∴OC 所在直线的斜率为 .

(2)在平行四边形 OABC 中,AB∥OC, ∵CD⊥AB, ∴CD⊥OC.∴CD 所在直线的斜率为 ∴CD 所在直线方程为 . ,即 x+3y﹣10=0.

点评: 此题考查学生会根据两点的坐标求出过两点直线方程的斜率, 掌握两直线平行时斜 率所满足的条件,会根据一点和斜率写出直线的点斜式方程,是一道综合题.

17. (12 分) 如图所示的三个图中, 左边的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图. 它 的正视图和侧视图在右边画出(单位:cm) . (1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积.

考点: 由三视图求面积、体积;简单空间图形的三视图. 专题: 计算题;作图题. 分析: (1)依据画图的规则作出其俯视图即可; (2)此几何体是一个长方体削去了一个角,由图中的数据易得几何体的体积. 解答: 解: (1)如图 (2)它可以看成一个长方体截去一个小三棱锥, 3 设长方体体积为 V1,小三棱锥的体积为 V2,则根据图中所给条件得:V1=6×4×4=96(cm ) , ; ∴ =94 =

点评: 本题考查由三视图求面积、体积,求解的关键是由视图得出几何体的长、宽、高等 性质,熟练掌握各种类型的几何体求体积的公式,可使本题求解更快捷. 18. (12 分)已知点 A(3,2)和 B(﹣1,5) . (1)直线 L1:y=mx+2 过线段 AB 的中点,求 m; (2)若点 C 在直线 L1 上,△ ABC 的面积为 10,求点 C 的坐标. 考点: 点到直线的距离公式;中点坐标公式. 专题: 直线与圆. 分析: (1)求出相等中点,代入直线方程求 m;

(2)设 C(x,y) ,利用点 C 在直线 L1 上,△ ABC 的面积为 10,得到关于 x,y 的方程解 之. 解答: 解: (1)AB 的中点坐标为(1, ) ,此点在直线 L1:y=mx+2 上,所以 3.5=m+2, 解得 m=1.5; (2)由(1)得 L1:y=1.5x+2,即 3x﹣2y+4=0, 设点 C 到直线 AB 的距离为 d, 由题意知:|AB|= S△ ABC= |AB|?d= ×5×d=10, ∴d=4…(4 分) 直线 AB 的方程为: ,即 3x+4y﹣17=0…(6 分) =5…(2 分)

∵C 点在直线 3x﹣2y+4=0①上,设 C(x,y) ∴d= =4,②…(10 分)

由①②得

或者

∴C 点的坐 标为: (

)或(

)…(12 分)

点评: 本题考查三角形的面积公式、中点公式,点到直线的距离公式的应用,考查计算能 力. 19. (12 分)如图所示,已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面是边长为 a 的菱形,且∠ABC=120°, PC⊥平面 ABCD,PC=a,E 为 PA 的中点.

(1)求证:平面 EBD⊥平面 ABCD; (2)求点 E 到平面 PBC 的距离. 考点: 点、线、面间的距离计算;平面与平面垂直的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离.

分析: (1)欲证平面 EDB⊥平面 ABCD,根据面面垂直的判定定理可知在平面 EDB 内 一直线与平面 ABCD 垂直,连接 AC 与 BD 相交于 O,连接 EO,而根据题意可得 EO⊥平 面 ABCD; (2)在底面作 OH⊥BC,垂足为 H,根据 OE∥平面 PBC 可知点 E 到平面 PBC 的距离就是 点 O 到平面 PBC 的距离 OH,求出 OH 即可求出点 E 到平面 PBC 的距离. 解答: (1)证明:连接 AC 与 BD 相交于 O,连接 EO,则 EO∥PC, 因为 PC⊥平面 ABCD, 所以 EO⊥平面 ABCD 又 EO?平面 EDB, 所以平面 EDB⊥平面 ABCD; (2)解:在底面作 OH⊥BC,垂足为 H, 因为平面 PCB⊥平面 ABCD, 所以 OH⊥平面 PCB, 又因为 OE∥PC, 所以 OE∥平面 PBC, 所以点 E 到平面 PBC 的距离就是点 O 到平面 PBC 的距离 OH,解得 OH= .

点评: 本小题主要考查平面与平面垂直的判定, 以及点、 线、 面间的距离计算等有关知识, 考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,考查转化思想,属于中档题. 20. (13 分) 如图, 在斜三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 点 O、 E 分别是 A1C1、 AA1 的中点, AO⊥ 平面 A1B1C1.已知∠BCA=90°,AA1=AC=BC=2. (Ⅰ)证明:OE∥平面 AB1C1; (Ⅱ)求异面直线 AB1 与 A1C 所成的角; (Ⅲ)求 A1C1 与平面 AA1B1 所成角的正弦值.

考点: 用空间向量求直线与平面的夹角; 异面直线及其所成的角; 直线与平面平行的判定; 直线与平面所成的角. 专题: 计算题;证明题. 分析: 解法一: (Ⅰ)证明 OE∥AC1,然后证明 OE∥平面 AB1C1. (Ⅱ)先证明 A1C⊥B1C1.再证明 A1C⊥平面 AB1C1,推出异面直线 AB1 与 A1C 所成的角 为 90°. (Ⅲ) 设点 C1 到平面 AA1B1 的距离为 d,通过 平面 AA1B1 所成角的正弦值 . ,求出 A1C1 与

解法二:如图建系 O﹣xyz,求出 A,A1,E,C1,B1,C 的坐标 (Ⅰ)通过计算 (Ⅱ)通过 ,证明 OE∥AC1,然后证明 OE∥平面 AB1C1. ,证明 AB1⊥A1C,推出异面直线 AB1 与 A1C 所成的角为 90°.

(Ⅲ) 设 A1C1 与平面 AA1B1 所成角为 θ, 设平面 AA1B1 的一个法向量是

利用

推出

,通过

,求出 A1C1 与平面 AA1B1 所成角的正弦值. 解答: 解法一: (Ⅰ)证明:∵点 O、E 分别是 A1C1、AA1 的中点, ∴OE∥AC1,又∵EO?平面 AB1C1,AC1?平面 AB1C1, ∴OE∥平面 AB1C1. (4 分) (Ⅱ)∵AO⊥平面 A 1B1C1,∴AO⊥B1C1,又∵A1C1⊥B1C1,且 A1C1∩AO=O, ∴B1C1⊥平面 A1C1CA,∴A1C⊥B1C1. (6 分) 又∵AA1=AC,∴四边形 A1C1CA 为菱形, ∴A1C⊥AC1,且 B1C1∩AC1=C1∴A1C⊥平面 AB1C1, ∴AB1⊥A1C,即异面直线 AB1 与 A1C 所成的角为 90°. (8 分) (Ⅲ) 设点 C1 到平面 AA1B1 的距离为 d,∵ 即 又∵在△ AA1B1 中, ∴ ? d. (10 分) ,∴S△ AA1B1= . . (12 分) ,

,∴A1C1 与平面 AA1B1 所成角的正弦值

解法二:如图建系 O﹣xyz,

, , C( 1, 0) , B( 1, 0) , 1 0, 1 2, . (2

分) (Ⅰ)∵ = , ,∴ ,即

OE∥AC1, 又∵EO?平面 AB1C1,AC1?平面 AB1C1,∴OE∥平面 AB1C1. (6 分 ) (Ⅱ)∵ , ,∴ ,即

∴AB1⊥A1C, ∴异面直线 AB1 与 A1C 所成的角为 90°. (8 分) (Ⅲ)设 A1C1 与平面 AA1B1 所成角为 θ,∵ ,

设平面 AA1B1 的一个法向量是





不妨令 x=1,可得 ∴

, (10 分) ,

∴A1C1 与平面 AA1B1 所成角的正弦值

. (12 分)

点评: 本题考查直线与平面平行,异面直线所成的角,直线与平面所成的角的求法,考查 空间想象能力,计算能力. 21. (14 分)专家通过研究学生的学习行为,发现学生的注意力随着老师讲课时间的变化而 变化,讲课开始时,学生的兴趣激增,中间有一段时间,学生的兴趣保持较理想的状态,随

后学生的注意力开始分散,设 f(x)表示学生注意力随时间 x(分钟)的变化规律. (f(x)

越大, 表明学生注意力越大) , 经过试验分析得知:

(Ⅰ)讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中?能坚持多少分钟? (Ⅱ)讲课开始后 5 分钟时与讲课开始后 25 分钟时比较,何时 学生的注意力更集中? (Ⅲ)一道数学难题,需要讲解 24 分钟,并且要求学生的注意力至少达到 180,那么经过 适当安排,老师能否在学生达到所需的状态下讲完这道题目? 考点: 分段函数的应用. 专题: 应用题;函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)对分段函数讨论,当 0<x≤10 时,10<x<20 时,当 20<x≤40 时,分析函 数的单调性,求得最大值即可; (Ⅱ)代入分段函数,计算即可得到; (Ⅲ)当 0<x≤10 时,令 y=180,解得 x=4,当 20<x≤40 时,令 y=380﹣7x=180,解得 x, 作差即可得到结论. 解答: 解: (Ⅰ)当 0<x≤10 时,y=﹣x +24x+100=﹣(t﹣12) +244, 对称轴 x=12,在对称轴的左侧,y 随 x 增大而增大, 当 x=10 时,y 取得最大值 240, 10<x<20 时,y=240. 当 20<x≤40 时,y=380﹣7x,y 随 x 的增大而减小. 此时 y<240. 故 x=10,ymax=240, 即有讲课开始后 10 分钟,学生的注意力最集中,能坚持 10 分钟; (Ⅱ)当 t=5 时,y=195,当 t=25 时,y=205, 则讲课开始后 5 分钟时与讲课开始后 25 分钟时比较, 讲课后 25 分钟, 学生的注意力更集中; (Ⅲ)当 0<x≤10 时,令 y=﹣x +24x+100=180, 解得 x=4, 当 20<x≤40 时,令 y=380﹣7x=180, 解得 x=28.57. 由于 28.57﹣4>24, 则经过适当安排,老师能在学生达到所需的状态下讲完这道题目. 点评: 本题考查分段函数的运用, 主要考查二次函数的图象和性质的运用, 考查运算能力, 属于中档题.
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