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江苏省海安高级中学2013届高三12月数学试卷


1. 复数 z ?

2i (i 为虚数单位)的实部是 1? i



. 【答案】—1 ▲ . 【答案】{1,2,3}

2. 集合 A ? 3, 2 a , B ? ?a, b? ,若 A ? B ? ?2? ,则 A ? B ?

? ?

3. 已知等比数列 ?an ? 的各项都为正数,它的前三项依次为 1,a+1,2a+5,则数列 ?an ? 的 通项公式 an ? ▲ . 【答案】 3n?1 ▲ . 【答案】 ? 15 4 ▲ . 【答案】 ▲

4. 若 ? ? π , π ,且 sin 2? ? 1 ,则 cos ? ? sin ? 的值是 16 4 2

? ?

5. 设 a , b, c 是单位向量,且 a ? b ? c ,则向量 a,b 的夹角等于

? 3

6. 若函数 y ? ln x ? 2 x ? 6 的零点为 x0 ,则满足 k ? x0 的最大整数 k =

. 【答案】2

7. 定义在 R 上的可导函数 y ? f ? x ? 满足 f ? x ? 5? ? f ? ? x ? , 2 x ? 5? f ? ? x ? ? 0 . 已知 x1 ? x2 , ? 则“ f ? x1 ? ? f ? x2 ? ”是“ x1 ? x2 ? 5 ”的 ▲ 条件. 【答案】充分必要

8. 已知函数 f ? x ? ? x3 ? ax2 ? bx ? c 的图象过点 A(2,1) ,且在点 A 处的切线方程 2x—y + a = 0,则 a + b + c= ▲ . 【答案】0

9. 在平面直角坐标系中,两条平行直线的横截距相差 20,纵截距相差 15,则这两条平行 直线间的距离为 ▲ . 【答案】12 10.半径为 4 的球面上有 A、B、C、D 四点,且满足 AB⊥AC,AC⊥AD,AD⊥AB,则
S?ABC ? S?ACD ? S?ADB 的最大值为(S 为三角形的面积)



. 【答案】32

? 3x ? y ? 0 ??? ??? ? ? ? ? OP ??? 11.已知 A 3, 3 , 是原点, P 的坐标为 y) O 点 (x, 满足条件 ? x ? 3 y ? 2 ? 0 ,则 z ? OA ? ? | OP | ?y ? 0 ? ? 的取值范围是 ▲ . 【答案】 ? ?3,3?

?

?

12.若对任意 x, y ??1,2? ,x y=2,总有不等式 2—x≥ a 成立,则实数 a 的取值范围是 4? y ▲ . 【答案】a≤0 13.给出下列四个命题: ①“k =1”是“函数 y ? cos2 kx ? sin2 kx 的最小正周期为 π ”的充要条件; ② 函数 y ? sin 2x ? π 的图像沿 x 轴向右平移 π 个单位所得的图像的函数表达式是 6 6
y ? cos 2 x ;

?

?

③ 函数 y ? lg ax 2 ? 2ax ? 1 的定义域为 R,则实数 a 的取值范围是(0,1) ;
??? ? ??? ???? ? ④ 设 O 是△ABC 内部一点,且 OA ? 2OB ? OC ? 0 ,则△AOB 和△AOC 的面积之比为

?

?

. (写出所有真命题的序号) 【答案】④ x 1 14.定义在 R 上的函数满足 f (0) ? 0 , f ? x ? ? f ?1 ? x ? ? 1, f ( ) ? f ? x ? ,且当 0 ? x1 ? x2 ? 1 5 2 时, f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则 f ( 15. (本大题满分 14 分) 如图,A、B 是海面上位于东西方向相距 5 3 ? 3

1:2; 其中真命题的序号是



1 )? 2012



. 【答案】 1 32

?

?

海里的两个观测点,现位于 A 点北偏东 45? ,B 点北偏 西 60? 的 D 点有一艘轮船发出求救信号, 位于 B 点南偏 西 60? 且与 B 点相距 20 3 海里的 C 点救援船立即前往 营救,其航行速度为 30 海里/小时,该救援船到达 D 点 需要多长时间? 【答案】由题意知 AB = 5 3 ? 3 海里,
?DBA ? 90? ? 60? ? 30? , ?DAB ? 90? ? 45? ? 45? ,

?

?

∴ ?ADB ? 180? ? 45? ? 30? ? 105? .在 ?ABD 中,由正弦定理得:
DB AB ? ,∴ DB ? AB ? sin ?DAB ? sin ?DAB sin ?ADB sin ?ADB

?

?

5 3 ? 3 ? sin 45? sin105?

?

?

? 10 3 (海里)

又 ?DBC ? ?DBA ? ?ABC ? 30? ? 90? ? 60? ? 60? , BC ? 20 3 (海里) 在 ?DBC 中,由余弦定理得:
CD2 ? BD2 ? BC 2 ? 2BD ? BC ? cos ?DBC ? 300 ? 1200 ? 2 ? 10 3 ? 20 3 ? 1 ? 900 2

?

?

∴ CD ? 30 (海里) ∴需要的时间 t ? 30 ? 1 (小时) 30 故救援船到达 D 点需要 1 小时.

16.如图, M , N , K 分别是正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱 AB, CD, C1D1 的中点. D1 (1)求证: AN //平面 A1MK ; (2)求证:平面 A1B1C ? 平面 A1MK . 【答案】 (1)证明:连结 NK. 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, A1 B1 K C1

?四边形 AA1 D1 D, DD1C1C 都为正方形,
? AA1 // DD1 , AA1 ? DD1 ,
A

D

N

C

M

B

C1 D1 // CD, C1 D1 ? CD.
? N , K 分别为 CD, C1 D1 的中点,

? DN // D1 K , DN ? D1K . ? DD1KN 为平行四边形. ? KN / DD1 , KN ? DD1. ? AA1 // KN , AA1 ? KN . ? AA1 KN 为平行四边形.? AN // A1K . ? A1 K ? 平面 A1MK , AN ? 平面 A1MK ,
? AN // 平面 A1MK .

D1

K

A1

B1

D

N

A

M

B

(2)连结 BC1. 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB // C1D1 , AB ? C1D1.

? M , K 分别 AB, C1 D1 中点,? BM // C1 K , BM ? C1K .

?四边形 BC1KM 为平行四边形.? MK // BC1.
在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, A1 B1 ? 平面 BB1C1C , BC1 ? 平面 BB1C1C,

? A1 B1 ? BC1. ? MK // BC1 ,? A1B1 ? MK . ? BB1C1C 为正方形,? BC1 B1C. M K? B . 1 C

? A1 B1 ? 平面 A1 B1C , B1C ? 平面 A1 B1C , A1B1 ? B1C ? B1 ,

?MK ? 平面 A1B1C. ?MK ? 平面 A1MK ,?平面 A1MK ? 平面 A1B1C.
17.如图:在平面直角坐标系中,锐角 ? 和钝角 ? 的终边分别与单位圆交于 A、B 两点. (1)若 A、B 两点的纵坐标分别为 4 、 12 ,求 cos ? ? ? ? ? 的值; 5 13 ??? ???? ? (2)已知点 C ?1, 3 ,求函数 f ?? ? ? OA ? OC 的值域.
y

?

?

B

A
x

【答案】

O

4 12 , sin ? ? . 5 13 3 12 又 ? 是锐角,所以 cos ? ? .由 sin ? ? ; 5 13 5 因为 ? 是钝角,所以 cos ? ? ? . 13 5 1 3 3 4 2 3 所以 c ? o ss s ?) ? ? o ) s s ? c? i ( ? ? . ( c o i n? n 1 1 6 3 3 5 5 5 ? ? ? ? ?? ? ? (2)由题意可知, O (o , , O ?? 3 . A c ?n) C ( 1 ) ? s s? i ,
(1)根据三角函数的定义,得 sin ? ?

? ?? ? ? ?
?? ?? ?? ??

所以 f )O ? i ? ? ( ) , ( ??C s c 2 ? A O3 n o s s i n 因为 0 ? ? ?

?

? ?? ? 6

? ? ? ? 1 ? 3 ,所以 ? ??? ? , ? ? i ( ? )? sna 2 6 6 3 2 6 2 ???? ? ? ? ? 从而 ?? ( ) 3 1 f ?? ,因此函数 f( ) O O的值域为 (?1 3) . ?? A C ? ,
18.已知 O 为平面直角坐标系的原点,过点 M ? ?2,0 ? 的直线 l 与圆 x2 ? y 2 ? 1 交于 P、Q 两

??? ???? ? 1 点. (1)若 OP ? OQ ? ? ,求直线 l 的方程; 2 (2)若 ?OMP 与 ?OPQ 的面积相等,求直线 l 的斜率.
【答案】 (1)依题意,直线 l 的斜率存在,

因为 直线 l 过点 M (?2,0) ,可设直线 l : y ? k ( x ? 2) . 因为 P, Q 两点在圆 x2 ? y 2 ? 1 上,所以 OP ? OQ ? 1,

??? ?

????

??? ???? ??? ???? ? ? 1 1 ,所以 OP ? OQ ? OP ? OQ ? cos ?POQ ? ? . 2 2 1 所以 ?POQ ? 120? 所以 O 到直线 l 的距离等于 . 2
因为 OP ? OQ ? ? 所以

??? ???? ?

| 2k |

1 ? , k 2 ?1 2

得k ? ?

15 . 15

所以 直线 l 的方程为 x ? 15 y ? 2 ? 0 或 x ? 15 y ? 2 ? 0 . (2)因为 ?OMP 与 ?OPQ 的面积相等,所以 MQ ? 2MP , 设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,所以 MQ ? ( x2 ? 2, y2 ) , MP ? ( x1 ? 2, y1 ) . 所以 ?

???? ?

????

???? ?

????

? x2 ? 2 ? 2( x1 ? 2), y 2 ? 2 y1, ?

即?

? x 2 ? 2( x1 ? 1), ? y 2 ? 2 y1.

(*)

因为

? x1 2 ? y1 2 ? 1, P , Q 两点在圆上,所以 ? 2 2 ? x 2 ? y 2 ? 1. ? x1 ? y1 ? 1, 2 2 ?4( x1 ? 1) ? 4 y1 ? 1.
2 2

把(*)代入得 ?

所以

7 ? ? x1 ? ? 8 , ? ? ? y ? ? 15 . ? 1 8 ?

故直线 l 的斜率 k ? kMP ? ?

15 15 , 即k ? ? . 9 9

19.已知函数 f ? x ? ? x3 ? k 2 ? k ? 1 x 2 ? 5 x ? 2 , g ? x ? ? k 2 x2 ? kx ? 1 ,其中 k ? R . (1)设函数 p ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,若 p ? x ? 在区间(0,3)是单调函数,求 k 的取值范围;

?

?

?g ? x? , x ? 0 ? (2)设函数 q ? x ? ? ? ,是否存在实数 k,对任意给定的非零实数 x1 ,存在惟 ? f ? x?, x ? 0 ?
一的非零实数 x2 ? x2 ? x1 ? ,使得 q? ? x2 ? ? q? ? x1 ? 成立?若存在,求 k 的值;若不存在, 请说明理由. 【答案】 (1)因 P( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x ? (k ?1) x ? (k ? 5) ?1
3 2

p? ? x ? ? 3x2 ? 2(k ?1) x ? (k ? 5) , ∵ p( x) 在区间 (0,3) 上单调 ..
? P?( x) ? 0或P?( x) ? 0恒成立

即k (2x ? 1) ? ?(3x 2 ? 2x ? 5)或k (2x ? 1) ? ?(3x 2 ? 2x ? 5) 恒成立
? x ? (0,3) ?2x ? 1 ? 0

?k ??

3x 2 ? 2 x ? 5 3x 2 ? 2 x ? 5 或k ? ? 恒成立 2x ? 1 2x ? 1

2 设 F ? x ? ? ? 3x ? 2x ? 5 ? ? 3 ?? 2x ? 1? ? 9 ? 10 ? 2x ? 1 4? 2x ? 1 3 ? ? ?

令 t ? 2 x ? 1, 有 t ? ?1,7 ? ,记 h(t ) ? t ?

9 , t

由函数 h ? t ? 的图像可知, h ? t ? 在 ?1,3 上单调递减,在 3,7 ? 上单调递增, ∴ h ?t ? ??6,10? ,于是 F ( x) ? (?5,?2] ∴ k ? ?2, 或k ? ?5 (2)当 x ? 0 时有 q? ? x ? ? f ? ? x ? ? 3x ? 2(k ? k ? 1) x ? 5 ;
2 2 2 当 x ? 0 时有 q? ? x ? ? g? ? x ? ? 2k x ? k ,因为当 k ? 0 时不合题意,因此 k ? 0 ,……8 分

?

?

下面讨论 k ? 0 的情形, 记 A ? {g ?( x) | x ? 0}, B ? { f ?( x) | x ? 0} 求得 A ? (k , ??) ,B= ?5,???

(ⅰ)当 x1 ? 0 时, q? ? x ? 在 ? 0,??? 上单调递增,所以要使 q? ? x2 ? ? q? ? x1 ? 成立,只能

x2 ? 0 且 A ? B ,因此有 k ? 5
(ⅱ)当 x1 ? 0 时, q? ? x ? 在 ? 0,??? 上单调递减,所以要使 q? ? x2 ? ? q? ? x1 ? 成立,只能

x2 ? 0 且 A ? B ,因此 k ? 5
综合(ⅰ) (ⅱ) k ? 5 当 k ? 5 时 A=B,则 ?x1 ? 0, q? ? x1 ? ? B ? A ,即 ?x2 ? 0, 使得 q? ? x2 ? ? q? ? x1 ? 成立, 因为 q? ? x ? 在 ? 0,??? 上单调递增,所以 x2 的值是唯一的;…13 分 同理, ?x1 ? 0 ,即存在唯一的非零实数 x2 ( x2 ? x1 ) ,要使 q? ? x2 ? ? q? ? x1 ? 成立, 所以 k ? 5 满足题意. 20.设集合 W 由满足下列两个条件的数列 ?an ? 构成:

an ? an?2 . ? an?1 ;② 存在实数 M,使 an ≤ M (n 为正整数) 2 (1)在只有 5 项的有限数列 ?an ? , ?bn ? 中,其中 a1 ? 1 , a2 ? 2 , a3 ? 3, a4 ? 4 , a5 ? 5 ;

b1 ? 1 , b2 ? 4 , b3 ? 5 , b4 ? 4 , b5 ? 1 ;试判断数列 ?an ? , ?bn ? 是否为集合 W 的元素;

(2)设 ?cn ? 是各项为正的等比数列, Sn 是其前 n 项和, c3 ?
{Sn } ?W ;并写出 M 的取值范围;

1 7 , S3 ? ,证明:数列 4 4

(3)设数列 {dn } ?W ,且对满足条件的 M 的最小值 M 0 ,都有 d n ? M 0 n ? N* .求证: 数列 {dn } 单调递增. 【答案】 (1)对于数列 {an } ,取

?

?

a1 ? a3 ? 2 ? a2 ,显然不满足集合 W 的条件,① 2 故 {an } 不是集合 W 中的元素, 对于数列 {bn } ,当 n ?{1 , 2 , 3 , 4 , 5} 时, b ?b b ?b b ?b 不仅有 1 3 ? 3 ? b2 , 2 4 ? 4 ? b3 , 3 3 ? 3 ? b4 ,而且有 bn ≤ 5 , 2 2 2 显然满足集合 W 的条件①②, 故 {bn } 是集合 W 中的元素. 1 7 (2)∵ {cn } 是各项为正数的等比数列, Sn 是其前 n 项和, c3 ? , S3 ? , 4 4 设其公比为 q ? 0 , c c 7 ∴ 3 ? 3 ? c3 ? ,整理得 6q 2 ? q ? 1 ? 0 . 2 q q 4 1 1 1 ∴ q ? ,∴ c1 ? 1 , cn ? n ?1 , Sn ? 2 ? n?1 2 2 2 Sn ? Sn ? 2 1 1 1 对于 ?n ? N* ,有 ? 2 ? n ? n? 2 ? 2 ? n ? Sn? 2 ,且 Sn ? 2 , 2 2 2 2 故 {Sn } ?W ,且 M ? ? 2 , ? ? ?
(3)证明: (反证)若数列 {dn } 非单调递增,则一定存在正整数 k , 使 d k ≥ d k ?1 ,易证于任意的 n ≥ k ,都有 d k ≥ d k ?1 ,证明如下: 假设 n ? m(m ≥ k ) 时, d k ≥ d k ?1 d ? dm? 2 当 n ? m ? 1 时,由 m ? dm?1 , dm? 2 ? 2dm?1 ? dm . 2 而 dm?1 ? dm? 2 ? dm?1 ? (2dm?1 ? dm ) ? dm ? dm?1 ≥ 0 所以 d m ?1 ? d m ? 2 , 所以对于任意的 n ≥ k ,都有 d m ≥ d m ?1 . 显然 d1 , d2 , ? , dk 这 k 项中有一定存在一个最大值,不妨记为 d n0 ; 所以 dn0 ≥ dn (n?N* ) ,从而 dn0 ? M 0 与这题矛盾. 所以假设不成立, 故命题得证.


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