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高中数学一轮复习 平面向量基本定理及其坐标表示专题复习 薛安安_图文

平面向量基本定理及向量的坐标表示 一、高考要求 1.了 解 平 面 向 量 的 基 本 定 理 , 理 解 平 面 向 量 的坐标的概念,会用坐标形式进行向量的加 法、减法、数乘的运算,掌握向量坐标形式 的平行、垂直的条件; 2.掌 握 平 面 向 量 的 数 量 积 及 其 几 何 意 义 , 了 解用平面向量的数量积可以处理有关长度和 角度的问题,掌握向量平行、垂直的条件. 3.学 会 使 用 分 类 讨 论 、 函 数 与 方 程 的 思 想 解 决有关问题. 二、知识与技能 1.平 面 向 量 的 坐 标 表 示
在直角坐标系中,分别取与 x轴、 y轴方向 相 同 的 两 个 单 位 向 量 i, j 作 为 基 底 .由 平
面向量基本定理,该平面内的任一向量
a ? xi ? y j , 由 于 a 与 数 对 ? x, y? 是 一 一 对 应
的 , 因 此 把 ? x, y? 叫 做 向 量 a 的 坐 标 , 记 作
a ? ? x, y? , 其 中 x 叫 作 a 在 x 轴 上 的 坐 标 ,
y叫做 a在 y 轴上的坐标.
(1)相 等 的 向 量 坐 标 相 同 , 坐 标 相 同 的 向 量
是 相等 的向量. (2)向 量 的 坐 标 与 表 示 该 向 量 的 有 向 线 段 的 始点、终点的具体位置无关,只与 相对 位 置有关. 2.平 面 向 量 的 坐 标 运 算
⑴ 若 A? x1, y1?, B? x2, y2 ? , 则
AB ? ? x2 ? x1, y2 ? y1 ? .
⑵ 若 a ? ? x1, y1 ?,b ? ? x2, y2 ? , 则
a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .
⑶ 若 a ? ? x, y? , 则 ? a = ?? x, ? y? .
⑷ 若 a ? ? x1, y1 ?,b ? ? x2, y2 ? ,

则 a ∥ b ? x1 y2 ? x2 y1 .
巧 记 :向 量 平 行 , 横 乘 纵 = 横 乘 纵
⑸ 若 a ? ? x1, y1 ?,b ? ? x2, y2 ? , 则
a ? b ? x1x2 ? y1 y2 .
巧 法 : 向 量 点 乘 , 横 乘 横 +纵 乘 纵
a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 .
巧 记 :向 量 垂 直 , 横 乘 横 +纵 乘 纵 =0 3.向 量 的 运 算 向量的加减法,实数与向量的积,向量的数 量积及其各种运算的坐标表示和性质: 向量的加法:
设 a ? (x1, y1) , b ? (x2, y2)
几何方法: (1) 平 行 四 边 形 法 则 (2) 三 角 形 法 则 坐标方法:
a ? b ? (x1 ? x2 , y1 ? y2 )
运算性质:
a?b? b?a
(a ? b) ? c ? a ? (b ? c)
AB ? BC ? AC
向量的减法: 几何方法: 三角 形法则 坐标方法:
a ? b ? (x1 ? x2 , y1 ? y2 )
运算性质:
a ? b ? a ? (?b)
AB ? - BA
OB ? OA ? AB
实数与向量的积: 定义:

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?a 是 一 个 向 量 .
规定:
1.大小: ?a ? ? a
2.方 向 :
? >0 时 , ?a 与 a 同 向 ; ? <0 时 , ?a 与 a 反 向 ; ? =0 时, ?a = 0 ,方向 任意 .
坐标方法:
?a ? ?(x1, y1) ? (? x1, ? y1) .
运算性质:
?(? a) ? (??)a (? ? ?)a ? ?a ? ?a
?(a ? b) ? ?a ? ?b 当 b?0时, a ∥ b ? a ? ?b (?存在且唯一)
向量的数量积: 定义:
a b是一个 实数 .
1.当 a ? 0或 b ? 0时, a b= 0 .
2.当 a ? 0且 b ? 0 时,
a b ? | a || b | cos a,b .
坐标方法:
1. a b ? x1x2 ? y1 y2 . 2 . a ? x12 ? y12 .

3. a b ? a ? b .(向量不 等式 )

运算性质:
ab? b a . (? a) b ? ?(a b) ? a (?b) .

(a ? b) c ? a c ? b c .

2

2

a? a .

a? aa .
二、能力形成
1.已知 a 、b 是不共线的向量,若A→B=λ1 a + b ,A→C

= a +λ2 b (λ1、λ2∈R),则 A、B、C 三点共线的充

要条件为( ) A.λ1=λ2=-1 C.λ1λ2-1=0

B.λ1=λ2=1 D.λ1·λ2+1=1

2.已知直角坐标平面内的两个向量 a =(1,3),b =

(m,2m-3),使得平面内任何一个向量都可以唯一

表示成 c =λ a +β b ,则 m 的取值范围是( )
A.(-∞,-3)∪(-3,+∞) B.{-3} C.(-3,3) D.(0,+∞) 3.设 A1,A2,A3,A4 是平面直角坐标系中两两不同
的四点,若A→1A3=λA→1A2(λ∈R),A→1A4=μA→1A2(μ∈
R),且1λ+μ1=2,则称 A3,A4 调和分割 A1,A2.已 知平面上的点 C,D 调和分割点 A,B,则下面说 法正确的是( ) A.C 可能是线段 AB 的中点 B.D 可能是线段 AB 的中点 C.C,D 可能同时在线段 AB 上 D.C,D 不可能同时在线段 AB 的延长线上

4.已知向量 a =(1,1),b =(1,-1),c =( 2cosα,

2sinα)(α∈R),实数 m,n 满足 m a +n b = c ,

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则(m-3)2+n2 的最大值为( )

A.2 B.3 C.4 D.16

5. (2019·郑州质检)设平面向量 a=(-1,0),b=

(0,2),则 2a-3b 等于( )

A.(6,3)

B.(-2,-6)

C.(2,1)

D.(7,2)

6. (2019·河南中原名校联考)如图所示,矩形 ABCD

的对角线相交于点 O,E 为 AO 的中点,若D→E=λA→B

+μA→D(λ,μ 为实数),则 λ2+μ2 等于( )

A.58

B.14

C.1

D.156

7. (2019·厦门调研)已知|O→A|=1,|O→B|= 3,O→A·O→B

=0,点 C 在∠AOB 内,且O→C与O→A的夹角为 30°,

设O→C=mO→A+nO→B(m,n∈R),则mn 的值为( )

A.2

B.52

C.3

D.4

8. (2019·雅安模拟)已知向量 a=( 3,1),b=(0, -1),c=(k, 3),若 a-2b 与 c 共线,则 k=____.

9. (2019·洛阳质检)在平行四边形 ABCD 中,A→B=

e1,A→C=e2,N→C=14A→C,B→M=12M→C,则M→N=
____.(用 e1,e2 表示) 10. (2019·河南三市联考)已知点 A(1,3),B(4,-1),

则与A→B同方向的单位向量是____.
11. (2019·河北石家庄一模)如图所示,A,B,C 是 圆 O 上的三点,线段 CO 的延长线与 BA 的延长线

交于圆 O 外的一点 D,若O→C=mO→A+nO→B,则 m

+n 的取值范围是____. 12. (2019·开封调研)已知正三角形 ABC 的边长为
2 3,平面 ABC 内的动点 P,M 满足|A→P|=1,P→M

1,2),若( a + b )∥ c ,则 m=____.

15.若平面向量 a , b 满足| a + b |=1, a + b 平行

于 x 轴, b =(2,-1),则 a =____.

16.已知向量 a =(1,2),b =(-2,3),c =(4,1),

若用 a 和 b 表示 c ,则 c =____.

17.设 e1 、 e2 是平面内一组基向量,且 a = e1 +

2 e2 , b =- e1 + e2 ,则向量 e1 + e2 可以表示为

另一组基向量 a 、b 的线性组合,即 e1 + e2 =____.
三、自我尝试 18.已知向量 a=(2,3),b=(-1,2),若(ma+nb) ∥(a-2b),则mn 等于( )

A.-2

B.2 C.-12

D.12

19.已知两点 A(1,0),B(1,1),O 为坐标原点,点

C 在第二象限,且∠AOC=135°,设O→C=-O→A+

λO→B(λ∈R),则 λ 的值为____.

20.已知△ABC 和点 M 满足M→A+M→B+M→C= 0 .若

存在实数 m,使得A→B+A→C=mA→M成立,则 m=
____. 21.将等腰直角三角板 ADC 与一个角为 30°的直角 三角板 ABC 拼在一起组成如图所示的平面四边形
ABCD,其中 DA=1,∠DAC=45°,∠B=30°.若D→B

=xD→A+yD→C,则 xy 的值是____.

=M→C,则|B→M|2 的最大值是____.

13.设向量 a =(2,-1),向量 b 与 a 共线,且 b 与 a

同向, b 的模为 2 5,则 b =____.

14.已知向量 a =(2,-1), b =(-1,m), c =(-

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