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江西省南昌市2019届高三第一次模拟考试数学(理)试卷(扫描版)_图文

NCS20190607 项目第一次模拟测试 理科数学参考答案及评分标准 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C C B C D D A C D A A 答案 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13. 1 2 14. 3 3 15. 7 9 16. 3 3 2 三.解答题:共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17 题-21 题为必 考题,每个试题考生都必须作答.第 22 题、23 题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共 60 分. 17. 【解析】 (Ⅰ)由已知 f (0) ? 2 sin ? ? 3 , 又 | ? |? 分 由 f (2) ? 0 ,即 2sin(2? ? 解得 ? ? 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? 2 sin( ? 2 ,所以 ? ? ? 3 ,所以 f ( x) ? 2 sin(?x ? ? 3 ) ………3 ? 3 ) ? 0 ,所以 2? ? ? 3 ? k? , k ? Z , ………6 k ? ? ? ? ? , k ? Z ,而 0 ? ? ? ,所以 ? ? . 2 6 2 3 x ? ) , 令 f ( x) ? 3 , 3 3 ? ? ? ? ? 2? 得 x ? ? 2 k? ? 或 x ? ? 2k? ? ,k ?Z , 3 3 3 3 3 3 所以 x ? 6k 或 x ? 6k ? 1 ,由图可知, B(1, 3) . 分 所以 CA ? (?2, 3),CB ? (?1, 3) ,所以 | CA | ? 7 , | CB |? 2 , 分 以 cos ?ACB ? ? ? ………8 ………10 CA ? CB | CA || CB | ? 5 2 7 ? 5 7 . ……………………………………………12 分 14 18. 【解析】 (Ⅰ)证明:因为 CC1 ? 底面 ABCD ,所以 CC1 ? BD . 因为底面 ABCD 是菱形,所以 BD ? AC . 又 AC ? CC1 ? C ,所以 BD ? 平面 ACC1 .………3 分 又由四棱台 ABCD ? A1B1C1D1 知, A1 , A, C , C1 四点共面. 所以 BD ? AA ………5 分 1. (Ⅱ)如图,设 AC 交 BD 于点 O ,依题意, A1C1 // OC 且 A1C1 ? OC , 所以 A1O // CC1 ,且 A1O ? CC1 . 所以 A1O ? 底面 ABCD . 以 O 为原点, OA, OB, OA 1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系. 则 A(2 3,0), A 1 (0,0,4), C1 (?2 3,0,4), B(0,2,0) , 1 3 3 AB 得,B1 (? 3,1,4) .因为 E 是棱 BB1 的中点,所以 E (? , ,2) .………8 分 2 2 2 3 3 所以 EA ,? ,2), A1C1 ? (?2 3,0,0) . 1 ?( 2 2 ? ? 2 3x ? 0, ? ?n1 ? A1C1 ? 0, ? 设 n1 ? ( x, y, z) 为平面 EA ,即 ? 3 , 3 1C1 的法向量,则 ? x ? y ? 2z ? 0 ? ? n1 ? EA1 ? 0 ? 2 ? 2 由 A1 B1 ? 取 z ? 3 ,则 n1 ? (0,4,3) . 所以 cos ? n1 , n2 ?? 又因为 n2 ? (0,1,0) 为平面 A1C1C 的法向量, n1 ? n2 | n1 || n2 | ? 4 , 又由图可知,二面角 E ? A1C1 ? C 为锐二面角, 5 4 . 5 ……………………………………………12 分 所以二面角 E ? A1C1 ? C 的余弦值为 19. 【解析】 (Ⅰ) 由频率分布直方图可知,B 型节能灯使用寿命超过 3600 小时的频率为 0 .2 , 用频率估计概率,得 B 型节能灯使用寿命超过 3600 小时的概率为 所以一年内一支 B 型节能灯在使用期间需更换的概率为 所 1 . 5 ………3 分 以 一 年 内 5 支 恰 好 更 换 支 灯 的 概 率 为 4 1 32 C52 ( ) 2 ? ( )3 ? .. ………5 分 5 5 625 (Ⅱ)共需要安装 5 支同种灯管, ?3 若选择 A 型节能灯,一年共需花费 5 ?120 ? 3600 ? 5 ? 20 ? 0.75 ?10 ? 870 元;………7 分 若选择 B 型节能灯,由于 B 型节能灯一年内需更换服从二项分布 B (5, ) , 故一年需更换灯的支数的期望为 5 ? 分 故一年共需花费 (5 ? 4 , . 5 了 2 4 5 4 ? 4 支, 5 ………9 4 5) ? 25 ? 3600 ? 5 ? 55 ? 0.75 ?10 ?3 ? 967.5 元 . 5 ………11 分 因为 967.5 ? 870 ,所以该商家应选择 A 型节能灯. ………………………………………12 分 2 2 2 20. 【解析】 (Ⅰ)椭圆 E 与圆 O : x ? y ? 1相切,知 b ? 1 ; ……………………………2 分 又椭圆 E 上动点与圆 O 上动点间距离最大值为 2? 6 ,即椭圆中心 O 到椭圆最远距离为 2 6 , 2 得椭圆长半轴长 a ? 所 2 3 6 2 ,即 a ? ; 2 2 轨 迹 以 E 的 方 程 为 2x ? y 2 ? 1 . ……………………………………………………………5 分 3 (Ⅱ)①当 l1 与