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贵阳一中2015届高三第四次月考数学(文科)试卷


贵阳一中 2015 届高三年级第四次月考

数 学 试 卷(文)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1. 设全集 U ? x ? N * x < 6? ,集合 A ? ? 1,3?, B ? ?3,5? ,则 CU ? A ? B ? 等于 A. ? 1,4? B. ? 1,5? C. ?0, 2, 4? D. ?2,4?

?

2.已知 i 是虚数单位,且复数 z1 ? 3 ? bi, z 2 ? 1 ? 2i, 若 A. 6 3.下列各式正确的是 A. a ? b = a b C.若 a ? b-c , 则 a ? b=a ? c
4.已知 sin ? cos ? ?

B. ? 6

C.0

z1 是实数,则实数 b 的值为 z2 1 D. 6

B. a ? b

? ?

2

=a 2 ? b 2

? ?

D. 若 a ? b=a ? c 则 b=c

A.

1 2

3 ? ? , 且 ? ? ? ,则 cos ? ? sin ? 的值是 8 4 2 1 1 1 B. ? C. ? D. ? 2 4 2
B.-8 C.-6 D.-4

5.已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列,则 a2 等于 A.-10 6.下列命题错误的是 A.命题“ 若x2 ? 1, 则-1 ? x ? 1 ”的逆否命题是若 x ? 1 或 x ? ?1 ,则 x ? 1
2

B.“ am ? bm ”是” a ? b ”的充分不必要条件
2 2

C.命题 p :存在 x0 ? R ,使得 x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ? p :
2

任意 x ? R ,都有 x ? x ? 1 ? 0
2

D.命题“ p 或 q ”为真命题,则命题“ p ”和命题“ q ”均为真命题 7.已知三棱锥的底面是边长为 1 的正三角形,其正视图与俯视图 如图所示,则其侧视图的面积为 A.

6 4

B.

6 2

C.

2 2

D. 2

8.下面的程序框图表示求式子 23×53×113×233×473×953 的值,则判断框内可以填的

条件为( A. i ? 90 ?

) B. i ? 100 ? C. i ? 200 ? D. i ? 300 ?

9 . 已 知 函 数 y ? ? xf ? ? x ? 的 图 象 如 图 ( 其 中 f ? ? x ? 是 函 数 f ? x ? 的 导 函 数 ), 下 面 四 个 图 象 中, y ? f ? x ? 的图象可能是

10.已知直线 l , m ,平面 ? , ? ,且 l ? ? , m ? ? ,给出四个命题: ①若 ? ∥ ? ,则 l ? m ; ③若 ? ? ? ,则 l∥m; 其中真命题的个数是 A.4 B.3 C.2 D.1 ②若 l ? m ,则 ? ∥ ? ; ④若 l∥m,则 ? ? ? .

(a ? 2) x, x ? 2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 11.已知函数 f ( x) ? ? 1 x 满足对任意的实数 x1 ? x 2 都有 ?0 ( ) ? 1, x ? 2 x1 ? x2 ? ? 2
成立,则实数 a 的取值范围为 A. (??,2) B. ( ?? ,
?x

13 ] 8

C. (??,2]

D. [

13 , 2) 8

12.已知 x ?[?1,1] ,则方程 2 A.2

? cos 2πx 所有实数根的个数为
C.4 D.5

B.3

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

?x ? y ? 3 y ?1 ? 13.设变量 x , y 满足约束条件: ? x ? y ? ?1 ,则目标函数 z ? 的最小值为 x ?2 x ? y ? 3 ?

.

14. 已知 x ? 0, y ? 0 ,若

2 y 8x ? ? m 2 ? 2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 x y

.

15 . 已 知 三 棱 柱 A B C ? 1 A1 BC 1 ? 2 1的 侧 棱 垂 直 底 面 , 所 有 顶 点 都 在 球 面 上 , AB ? AA AC=1, ?BAC ? 60 ,则球的表面积为_________.
o

16.下面四个命题: ①已知函数 f ? x ? ? ?

? ? x , x≥0 , ? ? ?x , x ? 0 ,
? ?

且 f ? a ? ? f ? 4 ? ? 4 ,那么 a ? ?4 ;

②要得到函数 y ? sin ? 2 x ?

? ? ? 上的函数 f ( x)满足f ( x ? 1) ? - f ( x) ,则 f ( x) 是周期函数; ③若定义在 ?- ?,

? ?? ? 的图象,只要将 y ? sin 2 x 的图象向左平移 单位; 3 3?

④已知奇函数 f ( x) 在 (0, ??) 为增函数, 且 f (?1) ? 0 , 则不等式 f ( x) ? 0 的解集 x x ? ?1 . 其中正确的是__________________. 三、解答题:本大题共 5 小题,共计 70 分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 12 分) 设等差数列{an } 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? (1)求 c 的值及数列 {an } 的通项公式; (2)证明:

?

?

1 nan ? an ? c ( c 是常数, n ? N * ), a2 = 6 . 2

1 1 1 1 ? ??? ? . a1 a 2 a 2 a3 a n a n ?1 8

18. (本小题满分 12 分) 在四棱锥 P-ABCD 中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,

PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点,PA=2AB=2.

(1)若 F 为 PC 的中点,求证:PC⊥平面 AEF; (2)求四棱锥 P-ABCD 的体积 V.

19. (本小题满分 12 分) 己知函数 f ( x ) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |? 的部分图象如图所示. (1)求函数 f ( x ) 的解析式;

?
2

)

? 4 ? (2)若 f ( ) ? ,0 ? ? ? ,求 cos? 的值. 2 5 3

20(12 分). 设椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F 2 ,上顶点为 A, a 2 b2

在 轴负半轴上有一点 B,满足 BF1 ? F1 F 2 ,且 AB ? AF 2 .

(Ⅰ)求椭圆 的离心率; (Ⅱ)若过 A, B, F2 三点的圆与直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,求椭圆 (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过右焦点 F 2 作斜率为 的直线 与椭圆 段 MN 的中垂线与 轴相交于 P(m, 0) ,求实数 的取值范围. 的方程; 交于 两点,线

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ax ? ln x, g ( x) ? e ? ax ,其中 a 为正实数.
x

(l)若 x=0 是函数 g ( x) 的极值点,讨论函数 f ( x) 的单调性;

(2)若 f ( x) 在 (1, ??) 上无最小值,且 g ( x) 在 (1, ??) 上是单调增函数,求 a 的取值范围;并由此 判断曲线 g ( x) 与曲线 y ?

1 2 ax ? ax 在 (1, ??) 交点个数. 2

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请 写题号. 22.(本小题满分 10 分)【选修 4—1:几何证明选讲】 如图,在正△ABC中,点D,E分别在边AC, AB上,

且AD=

1 2 AC, AE= AB,BD,CE相交于点F。 3 3

(1)求证:A,E,F,D四点共圆; (2)若正△ABC的边长为2,求,A,E,F,D所在圆的半径.

23. (本小题满分 10 分) 【选修 4—1:几何证明选讲】 在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线

C : ? sin 2 ? ? 2a cos? (a ? 0) ,已知过点 P(?2,?4) 的直线 l 的参数方程为

? x ? ?2 ? ? ? ? ? y ? ?4 ? ? ?

2 t 2 ( t 为参数) ,直线 l 与曲线 C 分别交于 M , N 两点。 2 t 2

(1)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程; (2)若 | PM |, | MN |, | PN | 成等比数列,求 a 的值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 对于任意的实数 a ( a ? 0 ) 和 b , 不等式 | a ? b | ? | a ? b |? M ? | a | 恒成立 , 记实数 M 的最大值是
m.

(1)求 m 的值; (2)解不等式 | x ? 1 | ? | x ? 2 |? m .

贵阳一中 2015 届高三第四次月考数学(文科)试卷参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C B C D A B 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 1 14. ?4 ? m ? 2 15. 8 ? 16. ③ 三、解答题: 17. (Ⅰ)解:因为 Sn ? 9 B 10 C 11 B 12 D

1 nan ? an ? c , 2 1 所以当 n = 1 时, S1 ? a1 ? a1 ? c ,解得 a1 = 2c , 2

当 n = 2 时, S2 ? a2 ? a2 ? c ,即 a1 ? a2 ? 2a2 ? c ,解得 a2 = 3c , 解得 c ? 2 ;

所以 3c ? 6 ,

则 a1 ? 4 ,数列 {an } 的公差 d ? a2 ? a1 ? 2 , 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 2 . (Ⅱ)因为

1 1 1 + +L + a1a2 a2a3 anan+ 1
1 1 1 1 1 1 1 )+ ( - )+ L + ( ) 6 2 6 8 2 2n + 2 2 n + 4 1 1 1 1 1 )+ ( - )+ L + ( )] 6 6 8 2n + 2 2n + 4

=

1 1 ( 2 4 1 1 = [( 2 4

=

1 1 1 1 1 . ( )= 2 4 2n + 4 8 4( n + 2)

因为 n ? N * 所以

1 1 1 1 + +L + < a1a2 a2a3 an an+ 1 8

P

18.(1)∵PA=CA,F 为 PC 的中点, ∴AF⊥PC. ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD,PA∩AC=A, ∴CD⊥平面 PAC.∴CD⊥PC. ∵E 为 PD 中点,F 为 PC 中点, ∴EF∥CD.则 EF⊥P C. ∵AF∩EF=F,∴PC⊥平面 AEF. (2)在 Rt△ABC 中,AB=1, ∠BAC=60° ,∴BC= 3 ,AC=2. 在 Rt△ACD 中,AC=2,∠CAD=60° , ∴CD=2 3 ,AD=4. ∴SABCD=
1 1 AB ? BC ? AC ? CD 2 2

E F A B C M D

1 1 5 ? ? 1? 3 ? ? 2 ? 2 3 ? 3. 2 2 2 1 5 5 则 V= ? 3?2 ? 3. 3 2 3

19.

20. 解: (1)连接

,由



,得到

, 即

, 确 定 得 到 椭 圆 的 离 心 率 为



(2)由

,得





的外接圆圆心为

,半

径 因为过

, 三点的圆与直线 相切,

, 解 得

, 所 以 所 求 椭 圆 方 程 为

. (3)由(2)知 ,设直线 的方程为:



得:



因为直线 过

点,所以

恒成立.



,由韦达定理得:

















. 当 时, 为长轴,中点为原点,则 ;



时,

中垂线方程为





,得

.因为

所以



综上可得实数

的取值范围是


f ( x) 的定义域为: (0, ??)

' 21. 【答案】解:(1) 由 g (0) ? 1 ? a ? 0 得 a ? 1

f ' ( x) ? 1 ?

1 x

函数 f ( x) 的增区间为 (1, ??) ,减区间为 (0,1)

(2)由 f ' ( x ) ? a ?

1 ax ? 1 ? x x

若 0 ? a ? 1 则 f ( x) 在 (1,??) 上有最小值 f (a ) 当 a ? 1 时, f ( x) 在 (1,??) 单调递增无最小值 ∵ g ( x) 在 (1,??) 上 是 单 调 增 函 数 ∴ g'( x ) ? e ? a ? 0 在 (1,??) 上 恒 成 立
x

∴a?e

------综上所述 a 的取值范围为 ?1,e ? 此时 g ( x) ? --------

2e x 2e x 2e x ( x ? 2) 1 2 , ax ? ax 即 a ? 2 , 令h( x) ? 2 ? h '( x) ? 2 x x x3

则 h(x)在 (0, 2) 单减, 在(2, ??) 单增, 极小值为 h(2) ?

e2 ? e . 故两曲线没有公共点 2

22. (本小题满分 10 分) 【选修 4—1:几何证明选讲】 (Ⅰ)证明:

AE ?

2 1 AB ,? BE ? AB . 3 3

1 在正△ ABC 中, AD ? AC ,? AD ? BE , 3

AB ? BC , ?BAD ? ?CBE ,

? △BAD≌△CBE,? ?ADB ? ?BEC ,
即 ?ADF ? ?AEF ? π ,所以 A , E , F , D 四点共圆. …………………………(5 分) (Ⅱ)解:如图 6,取 AE 的中点 G ,连结 GD ,则 AG ? GE ?

1 AE . 2

AE ?

2 1 2 AB ,? AG ? GE ? AB ? , 3 3 3

1 2 AD ? AC ? , ?DAE ? 60? , 3 3

? △AGD 为正三角形,
? GD ? AG ? AD ?
2 2 ,即 GA ? GE ? GD ? , 3 3 2 . 3 2 .…(10 分) 3
图6

所以点 G 是△AED 外接圆的圆心,且圆 G 的半径为

由于 A , E , F , D 四点共圆,即 A , E , F , D 四点共圆 G ,其半径为 23解: (Ⅰ)C: y 2 ? 2ax, l : x ? y ? 2 ? 0

1 2 t ? (4 2 ? 2a)t ? 16 ? 4a ? 0 (Ⅱ)将直线的参数表达式代入抛物线得 2 ? t1 ? t 2 ? 8 2 ? 2 2a, t1t 2 ? 32 ? 8a 因为 | PM |?| t1 |, | PN |?| t 2 |, | MN |?| t1 ? t 2 | 由题意知, | t1 ? t 2 |2 ?| t1t 2 |? (t1 ? t 2 ) 2 ? 5t1t 2 代入得 a ? 1 |a ?b|?|a ?b| 24 .解 : (1) 不等式 | a ? b | ? | a ? b |? M ? | a | 恒成立 , 即 M ? 对于任意的实数 |a| a ( a?0 ) 和 b 恒 成 立 , 只 要 左 边 恒 小 于 或 等 于 右 边 的 最 小 值 . 因 为 | a ? b | ? | a ? b |?| (a ? b) ? (a ? b) |? 2 | a | , 当且仅当 (a ? b)(a ? b) ? 0 时等号成立 , 即 | a |?| b |

时,

|a ?b|?|a ?b| |a ? b|?|a ?b| 的最小值是 2. ? 2 成立,也就是 |a| |a|
(2) | x ? 1 | ? | x ? 2 |? 2 . 解法 1:利用绝对值的意义得:

1 5 ?x? 2 2 1 , 所以 x 的取值范围是 2

解法 2: 当 x ? 1 时 , 原不等式化为 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 2 , 解得 x ?

1 ? x ? 1 . 当 1 ? x ? 2 时 , 原不等式化为 ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 2 , 得 x 的取值范围是 1 ? x ? 2 . 2 5 当 x ? 2 时,原不等式化为 ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 2 ,解得 x ? , 2 5 1 5 所以 x 的取值范围是 2 ? x ? .综上所述: x 的取值范围是 ? x ? . 2 2 2 y 解法 3:构造函数 y ?| x ? 1 | ? | x ? 2 | ?2 作

?? 2 x ? 1, ( x ? 1) 1 5 ? y ? ? ? 1, (1 ? x ? 2) 的图象,利用图象有 y ? 0 得: ? x ? . 2 2 ? 2 x ? 5, ( x ? 2) ?

O -1

1 1
0.5

2
2.5

x


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