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5同角三角函数的基本关系式(1)_图文

1.2 1.2.2

任意角的三角函数 同角三角函数的基本关系

问题提出

1.任意角的正弦、余弦、正切函数分别 是如何定义的? y sin ? ? y cos ? ? x tan ? ? ( x ? 0)

2.在单位圆中,任意角的正弦、余弦、 正切函数线分别是什么? y P MP=sinα ,
A

x

OM=cosα ,

M O T

x

AT=tanα .

3.对于一个任意角α ,sinα ,cosα , tanα 是三个不同的三角函数,从联系 的观点来看,三者之间应存在一定的内 在联系,我们希望找出这种同角三角函 数之间的基本关系,实现正弦、余弦、 正切函数的互相转化,为进一步解决三 角恒等变形问题提供理论依据.

知识探究(一):基本关系

思考1:如图,设α 是一个任意角,它 的终边与单位圆交于点P,那么,正弦 线MP和余弦线OM的长度有什么内在联 系?由此能得到什么结论?
y

MP ? OM ? 1
2 2

P
1

sin ? ? cos ? ? 1
2 2

M

O

x

思考2:上述关系反映了角α 的正弦和 余弦之间的内在联系,根据等式的特点, 将它称为平方关系.那么当角α 的终边 在坐标轴上时,上述关系成立吗?
y

P

sin ? ? cos ? ? 1
2 2

P

O

x

思考3:设角α 的终边与单位圆交于点 P(x,y),根据三角函数定义,有 y sin ? ? y , cos ? ? x ,tan ? ? x ( x ? 0) , 由此可得sinα ,cosα ,tanα 满足什 么关系? sin ? ? tan ? cos ?

思考4:上述关系称为商数关系,那么商 数关系成立的条件是多么? ? a ? k? ? ( k ? Z )
2

思考5:平方关系和商数关系是反映同一 个角的三角函数之间的两个基本关系, 它们都是恒等式,如何用文字语言描述 这两个关系?
sin ? ? cos ? ? 1
2 2

sin ? ? tan ? cos ?

同一个角的正弦、余弦的平方和等于1, 商等于这个角的正切.

知识探究(二):基本变形

思考1:对于平方关系 sin ? ? cos ? ? 1 可作哪些变形? 2 2 2 2 sin ? ? 1 ? cos ? , cos ? ? 1 ? sin ? ,
2 2
sin 2 ? ? cos2 ? ? 1

(sin

cos )

2

1

2 sin cos ,

(sin
cos sin

cos )

2

1
1

2 sin cos ,
sin cos cos 1 sin .

1

sin , 1 cos

sin ? 思考2:对于商数关系 cos ? ? tan ? 可作

哪些变形?

sin

cos

t an ,

sin ? cos ? ? . tan ?

思考3:结合平方关系和商数关系, 可得到哪些新的恒等式?
cos
2

1

1 2 t an

,

sin

2

t an 2 1 t an

2

.

思考4:若已知sinα 的值,如何求cosα 和tanα 的值? sin ? 2 . cos 1 sin , tan ? ? cos ? 思考5:若已知tanα 的值,如何求sinα 和cosα 的值?
cos 1 1 , 2 t an

sin

cos

t an .

判断正误:

对 (1)对任意角? ,sin 2 3? ? cos 2 3? ? 1都成立;
sin ? 2 (2)对任意角? , ? tan ; 错 ? 2 cos 2 (3)对任意角? , ?,有 sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1;

?

错 2 2 (4) sin ? 与 sin ? 所表达的意义相同。 错

注意:同角三角函数的两个基本关系是对同 一个角而言的,由此可以派生出许多变形公 式,应用中具有灵活、多变的特点.

理论迁移
12 3 2?) 例 1.①已知 sin ? ? ? , ? ? ( ? , ,求 cos? , tan ? 13 2

25 解 : cos ? ? 1 ? sin ? ? 169 3 5 ? ? ( ? , 2? ),? cos ? ? 2 13 sin ? 12 ? tan ? ? ?? . cos ? 5
2 2

25 5 解 : cos ? ? 1 ? sin ? ? ,? cos ? ? ? 169 13 5 sin ? 12 当 cos ? ? 时, tan ? ? ? ; 13 cos ? 5 5 sin ? 12 当 cos ? ? ? 时, tan ? ? ?? . 13 cos ? 5
2 2

3 2?) 变式:将条件“ ? ? ( ? , ”去掉,求 cos? , tan ? 2

? sin ? 3 ? ? 解 : ? cos ? 3 ?sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ?

3 例 2、已知 tan ? ? , ? 是第三象限角,求 sin ? , cos? 的值 3

?是第三象限角,
1 3 ? sin ? ? ? , cos ? ? ? . 2 2

例 2、化简求值 (1)

sin ? ? cos ? tan ? ? 1

(2) 1 ? sin 2 130

sin ? ? cos ? sin ? ? cos ? sin ? ? cos? (1) ? ? ? cos ? sin ? sin ? ? cos ? tan ? ? 1 ?1 cos ? cos ?

(2) 1 ? sin 2 1300 ? cos2 1300 ?| cos1300 |? ? cos1300

技巧:(1)切割化弦; (2)根号问题注意符号。

例 3、证明 (1) sin ? ? cos ? ? 2sin ? ? 1
4 4 2

(2) tan ? ? sin ? ? tan ? sin ?
2 2 2 2

cos ? 1 ? sin ? ? (3) 1 ? sin ? cos ?

技巧:(1)由繁到简; (2)一边推出另一边; (3)作差法;(4)两端同时化简。

同角关系式的应用

(3)证明恒等式 作差法

cos ? 1 ? sin ? ? p19例5.求证: 1 ? sin ? cos ? cos ? 1 ? sin ? 证明: ? 1 ? sin ? cos ?

比较法

cos2 ? ? (1 ? sin 2 ? ) ? (1 ? sin ? ) cos? cos2 ? ? cos2 ? ? ?0 (1 ? sin ? ) cos?

因此

cos ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? cos ?

证法二: 因为 (1 ? sin ? )(1 ? sin ? ) ? 1 ? sin

2

?

? cos2 ? ? cos? ? cos?
由原题知:

1 ? sin ? ? 0, cos? ? 0
cos ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? cos ?

恒等变形 的条件

因此

分析法

证法三: 由原题知:

cos ? ? 0 则 sin ? ? ?1
恒等变形 的条件

cos? ? (1 ? sin ? ) 原式左边= (1 ? sin ? )(1 ? sin ? )

cos ? ? (1 ? sin ? ) cos ? ? (1 ? sin ? ) ? ? 2 1 ? sin ? cos 2 ? 1 ? sin ? ? =右边 cos ?
因此

cos ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? cos ?

四、达标测试
1、 sin 2 2011? cos2 2011? ? A ?
D、不能确定 C、 2011 3 2、已知 sin ? ? ? , ?是第四象限角,则 tan ?的值为 ?C ? 4 3 7 7 3 7 7 A、 D、 C、 ? B、 7 4 7 4

2 A、 1 B、

总结:
平方关系: sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 sin ? 商数关系 : tan ? ? cos ?


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