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2013苏州、无锡、常州、镇江四市高三二模数学试卷及答案_图文

苏、锡、常、镇四市 2013 届高三教学情况调查(二)
2013.5 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。不需要写出解答过程,请把答案 直接填在答题卡相应位置上; 1、 已知 i 是虚数单位,复数 z ?

3?i 对应的点在第 1? i

象限。

2、 设 全 集 U ? R , 集 合 A ? ?x| ?1 ? x ? 3? , 集 合 B ? ? x | 1 , 则 ?x ?

A? C ? B U

。 。

3、 已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1, 则数据 a1 , 2 , 3 , 4 , 5 的方差为 a a a a 4、 “ x ? 3 ”是“ x ? 5 ”的条件。 (请在“充要”“充分不必要”“必 、 、 要不充分”“既不充分也不必要”中选择一个合适的填空) 、 。 5、 若双曲线 x ?
2

y2 ? 1? a ? 0 ? 的一个焦点到一条渐近线的距离等 a


于 3 ,则此双曲线方程为

6、 根据右图所示的流程图,输出的结果 T 为 。 7、 在 1 和 9 之间插入三个正数,使这五个数成等比数列,则插入的 三个数的和为 。

? ?y ? x ? 8、 在不等式组 ?0 ? x ? 3 ,所表示的平面区域内的所有格点(横、纵 ? 1 ?y ? x ?
坐标均为整数的点称为格点) 中任取 3 个点, 则该 3 点恰能作为一个三角形的三个顶点 的概率为 。 9、 在矩形 ABCD 中, 对角线 AC 与相邻两边所成的角为 α ,β , 则有 cos α ? cos β ? 1 。
2 2

类比到空间中的一个正确命题是:在长方体 ABCD ? A B1C1D1 中,对角线 AC1 与相邻 1 三个面所成的角为 α , β , γ ,则有 10、
2 2



已知圆 C : ? x ? a ? ? ? y ? a ? ? 1? a ? 0 ? 与直线 y ? 3x 相交于 P 、 Q 两点,若

?PCQ ? 90? ,则实数 a ?
11、 为



x 分 别 在 曲 线 y ? e 与 直 线 y ? ex? 1 上 各 取 一 点 M 与 N , 则 MN 的 最 小 值



12、

已知向量 a ,b 满足 a ?

?

?

?

? ? ? ? ? 2 , b ? 1 ,且对一切实数 x , a ? xb ? a ? b 恒成立,


则 a 与 b 的夹角大小为 13、

?

?

已 知 x , y 均 为 正 数 , θ ??

s i θn c oθs ?π π? , ? , ? , 且 满 足 x y ?4 2?


cos 2 θ sin 2 θ 10 x ? ? ,则 的值为 2 2 2 2 x y y 3? x ? y ?
14、 已知 a 为正的常数, 若不等式 1 ? x ? 1 ?

x x2 ? 对一切非负实数 x 恒成立, a 的 则 2 a

最大值为 。 二、解答题:本大题共 6 个小题,共 90 分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必 要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15、 (本小题满分 14 分) 如图,?ABC 中,B ?

π , A 的平分线 AD 交 BC 于 角 4

点 D ,设 ?BAD ? α , sin α ? (1) 求 sin ?BAC 和 sin C ;

5 ; 5

(2) 若 BA ? BC ? 28 ,求 AC 的长; 16、 (本小题满分 14 分) 已知四棱锥 S ? ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,侧面 SAB 是等边三角形, 侧面 SCD 是以 CD 为斜边的直角三角形, E 为 CD 的中点, M 为 SB 的中点。 (1) 求证: CM //平面 SAE ; (2) 求证: SE ? 平面 SAB ; (3) 求三棱锥 S ? AED 的体积; 17、 (本小题满分 14 分)

??? ??? ? ?

已 知 等 差 数 列 ?an ? 的 公 差 d 不 为 0 , 且
2 a3 ? a7 , a2 ? a4 ? a6 。

(1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,求满足 Sn ? 2an ? 20 ? 0 的所有正整数 n 的集合; 18、 (本小题满分 16 分)

如图,设 A , B 分别是椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的右顶点和上顶点,过原点 O a 2 b2

作直线交线段 AB 于点 M (异于点 A , B ) ,交椭圆于 C , D 两点(点 C 在第一象限 内) ?ABC 与 ?ABD 的面积分别为 S1 与 S2 。 , (1) 若 M 是线段 AB 的中点,直线 OM 的方程为 y ? (2) 当点 M 在线段 AB 上运动时,求

x ,求椭圆 E 的离心率; 3

S1 的最大值; S2

19、

(本小题满分 16 分)

如图所示,有两条道路 OM 与 ON , ?MON ? 60? ,现 要铺设三条下水管道 OA , OB , AB (其中 A , B 分别 在 OM , ON 上) ,若下水管道的总长度为 3km 。设

OA ? a? km , OB ? b ? km? 。 ?
(1) 求 b 关于 a 的函数表达式,并指出 a 的取值范围; (2) 已知点 P 处有一个污水总管的接口, P 到 OM 的距离 PH 为 点

3 到点 O 的 km , 4

距离 PO 为

7 问下水管道 AB 能否经过污水总管的接口点 P ?若能, 求出 a km , 4

的值,若不能,请说明理由;

20、

(本小题满分 16 分)

2 已知 a 为正的常数,函数 f ? x ? ? ax ? x ? ln x ;

(1) 若 a ? 2 ,求函数 f ? x ? 的单调增区间; (2) 设 g ? x ? ?

f ? x? ,求函数 g ? x ? 在区间 ?1,e? 上的最小值; x


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