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2013年数学高考总复习重点精品课件:圆的方程 75张


走向高考· 数学
人教B版 ·高考一轮总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第八章

平面解析几何

第八章

平面解析几何

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第八章
第二节 圆 的 方 程

第八章

平面解析几何

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基础梳理导学

3

考点典例讲练

思想方法技巧

4

课堂巩固训练

5

课后强化作业

第八章

第二节

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基础梳理导学

第八章

第二节

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重点难点

引领方向

重点:圆的方程、点与圆的位置关系. 难点:垂径定理的应用、圆的方程求法.

第八章

第二节

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夯基 实础 1.圆 方 的程

稳根 固基

1. 的 准 程 圆 圆标方:心 -a)2+(y-b)2=r2.

(a,b), 径 半为

r 的方为 圆程

(x

2.圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中 D2+E2 D E 1 2 -4F>0), 心 (- 2 , 2 ), 径 r=2 D +E2-4F. 圆 - 半

第八章

第二节

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2.二 二 方 表 圆 条 元次程示的件 Ax2 +By +Cy2 +Dx+Ey+F=0 表 圆 充 条 是 x 示 的 要 件 ?A=C≠0 ? ?B=0 ?D2+E2-4AF>0 ?

.

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3.点 P(x0,y0)与 (x-a)2+(y-b)2=r2 的位 关 : 圆 置系 () 当(x0-a)2+(y0-b)2>r2 时 则 1 ,点 () 当(x0-a)2+(y0-b)2=r2 时 则 2 ,点 () 当(x0-a)2+(y0-b)2<r2 时 则 3 ,点 P 在 _____. 圆 外

上 P 在 ___ . 圆 __
P 在 ______. 圆 内

第八章

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疑误 难区

点警 拨示

1. 决 关 迹 题 , 注 所 得 迹 程 示 解有轨问时要意求轨方表的 曲上点否是足设求轨上点 线的是都满题要的迹的. 2. 圆 关 最 问 , 特 注 是 个 周 的 , 与 有 的 值 题要 别 意 整 圆 上 点 还一圆上点 是段弧的. 3. 定 的 程 须 三 独 条 , 题 要 意 确圆方必有个立件解时注通 过析足件列相的程 分找条,出应方.

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思想方法技巧

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一、数形结合思想 在解决与圆有关的最值问题时,主要借助圆的几何性质, 用数形结合的方法求解. 1.圆上点到定点 P 的距离的最大(小)值:连结圆心 C 与 P 交圆于两点为最大(小)值点.

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第二节

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() 点 P 在⊙C 内 过 1 ,点 圆 ), 短 为 心 最的 点P距 最 , 离小点

P 的⊙C 的 中 最 的 弦 ,长 为

EF(过 E到

AB(AB⊥EF), ⊙C 上 有 中 点 在 所点, F到 P距 最 . 点 离大 E、F, 上 有 中 圆所点到

() 点 P 在⊙C 外 PC 与 交 2 , 圆于

点P距 最 离 大 (小)的 为 F(E), 点 P 可 两 直 点 过 作条线 与⊙C 相 , 切则 PC 为∠APB 的 分 , 平线 PC 垂 平 直分

PA、PB AB.

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2. 上 点 定 线 距 最 : 圆 向 线 垂 圆的到直的离值由心直作线 与圆两交点为最值点. 直线 l 与⊙C 外离,PC⊥l 交⊙C 于 A、B, 在 ⊙C 上到 则 直线 l 距离最大(小)的点为 B(A).

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二等转思 、价化想 已 点 P(x,y)为 上 点 知 圆动 y-b () 形如 1 的 值 化动 线 斜 求 , 般 相 最 转 为 直 的 率 解 一 在 x-a 切置最. 位取值 () 形 ax+by 的 值 一 设 2 如 最,般 u=ax+by, 化 动 转为直

线截问.判式求,在切置最. 的距题用别法解或相位取值

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() 形如(x-a)2+(y-b)2 的 值 化 动 到 点 距 3 最转为点定的离 问或 题 设 (x-a)2+(y-b)2=k2, 化 两 有 共 时 转为圆公点, 取范问. 值围题 k的

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考点典例讲练

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圆的一般方程

[例 1]

(01 21·

福建质检)已知圆 x2+y2+Dx+Ey=0 的圆 )

心在直线 x+y=1 上 则 D 与 E 的关系是( , A.D+E=2 C.D+E=-1 B.D+E=1

D.D+E=-2

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解析:依 意 , 心 题得圆

D E (- ,- )在直线 x+y=1 上 因 , 2 2

D E 此有- 2 - 2 =1,即 D+E=-2,选 D.

答案:D

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点评:要熟练由圆的一般方程求出圆心坐标和半径.

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(文)过 点 O 作 x2+y2-6x-8y+2 =0 的 条 线 原 圆 0 两切 OB,A、B 为 点 则 段 切,线 AB 长 ____ 为 ____ .

OA、

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解析: 将圆化为标准方程(x-3)2+(y-4)2=5, 圆心 C(4 3) , 半径为 r= 5,|CO|=5, ∴切线长|OA|=2 5, 1 1 由 |OA| CA|= |OC|· |· d,得 d=2, 2 2 ∴弦长|AB|=2d=4.



答案:4

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(理)02 ( 1· 2

云南一检)若 线 C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4 曲 )

=0 上所有的点均在第二象限内,则 a 的取值范围为( A.(-∞,-2) C.(1,+∞) B.(-∞,-1) D.(2,+∞)

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解析:将⊙C 化为标准方程得, (x+a)2+(y-2a)2=4, ∴圆心 C(-a,2a),半径 r=2, > ?|-a|2 , ? ?|2a|2 , > 由条件知,? ?-a<0, ?2a>0, ?

∴a>. 2

答案:D

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圆的标准方程

[例 2]

若圆 C 的 径 半为

1, 心 第 象 , 与 线 圆 在 一 限且 直 ( )

4x-3y=0 和 x 轴 相 , 该 的 准 程 都切则圆标方是 A.(x-3)
2

? 7?2 +?y-3? =1 ? ?

B.(x-2)2+(y-1)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1
? 3?2 D.?x-2? +(y-1)2=1 ? ?

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分析: 由⊙C 的半径为 1 及与 x 轴 切圆 在 一 限 相 ,心 第 象 , 可知圆心纵坐标为 1,可设出圆心坐标,利用⊙C 与直线 4x -3y=0 相切列方程求解.

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解析:依题意设圆心 C(a,1 a>) ,由圆 C 与 线 4x-3y ) 0 ( 直 |4a-3| =0 相切得, =1,解得 a=2,则圆 C 的 准 程 标方是 5 -2)2+(y-1)2=1,故选 B. (x

答案:B

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点评:1.本题可用淘汰法求解. 2. 圆 方 时 常 要 所 条 恰 翻 , 数 求的程,常将给件当译用学 语言加以表达.如 () 圆过点 A,则点 A 的 标 入 的 程 定 立 1 坐代圆方一成. () 圆过两点 A、B, 线 2 则段 AB 的中垂线过圆心.

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() 圆心在直线 l 上,(一)可设出圆心坐标;(二)可考虑圆 3 心是否在另一条直线 l′上,由 l 与 l′方 联 求 心 程立圆. () 圆与直线 l 相切,则(一)d=r;(二)Δ=0.应 别 意 4 特注圆 与直线 l 相切于点 P 的含义. () 圆 C 截直线 l 得弦 AB,则半弦 2+弦心距 2=半径 2. 5

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(文)01 ( 1· 2 心 x轴 , 在 上则

辽文 宁 , 1) 已 圆 C 经 A(1 3 知 过 5) , C的 程 方 为 ____ ____ .

,B(3 1) ,

两, 点圆

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解析:设圆心坐标为(a,0), 有 则 : (a-5)2+12=(a-1)2+ 32 解得:a=2 半径 r= ?2-5?2+12= 10,

故圆的方程为(x-2)2+y2=10.

答案:(x-2)2+y2=10

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(理)02 ( 1· 2

潍坊模拟)当 a 为任意实数时,直线(a-1)x-y 5的圆的方程

+a+1=0 恒过定点 C, 以 C 为 心 半 为 则 圆 ,径 为( )

A.x2+y2-2x+4y=0 B .x2+y2+2x+4y=0 C.x2+y2+2x-4y=0 D .x2+y2-2x-4y=0

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解析: 由(a-1 x-y+a+1=0 得(x+1 a-(x+y-1 =0, ) ) ) ∴ 该直线恒过点(-1) ,∴所求圆的方程为(x+1 2+(y-2 2=5 2 , ) ) .

答案:C

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点与圆的位置关系

[例 3]

已知圆 C:2+y2+ax+2y+a2=0 和定点 A(2 x 1) ,



要使过点 A 的圆 C 的 线 两 , 实 切有条则数 ( ) 2 3 2 3 A.(- , ) 3 3 C.(-∞,+∞) 3 3 B.(- , ) 3 3 D.(0,+∞)

a 的取值范围是

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解析:解法 1:由条件知,点 A 在圆外, ∴12+22+a+2×2+a2>0,∴a2+a+90 ,∴a∈R, > 又方程表示圆,∴a2+4-4a2>0, 2 3 2 3 ∴- <a< ,故选 A. 3 3

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解法 2: 过 方 得 的 准 程 通配可圆标方为 4-3a2 据 意点 4 .依 题 , A(2 1) , 在 外得 圆,

a2 (x+ ) +(y+1)2= 2 a2 2 4-3a (1+2) +(2+1) > 4
2

2 3 2 3 >0,解得实数 a 的取值范围是(- 3 , 3 ).

答案:A

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已知两点 A(1,-2),B(-4,-2)及下列四条曲线: ①4x+2y=3 ②x2+y2=3 ③x2+2y2=3 ④x2-2y2=3 其中曲线上存在点 P,使|PA|=|PB|的曲线有( A.①③ C.①②③ B.②④ D.②③④ )

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解析:∵|PA|=|PB|,∴P 点在线段 AB 的垂直平分线上, 3 易知线段 AB 的垂直平分线 l 的方程为 x=-2, 图 与 线 画知直 l 有公共点的曲线有①②③,故选 C.

答案:C

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[例 4]

已 圆 x2+y2=4,过点 A(0 知 4) , )

作的线 圆割

ABC,

则弦 BC 中点的轨迹方程为( A.(x-1) +y =4 B.(x-1)2+y2=4 C.(x-2) +y =4 D.(x-2)2+y2=4
2 2 2 2

? 1? ?-1≤x< ? 2? ?

(0≤x<) 1
? 1? ?-1≤x< ? 2? ?

(0≤x<) 1

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分析:直线过点 A, 设 点 式 程 圆 程 立 由 可出斜方与方联, 韦达定理可得出 B、C 坐 关 , 标系设 P(x,y), 由 A、B、C、 可 k 不存在

P 共线得 kAP=kBC,消去斜率 k 可 轨 方 , 意 得迹程注 的情形.

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解析:设割线的方程为 y=k(x-4), 设 BC 中点的坐标为 再 y 1 (x,y),则x=- k, 代入 y=k(x-4)消去 k 得,(x-2 2+y2=4 ) . 画出图形易知轨迹应是在已知圆内的部分, x 的取值范围 且 是 0≤x<. 故选 D. 1

答案:D

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点评:求动点 M 的 迹 程 , 轨 方 时设 条件找 x、 满 的 系 .果 y 足 关 式如 点 而点 A 在已知曲线 C 上 这 将 ,时 的方程,即得 M 点的轨迹方程.

M(x,y), 后 合 知 然结已 A 的运动, C

M的 动 赖 点 运依于

A 的坐标用 x、y 表 , 入 示代

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(01 21·

海检 淀 测 )点 P(4, 2 与 x2+y2=4 上 一 连 - ) 圆 任点线 ( )

的点轨方是 中的迹程

A.(x-2 2+(y+1 2=1 ) ) B.(x-2)2+(y+1 2=4 ) C.(x+4 2+(y-2 2=4 ) ) D.(x+2 2+(y-1 2=1 ) )

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解析:设圆上任一点为 Q(x0,y0),PQ 的 点 中为 ? 4+x0 ?x= , 2 ? 则? ? -2+y0 ?y= 2 . ?
?x =2x-4, ? 0 解得? ?y0=2y+2. ?

M(x,y),

因为点 Q 在圆 x2+y2=4

2 上,所以 x0+y2=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,即(x-2)2+(y 0

+1)2=1.

答案:A

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与圆有关的最值问题

[例 5]

已实 知数

x、y 满足方程 x2+y2-4x+1=0.求

y () 的最大值和最小值; 1 x () y-x 的最小值; 2 () x2+y2 的最大值和最小值. 3

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解析:) 如 , 程 ( 1 图方 心,以 3为半径的圆.

x2+y2-4x+1=0 表示以点(0 2) ,

为圆

y 设x=k,即 y=kx, 圆 则 心 (0 )到直线 y=kx 的 离 半 2 , 距为 径时直线与圆相切,斜率取得最大、最小值.

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|2k-0| 由 2 = 3,解得 k2=3, k +1 所以 km = 3,km =- 3. x a n i () 设 y-x=b,则 y=x+b,当且仅当直线 y=x+b 与圆 2 切于第四象限时,截距 b 取最小值.由点到直线的距离公式, |2-0+b| 得 = 3,即 b=-2± 6, 2 故(y-x)m =-2- 6. n i

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() x2+y2 是圆上点与原点的距离的平方,故连接 OC,与 3 圆交于 B 点,并延长交圆于 C′,则 (x2+y2)m =|OC′|2=(2+ 3)2=7+4 3, x a (x2+y2)m =|OB|2=(2- 3)2=7-4 3. n i

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点评:1.也可由平面几何知识,有 OC=2,CP= 3,∠ P C =60° O ,直线 OP 的倾斜角为 60° ,直线 OP′的倾斜角为 10 2° . 2. 确 握 些 数 达 的 何 准把某代表式几意 的关键. 义解此问 是决类题

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(文)若实数 x,y 满足(x+5 2+(y-1) 2=1 ,则 x2+y2 的最 ) 2 6 小值是____ ____ .

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解析:易知 x2+y2 的最小值即为圆(x+5)2+(y-12)2=16 上 点 原 的 离 小 的 方 即 的 到 点 距 最 值 平 , 为 =81. ( ?-5?2+122-4)2

答案:81

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(理)02 ( 1· 2 点过 ,点

河保模 北定拟

)设 P 为直线 3x+4y+3=0 上的动

P 作圆 C:x2+y2-2x-2y+1=0 的 条 线 切 两切,点 PA B 的面积最小时,∠APB=( C B.45° D.120° )

分别为 A,B, 四 形 则边 A.6° 0 C.3° 0

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解析:⊙C:(x-1)2+(y-1)2=1,∵PA、PB 是⊙C 的两 条切线, ∴△PC A △PBC, ∴四边形 PC AB 面最, 积 小即 △PC A

面积最小,∵AC 为⊙C 的半径,∴只要 PA 取最小值,从而 PC 取最小值,∴PC 与 知 线 直 已直垂, ∴|PC|=2,∴∠APB=2∠APC=6° 0 .

答案:A

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圆与其他知识交汇

[例 6]

过点 A(1) 1, 2

作圆 x2+y2+2x-4y-164=0 的弦, ) C.32 条 D.34 条

其中弦长为整数的共有( A.16 条

B.17 条

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解析:∵圆 x2+y2+2x-4y-164=0 的标准方程为:(x+ 1)2+(y-2)2=132, 此 是 个 点 即圆一以 =13 为半径的圆. ∵|OA|=12,而 R=13,经过 A 点且垂直于 OA 的弦是经 过 A 点的最短的弦,∴其长度为 2 132-122=10; 经 而过 点的最长的弦为圆的直径 2R=26; A O(-1,2)为圆心,以 R

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∴经过 A 点且为整数的弦长还可以取 1,2345 1111 1, , , 25 共 15 个 , 由 圆 弦 对 性 经 某 点 弦 长 值又于内的称,过一的的 若介于最大值与最小值之间, 则一定有 2 条 而 长 与 短 ,最 弦 最 弦各只有 1 条,故一共有 15×2+2=32 条.

, …,

答案:C

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x y 已直 知 线 a+b=1 a、b 是 零 数 ( 非常

)与 x2+y2=10 有 圆 0 公

共,公点横标纵标为数那这的线 点且共的坐和坐均整,么样直 共 ( 有 ) B.6 条 6 D.7 条 8

A.6 条 0 C.7 条 2

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解析: 在第一象限内圆 x2+y2=100 上 整 点 有 的数只 (6 8) , ,又点(0) 10 , ,(1) 00 , 在圆上,

(8 6) ,



∴由对称性知 x2+y2=100 上横、纵坐标均为整数的点共 有 12 个. 过这 12 个点的圆 x2+y2=100 的切线有 12 条,割线有 11×12 2 =66 条,共 78 条.

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其中垂直于坐标轴的有 14 条,过原点与坐标轴不垂直的 有 4 条,∴共有 78-18=60 条.

答案:A

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课堂巩固训练

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一、选择题 1.(02 21· 乌鲁木齐二诊)已知直线 3x+4y-24=0 与坐标

轴 两 交 及 标 点 在 个 上 则 圆 半 是 的 个 点 坐 原 都 一 圆 , 该 的 径 ( ) A.3 C.5 B.4 D.6

[答案] C

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[解析] A(0 8) , ,B(6 0) ,

直线 3x+4y-24=0 与 标 的 个 点 坐 轴 两 交 为 ,题 由知 AB 为圆的直径,且|AB|=10,

∴圆的半径是 5.

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2.已知圆 C 的方程为 x2+y2+2x-2y+1=0,当圆心 C 到直线 kx+y+4=0 的 离 大 , 距最时 1 A.3 1 C.-3 1 B.5 1 D.-5 k 的值为( )

[答案] D

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[解析]

圆 C 的程化 方可为

(x+1)2+(y-1)2=1,所以圆 kx+y+4=0 恒 点 A(0,-4), 过 CA 应

心 C 的坐标为(-1,1), 直 又线

所以当圆心 C 到直线 kx+y+4=0 的 离 大 , 线 距 最 时直

1 垂直于直线 kx+y+4=0,线 CA 的斜率为-5,以 直 所 - k= , 5 1 k=-5.

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3.(文)一束光线从点 A(-1,1)出发经 x 轴 射 圆 反到 -2)2+(y-3)2=1 上的最短路程是( A.4 C.3 2-1 B.5 D.2 6 )

C:(x

[答案] A

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[解析]

如,出 图作

A 关于 x 轴的对称点 B,最短路程是

BD=BC-r=4.

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(理)圆心在抛物线 y2=2x(y>) 上 并 与 物 的 线 0 ,且 抛 线 准 及 x 轴都相切的圆的方程是( 1 A.x +y -x-2y-4=0
2 2

)

B.x2+y2+x-2y+1=0 C.x2+y2-x-2y+1=0 1 D.x +y -x-2y+ =0 4
2 2

[答案] D

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[解析]

1 抛 线 y =2x(y>) 的准线为 x=- ,与 物 物 0 圆抛线 2
2

的准线及 x 轴 相 , 圆 在 线 都切则心直 =2x(y>) 联 可 圆 的 标 0 立得心坐为

1 y=x+2(y>) 上 与 0 ,
?1 ? ? ,1?,半径为 ?2 ?

y2

1,则方程为

? 1?2 1 2 2 2 ?x- ? +(y-1) =1,即 x +y -x-2y+ =0. 2? 4 ?

第八章

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二、填空题 4.(文)01 ( 1· 2 河省阳研 南濮调 )与直线 3x+4y+3=0 相切

3 且 圆 心 在 曲 线 y = x (x>) 上 的 面 积 最 小 的 圆 的 方 程 为 0 ________.

32 [答案] (x-2) +(y- ) =9 2
2

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[解析]

设心标 圆坐为

3 (a, )(a>) , 0 a

12 |3a+ a +3| 3 则圆心到直线 3x+4y+3=0 的距离 d= =5(a 5 4 3 + +1)≥ (4+1)=3, 号 且 当 等当仅 a 5 此圆坐为 时心标 32 -2) +(y- ) =9. 2
2

a=2 时成立. (x

3 (2,2),半径为 3, 所 圆 方 为 故求的程

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(理)01 ( 1· 2

长市研 春调

)若 上 点 圆的

A(3 2) ,

关直 于线

x+2y

=0 的对称点仍在圆上,且圆与直线 x-y+1=0 相交所得的 弦长为 2 2,则圆的方程是________.

[答案] (x-6)2+(y+3)2=52 或(x-14)2+(y+7)2=244

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[解析]

设的程 圆方为

(x-a)2+(y-b)2=r2, A(3 点 2) ,

关于

直线 x+2y=0 的对称点仍在圆上,说明圆心在直线 x+2y=0 上,即有 a+2b=0,根据题意可得 ?a+2b=0, ? ??2-a?2+?3-b?2=r2, ? ? 2 a-b+1 2 ? =2. ?r -? 2 ? ?a=6, ? 解得?b=-3, ?r2=52. ?



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?a=14, ? ?b=-7, ?r2=244. ? 所 圆方为 求的程 =244. (x-6)2+(y+3)2=52 或(x-1) 2+(y+7)2 4

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