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湖南师范大学附属中学高一数学 正弦函数、余弦函数的性质之—定义域与值域教案

湖南师范大学附属中学高一数学教案:正弦函数、余弦函数的性质之—定义域 与值域
教材:正弦函数、余弦函数的性质之——定义域与 值域 目的:要求学生掌握正、余弦函数的定义域与值域,尤其能灵活运用有界性求函数的最值和值域。 过程:一、复习:正弦和余弦函数图象的作法

二、研究性质: 1. 定义域:y=sinx, y=cosx 的定义域为 R 2. 值域: 1?引导回忆单位圆中的三角函数线,结论:|sinx|≤1, |cosx|≤1 (有界性) 再看正弦函数线(图象)验证上述结论 ∴y=sinx, y=cosx 的值域为[-1,1] 2?对于 y=sinx 当且仅当 x=2k?+

? k?Z 时 ymax=1 2

当且仅当时 x=2k?-

? k?Z 时 ymin=-1 2

对于 y=cosx 当且仅当 x=2k? k?Z 时 ymax=1 当且仅当 x=2k?+? k?Z 时 ymin=-1 3. 观察 R 上的 y=sinx,和 y=cosx 的图象可知 当 2k?<x<(2k+1)? (k?Z)时 y=sinx>0 当(2k-1)?<x< 2k? (k?Z)时 y=sinx<0 当 2k?当 2k?+

? ? <x<2k?+ 2 2 ? 3? <x<2k?+ 2 2

(k?Z)时 y=cosx>0 (k?Z)时 y=cosx<0

三、例题: 例一 (P53 例二)略 例二 直接写出下列函数的定义域、值域: 1? y=
1 1 ? sin x

2? y= ? 2 cos x

解:1?当 x?2k?2 ?x?[2k?+

? 1 k?Z 时函数有意义,值域:[ , +∞] 2 2 ? 3? , 2k?+ ] (k?Z)时有意义, 值域[0, 2 2
2]

例三 求下列函数的最值: 1? y= sin(3x+

? )-1 4

2? y=sin x-4sinx+5
2

3? y=

3 ? cos x 3 ? cos x

1

解:1? 当 3x+ 当 3x+

? ? 2k? ? =2k?+ 即 x= (k?Z)时 ymax=0 ? 4 2 3 12

? ? 2k? ? =2k?- 即 x= (k?Z)时 ymin=-2 ? 4 2 3 4
2

2? y=(sinx-2) +1 ∴当 x=2k?当 x=2k?3? y=-1+

? k?Z 时 ymax=10 2

? k?Z 时 ymin= 2 2
k?Z 时 ymax=2
1 2

1 当 x=2k?+? 3 ? cos x

当 x=2k? k?Z 时 ymin= 例四、函数 y=ksinx+b 的最大值为 2,
? k ?b ? 2 ?k ?3 ?? 解:当 k>0 时 ? ?? k ? b ? ?4 ?b ? ?1

最小值为-4,求 k ,b 的值。

当 k<0 时 ?

?? k ? b ? 2 ? k ? 3 ?? (矛盾舍去) ? k ? b ? ?4 ?b ? ?1

∴k=3 b=-1 例五、求下列函数的定 义域: 1? y= 3 cos x ?1 ? 2 cos2 x
2

2? y=lg(2sinx+1)+ 2 cos x ? 1 ∴
1 ≤cosx≤1 2

3? y= cos(sinx)

解:1? ∵3cosx-1-2cos x≥0 ∴定义域为:[2k?-

? ? , 2 k?+ ] (k?Z) 3 3

? 7? 1 ? ? ?2k? ? 6 ? x ? 2k? ? 6 ?sin x ? ? 2 2? ? ?? (k ? Z ) 1 ? ? ? cos x ? ? 2k? ? ? x ? 2k? ? 2 3 3 ? ?
? 2k? ?

?
6

? x ? 2k? ?

?
3

(k ? Z )

∴定义域为: (2k? ?

?

,2k? ? ](k ? Z ) 6 3

?

3? ∵cos(sinx)≥0 ∴ 2k?∵-1≤sinx≤1 ∴x?R

? ? ≤x≤2k?+ (k?Z) 2 2
cos1 ≤y≤1

四、小结:正弦、余弦函数的定义域、值域 五、作业:P56 练习 4 《精编》P86 11 P 57-58 习题 4.8 P87 2、9 25、30、31

2


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