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高一数学人教a版必修2评25 空间直角坐标系 空间两点间的距离公式 含解析

学业分层测评(二十五) (建议用时:45 分钟) [达标必做] 一、选择题 1. (2016· 温州高一检测)在空间直角坐标系中, 点 P(1,3, -5)关于平面 xOy 对称的点的坐标是( A.(-1,3,-5) C.(1,-3,5) 【解析】 【答案】 ) B.(1,3,5) D.(-1,-3,5) P(1,3,-5)关于平面 xOy 对称的点的坐标为(1,3,5). B ) ? 6 3 2? 2.点 P? , , ?到原点 O 的距离是( 3 2 ? ?6 A. C. 30 6 33 6 |PO|= B B.1 D. 35 6 【解析】 【答案】 ? 6?2 ? 3?2 ? 2?2 ? ? +? ? +? ? =1. ?6? ?3? ?2 ? 3.与 A(3,4,5),B(-2,3,0)两点距离相等的点 M(x,y,z)满足的条件是 ( ) A.10x+2y+10z-37=0 B.5x-y+5z-37=0 C.10x-y+10z+37=0 D.10x-2y+10z+37=0 【解析】 由|MA|=|MB|, 得(x-3)2+(y-4)2+(z-5)2=(x+2)2+(y-3)2 +z2,化简得 10x+2y+10z-37=0,故选 A. 【答案】 A ) 4.已知点 A(1,a,-5),B(2a,-7,-2),则|AB|的最小值为( A.3 3 B.3 6 C.2 3 【解析】 |AB|= D.2 6 ?2a-1?2+?-7-a?2+?-2+5?2 = 5a2+10a+59 = 5?a+1?2+54, 当 a=-1 时,|AB|min= 54=3 6. 【答案】 B 5.如图 433,在空间直角坐标系中,有一棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1, A1C 的中点 E 到 AB 的中点 F 的距离为( ) 图 433 A. 2a C.a 【解析】 B. 2 a 2 1 D. a 2 a ? ? 由题意得 F?a, ,0?,A1(a,0,a),C(0,a,0), 2 ? ? ?a a a? ∴E? , , ?,则|EF|= ?2 2 2? a? 2 ? a?2 ?a a?2 ? ?a- ? +? - ? +?0- ?2= a. 2? 2 ? 2? ?2 2? ? 【答案】 二、填空题 6. 点 P(1,2, -1)在 xOz 平面内的射影为 B(x, y, z), 则 x+y+z=________. 【09960148】 【解析】 点 P(1,2,-1)在 xOz 平面内的射影为 B(1,0,-1), B ∴x=1,y=0,z=-1, ∴x+y+z=1+0-1=0. 【答案】 0 7.(2016· 景德镇高一检测)在空间直角坐标系中,以 O(0,0,0),A(2,0,0), B(0,2,0),C(0,0,2)为一个三棱锥的顶点,则此三棱锥的表面积为________. 【解析】 1 S△AOC=S△BOC=S△AOB= ×2×2 =2, 2 S△ABC= 3 3 2 ×|AB| = ×8=2 3, 4 4 故三棱锥的表面积 S=6+2 3. 【答案】 三、解答题 8.已知点 A(-4,-1,-9),B(-10,1,-6),C(-2,-4,-3),判断 △ABC 的形状. 【解】 |AB|= 2 2 2 6+2 3 ?-4+10? +?-1-1? +?-9+6? = 49, |BC|= ?-10+2?2+?1+4?2+?-6+3?2= 98, |AC|= ?-4+2?2+?-1+4?2+?-9+3?2= 49. 因为|AB|=|AC|,且|AB|2+|AC|2=|BC|2, 所以△ABC 为等腰直角三角形. 9.在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,|AB|=|BC|=2,|D1D|=3,点 M 是 B1C1 的中 点,点 N 是 AB 的中点.建立如图 434 所示的空间直角坐标系. 图 434 (1)写出点 D,N,M 的坐标; (2)求线段 MD,MN 的长度; (3)设点 P 是线段 DN 上的动点,求|MP|的最小值. 【解】 (1)D(0,0,0),N(2,1,0),M(1,2,3). (2)|MD|= ?1-0?2+?2-0?2+?3-0?2= 14, |MN|= ?2-1?2+?1-2?2+?0-3?2= 11. (3)在 xDy 平面上, 设点 P 的坐标为(2y,y,0),y∈[0,1], 则|MP|= ?2y-1?2+?y-2?2+?0-3?2 = 5y2-8y+14 = 4? 54 ? 5?y- ?2+ . 5? 5 ? 4 因为 y∈[0,1],所以当 y= 时, 5 |MP|取最小值 [自我挑战] 10.在平面直角坐标系 Oxyz 中,M 与 N 关于 xOy 面对称,OM 与平面 xOy 所 成的角是 60° ,若|MN|=4,则|OM|=( A.4 C. 4 3 3 B.1 D.2 由题意知 MN⊥平面 xOy,设垂足为 H, ) 54 3 30 ,即 . 5 5 【解析】 1 则|MH|=|NH|= |MN|=2, 2 又 OM 与平面 xOy 所成的角为 60° , 则|OM|sin 60° =|MH|. ∴|OM|= 2 4 3 = . 3 3 2 C 【答案】 11.已知直三棱柱 ABCA1B1C1(侧棱与底面垂直)中,AC=2,CB=CC1=4,E, F,M,N 分别是 A1B1,AB,C1B1,CB 的中点.如图 435 所示,建立空间直角坐标 系. 图 435 (1)在平面 ABB1A1 内找一点 P,使△ABP 为等边三角形; (2)能否在 MN 上求得一点 Q,使△AQB 为以 AB 为斜边的直角三角形?若能, 请求出点 Q 的坐标;若不能,请予以证明. 【解】 (1)因为 EF 是 AB 的中垂线,在平面 ABB1A1 内只有 EF 上的点与 A, B 两点的距离相等,又