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广东省12大市2013届高三二模理科数学试题分类汇编大全含答案


广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编大全 (含答案)

广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 1:集合 ........................................ 2 广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 1:集合参考答案 ................ 4 广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 2:函数 ........................................ 5 广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 2:函数参考答案 ................ 8 广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 3:三角函数 .............................. 10 广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 3:三角函数参考答案 ...... 15 广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理) 试题分类汇编 4:平面向量.............................. 23 广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 4:平面向量参考答案 ...... 25 广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 5:数列 ...................................... 26 广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 5:数列参考答案 .............. 32 广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 6:不等式 .................................. 44 广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 6:不等式参考答案 .......... 47 广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 7:立体几何 .............................. 50 广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 7:立体几何参考答案 ...... 59 广东省 12 大市 201 3 届高三二模数学(理)试题分类汇编 8:直线与圆.............................. 77 广东省 12 大 市 2013 届 高三二模数学(理)试题分类汇编 8:直线与圆参考答案 ..... 78 广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 9:圆锥曲线 .............................. 79 广东省 13 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 9:圆锥曲线参考答案 ...... 85 广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 10:排列、组合与二项式定理 ...................................................................................................................................................... 101 广东省 12 大市 2013 届高三 二模数学(理)试题分类汇编 10:排列、组合与二项式定 理参考答案........................................................................................................................... 103 广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 11:概率与统计 ...................... 104 广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 11 :概率与统计参考答案 .............................................................................................................................................. 110 广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 12:程序框图 .......................... 120 广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类 汇编 12:程序框图参考答案 .. 123 广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 13:常用逻辑用语 .................. 124 广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 13: 常用逻辑用语参考答案 .............................................................................................................................................. 126 广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 14:导数与积分 ...................... 128 广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 14:导数与积分参考答案 .............................................................................................................................................. 133 广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 15:复数 .................................. 146 广东省 12 大市 2013 届高三二 模数学(理)试题分类汇编 15:复数参考答案 ......... 147 广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 16:几何证明 .......................... 148 广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 16:几何证明参考答案 .. 152 广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 17:坐标系与参数方程 .......... 153 广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 17:坐标系与参数方程参考

1

答案....................................................................................................................................... 155

广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 1:集合
姓名____________班级___________学号____________分数______________
一、选择题 1 . (广东省肇庆市 2013 届高三 4 月第二次模拟数学(理)试题)定义全集 U 的子集 M 的特

征 函 数 为 f M ( x) ? ?

?1, x ? M , 这 里 CU M 表 示 集 合 M 在 全 集 U 中 的 补 集 , 已 ?0, x ? CU M

M ? U , N ? U , 给 出 以 下 结 论 :① 若 M ? N , 则 对 于 任 意 x ? U , 都 有

f M ( x ) ? f N ( x ) ;②对于任意 x ? U 都有 fCU M ( x) ? 1 ? f M ( x) ;③对于任意 x ? U ,都有 f M ? N ( x) ? f M ( x) ? f N ( x) ;④对于任意 x ? U ,都有 f M ? N ( x) ? f M ( x) ? f N ( x) .
则结论正确的是 A.①②③ ( B.①②④ C.①③④ D.②③④ )

2 . ( 广 东 省 肇 庆 市 2013 届 高 三 4 月 第 二 次 模 拟 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 集 合

M ? {x | 0 ? x ? 3}, N ? {x | x 2 ? 5 x ? 4 ? 0} ,则 M ? N ?
A. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 4} B. {x |1 ? x ? 3} D. {x | x ? 0 或 x ? 4}





3 . (广东省湛江市 2013 届高三 4 月高考测试(二)数学理试题(WORD 版) )已知集合 A=

{x|x>1},B={x|x2 <4},则 A∩B =
A.{X





| x < 2} B.{x|-2<x<2} C. {X | x > 1} D. {X| 1 < x < 2}
( D.4 个 )

4 . (广东省深圳市 2013 届高三第二次调研考试数学理试题( 2013 深圳二模) ) 已知集合

A ? ?0,1? ,满足条件 A ? B ? ?2,0,1,3? 的集合 B 共有
A.2 个
5

B.2 个

C .3 个

. ( 广 东 省 韶 关 市 2013 届 高 三 4 月 第 二 次 调 研 测 试 数 学 理 试 题 ) 设 全 集

U=R, M ? {x | x( x ? 3) ? 0}, N ? {x | x ? ?1} ,则右图中阴影部分表示的集合为
A. {x | x ? ?1} C. {x | x ? ?3} B. {x | ?3 ? x ? 0} D. {x | ?1 ? x ? 0}





6 . (广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷)已知集合

M ? x | y ? 3 ? x2 , N ? ?x | ?3 ? x ? 1? ,且 M , N 都是全集 U 的子集,则右边韦恩

?

?

2

图中阴影部分表示的集合为 A. x | ? 3 ? x ? 1

( B. ?x | ?3 ? x ? 1 ? C. x | ?3 ? x ? ? 3



?

?

?

?

D. x |1 ? x ? 3

?

7 . (广东省茂名市 2013 届高三 4 月第二次高考 模拟数学理试题(WORD 版) )已知全集 U ? R,

则正确表示集合 M={0,1,2}和 N={ x | x 2 ? 2 x ? 0 }关系的韦恩(Venn)是

8 . ( 广 东 省 揭 阳 市 2013 年 高 中 毕 业 班 第 二 次 高 考 模 拟 考 试 理 科 数 学 试 题 ) 已 知全 集

U ? R , A ? {x | y ? 2x ?1} ,则 CU A ?
A.

( C. (0, ??) D. (??, 0]



[0, ??)

B. (??, 0)

9. (广东省江门佛山两市 2013 届高三 4 月教学质量检测(佛山二模)数学理试题 ) 已知

M ? ? x ?2 ? x ? 4, x ? Z? , N ? ? x ?1 ? x ? 3? ,则 M ? N ?
A. ? ?1,3? B. [?2,1) C. ?0,1, 2? D. ??2, ?1, 0?





10 . ( 广 东 省 惠 州 市 2013 届 高 三 4 月 模 拟 考 试 数 学 理 试 题 ( WORD 版 ) )已知

A ? ? x | x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 ? , B ? ? x | x 2 ? 1 ? ,则 A ? B ?
A. ? 1 ? B. ? 1 , ? 1 , 5 ? C. ? ? 1 ? D. ? 1 , ? 1 , ? 5 ?





11 . ( 广 东 省 潮 州 市 2013 届 高 三 第 二 次 模 拟 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 集 合

A ? ?1, 2, m? , B ? ?3,4? , A ? B ? ?1, 2,3, 4? ,则 m ?
A.0 B.3 C .4 D.3 或 4





3

广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 1:集合参考答案
一、选择题 1.

A 解析:利用特殊值法进行求解.设 U ? {1, 2,3}, M ? {1}, N ? {1, 2} 对于①有 f M (1) ? 1 ? f N (1), f M (2) ? 0 ? f N (2) ? 1, f M (3) ? f N (3) ? 0 可知①正确; 对于②有 f M (1) ? 1, f M (2) ? 0, f M (3) ? 0 , f CU M (1) ? 0, f CU M (2) ? 1, f CU M (3) ? 1 可知 ②正确; 对于③有 f M (1) ? 1, f M (2) ? 0, f M (3) ? 0 , f N (1) ? 1, f N (2) ? 1, f N (3) ? 0 ,

f M ? N (1) ? 1, f M ? N (2) ? 0, f M ? N (3) ? 0 可知③正确;
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

A 解析: N ? {x | x ? 5 x ? 4 ? 0} ? {x | x ? 1 or x ? 4} ? M ? N ? {x | 0 ? x ? 1}
2

D D D C A 由 2 ? 1 ? 0 得 x ? 0 ,? A ? [0, ??) ,故选 B.
x

9. C 10.【解析】 因为 A ?

? x| x

2

? 4x ? 5 ? 0 ? =? ?1 , 5 ? ; B ? ? 1 , ?1 ? , A ? B ? ? ?1 ?

故选C . 11. D

4

广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 2:函数
姓名____________班级___________学号____________分数______________
一、选择题 12 . (广东省肇庆市 2013 届高三 4 月第二次模拟数学(理)试题)下列函数为奇函数的是





A. y ?| sin x |

B. y ? 2 x ? 2 ? x

C. y ? ln | x |

?? x D. y ? ln ?? x
( )

13 . (广东省湛江市 2013 届高三 4 月高考测试(二)数学理试题(WORD 版) )函数 f(x)=

(x-1)cosx 在区 间[0,4]上的零 点个数是 A.4

2

B.5

C.6

D.7
( )

14 . (广东省湛江市 2013 届高三 4 月高考测试(二)数学理试题(WORD 版) )下列函数中既是

奇函数,又在(0,+ ? )上单调递增的是 A.y = x
2

B.y = x3

C.y = -x

D.y = tanx
( D. y ? lg )

15 . (广东省深圳市 2013 届高三第二次调研考试数学理试题(2013 深圳二模) )下列四个函数

中,既是定义域上的奇函数又在区间 (0,1) 内单调递增的是 A. y ?

x

B. y ? e x ? e? x

C. y ? x sin x

1? x 1? x

16 . (广东省韶关市 2013 届高三 4 月第二次调研测试数学理试题)已知函数

f ? x ? 是 R 上的奇

函 数 , 若 对 于 x ? 0 , 都 有 f ? x ? 2 ? ? f ( x) , 当x ? ? 0, 2 ? 时, f ? x ? ? log 2 ? x ? 1? 时, f ? ?2013? ? f ? 2012 ? 的值为 A. ?2 B. ?1 C .1 D.2 ( )

17 . ( 广 东 省 茂 名 市 2013 届 高 三 4 月 第 二 次 高 考 模 拟 数 学 理 试 题 ( WORD 版 ) )函数

f ( x) ? x ? 2 ?
A. [2, ??)

1 的定义域是 x ?3
B . [2,3) C. (??,3) ? (3, ??) D. [2,3) ? ? 3, ?? ?





18 . (广东省揭阳市 2013 年高中毕业班第二次高考模拟 考试理科数学试题)已知函数

f ( x) ?

1 ,则 y ? f ( x) 的图象大致为 x ? ln( x ? 1)

5

19( .广东省惠州市 2013 届高三 4 月模拟考试数学理试题 (WORD 版) ) 已知函数

f ? x ? ? 3x ? x ? 9
( )

的零点为 x0 , 则 x0 所在区间为 A. ? ? , ? 2 2?

? 3 ?

1? ?

B. ? ? , ? 2 2

? 1 1? ? ?

C. ? , ? 2 2

?1 3? ? ?

D. ? , ? 2 2

?3 5? ? ?

20. (广东省广州市 2013 届高三 4 月综合测试(二)数学理试题(WORD 版) )记实数 x1 , x2 ,, xn

中的最大数为 max ? x1 , x2 , …,xn ? ,最小数为 min ? x1 , x2 , …,xn ? ,则

max min ? x ? 1,x 2 ? x ? 1, ? x ? 6? ?
A.

?

?

( D.



3 4

B.1

C .3

7 2
( )

21. (广东省潮州市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)函数 f(x)=|x-2|-lnx 在定

义域内的零点个数为 A.0 B.1
二、填空题

C .2

D.3

22 . (广东省湛江市 2013 届高三 4 月高考测试(二)数学理试题( WORD 版) ) 已知函数

?2 x ( x ? 0) 1 f ( x) ? ? f [ f ( )] log x ( x ? 0 ) ? 3 3 =_______ ,那么
23 . (广东省茂名市 2013 届高三 4 月第二次高考模拟数学理试题( WORD 版) ) 若对任意

x ? A, y ? B, ( A ? R, B ? R )有唯一确定的f ( x, y )与之对应, 则称f ( x, y ) 为 关 于
x、y 的二元函数.现定义满足下列性质的二元函数 f ( x, y ) 为关于实数 x、y 的广义“距 离”; (1)非负性: f ( x, y ) ? 0, 当且仅当x ? y 时取等号; (2)对称性: f ( x, y ) ? f ( y, x) ; (3)三角形不等式: f ( x, y ) ? f ( x, z ) ? f ( z , y ) 对任意的实数 z 均成立. 今给出三个二元函数,请选出所有能够成为关于 x、y 的广义“ 距离”的序号:
2 ① f ( x, y ) ?| x ? y | ;② f ( x, y ) ? ( x ? y ) ;③ f ( x, y ) ?

x ? y.

6

能够成为关于的 x、y 的广义“距离”的函数的序号是____________.
三、解答题 24. (广东省江门佛山两市 2013 届高三 4 月教学质量检测(佛山二模)数学理试题)某水域一

艘装载浓硫酸的货船发生侧翻,导致浓硫酸泄漏,对河水造成了污染.为减少对环境的影 响,环保部门迅速反应,及时向污染河道投入固体碱,个单位的固体碱在水中逐渐溶化, 水 中 的 碱 浓 度 f ( x) 与 时 间 x ( 小 时 ) 的 关 系 可 近 似 地 表 示

x 6 ? 2? ? ? ? 6 x?3 为: f ( x) ? ? ?1 ? x ? ? 6

0? x?3
, 只有当污染河道水中碱的浓度不低 于

3? x ?6

1 时, 3

才能对污染产生有效的抑制作用. (1)如果只投放 1 个单位的固体碱,则能够维持有效的抑制作用的时间有多长? (2)第一次投放 1 单位固体碱后,当污染河道水中的碱浓度减少到

1 时,马上再投放 1 个 3

单位的固体碱,设第二次投放后 水中碱浓度为 g ( x) ,求 g ( x) 的函数式及水中碱浓度的 ...... 最大值.(此时水中碱浓度为两次投放的浓度的累加 ) ..

7

广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 2:函数参考答案
一 、选择题 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.

D 解析: y ? cos x 是偶函数,, y ? 2 x 和 y ? x ? ?? 是非奇非偶函数,故选 D. C B B B D 令 g ( x) ? x ? ln( x ? 1) , 则 g '( x) ? 1 ?

1 x , 由 g '( x) ? 0, 得 x ? 0, 即函数 g ( x) ? x ?1 x ?1

在 (0, ??) 上单调递增,由 g '( x) ? 0 得 ?1 ? x ? 0 ,即函数 g ( x) 在 (?1, 0) 上单调递减, 所 以 当 x ? 0 时 , 函 数 g ( x) 有 最 小 值 , g ( x)min ? g (0) ? 0 , 于 是 对 任 意 的

x ? (?1,0) ? (0, ??) ,有 g ( x) ? 0 ,故排除 B、D,因函数 g ( x) 在 (?1, 0) 上单调递减,则
函数 f ( x ) 在 (?1, 0) 上递增,故排除 C,所以答案选 A.
19. 【解析】 因为 f ? x ? 为增函数, 又f ( ) ?

3 2

27 ?

3 ? 9 ? 0, 2

5 ?5? f ? ? ? 243 ? ? 9 ? 0 . 2 ?2?

故选 D . 20. D 21. C
二、填空题 22.

1 2

23. ①

三、解答题

8

0? x?3 ? ? 3? x ?6 ? ? 24. ⑴由题意知 ? x 6 1 或? x 1 2? ? ? 1? ? ? ? ? 6 x?3 3 ? 6 3
解得 1 ? x ? 3 或 3 ? x ? 4 ,即 1 ? x ? 4 能够维持有效的抑制作用的时间: 4 ? 1 ? 3 小时 ⑵由⑴知, x ? 4 时第二次投入 1 单位固体碱,显然 g ( x) 的定义域为 4 ? x ? 10 当 4? x?6 时 , 第 一 次 投 放 1 单 位 固 体 碱 还 有 残 留 , 故

? 11 x 6 6 ? x ? ? ( x ? 4) g ? x ? = ?1 ? ? + ? 2 ? = ? ? ; ? ? 6 ( x ? 4) ? 3 ? 3 3 x ? 1 ? 6 ? ?
当 6 ? x ? 10 时,第一次投放 1 单位固体碱已无残留,故 当 6 ? x ? 7 时, g ( x) ? 2 ? 当 7 ? x ? 10 时, g ( x) ? 1 ?

8 x 6 ( x ? 4) 6 = ? ? ; ? 6 ( x ? 4) ? 3 3 6 x ? 1 x?4 5 x ? ? ; 6 3 6
4? x?6 6? x?7 7 ? x ? 10
时 ,

6 ?11 x ? 3 ? 3 ? x ?1 ? 6 ?8 x 所以 g ( x) ? ? 3 ? 6 ? x ? 1 ? ?5 x ?3 ? 6 ?


4? x?6

g ( x) ?


10 x ? 1 6 10 x ?1 6 11 x 6 10 ?( ? )? ?2 ? = = ? ? ? 2 2 ; 当且仅 3 x ?1 3 3 x ?1 3 3 3 x ?1 3

x ?1 6 时取“=”,即 x ? 1 ? 3 2 ? [4, 6] (函数值与自变量值各 1 分) ? 3 x ?1 当 6 ? x ? 10 时,第一次投 放 1 单位固体碱已无残留,
当 6 ? x ? 7 时, g ?( x) ?

6 1 ( x ? 5)(7 ? x) ? ? ? 0 ,所以 g ( x) 为增函数; 2 ( x ? 1) 6 6( x ? 1) 2
1 , 2

当 7 ? x ? 10 时, g ( x) 为减函数;故 g ( x) max = g (7) ? 又(

10 1 17 ? 12 2 289 ? 288 ? 2 2) ? ? = ? 0 ,所以当 x ? 1 ? 3 2 时,水中碱浓 3 2 6 6
10 ?2 2 3 10 ?2 2 3

度的最大值为

答:第一次投放 1 单位固体碱能够维持有效的抑制作用的时间为 3 小时;第一次投 放

1 ? 3 2 小时后, 水中碱浓度的达到最大值为

9

广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 3:三角函 数
姓 名____________班级___________学号____________分数______________
一、选择题 25 . ( 广 东 省 肇 庆 市 2013 届 高 三 4 月 第 二 次 模 拟 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数

?? ? f ? x ? ? A sin ? ? x ? ? ( A ? 0, ? ? 0 , x ? ? ??, ?? ? ) 的 最 小 正 周 期 为 ? , 且 6? ?
? ? ?? f ? 0 ? ? 3 ,则函数 y ? f ( x) 在 ? ? , ? 上的最小值是 ? 4 4?
A. ? 6
26





B. ?2 3

C. ?3

D. 2 3

. ( 广 东 省 韶 关 市 2013 届 高 三 4 月 第 二 次 调 研 测 试 数 学 理 试 题 ) 已 知

f ( x) ? 3 cos 2 x ? 2 sin x cos x , 则
B .? 3

13? f( )? 6 3 D. 2 ?

A. 3

3 C. 2

27 . (广东省江门佛山两市 2013 届高三 4 月教学质量检测(佛山二模)数学理试题) 函数

?? ? f ( x) ? sin ? ? x ? ? , x ? [?1, 1] ,则 2? ?
A. f ( x) 为偶函数,且在 [0, 1] 上单调递减; 递增; C. f ( x) 为奇函数,且在 [?1, 0] 上单调递增; 调递减.
28 . (广东省广州市 2013 届高三 4 月综合测试(二)数学理试 题( WORD 版) ) 若函数

( B. f ( x) 为偶函数,且在 [0, 1] 上单调 D. f ( x) 为奇 函数,且在 [?1, 0] 上单



?? ? ?? ? y ? cos ? ? x ? ? ?? ? N* ? 的一个对称中心是 ? ,0 ? ,则 ? 的最小值为 6? ? ?6 ?
A.1
二、填空题 29 . (广东省汕头市 2013 年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷)在 ?ABC ,角





B.2

C .4

D.8

A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 a ? 2, c ? 3, A ? 45? ,则角 C ? ________.

10

30 . (广东省揭阳市 2013 年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题)若点 (a, ?1) 在函

数 y ? log 1 x 的图象上,则 tan
3

4? 的值为________. a

31 . (广东省广州市 2013 届高三 4 月综合测试(二)数学理试题(WORD 版) )已知

? 为锐角,且

?? 3 ? cos ? ? ? ? ? ,则 sin ? ? _______. 4? 5 ?
三、解答题 32. (广东省肇庆市 2013 届高三 4 月第二次模拟数学 (理) 试题) 在 △ ABC 中,内角 A,B,C

所对边的边长分别是 a,b,c . (1)若 c ? 2 , C ?

? 且 △ ABC 的面积等于 3 ,求 cos( A ? B ) 和 a,b 的值; 3 3 12 (2)若 B 是钝角,且 cos A ? ,sin B ? ,求 sin C 的值. 5 13

33.(广东省湛江市 2013 届高三 4 月高考测试(二)数学理试题(WORD 版))如图,已知平面

上直线 l1//l2,A、B 分别是 l1、l2 上的动点,C 是 l1,l2 之间一定点,C 到 l1 的距离 CM = 1 ,
C 到 l2 的距离 CN= a.cosA

3 ,Δ ABC 内角 A、B、C 所对 边分别为 a、b、c,a > b ,且 b.cosB =

(1) 判断三角形 Δ ABC 的形状; (2)记 ?ACM ? ? , f (? ) ?

1 1 ? ,求 f(θ )的最大值. AC BC

34. (广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题(2013深圳二模) )已知 ?ABC

中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边, sin(2C ? (1)求角 C 的大小;(2)求

?

1 ) ? ,且 a 2 ? b2 ? c2 . 2 2

a?b . c

11

?ABC 的三个内角 A,B,C 35( .广东省韶关市 2013 届高三 4 月第二次调研测试数学理试题)
对应的三条边长分别是 a, b, c ,且满足 c sin A ? 3a cos C ? 0 (1)求 C 的值; (2)若 cos A ?

3 , c ? 5 3 ,求 sin B 和 b 的值. 5

36. (广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷)已知函数

f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A, ? ? 0,| ? |?

?
2

) 的图像与 y 轴交于 (0,3 2) ,它在 y 右侧的第

一个最高点和第 一个最低点的坐标分别为 (m,6) 和 ( m ? (1)求函数 f ( x ) 的解析式及 m 的值; (2)若锐角 ? 满足 tan ? ? 2 2 ,求 f (? ) .

?
2

, ?6) .

37. (广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟 数学理试题(WORD版) )如图,A是单位圆与x















,



B,P











,



???? ??? ? ??? ? 3 4 B( ( ? , ) , ?AOB ? ? , ?AOP ? ? ( 0 ? ? ? ? ), OQ ? OA ? OP .设四边形OAQP的 5 5
面积为S, (1) 求 cos(? ?

?
6

??? ? ???? ) ;求 f (? ) = OA ? OQ ? S 的单调递增区间.

38 . ( 广 东 省 揭 阳 市 2013 年 高 中 毕 业 班 第 二 次 高 考 模 拟 考 试 理 科 数 学 试 题 ) 已 知 函数

12

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 , f ( x) ? cos x
(1)求函数 f ( x ) 的定义域; (2)设 ? 是第四象限的角,且 tan ? ? ?

?

4 ,求 f (? ) 的值. 3

39. (广东省江门佛山两市 2013 届高三 4 月教学质量检测(佛山二模)数学理试题)在平面直

角坐标 系 xOy 中,以 Ox 为始边,角 ? 的终边与单位圆 O 的交点 B 在第一象限, 已知 A(?1,3) . (1)若 OA ? OB ,求 tan ? 的值; (2)若 B 点横坐标为

4 ,求 S ?AOB . 5

40 . ( 广 东 省 惠 州 市 2013 届 高 三 4 月 模 拟 考 试 数 学 理 试 题 ( WORD 版 ) )已知

f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? 1 ,( x ? R ,其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ?
2? , ?1) 3

? )的周期为 ? ,且图像 2

上一个最低点为 M (

(1)求 f ( x) 的解析式; (2)当 x ? [0,

? ] 时,求 f ( x) 的值域. 12

41. (广东省广州市 2013 届高三 4 月综合测试(二)数学理试题(WORD 版) )某单位有 A 、 B 、

C 三个工作点,需要建立一个公共无线网络发射点 O ,使得发射点到三个工作点的距离 相等.已知这三个工作点之间的距离分别为 AB ? 80 m , BC ? 70 m , CA ? 50 m .假 定 A 、 B 、 C 、 O 四点在同一平面内. (1)求 ?BAC 的大小; (2)求点 O 到直线 BC 的距离.

13

42 . ( 广 东 省 潮 州 市 2013 届 高 三 第 二 次 模 拟 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数

f ( x) ? 3(sin 2 x ? cos2 x) ? 2 sin x cos x .
(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期;zxxk (Ⅱ)设 x ? [ ?

? ?

, ] ,求 f ( x) 的值域和单调递增区间. 3 3

14

广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 3:三角函数参考答 案
一、选择题 25.

C 解析: A ? 2 3, ? ? 2 ? f ( x) ? 2 3 sin ? 2 x ?

? ?

??
? 6?

由? A 27. A 28. B
26.

?
4

?x?

?
4

??

?
3

? 2x ?

?
6

?

2? ? ?? 得 f min ( x) ? 2 3 sin ? ? ? ? ?3 3 ? 3?

二、填空题 29. 30.

60 ? 或 120?
依题意得 a ? 3 ,则 tan

4? 4? ? 3. = tan a 3

31.

2 10

三、解答题 32.解:(1)∵ A ? B ? C

? ? ,C ?

? , 3

∴ A? B ?? ?C

∴ cos( A ? B ) ? cos(? ? C ) ? ? cos C ? ? cos 由余弦定理及已知条件得, a 2 ? b 2 ? ab ? 4 , 又因为 △ ABC 的面积等于 3 ,所以 联立方程组 ?

?
3

??

1 2

1 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 . 2

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, ?ab ? 4,
3 12 ,sin B ? 5 13
2

解得 a ? 2 , b ? 2 . (2) ∵ B 是钝角,且 cos A ?

4 ?3? ∴ sin A ? 1 ? cos A ? 1 ? ? ? ? 5 ?5?
2

5 ? 12 ? cos B ? ? 1 ? sin B ? ? 1 ? ? ? ? ? 13 ? 13 ?
2

2

∴ sin C ? sin ?? ? ( A ? B) ? ? sin( A ? B)

15

4 ? 5 ? 3 12 16 ? sin A cos B ? cos A sin B ? ? ? ? ? ? ? ? 5 ? 13 ? 5 13 65
33.

34.

16

35.解:(1)因为 c sin

A ? 3a cos C ? 0 由正弦定理得:

2 R sin C sin A ? 2 R 3 sin A sin C ? 0
由 sin A ? 0 所以 tan C ? ? 3 , C ? (0, ? ) ;? C ? (2)由 cos A ?

3 ? 4 , A ? (0, ) 则 sin A ? 1 ? cos 2 A ? , 5 2 5

2? 3

sin B ? sin(? ? A ? C ) ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C

?


4 1 3 3 3 3?4 ? (? ) ? ? ? 5 2 5 2 10
b c c sin B ,b ? ? ?3 3?4 sin B sin C sin C

36.

17

由 tan ? ? 2 2

? ? ? (0, )
2

? sin ? ?

2 2 1 ? cos ? ? 3 , 3

4 4 ? 6 2 sin ? cos ? ? 3 2 (2 cos 2 ? ? 1)
?6 2?

f (? ) ? 6 sin(2? ?

?

) ? 6 sin 2? cos

?

? 6 cos 2? sin

?
4

2 2 1 1 8?7 2 ? ? 3 2[2 ? ( ) 2 ? 1] ? 3 3 3 3

方法二:因为由 tan ? ? 2 2

? ? ? (0, )
2

f (? ) ? 6 sin(2? ?
所以:

?

4 4 2 ? 3 2 (2 sin ? cos ? ? cos ? ? sin 2 ? )

) ? 6 sin 2? cos

?

? 6 cos 2? sin

?
4

3 2 (2 sin ? cos ? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ) sin 2 ? ? cos 2 ? 2 tan ? ? 1 ? tan 2 ? 8 ? 7 2 ?3 2? ? 3 tan 2 ? ? 1 ?

18

37. 38.解:(1)函数 f ( x ) 要有意义,需满足: cos x ? 0 ,

解得 x ?

?
2

? k? , k ? Z ,

即 f ( x ) 的定义域为 {x | x ?

?
2

? k? , k ? Z }
2 2

(2) ∵ f ( x) ?

1 ? 2 sin(2 x ? ) 1 ? 2( sin 2 x ? cos 2 x) 1 ? cos 2 x ? sin 2 x 4 ? 2 2 ? cos x cos x cos x

?

2cos 2 x ? 2sin x cos x ? ? 2(cos x ? sin x) cos x
4 4 2 2 ,得 sin ? ? ? cos ? , 又 sin ? ? cos ? ? 1 3 3 9 3 4 2 ∴ cos ? ? ,∵ ? 是第四象限的角∴ cos ? ? , sin ? ? ? 25 5 5 14 ∴ f (? ) ? 2(cos ? ? sin ? ) ? 5
由 tan ? ? ?
39. ⑴解法 1、

由题可知: A(?1,3) , B (cos ? ,sin ? ) ,

??? ? ??? ? OA ? (?1,3) , OB ? (cos ? ,sin ? )

??? ? ??? ? OA ? OB ,得 OA ? OB ? 0
∴ ? cos ? ? 3sin ? ? 0 , tan ? ? 解法 2、

1 3

19

由题可知: A(?1,3) , B (cos ? ,sin ? )

kOA ? ?3 ,

kOB ? tan ?

∵ OA ? OB ,∴ K OA ? K OB ? ?1

?3 tan ? ? ?1 , 得 tan ? ?

1 3

解法 3、 设 B ( x , y ) ,(列关于 x、y 的方程组 2 分,解方程组求得 x、y 的值 1 分,求正切 1 分) ⑵解法 1、 由⑴ OA ? ∴ sin ? ? ∵ OB ? 1

? (?1) 2 ? (3) 2 ? 10 , 记 ?AOx ? ? , ? ? ( , ? ) 2
3 3 10 ?1 10 , cos ? ? (每式 1 分) ? ?? 10 10 10 10
cos ? ? 4 3 2 , 得 sin ? ? 1 ? cos ? ? (列式计算各 1 分) 5 5

sin ?AOB ? sin( ? ? ? ) ?

3 10 4 10 3 3 10 (列式计算各 1 分) ? ? ? ? 10 5 10 5 10

∴ S ?AOB ? 解法 2、

1 1 3 10 3 AO BO sin ?AOB ? ? 10 ? 1? ? (列式计算各 1 分) 2 2 2 10

由题意得: AO 的直线方程为 3 x ? y ? 0 则 sin ? ? 1 ? cos ? ?
2

3 5

即 B ( , ) (列式计算各 1 分)

4 3 5 5

4 3 3 ? ? 3 5 5 5 则点 B 到直线 AO 的距离为 d ? ? 10 (列式计算各 1 分) 10 10
又 OA ? 分) 解法 3、

(?1) 2 ? (3) 2 ? 10 ,∴ S ?AOB ?

1 1 3 10 3 AO ? d ? ? 10 ? ? (每式 1 2 2 10 2

sin ? ? 1 ? cos 2 ? ?
??? ?

即: OA ? (?1,3) , OB ? ( , ) ,

??? ?

3 5

即 B ( , ) (每式 1 分)

4 3 5 5

4 3 5 5

OA ? (?1) 2 ? (3) 2 ? 10

,

OB ? 1

,

20

??? ? ??? ? ?1? 4 ? 3 ? 3 OA ? OB 5 5 ? 10 cos ?AOB ? ??? ? ??? ? ? 10 10 ?1 OA OB
(模长、角的余弦各 1 分) ∴ sin ?AOB ? 1 ? cos ?AOB ?
2

3 10 10

则 S ?AOB ?

1 1 3 10 3 AO BO sin ?AOB ? ? 10 ? 1? ? (列式计算各 1 分) 2 2 10 2

解法 4、根据坐标的几何意义求面积(求 B 点的坐标 2 分,求三角形边长 2 分,求某个内 角的余弦与正弦各 1 分,面积表达式 1 分,结果 1 分)

40.解:(1)由

f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? 1 的周期为 ? ,知 T ?

2?

?

? ? ,则有 ? ? 2 ;

所以 f ( x) ? A sin(2 x ? ? ) ? 1 因为函数图像有一个最低点 M (

2? , ?1) , A ? 0 , 3

所以 A ? 2



sin(2 ?

2? ? ? ) ? ?1 , 3
(k ? Z )

则有 2 ?

2? 3? ?? ? ? 2 k? 3 2

解得 ? ?

?
6

? 2 k?

(k ? Z ) , 因为 0 ? ? ?

?
2

,所以 ? ?

? 6

所以 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

) ?1

x?R

(2)当 x ? [0,

? ? ? ? ] 时, 2 x ? ? [ , ], 12 6 6 3
?
1 ) ?[ , 6 2

则有 sin(2 x ?

? 3 ] ,所以 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 1 ? [2, 1 ? 3] 6 2

即 f ( x) 的值域为 [2, 1 ? 3]
41. (本小题主要考查解三角形等基础知识,考查正弦定理与余弦定理的应用,本小题满分 12

分) 解:(1)在△ ABC 中,因为 AB ? 80 m , BC ? 70 m , CA ? 50 m ,

21

由余弦定理得 cos ?BAC ?

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 2 ? AB ? AC

?

802 ? 502 ? 702 1 ? 2 ? 80 ? 50 2
? 3

因为 ?BAC 为△ ABC 的内角,所以 ?BAC ?

(2)方法 1:因为发射点 O 到 A 、 B 、 C 三个工作点的距离相等, 所以点 O 为△ ABC 外接圆的圆心 设外接圆的半径为 R , 在△ ABC 中,由正弦定理得 因为 BC ? 70 ,由(1)知 A ?

BC ? 2R , sin A

3 ? ,所以 sin A ? . 2 3
A

70 140 3 70 3 所以 2 R ? ,即 R ? ? 3 3 3 2
过点 O 作边 BC 的垂线,垂足为 D , 在△ OBD 中, OB ? R ?

O B C

70 3 BC 70 , BD ? ? ? 35 , 3 2 2
2

D

? 70 3 ? 2 所以 OD ? OB ? BD ? ? ? 3 ? ? ? 35 ? ?
2 2

?

35 3 . 3

所以点 O 到直线 BC 的距离为

35 3 m 3

方法 2:因为发射点 O 到 A 、 B 、 C 三个工作点的距离相等, 所以点 O 为△ ABC 外接圆的圆心 连结 OB , OC , 过点 O 作边 BC 的垂线,垂足为 D , 由(1)知 ?BAC ? 所以 ?BOC ?

A

?? . 3 ? 所以 ?BOD ? 3

? , 3
B

O C

D

在 Rt △ BOD 中, BD ?

BC 70 ? ? 35 , 2 2

22

所以 OD ?

BD 35 35 3 ? ? ? tan ?BOD tan 60 3

所以点 O 到直线 BC 的距离为

35 3 m 3

42.网解:(Ⅰ)∵

f ( x) ? ? 3(cos2 x ? sin 2 x) ? 2 sin x cos x ? ? 3 cos2 x ? sin 2 x

? ?2 sin( 2 x ?

?
3

)

.

? f ( x) 的最小正周期为 ? .
(Ⅱ)∵ x ? [ ?

zxxk

? ?
3 3 ,

],

??

?
3

? 2x ?

?
3

?? ,

??

3 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 . 2 3

? f ( x) 的值域为 [?2, 3]

? 当 y ? sin( 2 x ?
?

?
3

) 递减时, f ( x) 递增.

?
2

? 2x ?

?
3

? ? ,即

?
12

?x?

?
3

.

故 f ( x ) 的递增区间为 ?

?? ? ? , ? ?12 3 ?

广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 4:平面向

23


姓名____________班级____ _______学号____________分数______________
一、选择题 43 . (广东省肇庆市 2013 届高三 4 月第二次模拟数学(理 )试题) 在 ?ABC 中 , 已知

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? | AB |?| BC |?| CA |? 2 ,则向量 AB?BC ?
A. 2 B. ?2 C. 2 3 D. ?2 3





44 . ( 广 东 省 茂 名 市 2013 届 高 三 4 月 第 二 次 高 考 模 拟 数 学 理 试 题 ( WORD 版 ) )向量

? ? ? ? ? ? ? a ? (2, 0), b ? ( x, y ) ,若 b 与 b ? a 的夹角等于 ,则| b |的最大值为 6
A.4 B.2 3 C .2 D.





4 3 3

45 . (广东 省揭阳市 2013 年高中毕业班第 二次高考模拟考试理科数学试题) 已知点 A (?1,5) 和

向量 a =(2,3),若 AB ? 3a ,则点 B 的坐标为 A.(7,4) B.(7,14) C.(5,4) D.(5, 14)

?

??? ?

?





46 . ( 广 东 省 惠 州 市 2013 届 高 三 4 月 模 拟 考 试 数 学 理 试 题 ( WORD 版 ) )已知向量

? ? ? ? ? a ? (?1,1) , b ? (3, m) , a //(a ? b) ,则 m ?
A. 2 B. ?2 C. ?3 D. 3





47 . (广东省广州市 2013 届高三 4 月综合测试(二)数学理试题(WORD 版) )对于任意向量 a 、

b 、 c ,下列命题中正确的是
b?a b A. a ?
48




2

b ? c ? a ? b?c ? B. a ? b ? a ? b C. ? a ?

D. a ? a? a

. ( 广 东 省 潮 州 市 2013 届 高 三 第 二 次 模 拟 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 设 向 量

? ? ? ? a ? (a1, a2 ) , b ? (b1 , b2 ) ,定义一运算: a ? b ? (a1, a2 ) ? (b1, b2 ) ? (a1b1, a2b2 )
?? 1 2

,

已知 m ? ( , 2) , n ? ( x1 ,sin x1 ) .点 Q 在 y ? f ( x) 的图像上运动,且满足 OQ ? m ? n (其中 O 为坐标原点),则 y ? f ( x) 的最大值及最小正周期分别是 ( )

?

????

??

?

24

A.

1 ,? 2

B.

1 , 4? 2

C. 2, ?

D. 2, 4?

49 . ( 广 东 省 潮 州 市 2013 届 高 三 第 二 次 模 拟 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 向 量

? ? ? ? a ? (1, 3) , b ? (?1,0) ,则 | a ? 2b |?
A. 1
二、填空题 50 . ( 广 东 省 韶 关 市 2013 届 高 三 4 月 第 二 次 调 研 测 试 数 学 理 试 题 ) 已 知 平 面 向 量

( C. 2 D. 4



B. 2

a , b , a ? 1 , b ? 2 , a ? (a ? b) ;则 cos ? a, b ? 的值是______

51. (广东省汕头市 2013 年普通高中高三教学质 量 测试试题(二)理科数学试卷)已知正方形

??? ? ??? ? ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的点,则 DE ? CB 的值为____________.
52. (广东省江门佛山两市 2013 届高三 4 月教学质量检测 (佛山二模) 数学 理试题) 已知向量 a , b

满足 a ? 1, b ?

2 , ? a ? b ? ? a , 向量 a 与 b 的夹角为________.

广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 4:平面向量参考答 案

一、选择题

25

43.

B 解 析: AB ?BC ? AB ? BC cos ? ? ? A

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

? ?

??

? 1? ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? ?2 3? ? 2?

44.

45.

设 B( x, y) ,由 AB ? 3a 得 ?

??? ?

?

?x ?1 ? 6 ,所以选 D. ?y ?5 ? 9
? ? ? ?

46.

【 解 析 】 向 量 a ? (?1,1) , b ? (3, m) , (a ? b) ? (2, m ? 1) , 因 为

? ? ? a //(a ? b ) ∴ ?(m ? 1) ? 2 , m ? ?3 故选 C .
47. 49.

D C

48.

C

二、填空题 50. 51. 1 52.

1 ; 2

?
4

广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 5:数列
姓名____________班级___________学号____________分数______________
一、选择题 53 . (广东省汕头市 2013 年普通高中高三教学质量测试试题 ( 二 ) 理科数学试卷) 已知数列

26

?an?,?bn ?

都 是 公 差 为

1

的 等 差 数 列 , 其 首 项 分 别 为 a1 , b

且 ( )

a1 ? b1 ? 5, a1 ? b1, a1, b2 ? N * ,则数列 ?bn ? 的前 10 项和等于
A.55 B.70 C.85 D.100
54 . (广东省茂名市 2013 届高三 4 月第二次高考模拟数学理试题(WORD 版) )已知等差数列共

有 10 项,其中奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则其公差是 A.5 B.4 C .3 D.2
55 . (广东省揭阳市 2013 年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题)设 f ( x ) 是定义在





(0,1) 上 的 函 数 , 对 任 意 的 y ? x ? 1 都 有 f (

y?x 1 1 ) ? f ( )? f ( ) , 记 xy ? 1 x y
( )

an ? f (

8 1 ? )( n ? N ) , 则 ai = ? n 2 ? 5n ? 5 i ?1

A. f ( )

1 2

B. f ( )

1 3

C. f ( )

1 4

D. f ( )

1 5

56 ( .广东省揭阳市 2013 年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题) 在等差数列

?an ? 中,
( )

首项 a1 ? 0, 公差 d ? 0 ,若 am ? a1 ? a2 ? ?? a9 ,则 m 的值为 A.37 B.36 C.20 D.19
57 . (广东省江门佛山两市 2013 届高三 4 月教学质量检测(佛山二模)数学理试题)已知 数列

{a n } 是等差数列,若 a3 ? a11 ? 24, a 4 ? 3 ,则数列 {a n } 的公差等于
A.1
二、填空题 58 . (广东省湛江市 2013 届高三 4 月高考测试(二)数学理试题(WORD 版) )已知{an}的前 n





B.3

C .5

D.6

项之和为

S n ,a

1

=1, S n = 2a n+1 , 则

S n =______

59 . (广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题(2013深圳二模) )在 n ? n 的方格

中进行跳棋游戏.规定每跳一步只能向左,或向右,或向上,不能向下,且一次连续行走的 路径中不能重复经过同一小方格.设 f ( n) 表示从左下角“○”位置开始,连续跳到右上 角“☆”位置结束的所有不同路径的条数.如图4,给出了 n ? 3 时的一条路径.则 f (3) ? _________; f (n) ? ____________.

27

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能从中选做一题.
60 . (广东省江门佛山两市 2013 届高三 4 月教学质量检测(佛山二模)数学理试题)将集合

{ 2 s ? 2t | 0 ? s ? t 且 s, t ? Z } 中的元素按上小下大 ,左小右大的顺序排成如图的三角 形数表,将数表中位于第行第 j 列的数记为 bi j ( i ? j ? 0 ),则 b65 =________.

3 5 9 ? ? 10 ?
第 13 题图
61 . (广东省惠州市 2013 届高三 4 月模拟考试数学理试题(WORD 版) )在等差数列 {an } 中,有

6 12 ?

a6 ? a7 ? a8 ? 12 ,则此数列的前 13 项之和为__________ .
62. (广东省广州市 2013 届高三 4 月综合测试(二)数学理试题(WORD 版) )数列 {a n } 的项是

由 1 或 2 构成,且首项为 1,在第 k 个 1 和第 k ? 1 个 1 之间有 2k ? 1 个 2,即数列 {a n } 为 :1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,, 记 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 为 S n , 则

S 20 ? ___; S 2013 ? ___.
63. (广东省潮州市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)已知等差数列

?an ? 的首项

a1 ? 1 ,前三项之和 S 3 ? 9 ,则 ?an ? 的通项 an ? ____.
三、解答题 64. (广东省肇庆市 2013 届高三 4 月第二次模拟数学(理)试题)已知数列 {a n } 的前 n 项和为

S n , 对 一 切 正 整 数 n , 点 Pn (n, S n ) 都 在 函 数 f ( x) ? x 2 ? 2 x 的 图 像 上 , 且 过 点 Pn (n, S n ) 的切线的斜率为 k n .
(1)求数列 {a n } 的通项公式. (2)若 bn

? 2 kn a n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

(3) 设 Q ? {x x ? k n , n ? N ? }, R ? {x x ? 2a n , n ? N ? } , 等 差 数 列 {c n } 的 任 一 项

cn ? Q ? R ,其中 c1 是 Q ? R 中的最小数, 110 ? c10 ? 115 ,求 {c n } 的通项公式.
65. ( 广东省湛江市 2013 届高三 4 月高考 测试(二)数学理试题(WORD 版) )已知 x 轴上 有一列点 P 1 ,P2 P 3 , ,P n , ,当 n ? 2 时,点 P n 是把线段 P n - 1 P n + 1

作 n 等分的分点中

28

最靠近

Pn+1

的点, 设线段

P1P2 ,

P2 P3 ,

P 3P 4, ,P n P n + 1

的长度分别



A1, A2, A3,,AN,其中 a1=1.

(1)求 an 关于 n 的解析式; (2 )证明:a1 + a2 + a3 + (3) 设 点 P(n, + an < 3

an ) { n ? 3 ), 在 这 些 点 中 是 否 存 在 两 个 点 同 时 在 函 数

y?

k (k ? 0) ( x ? 1) 2 的图象上?如果存在,求出点的坐标;如果不存在,说明理由.

66. (广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题 (2013深圳二模) ) 已知数列

?an ?,?bn ?

满足: a1 ? 0, b1 ? 2013 ,且对任意 n, an , an?1 , bn 和 an?1 , bn?1 , bn 均为等差数列. (1)求 a2 , b2 的值; (2)证明: ?an ? bn ? 和 ?an ? 2bn ? 均成等比数列; (3)是否存在唯一的正整数 c ,使得 an ? c ? bn 恒成立?证明你的结论.

67. (广东省韶关市 2013 届高三 4 月第二次调研测试数学理试题)如图,过 点 P(1,0)作曲线
2 C: y ? x ( x ? (0,??)) 的切线, 切点为 Q1 , 设点 Q1 在 x 轴上的投影是点 P 1 ; 又过点 P 1

作曲线 C 的切线 , 切点为 Q2 , 设 Q2 在 x 轴上的投影是 P2 ;; 依此下去 , 得到一系列点

Q1 ,Q2, Q3 ??? Qn ,设点 Qn 的横坐标为 an .
(1)求直线 PQ1 的方程; (2)求数列 ?an ? 的通项公式;

(3)记 Qn 到直线 Pn Qn ?1 的距离为 d n ,求证: n ? 2 时,

1 ? 1 ? ....... ? 1 ? 3 d1 d2 dn

29

y

Q2

Q1

o

P (1,0)

P 1

P2

x

68. (广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷 )在数列

?an ?

中, a1 ? 0 ,且对任意 k ? N * , a2k ?1, a2k , a2k ?1 成等差数列,其公差为 2 k . (1)证明: a4 , a5 , a6 成等比数列; (2)求数列 ?an ? 的通项公式;

3 22 32 n2 (3)记 Tn ? ? ? ? ? ,证明: ? 2n ? Tn ? 2(n ? 2) 2 a2 a3 an

69. (广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题(WORD版) )已知曲线C:xy=1,过C

上一点 A n ( xn , yn ) 作一斜率 kn ? ?

1 的直线交曲线C于另一点 A n ?1 ( xn ?1 , yn ?1 ) ,点 xn ? 2
11 . 7

列{ An }的横坐标构成数列{ xn },其中 x1 ? (1)求 xn 与 xn ?1 的关系式; (2)求证:数列 (3)求证: 是等比数列;

70 . ( 广 东 省 揭 阳 市 2013 年 高 中 毕 业 班 第 二 次 高 考 模 拟 考 试 理 科 数 学 试 题 ) 数列

?an ?

, 2, 3, ? ),且 a1,a2,a3 成公比不为 1 的等比 中, a1 ? 3 , an?1 ? an ? cn ( c 是常数, n ? 1
数列. (1)求 c 的值; (2)求 ?an ? 的通项公式; (3)求最小的自然数 n ,使 an ? 2013 .

30

71. (广东省江门佛山两市 2013 届高三 4 月教学质量检测(佛山二模)数学理试题) 设函 数

f 0 ( x) ? x 2 ? e

1 ? x 2

,记 f 0 ( x) 的导函数 f 0?( x) ? f1 ( x) , f1 ( x) 的导函数 f1?( x) ? f 2 ( x) ,

f 2 ( x) 的导函数 f 2?( x) ? f 3 ( x) ,, f n ?1 ( x) 的导函数 f n??1 ( x) ? f n ( x) , n ? 1, 2,? .
(1)求 f 3 (0) ; (2)用 n 表示 f n (0) ; (3)设 S n ? f 2 (0) ? f 3 (0) ? ? ? f n ?1 (0) ,是否存在 n ? N * 使 S n 最大?证明你的结论.
72 . ( 广 东 省 惠 州 市 2013 届 高 三 4 月 模 拟 考 试 数 学 理 试 题 ( WORD 版 ) )已知函数

f ( x) ? log mx ( m 为常数, 0 ? m ? 1 ),且数列 ? f (an)? 是首项为 2 ,公差为 2 的等差数
列. (1) 若 bn ? an ? f (an ) ,当 m ?

2 时,求数列 ?bn? 的前 n 项和 Sn ; 2

(2)设 cn ? an ? lg an ,如果 ?cn? 中的每一项恒小于它后面的项,求 m 的取值范围.

73. (广东省潮州市 2013 届高三第二次模拟考试数学 (理) 试题) 设 a ? 0 ,函数 f ( x ) ?

1 . x ?a
2

(Ⅰ)证明:存在唯一实数 x0 ? (0, ) ,使 f ( x0 ) ? x0 ; (Ⅱ)定义数列 {xn } : x1 ? 0 , xn?1 ? f ( xn ) , n ? N .
*

1 a

(i)求证:对任意正整数 n 都有 x2n?1 ? x0 ? x2n ; (ii) 当 a ? 2 时 , 若 0 ? xk ? 有: xm ? k ? xk ?

1 (k ? 2,3,4,?) , 证 明 : 对 任 意 m ? N * 都 2

1 . 3 ? 4k ?1

74 . ( 广 东 省 潮 州 市 2013 届 高 三 第 二 次 模 拟 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 数 列 {an } 满



:

a1 ? 1, a 2 ?
2

1 2

,



an? 2 ?

an?1 * ( n ? N ). an ? an?1

a1 a1 a2 a1a2 a3 a1an an?1 a2 an?1 an?1 a2 a1 a3 an a1 an?1

???????????

??

31

????????????????

(Ⅰ)求证:数列 {

an } 为等差数列; a n ?1

(Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ)求下表中前 n 行所有数的和 S n .

广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 5:数列参考答案
一、选择题

C 54. C
53.

32

55.

因 an ? f (
8

? (n ? 3) ? (n ? 2) ? 1 1 1 )? f ? ? ? f ( n ? 2 ) ? f ( n ? 3) , 故 n ? 5n ? 5 ? (n ? 3)(n ? 2) ? 1 ?
2

?a
i ?1

i

1 1 1 1 1 1 ? a1 ? a2 ? ? ? a8 ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f ( ) 3 4 4 5 10 11

1 1 11 ? 3 1 ? f ( )? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ,故选 C. 3 11 11? 3 ? 1 4
56. 57.

由 am ? a1 ? a2 ? ?? a9 得 (m ?1)d ? 9a5 ? 36d ? m ? 37 ,选 A. B

二、填空题 58. 59. 60. 61.

3 ( ) n ?1 2
9

n n ?1

80
【解析】等差数列 ?an? 中,有 此数列的前 13 项之和为 52 .

a ?a ?a
6 7

8

? 3a 7 ,? a 7 ? 4,? S 13 ? 13a 7 ? 52 ,故

62.

36 ; 3981

63. 2n ? 1 . 三、解答题 64.解:(1)? 点 Pn ( n, S n ) 都在函数

f ( x) ? x 2 ? 2 x 的图像上,? S n ? n 2 ? 2n(n ? N * ) ,

当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? 2n ? 1. 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3 满足上式,所以数列 {a n } 的通项公式为 an ? 2n ? 1. (2)由 f ( x) ? x ? 2 x 求导可得 f ?( x) ? 2 x ? 2
2

? 过点 Pn (n, S n ) 的切线的斜率为 k n ,? kn ? 2n ? 2 .

? bn ? 2kn an ? 4 ? (2n ? 1) ? 4n . ?Tn ? 4 ? 3 ? 41 ? 4 ? 5 ? 42 ? 4 ? 7 ? 43 ? ???+4 ? (2n ? 1) ? 4 n
由①×4,得 4Tn ? 4 ? 3 ? 42 ? 4 ? 5 ? 43 ? 4 ? 7 ? 4 4 ? ???+4 ? (2n ? 1) ? 4 n ?1 ①-②得:
2 3 n ?3Tn ? 4 ? - 2n ? 1) ? 4 n ?1 ? ?3 ? 4 ? 2 ? ? 4 ? 4 ? ??? ? 4 ? ( ?

① ②

33

2 ? ? 4( 1 ? 4n ?1) ? 4 ?3 ? 4 ? 2 ? ( - 2n ? 1) ? 4n ?1 ? 1? 4 ? ?

?Tn ?

6n ? 1 n ? 2 16 ?4 ? 9 9

(3)? Q ? {x x ? 2n ? 2, n ? N ? }, R ? {x x ? 4n ? 2, n ? N ? } ,? Q ? R ? R . 又? cn ? Q ? R ,其中 c1 是 Q ? R 中的最小数,? c1 ? 6 .

? ?cn ? 是公差是 4 的倍数,? c10 ? 4m ? 6(m ? N * ) .
又?110 ? c10 ? 115 ,? ?

?110 ? 4m ? 6 ? 115 ?m ? N
*

,解得 m ? 27 ,所以 c10 ? 114 ,

设等差数列的公差为 d ,则 d ?

c10 ? c1 114 ? 6 ? ? 12, 10 ? 1 9

? cn ? 6 ? (n ? 1) ? 12 ? 12n ? 6 ,所以 ?cn ? 的通项公式为 cn ? 12n ? 6
65.

34

66.

35

2 67.解:(1)令 Q1 ( a1 , a1 ) ,由 y' ? 2 x 得 k PQ1 ? 2 x1

a12 ? 0 即 ? 2a1 故 a1 ? 2 a1 ? 1
? k PQ1 ? 4 ,则切线 l1 的方程为: 4 x ? y ? 4 ? 0
2 (2)令 Qn (an , an ) ,则 Qn ?1 (an ?1 , an ?1 ), Pn ?1 (an ?1 , 0), ? k Pn?1Qn ?

2

2 an ?0 ? 2an an ? an ?1

化简得

an ? 2, (n ? 2) , an ?1

故数列 ?an ? 是以 2 为首项 2 为公比的等比数列 所以 an ? 2n (3)由(2)知 Pn (2 n ,0) , Qn ?1 (2 n ?1 ,2 2 n ? 2 ) Qn (2 n ,2 2 n ) , 故

k PnQn?1 ?

22 n ? 2 ? 0 ? 2n ? 2 , ? lPnQn?1 : 2n ? 2 x ? y ? 22 n ? 2 ? 0 n ?1 n 2 ?2

36

? dn ?
?

2n ? 2 ? 2n ? 22 n ? 22 n ? 2 (2n ? 2 ) 2 ? 1

?

4n 16 ? 4n ? 1

?

4n 2n ? 4 ? 2n 4

1 4 ? n 12 dn 2

1 [1 ? ( 1 )n ] 1 ? 1 ? ....... ? 1 ? 4[ 1 ? ( 1 )2 ??? ( 1 )n ] ? 4? 2 2 ? 4[1? ( 1 )n ]? 4 d d d 2 2 2 1 2 故 1 2 n 1? 2
68.证明:(Ⅰ)因为 a1

? 0 ,且 ?k ? N ? , a 2 k ?1 , a 2 k , a 2 k ?1 成等差数列,其公差为 2k .



2a 2 k ? a 2 k ?1 ? a 2 k ?1 , a 2 k ? a 2 k ?1 ? a 2 k ?1 ? a 2 k ? 2k

a ? 8, a5 ? 12, a 6 ? 18 , 所以,分别取 k ? 1,2,3 代入解得 4
显然满足

a5 ? a 4 a6

2

,即 a 4 ,

a5 , a 6 成等比数列;

(Ⅱ)由题意可知: 所以

a 2 k ?1 ? a 2 k ?1 ? 4k , 对 ?k ? N ? 恒成立

a 2 k ?1 ? a1 ? (a3 ? a1 ) ? (a5 ? a3 ) ? (a 7 ? a5 ) ? ..... ? (a 2 k ?1 ? a 2 k ?1 )
? (k ? 1)(0 ? 4k ) ? 2k (k ? 1) 2

? 0 ? 4 ? 8 ? 12 ? ...... ? 4k =


a 2 k ?1 ? a 2 k ? 2k ,所以 a 2 k ? a 2 k ?1 ? 2k = 2k (k ? 1) ? 2k ? 2k 2

?n2 ?1 , (n ? 2k ? 1) ? ? 2 an ? ? 2 ? n , ( n ? 2k ) ? ? ?a ? ?2 所以数列 n 的通项公式为 , k?N

n 2 (?1) n ? 1 an ? ? ,n? N? 2 4 或写为 (注意:以上三种写法都给全分)
T ? 2 2n ? Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 (Ⅲ)先证右边:(1)当 n ? 2 时, n , 显然满足结论.

(2)当 n ? 2 时,因为 n 为奇数时,

an ?

n2 ?1 2 ,

n2 2n 2 n2 2 1 ? ? 1 ? 2 ?2 2? ?? 2 ? ?? ? ? a an n ?1 n ?1 ? n ?1 n ?1? 所以 n ,且

37

2 2 n2 n ? 2 2 ? n ? 0 an ? an 2 , an 当 n 为偶数时, ,

Tn ?
综上可知 所以

2 2 32 n2 ? ? ........ ? ? 2(n ? 1) a 2 a3 an ,当 n ? 2 时取等号

2n ? Tn ? 2n ? 2(n ? 1) ? 2 对任意的 n ? 2, n ? N ? 成立.


再证左边: 因

2n ? Tn ? 2n

?(

2 2 32 ? ?. a 2 a3
?

n2 22 32 n2 . ? . ) .? 2 .? (2. ? . ) ? . (2 ? ) ? ... ? (2 ? ) an a2 a3 an

所以(1)当 n ? 2k ? 1, k ? N 时

2n ? Tn ? 2 ? 0 ?

2 2 2 2 ?0? 2 ?0? 2 ? .... ? 0 ? 3 ?1 5 ?1 7 ?1 (2k ? 1) 2 ? 1
2

1 1 1 1 ? 1 ? ? 1 1 ?1 ? 2 ? ?( ? ) ? ( ? ) ? .... ? ( ? )? ? 2 ? ? ? ? 4 6 2k 2k ? 2 ? ? 2 4 ? 2 2k ? 2 ? 3 1 3 ? ? ? 2 2k ? 2 2
(2)当 n ? 2k , k ? N 时
?

2n ? Tn ? 2 ? 0 ?

2 2 2 2 ?0? 2 ?0? 2 ? .... ? 0 ? ?0 3 ?1 5 ?1 7 ?1 (2k ? 1) 2 ? 1
2

1 1 1 1 ? ? 1 1 ?1 1 ? ? 2 ? ?( ? ) ? ( ? ) ? .... ? ( ? )? ? 2 ? ? ? ? 4 6 2k ? 2 2k ? ? 2 4 ? 2 2k ? 3 1 3 ? ? ? 2 2k 2
3 ? 2n ? Tn ? 2 ? ? n ? N , n ? 2 综上可知对 ,2 成立.

38

69. 70.解:(1) a1

? 3 , a2 ? 3 ? c , a3 ? 3 ? 3c ,
2

∵ a1 , a2 , a3 成等比数列,∴ (3 ? c) ? 3(3 ? 3c) , 解得 c ? 0 或 c ? 3 当 c ? 0 时, a1 ? a2 ? a3 ,不符合题意舍去,故 c ? 3 (2)当 n ≥ 2 时,由 a2 ? a1 ? c , a3 ? a2 ? 2c , an ? an?1 ? (n ?1)c ,

n(n ? 1) c 2 3 3 2 3, ?) 又 a1 ? 3 , c ? 3 ,∴ an ? 3 ? n(n ? 1) ? (n ? n ? 2)(n ? 2, 2 2
得 an ? a1 ? [1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)]c ?

39

当 n ? 1 时,上式也成立,∴ an ? (3)由 an ? 2013 得 ∵ n ? N ? ,∴ n ?

3 2 (n ? n ? 2)(n ? N ? ) 2

3 2 (n ? n ? 2) ? 2013 ,即 n2 ? n ? 1340 ? 0 2

1 1 ? 4 335 1 ? 4 ? 18 ? ? 36 2 2 2

令 n ? 37 ,得 a37 ? 2001 ? 2013 ,令 n ? 38 得 a38 ? 2112 ? 2013 ∴使 an ? 2013 成立的最小自然数 n ? 38
71. ⑴易得,
1 ? 1 ? ? x f1 ? x ? ? ? ? x 2 ? 2 x ? e 2 , ? 2 ? 1

?1 ? ? x f2 ? x ? ? ? x2 ? 2x ? 2 ? e 2 ?4 ?
1 3 ? 1 ? ? x f3 ? x ? ? ? ? x 2 ? x ? 3 ? e 2 ,所以 f3 (0) ? ?3 2 ? 8 ?

⑵不失一般性,设函数 f n ?1 ( x) ? an ?1 x ? bn ?1 x ? cn ?1 ? e 的导函数为
2

?

?

?x

f n ( x) ? ? an x 2 ? bn x ? cn ? ? e ? x ,其中 n ? 1, 2,? ,常数 ? ? 0 , a0 ? 1, b0 ? c0 ? 0 .
对 f n ?1 ( x) 求导得: f n??1 ( x) ? [? ? an ?1 x ? (2an ?1 ? ? ? bn ?1 ) x ? (bn ?1 ? ? ? cn ?1 )] ? e
2

?x

?? ? ?a 故由 f n??1 ( x) ? f n ( x) 得: an n ?1

bn ? 2an ?1 ? ? ? bn ?1 cn ? bn ?1 ? ? ? cn ?1
n

? ? ? ②, ?

①,



由①得: an ? ? , n ? N , 代入②得: bn ? 2 ? ? 故得: bn ? 2n ? ?
n ?1 n ?1

? ? ? bn ?1 ,即

?

bn
n

?

2

?

?

? n ?1

bn ?1

,其中 n ? 1, 2,?

,n? N
n?2

代入③得: cn ? 2n ? ?

? ? ? cn ?1 ,即 ,n? N ,
n?2

?

cn
n

?

2n

?

2

?

? n ?1

cn ?1

,其中 n ? 1, 2,? .

故得: cn ? n(n ? 1) ? ?

n?2

因此 f n (0) ? cn ? n(n ? 1) ? ?

,n? N .

40

1 1 n?2 代入得: f n (0) ? n(n ? 1)(? ) ,其中 n ? N 2 2 1 n ?1 (2)由(1)知 f n ?1 (0) ? n(n ? 1)(? ) , 2
将? ? ? 当 n ? 2k (k ? 1, 2,?) 时, S 2 k ? S 2 k ?1 ? f 2 k ?1 (0) ? 2k (2k ? 1) ? ( ? )

1 2

2 k ?1

? 0,

? S 2 k ? S 2 k ?1 ? 0, S 2 k ? S 2 k ?1 ,故当 S n 最大时, n 为奇数
当 n ? 2k ? 1(k ? 2) 时, S 2 k ?1 ? S 2 k ?1 ? f 2 k ? 2 (0) ? f 2 k ?1 (0)

1 2 k ?1 2 1 1 ? f 2 k ? 2 (0) ? f 2 k ?1 (0) ? (2k ? 1)(2k ? 2)( ? ) 2 k ? 2k (2k ? 1)( ? ) 2 k ?1 2 2 1 ? (2k ? 1)(k ? 1)(? ) 2 k ?1 ? 0 , 2
又 f 2 k ? 2 (0) ? (2k ? 1)(2k ? 2)( ? )
2k

1 2

, f 2 k ?1 (0) ? 2k (2k ? 1)( ? )

? S 2 k ?1 ? S 2 k ?1 ,因此数列 ?S 2 k ?1? (k ? 1, 2,?) 是递减数列
又 S1 ? f 2 (0) ? 2 , S3 ? f 2 (0) ? f 3 (0) ? f 4 (0) ? 2 , 故当 n ? 1 或 n ? 3 时, S n 取最大值 S1 ? S3 ? 2

72.

(1) 证:由题意 f (an ) ? 2 ? ( n ? 1) ? 2 ? 2n ,即 log man ? 2n ,

? an ? m2 n
bn ? an ? f (an) ? 2n ? m 2 n ,
当m ?

1 n ?1 2 时, bn ? an ? f (an ) ? n ? ( ) 2 2 1 2
0

∴ Sn ? 1 ? ( ) ? 2 ? ( ) ? 3 ? ( ) ? ? ? n ? ( )
1 2

1 2

1 2

1 2

n ?1

,



1 1 1 1 1 Sn ? 1? ( )1 ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( )3 ? ? ? n ? ( ) n 2 2 2 2 2
①-②,得



1 1 1 1 1 1 1 Sn ? ( )0 ? ( )1 ? ( ) 2 ? ( )3 ? ? ? ( ) n ?1 ? n ? ( ) n 2 2 2 2 2 2 2

1 1? (1 ? ( ) n ) 2 ? n ? ( 1 )n ? 1 2 1? ( ) 2

41

∴ Sn ? ?(n ? 2) ? ( )

1 2

n ?1

?4
?

(2) 解:由(1)知, cn ? an ? lg an ? 2n ? m 2 n lg m ,要使 cn ? cn ?1 对一切 n ? N 成立, 即 n lg m ? (n ? 1)m 2 lg m 对一切 n ? N 成立
?

? 0 ? m ? 1,? lg m ? 0 ? n ? (n ? 1)m 2 ,对一切 n ? N ? 恒成立,
只需 m ? (
2

n ) min , n ?1

n 1 n 1 ? 1? ) min ? 单调递增,∴当 n ? 1 时, ( n ?1 n ?1 n ?1 2
∴m ?
2

1 2 ,且 0 ? k ? 1 , ∴ 0 ? m ? 2 2
2 ) 满足条件 2

综上所述,存在实数 m ? (0,
73. (Ⅰ)证明: ①

f ( x) ? x ? x3 ? ax ?1 ? 0
1 a 1 ? 0, a3

令 h( x) ? x3 ? ax ?1 ,则 h(0) ? ?1 ? 0 , h( ) ? ∴ h(0) ? h( ) ? 0

1 a

又 h/ ( x) ? 3x2 ? a ? 0 ,∴ h( x) ? x3 ? ax ?1 是 R 上的增函数 故 h( x) ? x ? ax ?1 在区间 ? 0,
3

? ?

1? ? 上有唯一零点, a?

即存在唯一 实数 x0 ? ? 0,

? ?

1? ? 使 f ( x0 ) ? x0 a?
1 ? 1? , 由①知 x0 ? ? 0, ? , 即 x1 ? x0 ? x2 成 a ? a? 1 在 ? 0, ??? 上是减函数 , x ?a
2

②当 n ? 1 时 , x1 ? 0 , x2 ? f ( x1 ) ? f (0) ? 立;

设当 n ? k ( k ? 2) 时 , x2k ?1 ? x0 ? x2k , 注意到 f ( x ) ? 且 xk ? 0 , 故有: f ( x2k ?1 ) ? f ( x0 ) ? f ( x2k ) ,即 x2k ? x0 ? x2k ?1

42

∴ f ( x2k ) ? f ( x0 ) ? f ( x2k ?1 ) , 即 x2k ?1 ? x0 ? x2k ? 2 .这就是说, n ? k ? 1 时,结论也成立. 故对任意正整数 n 都有: x2n?1 ? x0 ? x2n (2)当 a ? 2 时,由 x1 ? 0 得: x2 ? f ( x1 ) ? f (0) ?

1 1 , x2 ? x1 ? 2 2

x3 ? x2 ?

2 2 x2 ? x12 x2 ? x1 x2 ? x1 1 1 1 1 ?1? ? ? ? x ? x ? ? ? 2 1 ? ? 2 2 4 2 4 x2 ? 2 x12 ? 2 ( x2 ? 2)( x12 ? 2) ?4?

当 k ? 2 时,? 0 ? xk ?

1 , 2

xk ? xk ?1 xk ? xk ?1 xk ? xk ?1 xk2 ? xk2?1 1 1 ? ? x ? x ? ? ? ∴ k ?1 k 4 4 xk2 ? 2 xk2?1 ? 2 ( xk2 ? 2)( xk2?1 ? 2)
?1? ?1? ? ? ? ? xk ?1 ? xk ?2 ? ? ? ? ? ?4? ?4?
*

2

k ?2

1? ? x3 ? x2 ? ? ? ? ?4?

k

对 ?m ? N , xm?k ? xk ? ( xm?k ? xm?k ?1 ) ? ( xm?k ?1 ? xm?k ?2 ) ? ?? ( xk ?1 ? xk )

? xm?k ? xm?k ?1 ? xm?k ?1 ? xm?k ?2 ??? xk ?1 ? xk
1 1 1 ? ? 1 ? ? m?1 ? m?2 ? ? ? 2 ? ? 1? xk ?1 ? xk 4 4 4 ? ?4

1 4m x ? x ? 4 ? ? 1 ? 1 ? ? x ? x ? 4 ? 1 ? 1 ? k ?1 k m ? 1 k ?1 k 3 ? 3 4k 3 ? 4k ?1 ? 4 ? 1? 4 1?
74.解:(Ⅰ)由条件 a1 ? 1, a 2 ?

an?1 1 , an? 2 ? ,得 2 an ? an?1

2

a an ? 2 a n ?1 a ? ? n ?1 ? n ? 1 an ?1 an ? an ?1 an ? 2 an ?1
∴ 数列 {

an } 为等差数列. a n ?1
an a ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 1 an ?1 a2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得



a1 a1 a2 a ? ? ? ? ? n ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n! an a n a 2 a3

43



an ?

1 n!
( k ? 1,2,?, n )

(Ⅲ)?

ak an?k ?1 (n ? 1)! k ? Cn ? ?1 k!(n ? k ? 1)! an?1



第 n 行各数之和

a1an a2 an?1 a a ? ? ?? ? n 1 an?1 an?1 an?1
( n ? 1, 2, ?? )zxxk

1 2 n n?1 ? Cn ?2 ?1 ? Cn?1 ? ? ? Cn?1 ? 2

∴ 表中前 n 行所有数的和

S n ? (22 ? 2) ? (23 ? 2) ? ? ? (2n?1 ? 2)
? (22 ? 23 ? ? ? 2n?1 ) ? 2n
? 22 (2n ? 1) ? 2n ? 2n? 2 ? 2n ? 4 . 2 ?1

广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 6:不等式
姓名___________ _班级___________学号____________分数______________
一、选择题

44

75 . (广东省肇庆市 2013 届高三 4 月第二次模拟数学(理)试题)已知变量 x, y 满足约束条

? y?3 ? 件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 2 x ? y 的最优解是 ?x ? y ? 1 ?
A.5 B. ?7 C. (4,3) 或 (?2,3) D. 5 或 ?7





76 . (广东省韶关市 2013 届高三 4 月第二次调研测试数学理试题)将高一(6)班 52 名学生分

成 A,B 两组参加学校组织的义务植树活动,A 组种植 150 棵大叶榕树苗,B 组种植 200 棵 红枫树苗.假定 A,B 两组同时开始种植.每名学生种植一棵大叶榕树苗用时 2 小时,种植 5 一棵枫树苗用时 1 小时.完成这次植树任务需要最短时间为 2 A. ( D. )

10 3

B.

60 19

C.

25 8

23 8

77 . (广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷)给出平面区域

G,如图所示,其中 A(5,3), B(2,1), C(1,5) ,若使目标函数 z ? ax ? y(a ? 0) 取得最小值 的最优解有无穷多个,则 a 的值为

( A.



1 2

B.

2 3

C .2

D.4

78 . (广东省江门佛山两市 2013 届高三 4 月教学质量检测(佛山二模)数学理试题) 直线

? x?0 ? y?0 ? 表 示的平面区域的公共点有 2 x ? y ? 10 ? 0 与不等式组 ? x ? y ? ? 2 ? ? ?4 x ? 3 y ? 20
A. 0 个 B.个 C. 2 个 D.无数个





79 . (广东省广州市 2013 届高三 4 月综合测试(二)数学理试题(WORD 版) )某辆汽车购买时

45

的费用是 15 万元,每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为 1.5 万元. 年维修保养费 用第一年 3000 元,以后逐年递增 3000 元,则这辆汽车报废的最佳年限(即使用多少年的 年平均费用最少)是 A.8 年 B.10 年 C.12 年 D.15 年 ( )

? y?x ? 80 ( .广东省潮州市 20 13 届高三第二次模拟考试数学 (理) 试题) 已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 1 , ? y ? ?1 ?
则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为 A. ? 3
二、填空题 81 . (广东省肇庆市 2013 届高三 4 月第二次模拟数学(理)试题) | 2 x ? 1|?| 5 ? x | 的解集是

( C. 5 D. 6



B.

1 2

_________________
82 ( .广东省湛江市 2013 届高三 4 月高考测试 (二) 数学理试题 (WORD 版) ) 不等式|x 2 -3x+ 1|<1

的解集为______.
83 . (广东省 深圳市 2013 届高三第二次调研考试数学理试题( 2013 深圳二模) ) 已知向量

? x ? 0, y ? 0 ? ???? ? ? ? a ? (1, ?2) , M 是平面区域 ? x ? y ? 1 ? 0 内的动点, O 是坐标原点,则 a ? OM 的最 ?2 x ? y ? 4 ? 0 ?
小值是_____________.
84. (广东省韶关市 2013 届高三 4 月第二次 调研测试数学理试题) 已知 ?x ? R ,使 不等式

log 2 (4 ? a ) ? 3 ? x ? 3 ? x ? 1 成立,则实数 a 的取值范围是 ________.
85. (广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷)若 ?x ? R ,使

| x ? a | ? | x ? 1|? 4 成立,则实数 a 的取值范围是____________.
86. (广东省揭阳市 2013 年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题) 已知点 P( x, y) 满足

46

?0 ? x ? 1, 则点 Q( x ? y, y) 构成的图形的面积为___________. ? ?0 ? x ? y ? 2.
87. (广东省惠州市 2013 届高三 4 月模拟考试数学理试题(WORD 版) )设变量 x,y 满足约束条

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则目标函数 z ? 3 x ? 2 y 的最小 值为________. ?x ?1 ? 0 ?
88 . (广东省广州市 2013 届高三 4 月综合测试(二)数学理试题( WORD 版) ) 已知函数

f ? x ? ? x2 ? 2x
M?

,





? ?? x, y

f ?x ? ? f ?≤ y 2? , N ? ?? x,y ? f ? x ? ? f ? y ?≥0? ,则 M ? N 所构成 ?

平面区域的面积为________.
89. (广东省潮州市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)已知不等式

x ? 2 ? 1的解集

与不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集相同,则 a ? b 的值为_____
2

广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 6:不等式参考答案
一、选择题 75.

C

解 析 : 约 束 条 件 对 应 的 三 个 “ 角 点 ” 坐 标 分 别

为 : A(1, 0), B (4,3), C ( ?2,3) , z A ? 2, z B ? 5, zC ? ?7 , 所 以 z ? 2 x ? y 的 最 优 解 为

47

(4,3) 或 (?2,3)
76. 77. 78. 79. 80.

C D B B C

二、填空题 81.

4 (??, ?6) ? ( , ??) 3
析:∵ | 2 x ? 1|?| 5 ? x | ,∴ (2 x ? 1) 2 ? (5 ? x) 2 ,∴ 3 x 2 ? 14 x ? 24 ? 0 ,∴ x ? ?6 或 x ?



4 . 3

82.

(0,1) ? (2,3)

83. ?3 84. [2, 4) ; 85. [?3,5] 86.令 x ? y ? u , y ? v ,则点 Q (u , v) 满足 ?

?0 ? u ? v ? 1, ,在 uov 平面内画 ?0 ? u ? 2.

v 2

v=u v=u-1

o 1 -1 2 u=2

u

出点 Q (u , v) 所构成的 平面区域如图, 易得其面积为 2.
87. 【解析】做出不等式对应的可行域如图,

由 z ? 3x ? 2 y 得 y ?

3 z 3 z x ? ,由图象可知当直线 y ? x ? 经过点 C (0, 2) 时,直线 2 2 2 2

y?

3 z x ? 的截距最大,而此时 z ? 3x ? 2 y 最小为 z ? 3x ? 2 y ? ?4 . 2 2

48

88.

2?
.

89. -1

49

广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 7:立体几 何
姓名____________班级___________学号____________分数______________
一、选择题 90 . (广东省湛江市 2013 届高三 4 月高考测试(二)数学理试题(WORD 版) )某几何体的一条

棱长为 7 ,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为 6 的线段,在该几何体的侧 视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段,则 a + b 的最大值为 A. 2 2 B.2 3 C .4 D. 2 5 ( )

91 . (广东省韶关市 2013 届高三 4 月第二次调研测试数学理试题)一空间几何体的三视图如

8 5 右图所示,该几何体的体积为 12π + ,则正视图与侧视图中 x 的值为 3

A.5

B .4

C .3

D.2

92 . (广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷)某三棱锥的三

视图如图所示,该三棱锥的体积是 A.

( C.



40 3

B.

20 5 3

50 3

D.

41 6

93 . (广东省揭阳市 2013 年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题)一个棱长为 2 的正

方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图 如图(1)示,则该几何体的体积为 A.7 B.

( D.



22 3

C.

47 6

23 3

50

正视图

侧视图

94 . (广东省江门佛山两市 2013 届高三 4 月教学质量检测(佛山二模)数学理试题)下列命题

中假命题 是 ( ... A.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行; B.垂直于同一条直线的两条直线相互垂直; C.若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; D.若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行,那么这两个平 面相互平行. 95 . (广东省惠州市 2013 届高三 4 月模拟考试数学理试题(WORD 版) )如图是某简单组合体的 三视图,则该组合体的体积为



( A. 36 3(? ? 2) B. 36 3(? ? 2) C. 108 3? D. 108( 3? ? 2)



96 . (广东省广州市 2013 届高三 4 月综合测试 (二) 数学理试题 (WORD 版) ) 一个圆锥的正(主)

视图及其尺寸如图 2 所示.若一个平行于 1﹕7 的上、下两部分,则截面的面积为 A.

圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为 ( C. )

1 ? 4

B. ?

9 ? 4

D. 4 ?

4

6 图2
97 . (广东省潮州市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)已知一个几何体的三视图

51

及其大小如图 1,这个几何体的体积 V ? A. 12? B. 16? C. 18? D. 64?





二、填空题 98. (广东省肇庆市 2013 届高三 4 月第二次模拟数学(理)试题)图 2 是一个组合体 的三视图,

根据图中数据,可得该几何体的表面积等于(几何体的接触面积可忽略不 计)___________

99. (广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题(2013深圳二模) )某简单组合体的

三视图如图2,其中正视图与侧视图相同(尺寸如图,单位:cm),则该组合体的体积是 ________ cm (结果保留 ? )
3

100. (广东省茂名市 2013 届高三 4 月第二次高考模拟数学理试题(WORD 版) )一个几何体的三

视图如图所示,则这个几何体的体积为___

52

101 . ( 广 东 省 惠 州 市 2013 届 高 三 4 月 模 拟 考 试 数 学 理 试 题 ( WORD 版 ) )已知集合

A ={直线}, B ={平面}, C ? A? B . A、B、C,
若 a ? A, b ? B, c ? C ,给出下列四个命题: ①?

?a // b ?a ? b ?a // b ? a // c ② ? ? a // c ③ ? ?a?c ?c // b ?c ? b ?c ? b ?a ? b ?a?c ?c // b
其中所有正确命题的序号是__________.

④?

三、解答题 102. (广东省肇庆市 2013 届高三 4 月第二次模拟数学 (理) 试题) 如图 5 ? 1 ,在直角梯形 ABCD
o o 中 , 已 知 AD // BC , AD ? AB ? 1 , ?BAD ? 90 , ?BCD ? 45 , AE ? BD . 将

?ABD 沿对角线 BD 折起(图 5 ? 2 ),记折起后点 A 的位置为 P 且使平面 PBD ? 平面 BCD . (1)求三棱锥 P ? BCD 的体积; (2)求平面 PBC 与平面 PCD 所成二面角的平面角的大小.

103.(广东省湛江市 2013 届高三 4 月高考测试(二)数学理试题(WORD 版))如图,在长方

体 ABCD 一 A1B1C1D1 中,AA1=2, AD = 3 , E 为 C D 中点,三棱 锥 A1- A B 1 E 的体积 是6. (1) 设 P 是棱 BB1 的中点,证明:CP//平面 AEB1;

53

(2) 求 AB 的长; (3)求二面角 B—AB1-E 的余弦值.

104. (广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题(2013深圳二模) )如图6,已知四边

形 ABCD 是矩形, AB ? 2 BC ? 2 ,三角形 PAB 是正三角形,且平面 ABCD ? 平面 PCD . (1)若 O 是 CD 的中点,证明: BO ? PA ; (2)求二面角 B ? PA ? D 的余弦值.

105. (广东省韶关市 2013 届高三 4 月第二次调研测试数学理试题)如图甲,在平面四边形 ABCD

中,已知 ?A ? 45 , ?C ? 90 , ?ADC ? 105? , AB ? BD ,现将四边形 ABCD 沿 BD 折起,
? ?

54

使平面 ABD ? 平面 BDC(如图乙),设点 E、F 分别为棱 AC、AD 的中点. (1)求证:DC ? 平面 ABC; (2)求 BF 与平面 ABC 所成角的正弦值; (3)求二面角 B-EF-A 的余弦值.
A

A

F E
D B

D
C 甲

B C 乙

106. (广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷)如图,在梯形

ABCD 中 AB / / CD , AD ? CD ? CB ? a, ?ABC ? 60? , 平面 ACFE ? 平面 ABCD ,
四边形 ACFE 是矩形, AE ? a ,点 M 在线段 EF 上. (1)求证: BC ? 平面 ACFE ; (2)当 EM 为何值时, AM / / 平面 BDF ?证明你的结论; (3)求二面角 E ? EF ? D 的余弦值.

107. (广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题(WORD版) )如图,在边长为4的

菱形ABCD中, ?DAB ? 60? ,点E,F分别在边CD,CB上,点E与点C,点D不重合, EF ? AC ,

EF ? AC ? O , 沿 EF 将 ?CEF 折 起 到 ?PEF 的 位 置 , 使 得 平 面 PEF ? 平 面 ABFED (1)求证: BD ? 平面 POA ???? ??? ? (2)设AO ? BD=H,当O为CH中点时,若点Q满足 AQ=QP ,求直线OQ与平面PBD所成角的正
弦值.

55

108. (广东省揭阳市 2013 年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题)在图(4)所示的长

方形 ABCD 中, AD=2AB=2,E、F 分别为 AD、BC 的中点, M 、N 两点分别在 AF 和 CE 上运 动,且 AM=EN= a (0 ? a ? 2). 把长方形 ABCD 沿 EF 折成大小为 ? 的二面角 A-EF-C,如图 (5)所示,其中 ? ? (0,
C F

?
2

]
B 图 ( 4) A

N D C E

M

D

N

F M

B 图 ( 5)

E

A
0

(1)当 ? ? 45 时,求三棱柱 BCF-ADE 的体积; (2)求证:不论 ? 怎么变化,直线 MN 总与平面 BCF 平行; (3)当 ? ? 90 且 a ?
0

2 . 时,求异面直线 MN 与 AC 所成角余弦值. 2

109. (广东省江门 佛山两市 2 013 届高三 4 月教学质量检测(佛山二模)数学理试题)如图甲,

设 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 3 , 点 E、F 分 别 在 AB、CD 上 , 并 且 满 足

AE ? 2 EB,CF ? 2 FD ,如图乙,将直角梯形 AEFD 沿 EF 折到 A1 EFD1 的位置,使点
A1 在平面 EBCF 上的射影 G 恰好在 BC 上.
(1)证明: A1 E // 平面 CD1 F ; (2)求平面 BEFC 与平面 A1 EFD1 所成二面角的余弦值.

56

A1
A D F E
B
图甲

D1

E

F B

C
第 18 题图

G
图乙

C

110. (广东省惠州市 2013 届高三 4 月模拟考试数学理试题 (WORD 版) ) (本小题满分14 分)如图,

ABC ? A1B1C 1 中,侧棱与底面垂直, AB ? AC , AB ? AC ? AA1 ? 2 ,点 M , N 分别为

A1B 和 B1C1 的中点. (1)证明: MN // 平面A1 ACC 1 ;
A1 B1 M A B C N C1

(2)求二面角 N ? MC ? A 的正弦值.

111. (广东省广州市 2013 届高三 4 月综合测试(二)数学理试题(WORD 版) )等边三角形 ABC

的边长为 3,点 D 、 E 分别是边 AB 、 AC 上的点,且满足

AD CE 1 ? ? (如图 DB EA 2

3).将△ ADE 沿 DE 折起到△ A1 DE 的位置,使二面角 A1 ? DE ? B 成直二面角 ,连结

A1 B 、 A1C (如图 4).

57

(1)求证: A1 D ? 平面 BCED ; (2)在线段 BC 上是否存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60? ?若存在,求 出 PB 的长,若不存在,请说明理由. A

A1
D E B 图3 C B 图4 D E C

112. (广东省潮州市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)如图所示,已知 AB 为圆 O

1 DB ,点 C 为圆 O 上一点,且 BC ? 3 AC . 3 点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , PD ? DB . (1)求证: PA ? CD ;(2)求二面角 C ? PB ? A 的余弦值.
的直径,点 D 为线段 AB 上一点,且 AD ? P

A C

D

O

B

第 18 题图

58

广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 7:立体几何参考答 案
一、选择题

C 91. C 92. A
90. 93.

依题意可知该几何体的直观图如右上图,其体积为. 2 ? 2 ? ?
3

1 1 23 ? 1? 1? 1 ? ,故选 3 2 3

D.

B 95. 【解析】由三视图可知几何体是由截面相同的半个圆锥与半个三棱锥组合而成的.圆椎
94.











6

,















12

,





1 1 1 1 6 3 . V ? ? ? ? ? 36 ? 6 3 ? ? ? 12 ? 6 ? 6 3 ? 36 3(? ? 2) 故选 B . 3 2 3 2
C 97. B
96. 二、填空题 98.

40? 解析:从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的 ,其表面及


S ? 4? ? 22 ? 2 ? ? ? 22 ? 2? ? 2 ? 6 ? 48? .

99. 1 ?

? 3

100.

10 3
当 C 表示平面时,①②③都不对,故选④正确.

101. 【解析】由题意知: C 可以是直线,也可以是平面 , 三、解答题 102.解:(1)∵平面 PBD ? 平面 BCD , PE ? BD ,

PE ? 平面 PBD ,平面 PBD ? 平面 BCD ? BD , ∴ PE ? 平面 BCD , 即 PE 是三棱锥 P ? BCD 的高,
又∵ AD // BC , AD ? AB ? 1 , ?BAD ? 90 , ?BCD ? 45 ,
o o

∴ ?ABD ? ?CBD ? 45 , ?BDC ? 90 ,
o o

59

CD ? BD ? AB 2 ? AD 2 ? 2 ,
∴ PE ? AE ? AB sin 45o ?

2 , 2

S ?BCD ?

1 1 BD ? CD ? ? 2 ? 2 ? 1 , 2 2

∴三棱锥 P ? BCD 的体积 V ?

1 1 2 2 . S ?BCD ? PE ? ? 1? ? 3 3 2 6

(2)方法一: ∵ PE ? 平面 BCD , CD ? 平面 BCD ,∴ CD ? PE 又∵ CD ? BD , PE ? PD ? P ,∴ CD ? 平面 PBD , ∵ PD ? 平面 PBD ,∴ CD ? PD ∴ PC 2 ? CD 2 ? PD 2 ? 3 ∵ BD ?

2, CD ? 2, ?BDC ? 900 ,∴ BC 2 ? BD 2 ? CD 2 ? 4

∴ BC 2 ? PB 2 ? PC 2 ∴ ?BPC ? 900 ,即 PB ? PC 由已知可知 PB ? PD , ∵ PD ? PC ? P ,∴ PB ? 平面 PBC ∵ PB ? 平面 PBC ,∴平面 PBC ? 平面 PBC 所以平面 PBC 与平面 PCD 所成二面角的平面角的大小为 90o . 方法二: 过 E 作直线 EG // DC ,交 BC 于 G,则 EG ? BD , EG ? PE 如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 则

? ? ? ? ? ? 2? ? 2 2 2 , P? ? 0, 0, 2 ? ?, B? ? 2 , 0, 0 ? ?,C ? ? ? 2 , 2, 0 ? ? D? ? ? 2 , 0, 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? ??? 2 2 ? ??? 2 2? , PD ? ? ? PB ? ? , 0, ? , PC ? ? , 2, ? , 0, ? ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? ? ?
设平面 PBC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

? 2 2 ??? ? x? z?0 ? ? ?z ? x ?n?PB ? 0 ? 2 2 则 ? ??? ,即 ? 化简得 ? ? ?x ? 2 y ? z ? 0 ? ?? 2 x ? 2 y ? 2 z ? 0 ?n?PC ? 0 ? ? 2 2
令 x ? 1 ,得 z ? 1, y ? 1 ,所以 n ? (1,1,1) 是平面 PBC 的一个法向量.

60

同理可得平面 PCD 的一个法向量为 m ? (1, 0, ?1) 设向量 n 和 m 所成角为 ? ,则 cos ? ?

n?m 0 ? ?0 n m 3? 2

∴平面 PBC 与平面 PCD 所成二面角的平面角的大小为 90o .

103.

61

104.

62

63

105.证明:在图甲中∵ AB ? BD 且 ?A ? 45

?

(1) ∴ ?ADB ? 45? , ?ABC ? 90? 即 AB ? BD 在图乙中,∵平面 ABD ? 平面 BDC , 且平面 ABD ? 平面 BDC=BD ∴AB⊥底面 BDC,∴AB⊥C D 又 ?DCB ? 90? ,∴DC⊥BC,且 AB ? BC ? B ∴DC ? 平面 ABC (2)解法 1:∵E、F 分别为 AC、AD 的中点 ∴EF//CD,又由(1)知,DC ? 平面 ABC, ∴EF⊥平面 ABC,垂足为点 E ∴∠FBE 是 BF 与平面 ABC 所成的角 在图甲中,∵ ?ADC ? 105? , ∴ ?BDC ? 60? , ?DBC ? 30?

设 CD ? a 则 BD ? 2a, BC ? 3a , BF ?

1 1 2 BD ? 2 2a , EF ? CD ? a 2 2

1 a EF 2 2 ? ? ∴在 Rt△FEB 中, sin ?FBE ? FB 4 2a
即 BF 与平面 ABC 所成角的正弦值为

2 4

64

解法 2:如图,以 B 为坐标原点,BD 所在的直线为 x 轴建立空间直角坐标系如下图示, 设 CD ? a ,则 BD ? AB ? 2a, BC ? 3a , AD ? 2 2a 可得 B (0, 0, 0), D(2a, 0, 0) , A(0, 0, 2a ) ,

3 3 C ( a, a, 0) , F (a, 0, a ) , 2 2
∴ CD ? ( a, ?

Z A F

??? ?

1 2

??? ? 3 a, 0) , BF ? (a, 0, a) 2
X D C

E

设 BF 与平面 ABC 所成的角为 ? 由(1)知 DC ? 平面 ABC

B y

1 2 ??? ? ??? ? a CD ? BF 2 ? ???? ?? 2 ∴ cos( ? ? ) ? ??? ? 2 4 | CD | ? | BF | a ? 2a

?

∴ sin ? ?

2 4

(3)由(2)知 FE⊥平面 ABC, 又∵BE ? 平面 ABC,AE ? 平面 ABC,∴FE⊥BE,FE⊥AE, ∴∠AEB 为二面角 B-EF-A 的平面角 在△AEB 中, AE ? BE ?

1 1 7 AC ? AB 2 ? BC 2 ? a 2 2 2

AE 2 ? BE 2 ? AB 2 1 ∴ cos ?AEB ? ?? 2 AE ? BE 7
即所求二面角 B-EF-A 的余弦为 ?

1 7

106.证明:(Ⅰ)在梯形 ABCD 中,∵ AB ? CD, AD ? DC ? CB ? a, ?ABC ? 60? ,

∴四边形 ABCD 是等腰梯形, 且 ?DCA ? ?DAC ? 30?, ?DCB ? 120?, ∴ ?ACB ? ?DCB ? ?DCA ? 90? ,∴ AC ? BC. 又∵平面 ACFE ? 平面 ABCD,交线为 AC,∴ BC ? 平面 ACFE.
3 a 3 时, AM ? 平面 BDF. 现在证明如下: (Ⅱ)当 在 梯 形 ABCD 中 , 设 AC ? BD ? N , 连 结 FN, 则 CN : NA ? 1: 2. [来源:学科网] EM ?



EM ?

3 a 3



65

EF ? AC ? 3a ,∴ EM : FM ? 1: 2, ∴MF ? ? AN,

∴四边形 ANFM 是平行四边形. ∴ AM ? NF . 又∵ NF ? 平面 BDF, AM ? 平面 BDF. ∴ AM ? 平面 BDF. (Ⅲ)方法一;(几何法)取 EF 中点 G,EB 中点 H,连结 DG、GH、DH, ∵容易证得 DE=DF,∴ DG ? EF . ∵ BC ? 平面 ACFE,∴ BC ? EF . 又∵ EF ? FC ,∴ EF ? FB. 又∵ GH ? FB ,∴ EF ? GH . ∴ ?DGH 是二面角 B—EF—D 的 平面角.
2 2 2 2 2 在△BDE 中 DE ? 2a, DB ? 3a, BE ? AE ? AB ? 5a. ∴ BE ? DE ? DB ∴ ?EDB ? 90? ,



DH ?

5 5 2 a. DG ? a, GH ? a. 2 又 2 2 ∴在△DGH 中, cos ?DGH ? 10 , 10 即二面角 B—EF—D 的平面角余弦值为

由余弦定理得

10 10

方法二;(向量法)以 C 为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系:

C (0,0,0) , B(0, a,0) , F (0,0, a) ,

D(

3a a ,? ,0) 2 2 , E ( 3a,0, a ) DF ? (? 3a a , , a) 2 2

所以 EF ? (? 3a,0,0) , BF ? (0,? a, a ) ,

分别设平面 BEF 与平面 DEF 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , n 2 ? ( x 2 , y 2 , z 2 )

? ?n1 ? EF ? ? 3ax1 ? 0 ? ?n ? BF ? ?ay1 ? az1 ? 0 所以 ? 1 ,令 y1 ? 1 ,则 x1 ? 0, z1 ? 1
?n2 ? EF ? ? 3ax 2 ? 0 ? ? 3a a 1 x 2 ? y 2 ? az 2 ? 0 ?n2 ? DF ? ? y 2 ? 1, 则z 2 ? x ? 0 2 2 2 又? 显然 2 ,令
1 n2 ? (0,1,? ) 2 ,设二面角的平面角为 ? , ? 为锐角 所以 n1 ? (0,1,1) ,

n ?n cos ? ? 1 2 ? n1 ? n2
所以

1 (0,1,1) ? (0,1,? ) 2 ? 10 10 5 2? 2

66

107.

108.解:(1)依题意得 EF ? DE, EF ? AE,? EF ? 平面 ADE , ? DEA = ?

由 ? ? 45 得, S?ADE ?
?

1 2 , DE ? EA sin 45? ? 2 4 2 4

∴ VBCF ? ADE ? S?ADE ? EF ?

C N1 D N F M E A M1 B

(2)证法一:过点 M 作 MM1 ? BF 交 BF 于 M 1 , 过点 N 作 NN1 ? CF 交 BF 于 N1 ,连结 M1 N1 , ∵ MM1 / / AB, NN1 / / EF ∴ MM1 / / NN1 又∵

MM 1 FM CN NN1 ? ? ? AB FA CE EF

∴ MM1 ? NN1

∴四边形 MNN1M1 为平行四边形,

? MN / / N1M1, 又MN ? 面BCF , N1M1 ? 面BCF , ? MN / /面BCF .
C

D

N

F M

B

67
E

G A

【法二:过点 M 作 MG ? EF 交 EF 于 G,连结 NG,则

CN FM FG ? ? , NE MA GE

? NG / / CF

又NG ? 面BCF , CF ? 面BCF ,? NG / /面BCF ,
同理可证得 MG // 面BCF ,又 MG ? NG ? G , ∴平面 MNG//平面 BCF ? MN // 面BCF 】 ∵MN ? 平面 MNG, (3)法一:取 CF 的中点为 Q,连结 MQ、NQ,则 MQ//AC, ∴ ?NMQ 或其补角为异面直线 MN 与 AC 所成的角,
C Q D N F M E A B

1 2 1 2 3 ∵ ? ? 90 且 a ? . ∴ NQ ? , MQ ? ( )2 ? ( )2 ? 2 2 2 2 2
0

? MN ?

2 , 2

QM 2 ? MN 2 ? NQ2 6 ? cos ?NMQ ? ? . 2MN ? QM 3
即 MN 与 AC 所成角的余弦值为

6 3

【法二:∵ ? ? 90 且 a ?
0

2 . 2
1 1 2 2 1 2 1 2 ???? ???? ? 1 1 2 2

分别以 FE、FB、FC 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系 则 A(1,1, 0), C (0, 0,1), M ( , , 0), N ( , 0, ), 得 AC ? ( ?1, ?1,1), MN ? (0, ? , ),

???? ???? ? ? cos ? AC , MN ??

1 3? 2 2

?

6 , 3

所以与 AC 所成角的余弦值为

6 】 3

109. ⑴证明:在图甲中,易知 AE / / DF ,从而在图乙中有 A1 E // D1 F ,

因为 A1 E ? 平面 CD1 F , D1 F ? 平面 CD1 F ,所以 A1 E // 平面 CD1 F (条件 2 分) ⑵解法 1、 如图,在图乙中作 GH ? EF ,垂足为 H ,连接 A1 H , 由于 A1G ? 平面 EBCF ,则 A1G ? EF ,

68

所以 EF ? 平面 A1GH ,则 EF ? A1 H , 所以 ?A1 HG 平面 BEFC 与平面 A1 EFD1 所成二面角的平面角, 图甲中有 EF ? AH ,又 GH ? EF ,则 A、G、H 三点共线, 设 CF 的 中 点 为 M , 则 MF ? 1 , 易 证 ?ABG ? ?EMF , 所 以, BG ? MF ? 1 , AG ? 10 ; (三角形全等 1 分) 又由 ?ABG ? ?AHE ,得 A1 H ? AH ?

AB?AE 6 , ? AG 10

于是, HG ? AG ? AH ?

4 , 10

A1
A
H
D

D1
H

F

E

M
G
图甲

E

F

B

C

B

G
图乙

C


Rt ?A1GH

中, cos ?A1GH ?

2 HG 2 ? ,即所求二面角的余弦值为 3 A1 H 3

z

A1
D1

y
E
T

F

B

G
图丙

C

x

解法 2、 如 图 , 在 图 乙 中 作 GH ? EF , 垂 足 为 H , 连 接 A1 H , 由 于 A1G ? 平 面 EBCF , 则

A1G ? EF ,
所 以 EF ? 平 面 A1GH , 则 EF ? A1 H , 图 甲 中 有 EF ? AH , 又 GH ? EF , 则

A、G、H 三点共线,

69

设 CF 的 中 点 为 M , 则 MF ? 1 , 易 证 ?ABG ? ?EMF , 所 以 BG ? MF ? 1 , 则

AG ? 10 ;
又由 ?ABG ? ?AHE ,得 A1 H ? AH ?

AB?AE 6 , ? AG 10

于是, HG ? AG ? AH ?

4 , 10
2 2 2 2

? 6 ? ? 4 ? 在 Rt ?A1GH 中, A1G ? A1 H ? HG ? ? ? ?? ? ? 2 ? 10 ? ? 10 ?
作 GT / / BE 交 EF 于点 T ,则 TG ? GC ,以点 G 为原点,分别以 GC、GT、GA1 所在 直线为 x、y、z 轴 , 建立如图丙所示的空间直角坐标系 , 则 G (0, 0, 0) 、 E (1, ?1, 0) 、

EA1 ? (?1,1, 2) (坐标系、坐标、向量各 1 F (2, 2, 0) 、 A1 (0, 0, 2) ,则 EF ? (1,3, 0),
分) 显然, GA1 ? (0, 0, 2) 是平面 BEFC 的一个法向量,

??? ?

????

????

? ??? ? ? ? ?n?EF ? x ? 3 y ? 0, 设 n ? ( x, y, z ) 是 平 面 A1 EFD1 的 一 个 法 向 量 , 则 ? ? ???? ,即 n ? EA ? ? x ? y ? 2 z ? 0 ? ? 1
? ? ? x ? ?3 y, ,不妨取 y ? ?1 ,则 n ? (3, ?1, 2 2) , ? ? ? z ? ?2 2 y
设 平 面 BEFC 与 平 面 A1 EFD1 所 成 二 面 角 为

? ,可以看出,? 为锐角,所

???? ? GA1 ?n | 0 ? 3 ? 0 ? (?1) ? 2 ? 2 2 | 2 ? , 所以 , 平面 BEFC 与平面 以 , cos ? ? ???? ? ? 3 | GA1 |? |n| 2 ? 32 ? (?1) 2 ? (2 2) 2

A1 EFD1 所成二面角的余弦值为
110.

2 3

(本小题主要考查空间线面关系、空间向量等知识,考查数形结合、化归与转化的数学 想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) A1 解 : N P (1)证法一: 连接 AB1, AC1 B1 由题意知,点 M , N 分别为 AB1 和 B1C 1 的中点,

C1

? MN // AC1 [来源:学科网 ZXXK] 又 MN ? 平面 A1 ACC 1 , AC 1 ? 平面 A1 ACC 1 , ? MN // 平面 A1 ACC 1

M A B C

证法二:取 A1B1 中点 P ,连 MP, NP ,而 M , N 分别为 AB1 与 B1C 1 的中点,

70

? MP // A1 A , MP ? 平面A1 ACC 1 , AA1 ? 平面A1 ACC1 , ? MP // 平面A1 ACC1 , 同理可证 NP // 平面A1 ACC 1 又 MP ? NP ? P ? 平面 MNP //平面 A1 ACC 1 ? MN ? 平面 MNP ,? MN // 平面 A1 ACC 1
证法三(向量法): 以点 A 为坐标原点,分别以直线

z
A1 P N C1

AB, AC , AA1 为 x 轴 , y 轴 , z 轴建立空间直角坐标系 A ? xyz
, 如 图 所 示 . 于 是

B1 M A C

A(0, 0, 0),B (2, 0, 0), M (1, 0,1),N (1,1, 2) ? AB ? AC , AB ? AA1 , AC ? AA1 ? A ,
? AB ? 平面A1 ACC 1 ??? ? ? 向量 AB(2, 0, 0) 是平面 A1 ACC 1 的一个法向量

y

x

B

??? ? ???? ? ???? ? MN (0,1,1) , AB ? MN ? 2 ? 0 ? 0 ? 1 ? 0 ? 1 ? 0 ? AB ? MN
又 MN ? 平面A1 ACC 1 ? MN // 平面 A1 ACC 1 (2)解法一: 以点 A 为坐标原点,分别以直线

AB, AC , AA1 为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系 A ? xyz ,如图所示.
于 是

A( 0 , B0 , 0 C) , ???? ?

(, A 2 1(0, ,0, 2), 0 B , 1(2, 0 0,)2),,C1(0, ( 2, 0 2) ,, M 2 (1, 0,1), , 0N (1,1, ) 2)
???? ?

由(1)知 MA1 是平面 MCA 的一个法向量, MA1 ? (?1, 0,1) 设平面 NMC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , MN ? (0,1,1) , MC ? (?1, 2, ?1) ,

?

???? ?

???? ?

? ???? ? ? ? y ? ?z ?n ? MN ? 0 ? y ? z ? 0 , ?? ?? ? ? ? ???? ? ?n ? MC ? 0 ?? x ? 2 y ? z ? 0 ? x ? ?3z
? ? n ? (3,1, ?1)
设向量 MA1 和向量 n 的夹角为 ? ,则

???? ?

?

???? ? ? MA1 ? n (?1) ? 3 ? 0 ?1 ? 1? (?1) 4 cos ? ? ???? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 22 MA1 n (?1) ? 0 ? 1 ? 3 ? 1 ? (?1)
?

二面角 N ? MC ? A 的的正弦值为 1 ? cos

2

? ? 1?

8 33 ? 11 11

71

?

解法二 ( 几何法 ): 如图 , 将几何体补形成一个正方体 , 连 DC 1、CD1 交于点 O , 连 B1 A、B1O ,显然, A、M 、C、B1、D1、O ,都在同一平面 ACB1D1 上 易证 B1O // MC , C 1O ? CD1 ,

? B1D1 ? 平面 C1CDD1 , C1O ? 平面 C1CDD1 , ? C1O ? B1D1 ,又 B1D1 ? CD1 ? D1
? C1O ? 平面 ACB1D1 . 取 B1O 中点 H ,连 NH ,
? N、H 分别是 B1O, B1C1 的中点

A1

N B1 H M
Q

C1 D1 O
P

A ? NH // C1O , ? NH ? 平面 ACB1D1 , B B1 且 H 为垂足,即 NH ? 平面 AMC ,过点 O 作 OP ? MC 于 P ,
过 H 作 HQ // OP 交 MC 于 Q ,连 NQ , 则 ?NQH 即是所求二面角 N ? MC ? A 的补角 在 Rt ?MAC 中, CM ?
2

C D
D1 H

M
Q
P

O

AM 2 ? AC 2 ? 22 ? 2 ? 6 , A

C

sin ?MCA ?

AM 2 1 ? ? MC 6 3

,

? 1 6 sin ?OCP ? sin( ? ?MCA) ? cos ?MCA ? 1 ? ? , 2 3 3
在 Rt ?OPC 中, sin ?OCP ?

OP 6 2 3 ,? OP ? 2 ? ? 3 3 2

? HQ ? OP ?

2 3 1 2 又 MH ? C 1O ? 3 2 2

? 在 Rt ?NQH 中, NQ ? NH 2 ? HQ 2 ?

1 4 11 , ? ? 2 3 6

2 NH 33 ? sin ?NQH ? ? 2 ? NQ 11 11 6
? 所求二面角 N ? MC ? A 的正弦值为

33 11

111. (本小题主要考查空间直线与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识,考查空间想象

力和运算求解能力等,本小题满分 14 分)

72

A D E B C

证明:(1)因为等边△ ABC 的边长为 3,且 所以 AD ? 1 , AE ? 2 . 在△ ADE 中, ?DAE ? 60? ,

AD CE 1 ? ? , DB EA 2

由余弦定理得 DE ? 1 ? 2 ? 2 ? 1? 2 ? cos 60 ? 3 .
2 2 ?

因为 AD ? DE ? AE ,
2 2 2

所以 AD ? DE . 折叠后有 A1 D ? DE 因为二面角 A1 ? DE ? B 是直二面角,所以平面 A1 DE ? 平面 BCED 又平面 A1 DE ? 平面 BCED ? DE , A1 D ? 平面 A1 DE , A1 D ? DE , 所以 A1 D ? 平面 BCED (2)解法 1:假设在线段 BC 上存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60? . 如图,作 PH ? BD 于点 H ,连结 A1 H 、 A1 P 由(1)有 A1 D ? 平面 BCED ,而 PH ? 平面 BCED , 所以 A1 D ? PH 又 A1 D ? BD ? D , 所以 PH ? 平面 A1 BD 所以 ?PA1 H 是直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角 设 PB ? x ? 0 ? x ? 3? ,则 BH ? H B P C D E

A1

3 x , PH ? x 2 2
1 x 2

在 Rt △ PA1 H 中, ?PA1 H ? 60? ,所以 A1 H ?

73

在 Rt △ A1 DH 中, A1 D ? 1 , DH ? 2 ? 由 A1 D 2 ? DH 2 ? A1 H 2 ,

1 x 2

1 ? ?1 ? ? 得1 ? ? 2 ? x ? ? ? x ? 2 ? ?2 ? ?
2

2

2

解得 x ?

5 ,满足 0 ? x ? 3 ,符合题意 2 5 2

所以在线段 BC 上存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60? ,此时 PB ?

解法 2:由(1)的证明,可知 ED ? DB , A1 D ? 平面 BCED . 以 D 为坐标原点,以射线 DB 、 DE 、 DA1 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴,建 z 立空间直角坐标系 D ? xyz 如图 设 PB ? 2a ? 0 ? 2a ? 3? , 则 BH ? a , PH ? 3a , DH ? 2 ? a 所以 A1 ? 0, 0,1? , P 2 ? a, 3a, 0 , E 0, 3, 0 所以 PA1 ? a ? 2, ? 3a,1 因为 ED ? 平面 A1 BD , 所以平面 A1 BD 的一个法向量为 DE ? 0, 3, 0 因为直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60? , B x H P C

A1

D

E y

?

? ?

?

????

?

?
????

?

?

???? ???? PA1 ?DE 所以 sin 60? ? ???? ???? PA1 DE
? 3a 4a ? 4a ? 5 ? 3
2

?

3 , 2

解得 a ?

5 4 5 ,满足 0 ? 2a ? 3 ,符合题意 2 5 2

即 PB ? 2a ?

所以在线段 BC 上存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60? ,此时 PB ?

74

P

A C

D O

B

112.解析:

(Ⅰ)法 1:连接 CO ,由 3 AD ? DB 知,点 D 为 AO 的中点, 又∵ AB 为圆 O 的直径,∴ AC ? CB , 由 3 AC ? BC 知, ?CAB ? 60 ,
?

∴ ?ACO 为等边三角形,从而 CD ? AO ∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , ∴ PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC , ∴ PD ? CD , 由 PD ? AO ? D 得, CD ? 平面 PAB , 又 PA ? 平面 PAB ,∴ PA ? CD (注:证明 CD ? 平面 PAB 时,也可以由平面 PAB ? 平面 ACB 得到,酌情给分.) 法 2:∵ AB 为圆 O 的直径,∴ AC ? CB , 在

Rt?ABC





AD ? 1

,



3 AD ? DB

,

3 AC ? BC

得, DB ? 3 , AB ? 4 , BC ? 2 3 ,[来源:学.科.网]



BD BC 3 ,则 ?BDC ∽ ?BCA ,∴ ?BCA ? ?BDC ,即 CD ? AO ? ? BC AB 2

∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , ∴ PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC , ∴ PD ? CD , 由 PD ? AO ? D 得, CD ? 平面 PAB , 又 PA ? 平面 PAB ,∴ PA ? CD 法 3:∵ AB 为圆 O 的直径,∴ AC ? CB , 在 Rt?ABC 中由 3 AC ? BC 得, ?ABC ? 30 ,
?

设 AD ? 1 ,由 3 AD ? DB 得, DB ? 3 , BC ? 2 3 ,

75

由余弦定理得, CD ? DB ? BC ? 2DB ? BC cos30 ? 3 ,
2 2 2 ? 2 2 2 ∴ CD ? DB ? BC ,即 CD ? AO .

∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , ∴ PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC , ∴ PD ? CD , 由 PD ? AO ? D 得, CD ? 平面 PAB , 又 PA ? 平面 PAB ,∴ PA ? CD (Ⅱ)法 1:(综合法)过点 D 作 DE ? PB ,垂足为 E ,连接 CE 由(1)知 CD ? 平面 PAB ,又 PB ? 平面 PAB ,∴ CD ? PB ,又 DE ? CD ? D , ∴ PB ? 平面 CDE ,又 CE ? 平面 CDE , ∴ CE ? PB , ∴ ?DEC 为二面角 C ? PB ? A 的平面角 由(Ⅰ)可知 CD ? 3 , PD ? DB ? 3 , (注:在第(Ⅰ)问中使用方法 1 时,此处需要设出线段的长度,酌情给分.) ∴ PB ? 3 2 ,则 DE ? A C D O E

P

B

PD ? DB 9 3 2 , ? ? PB 2 3 2
CD 3 6 , ? ? DE 3 2 3 2

∴在 Rt?CDE 中, tan ?DEC ?

∴ cos ?DEC ?

15 15 ,即二面角 C ? PB ? A 的余弦值为 5 5

法 2:(坐标法)以 D 为原点, DC 、 DB 和 DP 的 方向分别为 x 轴、 y 轴和 z 轴的正向, 建立如图所示的空间直角坐标系 (注:如果第(Ⅰ)问就使用“坐标法”时,建系之前先要证明 CD ? AB ,酌情给分.) 设 AD ? 1 ,由 3 AD ? DB , 3 AC ? BC 得, PD ? DB ? 3 , CD ? 3 , ∴ D(0,0,0) , C ( 3,0,0) , B(0,3, 0) , P(0, 0,3) , ∴ PC ? ( 3,0, ?3) , PB ? (0,3, ?3) , CD ? (? 3,0,0) , 由 CD ? 平面 PAB ,知平面 PAB 的一个法向量为 CD ? (? 3,0,0) 设平面 PBC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 z P

????

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

76

??? ? ? ? 3x ? 3 y ? 0 ? ?n ? PC ? 0 ,即 ? ,令 y ? 1 ,则 x ? 3 , z ? 1 , ? ? ??? 3 y ? 3 z ? 0 ? n ? PB ? 0 ? ? ?
∴ n ? ( 3,1,1) , 设二面角 C ? PB ? A 的平面角的大小为 ? ,

??? ? n ? CD ?3 15 ??? ? ? 则 cos ? ? , ?? 5 | n | ? | CD | 5? 3
∴二面角 C ? PB ? A 的余弦值为

15 5

广东省 12 大市 201 3 届高三二模数学(理)试题分类汇编 8:直线与 圆

77

姓名____________班级___________学号____________分数______________ 一、选择题 113 . (广东省广州市 2013 届高三 4 月综合测试(二)数学理试题(WORD 版) ) 直线 y ? kx ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0 的位置关系是 A.相交 二、填空题 114 . (广东省肇庆市 2013 届高三 4 月第二次模拟数学(理)试题)与圆 B.相切 C.相离 D.取决于 k 的值 ( )

x2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 0 关 于 直 线 : x ? y ? 1 ? 0 对 称 的 圆 的 方 程 是
_____ _________ 115 . (广东省江门佛山两市 2013 届高三 4 月教学质量检测(佛山二模)数学理 试 题)已知圆 C 经过点 A(0,3) 和 B(3,2) ,且圆心 C 在直线 y ? x 上,则圆 C 的 方程为__________.

广东省 12 大 市 2013 届 高三二模数学(理)试题分类汇编 8:直线与圆参考答 案 一、选择题 113. A

78

二、填空题 114.
1? 5 2 ? ?1 ? 解:圆 C 的标准方程 为 ? x ? ? ? ? y ? 1? ? . 圆心坐标是 ? , ?1? .设与圆 2? 4 ? ?2 ?
2

? y0 ? 1 ? ?1, ? 1 ? x0 ? ? ?1 ? 2 心 ? , ?1? 关于直线对称的点的坐标是 ? x0 , y0 ? , 则有 ? ?2 ? ?x ? 1 ? 0 2 ? y0 ? 1 ? 1 ? 0. ? ? 2 2
3 解此方程组,得 x0 ? ?2, y0 ? . 所以,与 圆 C 关于直线: x ? y ? 1 ? 0 对称的圆 2

3? 5 ? 的方程是 ? x ? 2 ? ? ? y ? ? ? . 2? 4 ?
2

2

115.

? x ? 1? ? ? y ? 1?
2

2

?5

广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 9:圆锥曲 线
一、选择题 116 . (广东省湛江市 2013 届高三 4 月高考测试(二)数学理试题(WORD 版) )设 F1,F2 是椭圆

79

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2 的左右焦点,若直线 x =ma ( m > 1 )上存在一点 P,使 Δ F2PF1
是底角为 300 的等腰三角形,则 m 的取值范围是 ( )

A.1

< m<2

B.m > 2

3 C.1 < m < 2

3 D.m > 2

117 . (广东省深圳市 2013 届高三第二次调研考试数学理试题(2013 深圳二模) )已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为 y ? ? 3x ,则以它的顶点为焦点,焦点为顶点的椭圆的离 a 2 b2
心率等于 A. ( B. )

1 2

2 2

C.

3 2

D.1

118 . ( 广 东 省 茂 名市 2013 届 高 三 4 月 第 二 次高 考模 拟 数 学 理试 题 ( WORD 版 ) ) 方程

x| x| y| y| =-1 的曲线即为函数 y=f(x)的图象,对于函数 y=f(x),有如下结论:①f(x) ? 16 9
在 R 上单调递 减;②函数 F(x)=4f(x)+3x 不存在零点;③函数 y=f(x)的值域是 R;④f(x) 的图象不经过第一象限,其中正确的个数是 ( A.1 个 B.2 个 C .3 个 D.4 个 119 . (广东省惠州市 2013 届高三 4 月模拟考试数学理试题(WORD 版) )设抛物线的顶点在原 点,准线方程为 x ? -2, 则抛物线的方程是 A. y ? 8 x
2



( C. y ? ?4 x
2



B. y ? ?8 x
2

D. y ? 4 x
2

二、填空题 120 . (广东省韶关市 2013 届高三 4 月第二次调研测试数学理试题) 设点 P 是双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与圆 x 2 ? y 2 ? a 2 ? b 2 在第一象限的交点,其中 F1 , F2 分别是 2 a b
双曲线的左、右焦点,若 tan ?PF2 F1 ? 3 ,则双曲线的离心率为______________.
121 . (广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷)下图是抛物线

形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降2米后水面宽________米.

122 . (广东省揭阳市 2013 年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题) 过双曲线

80

x2 y 2 = 1 的右焦点,且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 ________. 9 16
三、解答题 123 . ( 广 东 省 肇 庆 市 2013 届 高 三 4 月 第 二 次 模 拟 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 设 椭 圆

x2 y 2 1 1 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ,其左焦点 E 与抛物线 C : x ? ? y 2 的焦点相 2 b a 2 4
同.(Ⅰ)求此椭圆的方程;(Ⅱ)若过此椭圆的右焦点 F 的直线与曲线 C 只有一个交点 P , 则 (1)求直线的方程 ;(2)椭圆上是否存在点 M ( x, y ) ,使得 S ?MPF ? 共有几个点;若不存在,请说明理由.

1 ,若存在,请说明一 2

2 124. (广东省湛江市 2013 届高三 4 月高考测试 (二) 数学理试题 (WORD 版) ) 已知抛物线 C:y =4x,

F 是抛物线的焦点,设 A(x1,y1),B(x2 ,y2)是 C 上异于 原点 O 的两个不重合点,OA 丄 OB, 且 AB 与 x 轴交于点 T (1) 求 x1x2 的值; (2) 求 T 的坐标; (3) 当点 A 在 C 上运动时,动点 R 满足: FA ? FB ? FR ,求点 R 的轨迹方程.

125. (广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题(2013深圳二模) )已知动点 M 到

点 F (0,1) 的距离与到直线 y ? 4 的距离之和为5. (1)求动点 M 的轨迹 E 的方程,并画出图形; (2)若直线 l : y ? x ? m 与轨迹 E 有两个不同的公共点 A, B ,求 m 的取值范围; (3)在(2)的条件下,求弦长 | AB | 的最大值.

81

126 . ( 广 东 省 韶 关 市 2013 届 高 三 4 月 第 二 次 调 研 测 试 数 学 理 试 题 ) 已 知 椭 圆

x2 y2 ? 2 ? 1  (a ?1 ) 的左右焦点为 F1 , F2 ,抛物线 C: y 2 ? 2 px 以 F2 为焦点且与椭圆 2 a a ?1
相交于点 M ? x1 , y1 ? 、 N

? x2 , y2 ? ,点 M 在 x 轴上方,直线 F1M 与抛物线 C 相切.

(1)求抛物线 C 的方程和点 M 、 N 的坐标;[来源:学#科#网 Z#X#X#K] (2)设 A,B 是抛物线 C 上两动点,如果直线 MA , MB 与 y 轴分别交于点 P, Q . ?MPQ 是以 MP , MQ 为腰的等腰三角形,探究直线 AB 的斜率是否为定值?若是求出这个定值, 若不是说明理由.

127. (广东省汕头市2013年普通 高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷)已知动点

P( x, y) 与两个定点 M (?1,0), N (1,0) 的连线的斜率之积等于常数 ? ( ? ? 0 )
(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)试根据 ? 的取值情况讨论轨迹 C 的形状; (3)当 ? ? 2 时,对于平面上的定点 E(? 3,0), F ( 3,0) ,试探究轨迹 C 上是否存在点

P ,使得 ?EPF ? 120? ,若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.

82

128. (广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题(WORD版 ) )在平面直角坐标系

xoy中,动点在椭圆C1:

x2 ? y 2 ? 1 上,动点Q是动圆C2: x 2 ? y 2 ? r 2 (1 ? r ? 2) 上一点. 2

(1)求证:动点P到椭圆C1的右焦点的距离与到直线x=2的距离之比等于椭圆的离心率; (2)设椭圆C1上的三点 A( x1 , y1 ), B (1,

2 ), C ( x2 , y2 ) 与点F(1,0)的距离成等差数列,线 2

段AC的垂直平分线是否经过一个定点为?请说明理由. (3)若直线PQ与椭圆C1和动圆C2均只有一个公共点,求P、Q两点的距离|PQ|的最大值.

129. (广东省揭阳市 2013 年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题)如图(6)已知抛物

线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的准线为 l ,焦点为 F,圆 M 的圆心在 x 轴的正半轴上,且与 y 轴相
2

切.过原点作倾斜角为

? 的直线 t,交 l 于点 A,交圆 M 于点 B,且 | AO |?| OB |? 2 . 3
???? ????

(1)求圆 M 和抛物线 C 的方程; (2)设 G , H 是抛物线 C 上异于原点 O 的两个不同点,且 OG ? OH ? 0 ,求 ?GOH 面积 的最小值;

83

(3) 在抛物线 C 上是否存在两点 P, Q 关于直线 m : y ? k ? x ?1?? k ? 0? 对称 ? 若存在 , 求出直线 m 的方程 ,若不存在,说明理由.
y l t

B X
O F

M

A

130. (广东省江门佛山两市 2013 届高三 4 月教学质量检测(佛山二模)数学理试题)在平面直

角坐标系内,动圆 C 过定点 F ?1, 0 ? ,且与定直线 x ? ?1 相切. (1)求动圆圆心 C 的轨迹 C2 的方程; (2)中心在 O 的椭圆 C1 的一个焦点为 F ,直线过点 M (4, 0) .若坐标原点 O 关于直线的 对称点 P 在曲线 C2 上,且直线与椭圆 C1 有公共点,求椭圆 C1 的长轴长取得最小值时的 椭圆方程.

131. (广东省惠州市 2013 届高三 4 月模拟考试数学理试题(WORD 版) )已知中心在原点 O ,焦

点在 x 轴上,离心率为 (1)求椭圆的方程;

3 2 的椭圆过点( 2 , ). 2 2

84

(2)设不过原点 O 的直线与该椭圆交于 P 、 Q 两点,满足直线 OP , PQ , OQ 的斜率依 次成等比数列,求 ?OPQ 面积的取值范围. y P

Q

O

x

132. (广东省广州市 2013 届高三 4 月综合测试(二)数学理试题(WORD 版) )经过点 F

? 0,1? 且

与直线 y ? ?1 相切的动圆的圆心轨迹为 M .点 A 、 D 在轨迹 M 上,且关于 y 轴对称, 过线段 AD (两端点除外)上的任意一点作直线,使直线与轨迹 M 在点 D 处的切线平行, 设直线与轨迹 M 交于点 B 、 C . (1)求轨迹 M 的方程; (2)证明: ?BAD ? ?CAD ;[来源:学#科#网] (3)若点 D 到直线 AB 的距离等于 程.
133 . ( 广 东 省 潮 州 市 2013 届 高 三 第 二 次 模 拟 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 设 椭 圆

2 AD ,且△ ABC 的面积为 20,求直线 BC 的方 2

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左右顶点分别为 A(?2,0), B(2,0) ,离心率 e ? .过该椭圆 2 a b 2
上任一点 P 作 PQ ? x 轴,垂足为 Q ,点 C 在 QP 的延长线上,且 | QP |?| PC | . (1)求椭圆的方程; (2)求动点 C 的轨迹 E 的方程;

(3)设直线 AC ( C 点不同于 A, B )与直线 x ? 2 交于点 R , D 为线段 RB 的中点,试判 断直线 CD 与曲线 E 的位置关系,并证明你的结论.

广东省 13 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 9:圆锥曲线参考答 案
一、选择题 116.

A

85

A 118. D
117.

119.

【解析】抛物线的准线方程为 x ? -2, ,∴抛物线的开口向右.设抛物线的标准方程为

y 2 ? 2 px( p ? 0)? 则其准线方程为 x ? ?
方程为 y ? 8 x .故选 A .
2

p p ? ∴ ? ? ?2? 解得 p ? 4, ∴抛物线的标准 2 2

二、填空题 120.

10 ; 2

121. 122.

4 2
2 2 4 双曲线 x - y = 1 的右 焦点为 (5, 0) ,渐近线的方程为 y ? ? x ,所以所求直线方程 3 9 16

为 y = 4 ( x - 5), 即 4 x - 3 y - 20 = 0 .
3
三、解答题 123.解:(Ⅰ)抛物线 C 的焦点为 E ( ?1, 0) ,它是题设椭圆的左焦点.离心率为

1 1 ? , b 2

所以, b ? 2 .由 b 2 ? a 2 ? 12 求得 a ? 3 .

x2 y 2 ? ?1 因此,所求椭圆的方程为 4 3

(*)

(Ⅱ)(1)椭圆的右焦点为 F (1, 0) ,过点 F 与 y 轴平行的直线显然与曲线 C 没有交点.设 直线的斜率为 k , ① 若 k ? 0 ,则直线 y ? 0 过点 F (1, 0) 且与曲线 C 只有一个交点 (0, 0) ,此时直线

86

的方程为 y ? 0 ; ② 若 k ? 0 ,因直线过点 F (1, 0) ,故可设其方程为 y ? k ( x ? 1) ,将其代入

y 2 ? ?4 x 消去 y ,得 k 2 x 2 ? 2(k 2 ? 2) x ? k 2 ? 0 .因为直线与曲线 C 只有一个交点 P ,
所 以 判 别 式 4(k 2 ? 2) 2 ? 4k 2 ? k 2 ? 0 , 于 是 k ? ?1 , 从 而 直 线 的 方 程 为 y ? x ? 1 或

y ? ? x ? 1 .因此,所求的直线的方程为 y ? 0 或 y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 .
(2)由(1)可求出点 P 的坐标是 (0, 0) 或 (?1, 2) 或 (?1, ? 2) . ①若点 P 的坐标是 (0, 0) ,则 PF ? 1 .于是 S ?MPF ? 式联立:

1 1 = ? 1? y ,从而 y ? ?1 ,代入(*) 2 2

? x2 y 2 ? x2 y 2 ? ? 1 ?1 2 6 ? ? ? 或? 4 ,求得 x ? ? ,此时满足条件 的点 M 有 4 个: 3 3 ?4 3 ?y ?1 ? y ? ?1 ? ?
?2 6 ? ? 2 6 ? ?2 6 ? ? 2 6 ? . ? ? 3 , 1? ?, ? ? ? 3 , 1? ?, ? ? 3 , ? 1? ?, ? ? ? 3 , ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
② 若 点 P 的 坐 标 是 (?1, 2) , 则 PF ? 2 2 , 点 M 到 直 线 : y ? ? x ? 1 的 距 离 是

x ? y ?1 2
于是有

,

x ? y ?1 1 1 1 ? S ?MPF ? ? 2 2 ? ? x ? y ? 1 ,从而 x ? y ? 1 ? ? , 2 2 2 2

? x2 y 2 ? x2 y 2 ? ? 1 ? ?1 ? ? ?4 ?4 3 3 与 (*) 式联立 : ? 或? 解之 , 可求出满足条件的点 M 有 4 ?x ? y ?1 ? 1 ?x ? y ?1 ? ? 1 ? ? ? 2 ? 2
个: ?

? 6 ? 57 9 ? 2 57 ? , ? ? ?, 7 14 ? ?

? 6 ? 57 9 ? 2 57 ? ? 11 15 ? ? 3? ,? ,? , ? ? ? , ? ?1, ? . ? ? 2? 7 14 ? ? ? 7 14 ? ?

③ 若点 P 的坐标是 (?1, ? 2) ,则 PF ? 2 2 ,点 M ( x, y ) 到直线: y ? x ? 1 的距离是

x ? y ?1 2

,于是有

x ? y ?1 1 1 1 ? S ?MPF ? ? 2 2 ? ? x ? y ? 1 ,从而 x ? y ? 1 ? ? , 2 2 2 2

87

? x2 y 2 ? x2 y 2 ? ? 1 ? ?1 ? ? ?4 ?4 3 3 与(*)式联立: ? 或? ,解之,可求出满足条件的点 M 有 4 个: ?x ? y ?1 ? 1 ?x ? y ?1 ? ? 1 ? ? ? 2 ? 2
? 6 ? 57 ?9 ? 2 57 ? ? 6 ? 57 ?9 ? 2 57 ? ? 11 15 ? ? 3? , ? ,? , , , ? ? ? ? , ? ?1, ? ? . ? ? ? ? 2? 7 14 7 14 ? ? ? ? ? 7 14 ? ?
综合①②③,以上 12 个点各不相同且均在该椭圆上,因此,满足条件的点 M 共有 12 个. 图上椭圆上的 12 个点即为所求.

124.

88

125.

89

126.解:(1)由椭圆方程得半焦距 c= a ? ( a ? 1) ? 1
2 2

0)   F ( , 0) 所以椭圆焦点为 F1 (?1, 2 1

90

又抛物线 C 的焦点为 (

p ,0) 2

?

p ? 1  ,   p ? 2, ? C:y 2 ? 4 x 2

∵ M ( x1 , y1 ) 在抛物线 C 上, ∴ y1 ? 4 x1 ,直线 F1 M 的方程为 y ?
2

y1 ( x ? 1) x1 ? 1

代入抛物线 C 得 y12 ( x ? 1) 2 ? 4 x( x1 ? 1) 2 ,

即4 x1 ( x ? 1) 2 ? 4 x( x1 ? 1) 2
∵ F1M 与抛物线 C 相切,

? x1 x 2 ? ( x12 ? 1) x ? x1 ? 0,   

? ?=(x1 ? 1) 2 ? 4 x1 ? 0 ,

2

2

? x1 ? 1,  

∴ M、N 的坐标分别为(1,2)、(1,-2)

(2)直线 AB 的斜率为定值—1. 证 明 如 下 : 设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , ? M (1, 2) ,A 、 B 在 抛 物 线 y ? 4 x
2

? y12 ? 4 x1 ? 2 上,? ? y2 ? 4 x2 ? 2 ?2 ? 4 ?1
由①-③得, k MA ?

① ② ③
y1 ? 2 4 ? x1 ? 1 y1 ? 2 y2 ? 2 4 ? x2 ? 1 y2 ? 2 ④

由②-③得, k MB ?



因为 ?MPQ 是以 MP,MQ 为腰的等腰三角形,所以 k MA ? ? k MB

由 k MA

4 ? y1 ? 2 ? x ?1 ? ? y ? 2 ? 2 化简整理, ? ?kMB 得 ? 1 ? y2 ? 2 ? ? 4 ? y1 ? 2 ? x2 ? 1

得?

? y1 y2 ? 2 y2 ? 2 y1 ? 4 ? ?4 x1 ? 4 ⑥ ? y1 y2 ? 2 y1 ? 2 y2 ? 4 ? ?4 x2 ? 4 ⑦

由 ⑥ - ⑦ 得: 4( y1 ? y2 ) ? ?4( x1 ? x2 )

?k ?

y1 ? y2 ?4 ? ? ?1 为定值 x1 ? x2 4

91

解法二:设 A(

y12 y2 , y1 ) , B( 2 , y2 ) 4 4

则 k AM ?

y1 ? 2 4 4 , k BM ? ? 2 y1 y1 ? 2 y2 ? 2 ?1 4

因为 ?MPQ 是以 MP,MQ 为腰的等腰三角形,所以 k MA ? ? k MB 即

4 4 ? ?0 y1 ? 2 y2 ? 2 y1 ? y2 ? 4 ?0 ( y1 ? 2)( y2 ? 2)

所以

所以,由 y1 ? y2 ? 4 ? 0 得 y1 ? y2 ? ?4 所以, k AB ?

y2 ? y1 4( y2 ? y1 ) 4 4 ? ?1. ? ? 2 2 ? 2 2 y2 y1 y2 ? y1 y1 ? y2 ?4 ? 4 4
PM , PN 的斜率存在且不为 0,

所以,直线 AB 的斜率为定值,这个定值为 ?1.
127.解、(Ⅰ) 由题设可知;

y2 y y 2 x ? ? 1( y ? 0) ? ?? ? 所以 x ? 1 x ? 1 ,即
(Ⅱ)讨论如下: (1)当 ? ? 0 时,轨迹 C 为中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线(除去顶点) (2)当 ? 1 ? ? ? 0 时,轨迹 C 为中心在原点,焦 点在 x 轴上的椭圆(除去长轴两个端点) (3)当 ? ? ?1 时,轨迹 C 为以原点为圆心,1 为半径的圆(除去点(-1,0),(1,0)) (4)当 ? ? ?1 时,轨迹 C 为中心在原点,焦点在 y 轴上的椭圆(除去短轴两个端点)

(Ⅲ)、当 ? ? 2 时,轨迹 C 的方程为 假 设 存 在 这 样 的

x2 ?

y2 ? 1( y ? 0) 2 ,显然定点 E、F 为其左右焦点.
P, 使 得



?EPF ? 120 0

,



?EPF ? ? , PE ? m, PF ? n, EF ? 2 3 ,

92

那么在 ?EPF 中:

? m ? n ? 2 ? m 2 ? n 2 ? 2mn ? 4 ? 1 ? ?S ?EPF ? mn sin ? 2 ? 2 ?(2 3 ) ? m 2 ? n 2 ? 2mn cos ? ?
mn ? 4 4 8 ? ? 0 1 ? cos ? 1 ? cos120 3

整理可得: 2mn(1 ? cos ? ) ? 8 ,所以

所以

S ?EPF ?

1 1 8 3 2 3 mn sin 120 0 ? ? ? ? 2 2 3 2 3 1 1 2 3 ? EF ? y P ? ? 2 3 ? y P ? 2 2 3

又因为

S ?EPF ?

所以

yP ?

2 2 2 , yP ? ? , xP 3 故 3 代入椭圆的方程可得:

? 2? ?? ? 3? ?? ? 1( y ? 0) 2

2

所以

xP ? ?

11 3 ,所以满足题意的点 P 有四个,坐标分别为

(

11 2 11 2 11 2 11 2 , ) (? , ) ( ,? ) ( ? ,? ) 3 3 , 3 3 , 3 3 , 3 3

128.

93

129.

解:(1)∵

p 1 ? OA cos 60? ? 2 ? ? 1 ,即 p ? 2 , 2 2
2

∴所求抛物线的方程为 y ? 4 x
2 2 ∴设圆的半径为 r,则 r ? OB ? 1 ? ? 2 ,∴圆的方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 2 cos 60

(2) 设 G ? x1, y1 ? , H ? x2 , y2 ? ,由 OG ? OH ? 0 得 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ∵ y1 ? 4 x1 , y2 ? 4 x2 ,∴ x1 x2 ? 16 ,
2 2

???? ????

94



S?GOH ?

1 ???? ???? OG OH 2

,∴

2 S? GOH ?

1 ???? 2 ???? 2 1 2 2 2 OG OH ? ? x1 ? y12 ?? x2 ? y2 ? 4 4

=

1 2 ? x1 ? 4 x1 ?? x22 ? 4 x2 ? 4

=

1? 1 2 2 =256 ? ? ? x1 x2 ? ? 4 x1 x2 ? x1 ? x2 ? ? 16 x1 x2 ? ? x1 x2 ? ? 4 x1 x2 ? 2 x1 x2 ? 16 x1 x2 ? ? ? ? ? 4 4

∴ S?GOH ? 16 ,当且仅当 x1 ? x2 ? 2 时取等号, ∴ ?GOH 面积最小值为 16 (3) 设 P?x3 , y3 ?, Q?x4 , y4 ? 关于直线 m 对称,且 PQ 中点 D?x0 , y0 ? ∵
2 2 P?x3 , y3 ?, Q?x4 , y4 ? 在抛物线 C 上,∴ y3 ? 4x3 , y4 ? 4x4

两式相减得: ? y3 ? y4 ?? y3 ? y4 ? ? 4 ? x3 ? x4 ? ∴ y3 ? y4 ? 4 ?

x3 ? x4 4 ? ? ?4k ,∴ y0 ? ?2k y3 ? y4 kPQ

∵ D?x0 , y0 ? 在 m : y ? k ? x ?1?? k ? 0? 上 ∴ x0 ? ?1 ? 0 ,点 D?x0 , y0 ? 在抛物线外 ∴在抛物线 C 上不存在两点 P, Q 关于直线 m 对称
130. ⑴由题可知,圆心 C 到定点 F

?1, 0 ? 的距离与到定直线 x ? ?1 的距离相等

由抛物线定义知, C 的轨迹 C2 是以 F ?1, 0 ? 为焦点,直线 x ? ?1 为准线的抛物线 (确定“曲线是抛物线”1 分,说明抛物线特征 1 分) 所以动圆圆心 C 的轨迹 C2 的方程为 y ? 4 x
2

⑵解法 1、
m n 设 P(m, n) , 则 OP 中 点 为 ( , ) , 因 为 O、P 两 点 关 于 直 线 y ? k ( x ? 4) 对 称 , 所 以 2 2

? m 8k 2 ?n ? k ( ? 4) m ? ? ? ?km ? n ? 8k ? ?2 2 1 ? k 2 (中点 1 分,方程组 2 分,化简 1 分) ,即 ? ,解之得 ? ? ? m ? nk ? 0 ?n ? ? 8k ? n ? k ? ?1 ? ? ? m 1? k2 ?

将其代入抛物线方程,得: (?

8k 2 8k 2 ) ? 4 ? ,所以 k 2 ? 1 1? k2 1? k2

? y ? k ( x ? 4) ? 联立 ? x 2 y 2 ,消去 y ,得: (b 2 ? a 2 ) x 2 ? 8a 2 x ? 16a 2 ? a 2 b 2 ? 0 ? ? 1 ? 2 b2 ?a

95

由 ? ? (?8a 2 ) 2 ? 4(b 2 ? a 2 )(16a 2 ? a 2 b 2 ) ? 0 ,得 a 2 ? b 2 ? 16 , 注意到 b 2 ? a 2 ? 1 ,即 2a 2 ? 17 ,所以 a ?
34 ,即 2a ? 34 , 2

因此,椭圆 C1 长轴长的最小值为 34 .此时椭圆的方程为

x2 y 2 + ?1 17 15 2 2

解法 2、 设 P?

? m2 ? , m ? ,因为 O、P 两点关于直线对称,则 OM ? MP =4 , ? 4 ?
2

? m2 ? ? 4 ? ? m 2 ? 4 ,解之得 m ? ?4 即 ? ? 4 ?
即 P(4, ?4) , 根 据 对 称 性 , 不 妨 设 点 P 在 第 四 象 限 , 且 直 线 与 抛 物 线 交 于 A, B . 则

k AB ? ?

1 ? 1 ,于是直线方程为 y ? x ? 4 (斜率 1 分,方程 1 分) kOP

? y ? x?4 ? 联立 ? x 2 y 2 ,消去 y ,得: (b 2 ? a 2 ) x 2 ? 8a 2 x ? 16a 2 ? a 2 b 2 ? 0 ? ? 1 ? 2 b2 ?a

由 ? ? (?8a 2 ) 2 ? 4(b 2 ? a 2 )(16a 2 ? a 2 b 2 ) ? 0 ,得 a 2 ? b 2 ? 16 , 注意到 b 2 ? a 2 ? 1 ,即 2a 2 ? 17 ,所以 a ?
34 ,即 2a ? 34 , 2

x2 y 2 因此,椭圆 C1 长轴长的最小值为 34 . 此时椭圆的方程为 + ?1 17 15 2 2
131.解:(1)由题意可设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , a 2 b2
?a ? 2 , ?b ? 1

?c 3 ? ? ? 2 则 ?a , 2 1 ? ? ?1 ? ? a 2 2b 2
所以,椭圆方程为

, 解的 ?

x2 ? y2 ? 1 4

(2)由题意可知,直线的斜率存在且不为 0,

96

故可设直线的方程为 y ? kx ? m(m ? 0) , P ( x1, y1), Q ( x 2, y 2) ,

? y ? kx ? m ? 由 ? x2 消去 y 得 (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx ? 4( m 2 ? 1) ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?4
则 ? ? 64k 2b 2 ? 16(1 ? 4k 2b 2 )(b 2 ? 1) ? 16(4k 2 ? m 2 ? 1) ? 0 , 且 x1 ? x 2 ?

?8km 4m 2 ? 1 , x 1x 2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

故 y1 y 2 ? (kx1 ? m)(kx 2 ? m) ? k 2 x1 x 2 ? km( x1 ? x 2) ? m 2 . 因为直线 OP , PQ , OQ 的斜率依次成等比数列,

所以,

y 2 y1 k 2 x1 x 2 ? km( x1 ? x 2) ? m 2 ?8k 2 m 2 ? ? ? k 2 ,即 ? m2 ? 0 , 2 x 2 x1 x1 x 2 1 ? 4k
2

又 m ? 0 ,所以 k ?

1 1 ,即 k ? ? 4 2
2 2

由于直线 OP , OQ 的斜率存在,且△>0,得 0 ? m ? 2 且 m ? 1 . 设 d 为点 O 到直线的距离,则 S ?OPQ ? 所以 S ?OPQ 的取值范围为 (0,1)
132. (本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、 导数的几何意义等基础知

1 1 d ? PQ ? m ? x1 ? x 2 ? m 2 (2 ? m 2 ) , 2 2

识,考查运算求解能力和推理论证能力等,本小题满分 14 分) 解:(1)方法 1:设动圆圆心为 ? x, y ? ,依题意得, x ? ? y ? 1? ? y ? 1
2 2

整理,得 x ? 4 y .所以轨迹 M 的方程为 x ? 4 y
2 2

方法 2:设动圆圆心为 P ,依题意得点 P 到定点 F ? 0,1? 的距离和点 P 到定直线 y ? ?1 的距离相等, 根据抛物线的定义可知,动点 P 的轨迹是抛物线 且其中定点 F ? 0,1? 为焦点,定直线 y ? ?1 为准线. 所以动圆圆心 P 的轨迹 M 的方程为 x ? 4 y
2

(2)由(1)得 x ? 4 y ,即 y ?
2

1 2 1 x ,则 y? ? x . 4 2

97

设点 D ? x0 ,

? ?

1 1 2? x0 ? ,由导数的几何意义知,直线的斜率为 k BC ? x0 2 4 ?
y C

1 ? ? ? 1 ? ? 1 ? 由题意知点 A ? ? x0 , x0 2 ? .设点 C ? x1 , x12 ? , B ? x2 , x2 2 ? , 4 ? ? ? 4 ? ? 4 ?

则 k BC

1 2 1 2 x1 ? x2 x ?x 1 4 4 ? ? 1 2 ? x0 ,即 x1 ? x2 ? 2 x0 x1 ? x2 4 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x1 ? x0 x2 ? x0 x ? x x ?x 4 4 ?4 ? 1 0 , k AB ? 4 ? 2 0 x1 ? x0 4 x2 ? x0 4

E A BO l D x

因为 k AC

由于 k AC ? k AB ?

x1 ? x0 x2 ? x0 ? x1 ? x2 ? ? 2 x0 ? ? ? 0 ,即 k AC ? ?k AB 4 4 4

所以 ?BAD ? ?CAD (3)方法 1:由点 D 到 AB 的距离等于

2 AD ,可知 ?BAD ? 45? 2
1 2 x0 ? ? ? x ? x0 ? . 4

不妨设点 C 在 AD 上方(如图),即 x2 ? x1 ,直线 AB 的方程为: y ?

1 2 ? ? y ? x0 ? ? ? x ? x0 ? , 由? 4 ? x 2 ? 4 y. ?
解得点 B 的坐标为 ? x0 ? 4, 所以 AB ?

? ?

1 2 ? x0 ? 4 ? ? ? 4 ?

2 ? x0 ? 4 ? ? ? ? x0 ? ? 2 2 x0 ? 2 .

由(2)知 ?CAD ? ?BAD ? 45? ,同理可得 AC ? 2 2 x0 ? 2 所以△ ABC 的面积 S ? 解得 x0 ? ?3 当 x0 ? 3 时,点 B 的坐标为 ? ?1, 直线 BC 的方程为 y ?

1 ? 2 2 x0 ? 2 ? 2 2 x0 ? 2 ? 4 x0 2 ? 4 ? 20 , 2

? ?

3 1? ? , k BC ? , 2 4?

1 3 ? ? x ? 1? ,即 6 x ? 4 y ? 7 ? 0 4 2

98

当 x0 ? ?3 时,点 B 的坐标为 ? ?7, 直线 BC 的方程为 y ?

? ?

3 49 ? ? , k BC ? ? , 2 4 ?

49 3 ? ? ? x ? 7 ? ,即 6 x ? 4 y ? 7 ? 0 4 2

方法 2:由点 D 到 AB 的距离等于

2 AD ,可知 ?BAD ? 45? 2

由(2)知 ?CAD ? ?BAD ? 45? ,所以 ?CAB ? 90? ,即 AC ? AB . 由(2)知 k AC ? 所以 k AC k AB

x1 ? x0 x ? x0 , k AB ? 2 . 4 4 x ?x x ?x ? 1 0 ? 2 0 ? ?1 . 4 4
① ②

即 ? x1 ? x0 ?? x2 ? x0 ? ? ?16 . 由(2)知 x1 ? x2 ? 2 x0 .

不妨设点 C 在 AD 上 方(如图),即 x2 ? x1 ,由①、②解得 ?
2

? x1 ? x0 ? 4, ? x2 ? x0 ? 4.

因为 AB ?

1 2 1 2? 2 ? x2 ? x0 ? ? ? ? x2 ? x0 ? ? 2 2 x0 ? 2 , 4 ?4 ?

同理 AC ? 2 2 x0 ? 2 以下同方法 1.

133.解析:(1)由题意可得 a ? 2 , e ?

c 3 ,∴ c ? 3 , ? a 2

∴ b ? a ? c ?1,
2 2 2

所以椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 4

? x0 ? x ? x ? x0 ? (2)设 C ( x, y ) , P( x0 , y0 ) ,由题意得 ? ,即 ? 1 , y ? x ? y ? 2 y0 0 ? ? 2

2 x0 x2 1 2 ? y0 ? 1,代入得 ? ( y)2 ? 1 ,即 x2 ? y 2 ? 4 . 4 4 2

即动点 C 的轨迹 E 的方程为 x ? y ? 4
2 2

99

(3)设 C (m, n) ,点 R 的坐标为 (2, t ) , ∵ A, C , R 三点共线,∴ AC // AR , 而 AC ? (m ? 2, n) , AR ? (4, t ) ,则 4n ? t (m ? 2) , ∴t ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

4n , m?2 4n 2n ) ,点 D 的坐标为 (2, ), m?2 m?2

∴点 R 的坐标为 (2,

∴直线 CD 的斜率为 k ?

n?

2n m ? 2 ? (m ? 2)n ? 2n ? mn , m?2 m2 ? 4 m2 ? 4

而 m2 ? n2 ? 4 ,∴ m2 ? 4 ? ?n2 , ∴k ?

mn m ?? , 2 ?n n
m ( x ? m) ,化简得 mx ? ny ? 4 ? 0 , n

∴直线 CD 的方程为 y ? n ? ?

∴圆心 O 到直线 CD 的距离 d ? 所以直线 CD 与圆 O 相切

4 m2 ? n 2

?

4 ?2?r, 4

100

广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 10:排列、 组合与二项式定理
姓名____________班级___________学号____________分数______________
一、选择题 134 . ( 广 东 省 肇 庆 市 2013 届 高 三 4 月 第 二 次 模 拟 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 集 合

A ? {1, 2}, B ? {6}, C ? {2, 4, 7} ,从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中
点的坐标,则确定的不同点的个数为 A.33 B.34 C.35 D.36 ( )

135 . (广东省揭阳市 2013 年高中毕业班第二次高 考模拟考试理科数学试题)某市教育局人事

部门打算将甲、乙、丙、丁四名应届大学毕业生安排到该市三所不同的学校任教,每所 学校至少安排一名,其中甲、乙因属同一学科,不能安排在同 一所学校, 则不同的安排方 法种数为 A.18 B.24 C.30 D.36 ( )

136 . ( 广 东 省 深 圳 市 2013 届 高 三 第 二 次 调 研 考 试 数 学 理 试 题 ( 2013 深 圳 二 模 ) )在

1 ? (1 ? x) ? (1 ? x)2 ? (1 ? x)3 ? (1 ? x)4 ? (1 ? x)5 的展开式中,含 x 2 的系数是
A.10 B.15 C.20 D.25





137 . (广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷)关于二项式

( x ?1)2013 有下列命题:
6 (1)该二项展开式中非常数项的系数和是1;(2)该二项展开式中第六项为 C2013 x2007 ;

(3)该二项展开式中系数最大的项是第1007项;(4)当 x ? 2014 时, ( x ?1) 的余数是2013. 其中正确命题有

2013

除以2014





101

A.1 个

B.2 个

C .3 个

D.4 个

(一)必做题(9 -13 题)
二、填空题 138 . (广东省湛江市 2013 届高三 4 月高考测试(二)数学理试题(WORD 版) )四位学生,坐在

一排有 7 个位置的座位上, 有且只有两个空位是相邻的不同坐法有______种.(用数字作 答)
139 . (广东省广州市 2013 届高三 4 月综合测试(二)数学理试题(WORD 版) )用 0,1,2,3,4,5

这六个数字,可以组成_____个没有重复数字且能被 5 整除的五位数(结果用数值表示).
140 . ( 广 东 省 茂 名 市 2013 届 高 三 4 月 第 二 次 高 考 模 拟 数 学 理 试 题 ( WORD 版 ) )若

则 (数字作答)
141 . (广东省江门佛山两市 2013 届高三 4 月教学质量检测(佛山二模)数学理试 题)若二项

式 ?1 ? 2 x ? 展开式中 x 3 的系数等于 x 2 的系数的 4 倍,则 n 等于________.
n

142. (广东省惠州市 2013 届高三 4 月模拟考试数学理试题(WORD 版) )(

2 x ? )6 展开式中, x

常数项是_________.
143. (广东省潮州市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)若 (2

x?

1 n ) 的展开式 x

中所有二项 式系数之和为 64,则展开式的常数项为________.

102

广东省 12 大市 2013 届高三 二模数学(理)试题分类汇编 10:排列、组合与二 项式定理参考答案

一、选择题 134.
3 A 解析:若从三个集合中选出的是不同的三个数 ,则可以组成 5 A3 =30 个不同的点,若

A、C 选取的元素相同都是 1,则可以确定 3 个不同的点,故共有 33 个不同的点.
135.
2 3 四名学生中有两 名 分在一所学校的种数是 C4 ,顺序有 A3 种,而甲乙被分在同一所学

3 2 3 3 校的有 A3 种,所以不同的安排方法种数是 C4 A3 ? A3 ? 30 .故选 C.

136. 137.

C C

二、填空题 138. 139. 140. 141.

480

216
2011

8

142. 【解析】

T

( r ? 1)

?C

r 6

x

6?r

(? ) x

2

r

? C (?2) r x
r 6

3 3? r 2

,故

r ? 2 时, C (?2)
2 6

2

? 60 .

143.

-160

.

103

广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 11:概率 与统计
姓名____________班级___________学号____________分数______________
一、选择题 144 . (广东省深圳市 2013 届高三第二次调研考试数学理试题(2013 深圳二模) )一支田径队有

男运动员56人,女运动员42人,若用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的 样本,则样本中女运动员的人数为 ( A.9 B.10 C.11 D.12
145 . (广东省江门佛山两市 2013 届高三 4 月教学质量检测(佛山二模)数学理试题)为了解



一片速生林的生长情况,随机测量了其中 100 株树木的底部周长(单位:cm).根据所得数 据画出了样本的频率分布直方图(如右),那么在这 100 株树木中,底部周长 小于 110cm 的株数是
频率/组距 0.04 0.02 0.01 80 90 100 110 120 130 周长(cm)

第 4 题图 A.30 B.60 C.70 D.80
2





146 . (广东省韶关市 2013 届高三 4 月第二次调研测试数学理试题)已知, 圆 x

? y2 ? ? 2内

的曲线 y ? ? sin x, x ? [?? , ? ] 与 x 轴围成的阴影部分区域记为 ? (如图),随机往圆内 投掷一个点 A ,则点 A 落在区域 ? 的概率为





4
A. ?
3

3
B. ?
3

2
.C ?
3

1
D. ?
3

147 . (广 东省惠州市 2013 届高三 4 月模拟考试数学理试题(WORD 版) )设随机变量 ? 服从正

104

态分布 N (3, 4) ,若 P (? ? 2a ? 3) ? P (? ? a ? 2) ,则 a ?





A. 3

B.

5 3

C. 5

D.

7 3

148 . (广东省潮州市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个

不同的数,事件 A =“取到的 2 个数之和为偶数”,事件 B =“取到的 2 个数 均为偶数”,则 P( B | A) = A. ( C. )

1 8

B.

1 4

2 5

D.

1 2

二、填空题 149 . (广东省韶关市 2013 届高三 4 月第二次调研测试数学理试题)下面给出四种说法:

①设 a 、 b 、 c 分别表示数据 15 、 17 、 14 、 10 、 15 、 17 、 17 、 16 、 14 、 12 的平 均数、中位数、众数,则 a ? b ? c ; ②在线性回归模型中,相关指数 R 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率, R 越接 近于 1,表示回归的效果越好 ③绘制频率分布直方图时,各小长方形的面积等于相应各组的组距; ④设随机变量 ? 服从正态分布 N (4, 2 ) ,则 P (? ? 4) ?
2

2

2

1 . 2

其中正确的说法有_______________(请将你认为正确的说法的序号全部填写在横线上)
150 . (广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷)某学校高一某

班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程序的破坏,但可见部分 如下图,据此可以了解分数在 [50,60) 的频率为__________,并且推算全班人数为 __________.

151 . (广东省广州市 2013 届高三 4 月综合测试(二)数学理试题(WORD 版) )某商场销售甲、

乙、丙三种不同型号的钢笔,甲、乙、丙三种型号钢笔的数量之比依次为 2﹕3﹕4.现用 分层抽样的方法抽出一个容量为 n 的样本 , 其中甲型钢笔有 12 支 , 则此样本容量 n ? ____.
152 . (广东省茂名市 2013 届高三 4 月第二次高考模拟数学理试题(WORD 版) )某项测量中,测

量结果 ? 服从正态分布 N(1, ? )( ? >0),若 ? 在(0,1)内取值的概率为 0.4,则 ? 在(0,2)
2

内取值的概率为____
153. (广东省揭阳市 2013 年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题)某个部件由两个电

105

子元件按图(2)方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作,则部件正常工作,设两个电子元 件 的 使 用 寿 命 ( 单 位 : 小 时 ) 均 服 从 正 态 分 布 N (1000,502 ) , 且 各 个 图 (2) 元件能否正常工作相互独立 , 那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 _________.
元件1

元件2
三、解答题 154. (广东省肇庆市 2013 届高三 4 月第二次模拟数学(理)试题)PM2. 5 是指大气中直径小于 或等于 2. 5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物. 虽然 PM2.5 只是地球大气成分中含量很

少的组分,但它对空气质量和能见度等有重要的影响.我国 PM2. 5 标准如表 1 所示.我市 环保局从市区四个监测点 2012 年全年每天的 PM2.5 监测数据中随机抽取 15 天的数据作为
样本,监测值如茎叶图如图 4 所示.

(1)求这 15 天数据的平均值(结果保留整数). (2)从这 15 天的数据中任取 3 天的数据,记表示其中空气质量达到一级的天数 ? ,求 ? 的分布
列和数学期望;

(3) 以这 15 天的 PM2. 5 日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按 360 天计算)中大约
有多少天的空气质量达到一级.

155.(广东省湛江市 2013 届高三 4 月高考测试(二)数学理试题(WORD 版))某市甲、乙两

校高二级学生分别有 1100 人和 1000 人,为了解两校全体高二级学生期 末统考的数学成 绩情况,采用分层抽样方法从这两所学校共抽取 105 名高二学生的数学 成绩,并得到成 绩频数分布表如下,规定考试成绩在[120,150]为优秀. 甲校:

106

乙校:

(1) 求表中 x 与 y 的值; (2) 由以上统计数据完成下面 2x2 列联表,问是否有 99%的把握认为学生数学成绩优秀 与所在学校有关? (3) 若以样本的频率作为概率,现从乙校总体 中任取 3 人(每次抽取看作是独立重复 的),求优秀学生人数 ? 的分布列和数学期望.(注:概率值可 用分数表示)

156. (广东省深圳 市2013届高三第二次调研考试数学理试题(2013深圳二模) )一个箱中原来

装有大小相同的 5个球,其中 3个红球,2个白球.规定:进行一次操作是指“从箱中随机取 出一个球,如果取出的是红球,则把它放回箱中;如果取出的是白球,则该球不放回,并 另补一个红球放到箱中.” (1)求进行第二次操作后,箱中红球个数为4的概率; (2)求进行第二次操作后,箱中红球个数的分布列和数学期望. [来源:学科网]

157. (广东省韶关市 2013 届高三 4 月第二次调研测试数学理试题)甲、乙两人在罚球线互不影响

地投球,命中的概率分别为

2 3 与 ,投中得 1 分,投不中得 0 分. 3 4

(1)甲、乙两人在罚球线各投球一次,求两人得分之和 ? 的数学期望; (2)甲、乙两人在罚球线各投球二次,求甲恰好比乙多得分的概率.

107

158 . (广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷) 高三(1)班和高

三(2)班各已选出3名学生组成代表队,进行乒乓球对抗赛,比赛规则是:①按“单打、双 打、 单打”顺序进行三盘比赛;②代表队中每名队员至少参加一盘比赛,但不得参加两盘 单打比赛;③先胜两盘的队获胜,比赛结束.已知每盘比赛双方胜的概率均为 (1)根据比赛规则,高三(1)班代表队共可排出多少种不同的出场阵容? (2)高三(1)班代表队连胜两盘的概率为多少? (3)设高三(1) 班代表队获胜的盘数为 ? ,求 ? 的分布列和期望.

1 . 2

159. (广东省茂名市 2013 届高三 4 月第二次高考模拟数学理试题(WORD 版) )某校高一级数学

必修 I 模块考试的成绩分为四个等级,85 分-100 分为 A 等,70 分 为 B 等,55 分 为 C 等,54 分以下为 D 等.右边的茎叶图(十位为茎,个位为叶)记录了某班某小组 10 名学生的数学 必修 I 模块考试成绩. (1) 写出茎叶图中这 10 个数据的中位数; (2) 从这 10 个成绩数据中任取 3 个数据,记 ? 表示取到的成绩数据达到 A 等或 B 等的个 数,求 ? 的分布列和数学期望.

160. (广东省揭阳市 2013 年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题) 某批产品成箱包装,

每箱 5 件.一用户在购进该批产 品前先取出 3 箱,设取出的 3 箱中,第一、二、三箱中分 别有 0 件、1 件、2 件二等品,其余为一等品.

108

(1)在取出的 3 箱中,若该用户从第三箱中有放回的抽取 3 次(每次一件),求恰有两次抽 到二等品的概率; (2)在取出的 3 箱中,若该用户再从每箱中任意抽取 2 件产品进行检验,用 ξ 表示抽检的 6 件产品中二等品的件数,求 ξ 的分布列及数学期望.

161. (广东省江门佛山两市 2013 届高三 4 月教学质量检测(佛山二模)数学理试题)市民李生

居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如图所示. 假设工作日不走其它道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的.同一 条道路去程与回程是否堵车相互独立. 假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学,再 返回经甲地赶去乙地上班.假设道路 A 、 B 、D 上下班时间往返出现拥堵的概率都是 道路 C 、E 上下班时间往返出现拥堵的概率都是 到. (1)求李生小孩按时到校的概率; (2)李生是否有七成把握能够按时上班?

1 , 10

1 ,只要遇到拥堵上学和上班的都会迟 5

(3)设 ? 表示李生下班时从单位乙到达小学丙遇到拥堵的次数,求 ? 的均值.

A

D



B


第 17 题图


E

C

162. (广东省惠州市 2013 届高三 4 月模拟考试数学理试题(WORD 版) )在某校高三学生的数学

校本课程选课过程中,规定每位同学只能选一个科目.已知某班第一小组与第二小组各 有六位同学选择科目甲或科目乙,情况如下表: 科目甲 科目乙 总计 第一小组 1 5 6 第二小组 2 4 6 总计 3 9 12 现从第一小组、第二小组中各任选 2 人分析选课情况. (1)求选出的 4 人均选科目乙的概率; (2)设 ? 为选出的 4 个人中选科目甲的人数,求 ? 的分布列和数学期望.

163. (广东省广州市 2013 届高三 4 月综合测试 (二) 数学理试题 (WORD 版) ) 已知正方形 ABCD

的边长为 2, E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点. (1)在正方形 ABCD 内部随机取一点 P ,求满足 | PH | ?

2 的概率;

109

(2) 从 A、B、C、D、E、F、G、H 这八个点中 , 随机选取两个点 , 记这两个点之间 的距离为 ? ,求随机变量 ? 的分布列与数学期望 E? .

164. (广东省潮州市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)某次运动会在我市举行,为

了搞好接待工作,组委会招募了 16 名男志愿者和 14 名女志愿者,调查发现,男、女志愿 者中分别有 10 人和 6 人喜爱运动,其余不喜爱. (1)根据以上数据完成以下 2×2 列联表: 喜爱运动 男 女 总计 10 6 不喜爱运 动 总计 16 14 30

(2)根据列联表的独立性检验,能否在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下认为性别 与喜爱运动有关? (3)从女志愿者中抽取 2 人参加接待工作,若其中喜爱运动的人数为 ? ,求 ? 的分布列和 均值. 参考公式: K ?
2

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

参考数据:

P( K 2 ? k0 )

0.40 0.708

0.25 1.323

0.10 2.706

0.010 6.635

k0

广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 11 :概率与统计参考 答案
一、选择题 144.

D

110

C 146. A
145. 147.













?













7 N (3, 4), P(? ? 2a ? 3) ? P(? ? a ? 2) ,? 2a ? 3 ? a ? 2 ? 6, a ? . 故选 D . 3
148.

B
2 提示:“从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数”一共有 C5 ? 10 种不同选取方式,其中满足 2 2 事 件 A 的 有 C3 ? C2 ? 4 种 选 取 方 式 , 所 以 P( A) ?

4 2 ? ,而满足事件 B 要求的有 10 5

C2 2 ? 1 种 , 即 P( A ? B) ?
1 P ( A ? B ) 10 1 P ( B | A) ? ? ? . 2 4 P ( A) 5
二、填空题 149. 150. 151. 152.

C2 1 2 , 再 由 条 件 概 率 计 算 公 式 , 得 ? 2 C5 10

①②④

0.08
54

25

0.8
2

153.两个电子元件的使用寿命均服从正态分布 N (1000,50

) 得:两个电子元件的使用寿命

超 过 1000 小 时 的 概 率 均 为 p ? 为: P 1 ? 1 ? (1 ? p ) ?
2

1 , 则 该 部 件 使 用 寿 命 超 过 1000 小 时 的 概 率 2

3 4

三、解答题 154.解:(1)随机抽取 15 天的数据的平均数为:

x?

1 (25 ? 28 ? 31 ? ? ? 92) ? 55 15

(2)依据条件, ? 的可能值为 0,1, 2,3 , [来源:学科网 ZXXK]
3 C50C10 24 ? 当 ? ? 0 时, P (? ? 0) ? , 3 C15 91 1 2 C5 C10 45 ? 3 C15 91

当 ? ? 1 时, P (? ? 1) ?

111

1 C52C10 20 当 ? ? 2 时, P (? ? 2) ? , ? 3 C15 91 3 0 C5 C10 2 ? 3 C15 91

当 ? ? 3 时, P (? ? 0) ?

所以其分布列为:

?
P
数学期望为: E? ?

0 24 91

1

45 91

2 20 91

3 2 91

45 20 2 ? 2 ? ? 3? ? 1 91 91 91 5 1 ? , 15 3

(Ⅱ)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级的概率为 P ? 一年中空气质量达到一级的天数为? ,则? ? B (360, ) ,

1 3

1 ? 120 (天) 3 所以一年中平均有 120 天的空气质量达到一级.
∴ E? ? 360 ?
155.

112

156.

113

157.本小题主要考查概率的基本知识,运用数学知识解决问题的能力,以及推理和运算能力.

解:(1)依题意,记“甲投一次命 中”为事件 A,“乙投一次命中”为事件 B,则 A 与 B 相互独 立,且 P(A)=

2 3 1 1 ,P(B)= ,P( A )= ,P( B )= 3 4 3 4

甲、乙两人得分之和 ? 的可能取值为 0、1、2,

1 1 1 P(? ? 0) ? P( AB) ? P( A) P( B) ? ? ? 3 4 12 1 3 2 1 5 P(? ? 1) ? P( AB ? AB) ? P( A) P( B) ? P( A) P( B) ? ? ? ? ? 3 4 3 4 12 2 3 1 P(? ? 0) ? P( AB) ? P( A) P( B) ? ? ? 3 4 2
则 ? 概率分布为:

?
P

0

1

2

1 12

5 12

1 2

E? =0×

1 5 1 17 +1× +2× = 12 12 2 12

114

答:每人在 罚球线各投球一次,两人得分之和 ? 的数学期望为

17 12

(2)设甲恰好比乙多得分为事件 C ,甲得分且乙得 0 分为事件 C1 ,甲得 2 分且乙得分为 事件 C2 ,则 C = C1 + C2 ,且 C1 与 C2 为互斥事件

2 1 1 1 2 2 3 1 7 1 1 P(C ) ? P(C1 ) ? P(C2 ) ? C2 ? ? ? ? ? ? ? C2 ? ? ? 3 3 4 4 3 3 4 4 36 7 答:甲、乙两人在罚球线各投球二次,甲恰好比乙多得分的概率为 36
158.解:(Ⅰ)参加单打 的队员有
1 A32 种方法,参加双打的队员有 C 2 种方法.
1 A32 ? C 2 ? 12(种) 种).

所以,高三(1)班出场阵容共有

(Ⅱ)高三(1)班代表队连胜两盘,可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负,其余两盘胜.

1 1 1 1 1 3 ? ? ? ? ? . 所以,连胜两盘的概率为 2 2 2 2 2 8
(Ⅲ) ? 的取值可能为0,1,2.

1 1 1 P ?? ? 0 ? ? ? ? 2 2 4. 1 1 1 1 1 1 1 P ?? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 4 . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P ?? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 2 2 2 2 2 2 2 2 2
所以 ? 的分布列为

?
p

0

1

2

1 4

1 4

1 2

1 1 1 5 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 4 4 2 4. ∴

115

159. 160.解:(1)设 A 表示事件“从第三箱中有放回地抽取 3 次(每次一件),恰有两次取到二等

品”, 依题意知,每次抽到二等品的概率为 故 P ( A) ? C3 ( ) ?
2 2

2 5

,

2 5

3 36 ? 5 125

(2)ξ 可能的取值为 0,1,2,3 2 2 1 2 2 1 1 C C C C C C ·C 4 3 18 9 4 3 4 3 2 12 P(ξ =0)= · = = , P(ξ =1)= · + · = , 2 2 100 50 2 2 2 2 25 C C C C C C 5 5 5 5 5 5 1 1 1 2 2 1 2 C C ·C C C C C 4 3 2 4 2 15 4 2 1 P(ξ =2)= · + · = , P(ξ =3)= · = 2 2 2 2 50 2 2 25 C C C C C C 5 5 5 5 5 5 ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 9 12 15 P 50 25 50 12 15 1 数学期望为 Eξ =1× +2× +3× =1.2 25 50 25
161. ⑴因为道路 D 、E 上班时间往返出现拥堵的概率分别是

3 1 25

1 1 和 , 10 5

1 1 1 1 3 ? ? ? ? ? 0.15 (列式计算各 1 分) 2 10 2 5 20 所以李生小孩能够按时到校的概率是 1 ? 0.15 ? 85% ; 17 ⑵甲到丙没有遇到拥堵的概率是 , 20 17 丙到甲没有遇到拥堵的概率也是 , 20 1 1 1 1 1 1 2 ? ? ? ? ? , 甲到乙遇到拥堵的概率是 ? 3 10 3 10 3 5 15 2 13 ? , 李生上班途中均没有遇到拥堵的概率是 甲到乙没有遇到拥堵的概率是 1 ? 15 15 17 17 13 3757 ? ? ? ? 0.8 ,所以李生没有八成把握能够按时上班(计算结论各 1 分) 20 20 15 6000
因此从甲到丙遇到拥堵的概率是

116

⑶依题意 ? 可以取 0,1, 2

P(? ? 0) =

13 17 221 2 17 13 3 73 , P (? ? 1) = , P (? ? 2) = ? ? ? ? ? ? 15 20 300 15 20 15 20 300

2 3 6 , ? ? 15 20 300
分 布列

?
p

是: 0 1 2

221 300

73 300

6 300

E? ?

221 73 6 85 17 ? 0+ ?1+ ? 2= ? 300 300 300 300 60

162.解:(1)设“从第一小组选出的 2 人选科目乙”为事件 A ,

“从第二小组选出的 2 人选科目乙””为事件 B .由于事 件 A 、 B 相互独立, 且 P ( A) ?
2 C5 2 , ? 2 C6 3

P( B) ?

2 C4 2 ? 2 C6 5

所以选出的 4 人均选科目乙的概率为

2 2 4 P( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ) ? ? ? 3 5 15
(2)设 ? 可能的取值为 0,1,2,3.得

P(? ? 0) ?

4 , 15

P(? ? 1) ?

2 1 1 1 2 1 1 C 5 C 2C 4 C 5 C 4 22 , C5 1 , ? ? ? ? P ( ? ? 3) ? ? 2? 2 2 2 2 2 C6 C6 C 6 C 6 45 C 6 C 6 45

P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) ?

2 9

? 的分布列为

?
P

0

2
22 45 2 9

3

4 15

1 45

∴ ? 的数学期望 E? ? 0 ?

4 22 2 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1 15 45 9 45

163. (本小题主要考查几何概型、随机变量的分布列与数学期望等基础知识,考查运算求解

能力与数据处理能力等,本小题满分 12 分) 解 :(1)这是一个几何概型 .所有点 P 构成的平面区域是正方形 ABCD 的内部,其面积 是 2? 2 ? 4 满足 | PH | ?

2 的点 P 构成的平面区域是以 H 为圆心, 2 为半径的圆的内部与正方

117

形 ABCD 内部的公共部分,它可以看作是由一个以 H 为圆心、 2 为半径、

? 的扇形 HEG 的内部(即四分之一个圆)与两个 2 直角边为 1 的等腰直角三角形(△ AEH 和△ DGH )内部
圆心角为 构成

D

G

C

1 ? 2 ? ? 1? 1 ? 2 ? ?1 所以满足 | PH | ? 2 的概率为 2 ? 4 (2) 从 A、B、C、D、E、F、G、H
其面积是
2
2 C8 ? 28 条不同的线段.

1 ? ?? 4

? 2?

? ?1 2

H

F

? 1 ? 8 4

A

E

B

这八个点中,任意选取 两个点,共可构成

其中长度为 1 的线段有 8 条,长度为 2 的线段有 4 条,长度为 2 的线段有 6 条,长度为

5 的线段有 8 条,长度为 2 2 的线段有 2 条.
所以 ? 所有可能的取值为 1, 2,2, 5,2 2 且

8 2 ? 28 7 6 3 P ?? ? 2 ? ? ? , 28 14 8 2 P ?? 5 ? ? , 28 7 P ?? ? 1? ?

,

P ?? 2 ?

?

?

4 1 ? 28 7

,

?

?

P ? ?2 2 ?

?

?

2 1 ? 28 14

所以随机变量 ? 的分布列为:

?
P

2
2 7 1 7

2

5
2 7

2 2
1 14

??10 分

3 14

随机变量 ? 的数学期望为

2 1 3 2 1 5? 2 2 ?2 5 E? ? 1? ? 2 ? ? 2 ? ? 5 ? ? 2 2 ? ? 7 7 14 7 14 7
164.解:(1)

喜爱运动

不喜爱运 动[来源: 学 科 网 ZXXK] 6 8

总计

男 女

10 6

16 14

118

总计

16

14

30

(2)假设:是否喜爱运动与性别无关,由已知数据可求得:

K2 ?

30 ? (10 ? 8 ? 6 ? 6)2 ? 1.1575 ? 2.706 (10 ? 6)(6 ? 8)(10 ? 6)(6 ? 8)

因此,在犯错的概率不超过 0.10 的前提下不能判断喜爱运动与性别有关 (3)喜爱运动的人数为 ? 的取值分别为:0,1,2,其概率分别为:[来源:学科网 ZXXK]

P(? ? 0) ?

C82 28 ? 2 91 C14

P(? ? 1)

1 1 C6 C8 48 ? 2 91 C14

P(? ? 2) ?

2 C6 15 ? 2 C14 91

喜爱运动的人 数为 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

28 91

48 91

15 91

所以喜爱运动的人数 ? 的值为: E? ? 0 ?

28 48 15 78 ? 1? ? 2? ? . 91 91 91 91

119

广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 12:程序 框图
姓名____________班级_ _ _________学号____________分数______________
一、选择题 165 .(广东省湛江市 2013 届高三 4 月高考测试(二)数学理试题(WORD 版))运行如图的

程序框图,输出的结果是

( A.510



B.1022

C.254

D.256

166 . (广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷)执行右边的框

图,若输出的结果为

1 ,则输入 的实数 x 的值是 2

( A.



1 4

B.

3 2

C.

2 2

D. 2

167 . (广东省茂名市 2013 届高三 4 月第二次高考模 拟数学理试题(WO RD 版) )如图所示的算

法流程图中,第 3 个输出的数是

120

( A.1
二、填空题 168 . (广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学(理)试题)某程序框图 如图1所示,该程



B.

3 2

C .2

D.

5 2

序运行后输出的结果 k 的值是________

169 . (广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题(2013深圳二模) )执行图3中程序

框图表示的 算法,其输出的结果 s 为__________.(注:框图中的“ ? ”,即为“←”或为 “: ? ”)

121

170 . (广东省韶 关市 2013 届高三 4 月第二次调研测试数学理试题)执行右边的程序框图,若

p ? 4 ,则输出的 S ? ___________.
开始 输入 p

n ? 0, S ? 0

n? p




n ? n ?1

输出 S 结束

S?S?

1 2n

171 . (广东省惠州市 2013 届高三 4 月模拟考试数学理试题(WORD 版) )执行如图的程序框图,

那么输出 S 的值是________.

122

开始

S ? 2, k ? 1

k ? 2013



是 1 S? 1? S

输出 S

结束

k ? k ?1
172 . (广东省潮州市 2013 届高三 第二次模拟考试数学(理)试题) 如 图, 是一程序框图,则

输出结果为 K ? _____ ,
开始

S ? _________. .

S ?0

K ?1



K ? 10 ?
否 输出 K,S

S?S?

1 K ( K ? 2)
结束

K ? K ?2

(说明, M ? N 是赋值语句,也可以写成 M ? N ,或 M :? N

广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类 汇编 12:程序框图参考答 案
一、选择题

123

A 166. D 167. C
165. 二、填空题 168.

解: 程序执行的过程如下:

k ? 0, s ? 0 ,符合 s ? 100 , s ? 0 ? 20 ? 1, k ? 1 ;符合 s ? 100 , s ? 1 ? 21 ? 3, k ? 2 ;
符合 s ? 100 , s ? 3 ? 22 ? 7, k ? 3 ;符合 s ? 100 , s ? 7 ? 23 ? 15, k ? 4 ; 符合 s ? 100 , s ? 15 ? 24 ? 31, k ? 5 ;符合 s ? 100 , s ? 31 ? 25 ? 63, k ? 6 ; 符合 s ? 100 , s ? 63 ? 26 ? 100, k ? 7 ;不符合 s ? 100 ,故输出 k ? 7 .
169. 170.

341

15 ; 16
【解析】由框图可知: S ? 2, ?1, , 2, ?1, ?? ,

171.

1 2

1 2

周期为 T ? 3, , 2013 ? 3 ? 671 ,故输出 S 的值是
172.

1 . 2

11,

5 .(2 分,3 分) 11

广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 13:常用 逻辑用语
姓名____________班级___________学号____________分数______________

124

一、选择题 173 . (广东省湛江市 2013 届高三 4 月高考测试(二 )数学理试题( WORD 版) ) 如果命题

“ ?( p ? q ) ”是真命题,则 B.命题 p、q 均为真命题 D.命题 p、q 中至多有一个是真命题 174 . (广东省深圳市 2013 届高三第二次调研考试数学理试题(2013 深圳二模) )已知 x ? R , 则 x ? 1 是 | x ? 1| ? | x ? 1|? 2 | x | 的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 件 D.既非充分也非必要条 A.命题 p、q 均为假命题 C.命题 p、q 中至少有一个是真命题









175 . (广东省韶关市 2013 届高三 4 月第二次调研测试数学理试题)给出如下四个命题:

①若“ p 且 q ”为假命题,则 p 、 q 均为假命题; ②命题“若 a ? b ,则 2a ? 2b ? 1 ”的否命题为“若 a ? b ,则 2a ? 2b ? 1 ”;[来源:学。科。 网] ③“ ?x ? R, x 2 ? 1 ? 1 ”的否定是“ ?x ? R, x 2 ? 1 ? 1 ”; ④等比数列 ?an ? 中,首项 a1 ? 0 ,则数列 ?an ? 是递减数列的充要条件是公比 q ? 1 ; 其中不正确 的命题个数是 ... A.4 B.3 是“x(x-3)<0 成立”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件
二、填空题 177 . (广东省揭阳市 2013 年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题) 已知函数

( C .2 D.1 ( B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件



176 . (广东省茂名市 2013 届高三 4 月第二次高考模拟数学理试题 (WORD 版) ) “|x-1|<2 成立”



f ( x) ? 4 | a | x ? 2a ? 1 . 若命题:“ ?x0 ? (0,1) , 使 f ( x0 ) ? 0 ”是真命题 ,则实数 a 的
取值范围为____________.
178 . (广东省江门佛山两市 2013 届高三 4 月教学质量检测(佛山二模)数学理试题) 命题

“ ? x0 ? R, e x0 ? 0”的否定是______________.
三、解答题 179 . (广东 省广州市2013届高三4月综合测试(二)数学理试题(WORD版) )已知
2

a ? 0 ,设命

题 p : 函数 f ? x ? ? x ? 2ax ? 1 ? 2a 在区间 ? 0,1? 上与 x 轴有两个不同的交点 ; 命题

q : g ? x ? ? x ? a ? ax 在区间 ? 0, ?? ? 上有最小值 . 若 ? ?p ? ? q 是真命题 ,求实数 a 的
取值范围.

125

广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 13:常用逻辑用语参 考答案
一、选择题

D 174. A 175. C 176. B
173. 二、填空题 177.

由“ ? x0 ? (0,1) ,使得 f ( x0 ) ? 0 ”是真命题,得 f (0) ? f (1) ? 0 ?

126

1 a?0 a?0 或? (1 ? 2a)(4 | a | ?2a ? 1) ? 0 ? ? ?a ? . ? ? 2 ?(6a ? 1)(2a ? 1) ? 0 ?(2a ? 1)(2a ? 1) ? 0
178. ? x ? R, e 三、解答 题 179.
x

?0

(本小题主要考查二次函数的交点与分段函数的最值、 常用逻辑用语等 基础知识,考查 数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力、抽象概括能力等,本小题满分 14 分) 解:要使函数 f ? x ? ? x ? 2ax ? 1 ? 2a 在 ? 0,1? 上与 x 轴有两个不同的交点,
2

? f ? 0 ? ≥0, ? ? f ?1?≥0, 必须 ? ?0 ? a ? 1, ?? ? 0. ? ?1 ? 2a≥0, ?2 ? 4a≥0, ? 即? 0 ? a ? 1, ? ?? ?2a ?2 ? 4 ?1 ? 2a ? ? 0. ?
解得 2 ? 1 ? a≤ . 所以当 2 ? 1 ? a≤ 的交点 下面求 g ? x ? ? x ? a ? ax 在 ? 0, ?? ? 上有最小值时 a 的取值范围: 方法 1:因为 g ? x ? ? ?

1 2

1 2 时 , 函数 f ? x ? ? x ? 2ax ? 1 ? 2a 在 ? 0,1? 上与 x 轴有两个不同 2

? ??1 ? a ? x ? a, ? ?? ?1 ? a ? x ? a,

x≥a, x ? a.

①当 a ? 1 时, g ? x ? 在 ? 0, a ? 和 ? a, ?? ? 上单调递减, g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上无最小值; ②当 a ? 1 时, g ? x ? ? ?

??1, ??2 x ? 1,

x≥1, x ? 1.

g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上有最小值 ?1 ;

③当 0 ? a ? 1 时, g ? x ? 在 ? 0, a ? 上单调递减,在 ? a, ?? ? 上单调递增,

g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上有最小值 g ? a ? ? ?a 2
所以当 0 ? a≤1 时,函数 g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上有最小值 方法 2:因为 g ? x ? ? ?

? ??1 ? a ? x ? a, ? ?? ?1 ? a ? x ? a,

x≥a, x ? a.

127

因为 a ? 0 ,所以 ? ?1 ? a ? ? 0 . 所以函数 y1 ? ? ?1 ? a ? x ? a ? 0 ? x ? a ? 是单调 递减的 要使 g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上有最小值,必须使 y2 ? ?1 ? a ? x ? a 在 ? a, ?? ? 上单调递增或为 常数 即 1 ? a≥0 ,即 a≤1 所以当 0 ? a≤1 时,函数 g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上有最小值 若 ? ?p ? ? q 是真命题,则 ?p 是真命题且 q 是真命题,即 p 是 假命题且 q 是真命题所以

1 ? ?0 ? a≤ 2 ? 1, 或a ? , 2 ? ? ?0 ? a≤1.
解得 0 ? a≤ 2 ? 1 或

1 ? a≤1 2

故实数 a 的取值范围为 0, 2 ? 1? ? ?

?

?1 ? ? ? 2 ,1? ?

广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 14:导数 与积分
姓名____________班级___________学号____________分数______________
一、选择题 180 . (广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题(2013深圳二模) )由曲线

y ? sin x, y ? cos x 与直线 x ? 0, x ?


?
2

所围成的平面图形(图1中的阴影部分)的面积

128

( A.1 B.



? 4

C.

2 2 3

D. 2 2 ? 2

181 . (广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷)如图所示,图

中曲线方程为 y ? x2 ?1 ,用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面积是

182 . (广东省茂名市 2013 届高三 4 月第二次高考模拟数学理试题(WORD 版) )曲线 f(x)=xlnx

在点 x=1 处的切线方程为 A.y=2x+2 B.y=2x-2

( C.y=x-1 C.y=x+1



183 . (广东省江门佛山两市 201 3 届高三 4 月教学质量检测(佛山二模)数学理试题)将边长

为 2 的等边三角形 PAB 沿 x 轴滚动,某时刻 P 与坐标原点重合(如图),设顶点 P ( x, y ) 的轨迹方程是 y ? f ( x) ,关于函数 y ? f ( x) 的有下列说法: y B

OP A 第 8 题图 ①

x

f ( x)









[0, 2]

;②

f ( x)









数;③ f (?1.9) ? f (? ) ? f (2013) ;④ 其中正确的说法个数为: A.0 B.

?

6

0

9 f ( x)dx ? ? . 2
( C. 2 D. 3 )

184 . (广东省惠州市 2013 届高 三 4 月模拟考试数学理试题( WORD 版) ) 设 P 为曲线

129

? ?? C : y ? x 2 ? 2 x ? 3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为 ?0, ? ,则点 ? 4?

P 横坐标的取值范围为
A. ? ?1, ? ? 2

( C. ? 0,1? D. ? ,1?



? ?

1? ?

B. ? ?1, 0?

?1 ? ?2 ?

185 . (广东省广州市 2013 届高三 4 月综合测试 (二) 数学理试题 (WORD 版) ) 已知函数 y

? f ? x?

的图象如图 1 所示,则其导函数 y ? f ? ? x ? 的图象可能是 y y y y y

O A.
二、填空题 186

x

O B.

x

O C.

x

O D.

x

O 图1

x

.( 广 东 省 肇 庆 市 2013 届 高 三 4 月 第 二 次 模 拟 数 学 ( 理 ) 试 题 )

?

?

2 0

(3 x ? sin x)dx ? ________________.
3

187 . (广东省湛江市 2013 届高三 4 月高考测试(二)数学理试题(WORD 版) )曲线 y= x -x +

3 在点(1,3)处的切线方程为_______
188. (广东省深圳市 2013 届高三第二次调研考试数学理试题(2013 深圳二模) )若直线 y ? kx

与曲线 y ? ln x 相切,则 k ? _______ ___________.

189 . (广东省潮州市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题) 计算

=

________.
三、解答题 190 . ( 广 东 省 肇 庆 市 2013 届 高 三 4 月 第 二 次 模 拟 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数
3 2 ? 2 ?? x ? ax ? bx, ( x ? 1) 在 x ? 0, x ? 处存在极值 . f ( x) ? ? x ?1 3 ? ?c(e ? 1), ( x ? 1)

(1)求实数 a, b 的值; (2)函数 y ? f ( x) 的图像上存在两点 A, B 使得 ?AOB 是以坐标原点 O 为直角顶点的 直角三角形,且斜边 AB 的中点在 y 轴上,求实数 c 的取值范围;

130

(3)当 c ? e 时,讨论关于 x 的方程 f ( x) ? kx (k ? R ) 的实根的个数.

191.(广东省湛江市 2013 届高三 4 月高考测试(二)数学理试题(WORD 版))已知 a < 2 ,

f ( x) ? x ? a ln x ?

a ?1 1 , g ( x) ? x 2 ? e x ? xe x .(注:e 是自然对数的底) x 2

(1) 求 f(x)的单调区间; (2)若存在 x1∈[e,e2],使得对任意的 x2∈[—2,0],f(x1)<g(x2)恒成立,求实数 a 的取值 范围.

192. (广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题(2013深圳二模) )定义

? ( x, y) ?| ex ? y | ? y | x ? ln y | ,其中 x ? R, y ? R? .
(1)设 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ? ( x, a) ,试判断 f ( x ) 的定义域内零点的个数; (2)设 0 ? a ? b ,函数 F ( x) ? ? ( x, a) ? ? ( x, b) ,求 F ( x) 的最小值; (3)记(2)中最小值为 T (a, b) ,若 ?an ? 是各项均为正数的单调递增数列,证 明:

? T (a , a
i ?1 i

n

i ?1

) ? (an?1 ? a1 ) ln 2 .

193 . ( 广 东 省 韶 关 市 2013 届 高 三 4 月 第 二 次 调 研 测 试 数 学 理 试 题 ) 设 函 数

f ( x) ? ax 3 ? (a ? b) x 2 ? bx ? c 其中 a ? 0, b, c ? R

131

1 (1)若 f ?( ) =0,求 f ( x) 的单调区间; 3

(2)设 M 表示 f '(0) 与 f '(1) 两个数中的最大值,求证:当 0≤x≤1 时,| f ?( x) |≤ M .

194. (广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷)已知函数

f ( x) ? x2 ? ax, g ( x) ? ln x .
(1)若 f ( x) ? g ( x) 对于定义域内的任意 x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ,且 x1 ? (0, ) ,证

1 2

3 ? ln 2 ; 4 1 ? ax 1 ) 对于任意的 a ? (1, 2) ,总存在 x0 ? [ ,1] ,使不等式 (3)设 r ( x) ? f ( x) ? g ( 2 2
明: h( x1 ) ? h( x2 ) ?

r ( x) ? k (1 ? a2 ) 成立, 求实数 k 的取值范围.

[来源:学科网]

195. (广东省茂名市 2013 届高三 4 月第二次高考模拟数学理试题(WORD 版) )已知函数

f ( x) ? ? x 3 ? x 2 ? bx, g ( x) ? a ln x, (a ? 0) .
(1)若 f ( x) 存在极值点,求实数 b 的取值范围; (3)当 b=0 时,令 F ( x) ? ?

? f ( x), x ? 1 .P( x1 , F ( x1 ) ),Q( x2 , F ( x2 ) )为曲线 y= F ( x) 上的 ? g ( x), x ? 1

两动点,O 为坐标原点,请完成下面两个问题: ①能否使得 ? POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形,且斜边中点在 y 轴上?请说明理由. ②当 1< x1 ? x2 时,若存在 x0 ? ( x1 , x2 ) ,使得曲线 y=F(x)在 x=x0 处的切线 l∥PQ, 求证: x0 ?

x1 ? x2 2

132

196 . ( 广 东 省 揭 阳 市 2013 年 高 中 毕 业 班 第 二 次 高 考 模 拟 考 试 理 科 数 学 试 题 ) 设 函 数

1 fn ( x) ? xn (1 ? x2 ) 在 [ ,1] 上的最大值为 an ( n ? 1, 2,? ). 2
(1)求 a1 , a2 的值; (2)求数列 {an } 的通项公式; (3)证明:对任意 n ? N ( n ? 2 ),都有 an ?
*

1 成立. (n ? 2)2

197. (广东省惠州市 2013 届高三 4 月模拟考试数学理试题(WORD 版) )

已知函数 f ( x) ? a x 2 ? bx ? 1 在 x ? 3 处的切线方程为 y ? 5 x ? 8 . (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? k e x 恰有两个不同的实根,求实数 k 的值; (3)数列 ?an? 满足 2a1 ? f (2) , an ?1 ? f (an ), n ? N ? , 求S ?

1 1 1 1 的整数部分. ? ? ? ???? ? a1 a2 a3 a2013

广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 14:导数与积分参考 答案
一、选择题

D 181. C 182. C 183. C
180. 184.











P( x0 , y0 )

,









? , 0 ? tan ? ? 1 , f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 , f'(x)=2x+2 , 0 ? 2 x0 ? 2 ? 1 , ?1 ? x0 ? ? ,
故选 A . A

1 2

185.

133

二、填空题 186.
? ? 3? 2 3 3? 2 ? 1 解析: ? 2 (3 x ? sin x)dx ? ( x 2 ? cos x) |02 ? ?1 . 0 8 2 8

187.

2x ? y ? 1
1 e
2

188.

189. e . 三、解答题 190.解(1)当 x ? 1 时,

f ?( x) ? ?3x 2 ? 2ax ? b .

? f ?(0) ? 0, 2 ? 因为函数 f(x)在 x ? 0, x ? 处存在极值,所以 ? 解得 a ? 1, b ? 0 . 2 ? 3 f ( ) ? 0, ? ? 3
(2) 由(1)得 f ( x) ? ?

?? x3 ? x 2 , ( x ? 1), ? x ?1 ? ?c(e ? 1), ( x ? 1),
3 2

根据条件知 A,B 的横坐标互为相反数,不妨设 A(?t , t ? t ), B (t , f (t )), (t ? 0) .
3 2 若 t ? 1 ,则 f (t ) ? ?t ? t ,

由 ?AOB 是直角得, OA ? OB ? 0 ,即 ?t ? (t ? t )(?t ? t ) ? 0 ,
2 3 2 3 2

??? ? ??? ?

即 t 4 ? t 2 ? 1 ? 0 .此时无解; 若 t ≥ 1 ,则 f (t ) ? c(e

? 1) . 由于 AB 的中点在 y 轴上,且 ?AOB 是直角,所以 B 点不 ??? ? ??? ? 2 3 2 t ?1 可 能 在 x 轴 上 , 即 t ? 1 . 由 OA ? OB ? 0 , 即 ?t ? (t ? t ) ? c(e ? 1) =0, 即
c? 1 (t ? 1) ? et ?1 ? 1?

t ?1

.. 在 t ? 1 上的值域是 (0, ??) ,

因为函数

y ? (t ? 1) ? et ?1 ? 1?

所以实数 c 的取值范围是 (0, ??) .

?? x3 ? x 2 , ( x ? 1) ? (3)由方程 f ( x) ? kx ,知 kx ? ? ,可知 0 一定是方程的根, x ? ?e ? e, ( x ? 1)

134

?? x 2 ? x, ( x ? 1且x ? 0), ? 所以仅就 x ? 0 时进行研究:方程等价于 k ? ? e x ? e , ( x ? 1). ? ? x ?? x 2 ? x, ( x ? 1且x ? 0), ? 构造函数 g ( x) ? ? e x ? e , ( x ? 1), ? ? x
对于 x ? 1且x ? 0 部分,函数 g ( x) ? ? x 2 ? x 的图像是开口向下的抛物线的一部分, 当x?

1 1 1 时取得最大值 ,其值域是 (??, 0) ? (0, ] ; 2 4 4

对 于 x ≥ 1 部 分 , 函 数 g ( x) ?

ex ? e e x ( x ? 1) ? e , 由 g ?( x) ? ? 0 , 知 函 数 g ( x) 在 x x2

?1, ?? ? 上单调递增.
所以,①当 k ? ②当 k ?

1 或 k ? 0 时,方程 f ( x) ? kx 有两个实根; 4

1 时,方程 f ( x) ? kx 有三个实根; 4 1 ③当 0 ? k ? 时,方程 f ( x) ? kx 有四个实根. 4
191.

135

192.

136

137

193.设函数

f ( x) ? ax 3 ? (a ? b) x 2 ? bx ? c 其中 a ? 0, b, c ? R

1 (1)若 f ?( ) =0,求 f ( x) 的单调区间 3

(2)设 M 表示 f '(0) 与 f '(1) 两个数中的最大值,求证:当 0≤x≤1 时,| f ?( x) |≤ M .
1 解:(1)由 f ?( ) =0, 得 a=b. 3

当 a ? 0 时,则 b ? 0 , f ( x) ? c 不具备单调性 故 f(x)= ax -2ax +ax+c.
1 2 由 f ?( x) =a(3x -4x+1)=0,得 x1= ,x2=1 3
3 2

列表:

x
f ?( x)

1 (-∞, ) 3

1 3

1 ( ,1) 3

1 0 极小值

(1,+∞) + 增

+ 增

0 极大值



f(x)

1 1 由表可得, 函数 f(x)的单调增区间是(-∞, )及(1,+∞) .单调减区间是 [ ,1] 3 3
(2)当 a ? 0 时, f ?( x) = ?2bx ? b

138

若 b ? 0 f ?( x) ? 0 , 若 b ? 0 ,或 b ? 0 , f ?( x) 在 [0,1] 是单调函数, ? f ' (0) ? f ?(1) ≤ f ?( x) ≤ f ?(0) ,或

? f ' (1) ? f ?(0) ≤ f ?( x) ≤ f ?(1)
所以, f ?( x) ≤ M 当 a ? 0 时, f ?( x) =3ax -2(a+b)x+b=3 a( x ?
2

a ? b 2 a 2 ? b 2 ? ab . ) ? 3a 3a

a?b a?b ≥ 1, 或 ≤ 0 时,则 f ?( x) 在 [0,1] 上是单调函数, 3a 3a 所以 f ?(1) ≤ f ?( x) ≤ f ?(0) ,或 f ?(0) ≤ f ?( x) ≤ f ?(1) ,且 f ?(0) + f ?(1) =a>0.

①当

所以 ? M ? f ?( x) ? M

a 2 ? b 2 ? ab ≤ f ?( x) ≤ M . 3a 3a a 3a (i) 当-a<b≤ 时,则 0 <a+b≤ . 2 2
②当 0< a ? b <1 ,即-a<b<2a,则 ? 所以
f ?(1) ?

a 2 ? b 2 ? ab 2a 2 ? b 2 ? 2ab 3a 2 ? (a ? b)2 1 = = ≥ a 2 >0. 3a 3a 3a 4

所以 ? M ? f ?( x) ? M (ii) 当
a a 2 2 5 <b<2a 时,则 (b ? )(b ? 2a) <0,即 a +b - ab <0. 2 2 2

5 2 2 a 2 ? b 2 ? ab 4ab ? a 2 ? b 2 2 ab ? a ? b a 2 ? b 2 ? ab 所以 b ? = > >0,即 f ?(0) > . 3a 3a 3a 3a

所以 ? M ? f ?( x) ? M 综上所述:当 0≤x≤1 时,| f ?( x) |≤ M

194.解析:
2 (Ⅰ)由题意: f ( x) ? g ( x) ? x ? ax ? ln x , ( x ? 0)

分离参数 a 可得:

a? x?

ln x x

( x ? 0)

? ( x) ? x ?


x 2 ? ln x ? 1 ln x ? / ( x) ? x ,则 x2
2

由于函数 y ? x , y ? ln x 在区间 (0,??) 上都是增函数,所以

139

函数 y ? x ? ln x ? 1 在区间 (0,??) 上也是增函数,显然 x ? 1 时,该函数值为 0
2

所以当 x ? (0,1) 时, ? ( x) ? 0 ,当 x ? (1,??) 时, ? ( x) ? 0
/ /

所以函数 ? ( x) 在 x ? (0,1) 上是减函数,在 x ? (1,??) 上是增函数 所以 ? ( x) min ? ? (1) ? 1 ,所以 a ? ? ( x) min ? 1 即 a ? (??,1]

(Ⅱ)由题意知道: h( x) ? x ? ax ? ln x ,且
2

h | ( x) ?

2 x 2 ? ax ? 1 , ( x ? 0) x
1 x1 ? (0, ) 2 ,

2 所以方程 2 x ? ax ? 1 ? 0( x ? 0) 有两个不相等的实数根 x1 , x 2 ,且

又因为

x1 x 2 ?

1 1 x2 ? ? (1,??) 2 , ax ? 2 xi ? 1, (i ? 1,2) 2 x1 2 所以 ,且 i
2 2

而 h( x1 ) ? h( x 2 ) ? ( x1 ? ax 1 ? ln x1 ) ? ( x 2 ? ax 2 ? ln x 2 )

? [ x1 ? (2 x1 ? 1) ? ln x1 ] ? [ x 2 ? (2 x 2 ? 1) ? ln x 2 ]

2

2

2

2

? x 2 ? x1 ? ln

2

2

x1 2 ? x2 x2

1 1 2x 1 2 2 2 ? ln 2 x 2 ?( ) ? ln 2 ? x 2 ? 2 2x 2 x2 4 x2 , ( x 2 ? 1)

u ( x) ? x 2 ?


(2 x 2 ? 1) 2 1 / 2 u ( x ) ? ?0 ? ln 2 x , ( x ? 1 ) 4x 2 2x3 ,则
3 3 ? ln 2 h( x1 ) ? h( x 2 ) ? ? ln 2 4 4 ,即

u ( x) ? u (1) ?
所以

1 ? ax ax ? 1 r ( x) ? f ( x) ? g ( ) ? x 2 ? ax ? ln 2 2 (Ⅲ)

a2 ? 2 2ax( x ? ) 2ax 2 ? a 2 x ? 2 x a 2a ? ? r | ( x) ? 2 x ? a ? ax ? 1 ax ? 1 ax ? 1 所以
a2 ? 2 a 1 2 1 1 ? ? ? ? ? 2 a 2 2 2 因为 a ? (1, 2) ,所以 2a
1 1 x ? ( ,??) x0 ? [ ,1] r ( x ) 2 2 时, 所以当 时, 是增函数,所以当

140

r ( x0 ) max ? r (1) ? 1 ? a ? ln

a ?1 2 , a ? (1, 2)

所以,要满足题意就需要满足下面的条件:

1 ? a ? ln

a ?1 a ?1 ? k (1 ? a 2 ) ? (a) ? 1 ? a ? ln ? k (1 ? a 2 ) 2 2 ,令 , a ? (1, 2)

即对任意 a ? (1, 2) ,

? (a) ? 1 ? a ? ln

a ?1 ? k (1 ? a 2 ) ? 0 恒成立 2

? / (a) ? ?1 ?
因为 分类讨论如下: (1)若 k ? 0 ,则

1 2ka 2 ? 2ka ? a a ? 2ka ? ? (2ka ? 2k ? 1) a ?1 a ?1 a ?1
?a a ? 1 ,所以 ? (a) 在 a ? (1,2) 递减,

? / (a) ?

此时 ? (a ) ? ? (1) ? 0 不符合题意

(2)若 k ? 0 ,则

? / (a) ?

2ka 1 (a ? ? 1) a ?1 2k ,所以 ? (a ) 在 a ? (1,2) 递减,

此时 ? (a ) ? ? (1) ? 0 不符合题意.

(3)若 k ? 0 ,则

? / (a) ?

2ka 1 1 1 (a ? ? 1) ?1 ? 1 ?1 a ?1 2k ,那么当 2k 时,假设 t 为 2 与 2k 1 1 ? 1} (1, min{2, ? 1}) 2k 2k , 则 ? (a ) 在区间 上递减, 此

t ? min{2,
中较小的一个数, 即 时 ? (a ) ? ? (1) ? 0 不符合题意.

?k ? 0 ? ?1 1 1 ?1 ? 1 k? [ ,??) ? 4 ,即实数 k 的取值范围为 4 综上可得 ? 2k 解得

141

195.

196.解:(1)解法 1:∵ fn '( x) ? nxn?1 (1 ? x)2 ? 2xn (1 ? x) ? xn?1 (1 ? x)[n(1 ? x) ? 2x]

当 n ? 1 时, f1 '( x) ? (1 ? x)(1 ? 3x) 当 x ? [ ,1] 时, f1 '( x) ? 0 ,即函数 f1 ( x) 在 [ ,1] 上单调递减, ∴ a1 ? f1 ( ) ?

1 2

1 2

1 2

1 , 8

142

当 n ? 2 时, f 2 '( x) ? 2 x(1 ? x)(1 ? 2 x) 当 x ? [ ,1] 时, f 2 '( x) ? 0 ,即函数 f 2 ( x) 在 [ ,1] 上单调递减, ∴ a2 ? f 2 ( ) ?

1 2

1 2

1 2

1 16

【解法 2:当 n ? 1 时, f1 ( x) ? x(1 ? x)2 ,则 f1 '( x) ? (1 ? x)2 ? 2x(1 ? x) ? (1 ? x)(1 ? 3x) 当 x ? [ ,1] 时 , f1 '( x) ? 0 , 即函数 f1 ( x) 在 [ ,1] 上单调递减,∴ a1 ? f1 ( ) ?

1 2

1 2

1 2

1 ,当 8

n ? 2 时, f2 ( x) ? x2 (1 ? x)2 ,则 f2 '( x) ? 2x(1 ? x)2 ? 2x2 (1 ? x) ? 2 x(1 ? x)(1 ? 2 x)

1 】 16 n n 1 1 n ? [ ,1] 且当 x ? [ , ) (2)令 f n '( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? , ∵当 n ? 3 时, n?2 n?2 2 2 n?2 n ,1] 时 f n '( x) ? 0 , 时 f n '( x) ? 0 ,当 x ? ( n?2 n 故 处 取 得 最 大 值 , 即 当 n?3 f n ( x) 在 x ? n?2
当 x ? [ ,1] 时, f 2 '( x) ? 0 ,即函数 f 2 ( x) 在 [ ,1] 上单调递减,∴ a2 ? f 2 ( ) ? 时, an ? f n (

1 2

1 2

1 2

n n n 2 2 4n n )?( ) ( ) ? ,------( ? ) n?2 n?2 n?2 (n ? 2)n? 2

当 n ? 2 时( ? )仍然成立,

?1 , ? ?8 综上得 an ? ? n ? 4n . n?2 ? ? (n ? 2)
(3)当 n ? 2 时,要证

n ?1 n?2

4nn 1 ,只需证明 (1 ? 2 ) n ? 4 ? n?2 n (n ? 2) (n ? 2)2
1

∵ (1 ? ) ? Cn ? Cn ( ) ? ? ? Cn ( ) ? 1 ? 2 ?
n 0 n n

2 n

2 n

2 n

n(n ? 1) 4 ? 2 ? 1? 2 ?1 ? 4 2 n

∴对任意 n ? N ( n ? 2 ),都有 an ?
*

1 成立 (n ? 2) 2

197.解: (1)

f'(x)=2ax+b ,
? f `(3) ? 5 ?6 a ? b ? 5 ,即 ? , ? f (3) ? 7 ?9a ? 3b ? 1 ? 7

依题设,有 ?

143

解得 ?

?a ? 1 ?b ? ?1

? f ( x)=x 2 ? x ? 1
(2)方程? f ( x)=ke x ,即 x ? x ? 1 ? ke ,得 k ? ( x 2 ? x ? 1)e ? x ,
2 x

记 F(x) ? ( x ? x ? 1)e ,
2

?x

则 F'(x)=(2x ? 1)e

?x

? ( x 2 ? x ? 1)e ? x ? ?( x 2 ? 3x ? 2)e ? x ? ?( x ? 1)( x ? 2)e ? x

令 F'(x)=0 ,得 x1 ? 1, x2 ? 2 当 x 变化时, F'(x) 、 F(x) 的变化情况如下表:

1 3 2 ∴当 x ? 1 时,F(x)取极小值 e ;当 x ? 2 时,F(x)取极大值 e
2 ?x 作出直线 y ? x 和函数 F(x) ? ( x ? x ? 1)e 的大致图象,可知当

k?

1 3 k? 2 e或 e 时,

它们有两个不同的交点,因此方程 f ( x) ? k e x 恰有两个不同的实根,

(3) 2a1 ? f (2) ? 3 ,得

a1 ?

3 ?1 2 2 ,又 an ? 1 ? f (an) ? an ? an ? 1 .

? an ? 1 ? an ? an 2 ? 2an ? 1 ? (an ? 1) 2 ? 0 ,
? an ? 1 ? an ? 1
由 an ? 1 ?
? 1 ?

an 2 ? an ? 1 ,得 an ? 1 ? 1=an(an ? 1) ,
1
n n

a

n ? 1

?1

a (a ? 1) a ? 1 a
n

?

1

?

1
n

1

,即 a
1
2

?

1
n

n

a ?1 a
1

?

1
n ? 1

?1 1 1

?

S?
1
1

1
1

a a
?

?

1
2

???

1

a

?(

1
1

2013

a ?1 a
?

?

?1

)?(

a

2

?1

?

1

a

3

?1

) ??? (

a

2013

?1

?

a

2014

?1

)

?

1
2014

a ?1 a

?1

?

2?

1

a

2014

?1

2

144



S?

1
1

a a

?

1
2

?

2 4 3 7
?

?

26 21

?1

即 1 ? S ? 2 ,故 S 的整数部分为.

l4 分

145

广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 15:复数
姓名____________班级__ _________学号____________分数______________
一、选择题[ 198 . (广东省肇庆市 2013 届高三 4 月第二次模拟数学(理)试题)若 a ? bi ? (1 ? i )(2 ? i ) (是

虚数单位, a, b 是实数),则 z ? a ? bi 在复平面内对应的点是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限





2 199 . (广东省湛江市 2013 届高三 4 月高考测试(二)数学 理试题(WORD 版) )复数 1 ? i 的虚
部是 A.1 ( )

B. 2

C.-1

D.- 2

200 . (广东省深圳市 2013 届高三第二次调研考试数学理试题 (2013 深圳二模) )i 为虚数单位,

则i ? ? A.0 B. 2i C. 1 ? i D.

1 i





201 . (广东省 韶关市 2013 届高三 4 月第二次调研测试数学理试题)若 a, b ? R ,为虚数单位,

且 (a ? i )i ? b ?

5 ,则 a ? b ? 2?i

A . ?2 .

B. 0

C. 1

D. 2

202 . (广东省汕头市 2013 年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷)算数 z 满足

( z ? i)i ? 2 ? i ,则 z ?
A. ? 1 ? i B. 1 ? i C. ?1 ? 3i D. 1 ? 2i





203 . ( 广 东 省 揭 阳 市 2013 年 高 中 毕 业 班 第 二 次 高 考 模 拟 考 试 理 科 数 学 试 题 ) 若

(1 ? 2ai)i ? 1 ? bi ,其中 a、b∈R,i 是虚数单位,则 | a ? bi | =
A.





1 ?i 2

B. 5

C.

5 2

D.

5 4

146

204 . (广东省 江门佛山 两市 2013 届高三 4 月教学质量检测(佛山二模)数学理试题)已知复

数 z 的实部为,且 z ? 2 ,则复数 z 的 虚部是 A. ? 3 B. 3i C. ? 3i D. ? 3





205 ( .广东省惠州市 2013 届高三 4 月模拟考试数学理试题 (WORD 版) ) 已知复数 z

? i (1 ? i ) (为
( )

虚数单位),则复数 z 在复平面上所对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

206. (广东省广州市 2013 届高三 4 月综合测试(二)数学理试题(WOR D 版) )若 1 ? i (是虚数

单位)是关于 x 的方程 x ? 2 px ? q ? 0 ( p、q ? R )的一个解,则 p ? q ?
2





A. ?3

B. ?1

C.

D. 3

207. (广东省潮州市 2013 届高三第二次模拟考试数学 (理) 试题) 设 i 为虚 数单位,则复数

i 2?i
( )

等于 A.

1 2 ? i 5 5

B. ?

1 2 ? i 5 5

C.

1 2 ? i 5 5

D. ?

1 2 ? i 5 5

二、填空题 208. (广东省茂名市 2013 届高三 4 月第二次高考模拟数学理试题(WORD 版) )已知复数 z 满足

(1+i)z=1-i,则复数 z 的共轭复数为____

广东省 12 大市 2013 届高三二 模数学(理)试题分类汇编 15:复数参考答案

一、选择题

147

198. 199. 200. 201. 202.

D 解析: a ? bi ? (1 ? i )(2 ? i ) ? a ? bi ? 3 ? i ? z ? 3 ? i C A A B 由 (1 ? 2ai)i ? 1 ? bi 得 ? a ? ?

203.

1 5 , b ? ?1 ?| a ? bi |? a 2 ? b 2 ? ,选 C. 2 2

204. 205.

D 【解析】因为 z ? i (1 ? i ) ? ?1 ? i ,所以 z ? i (1 ? i ) ? ?1 ? i 对应的点在复平面的第二

象限. 故选 B .
206. C 207. A 二、填空题 208. i

广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 16:几何 证明

148

姓名____________班级___________学号____________分数______________
一、填空题 209 . (广东省肇庆市 2013 届高三 4 月第二次模拟数学(理)试题)(几何证明选讲选做题)如

图 3,在 Rt ?ABC 中,斜边 AB ? 12 ,直 角边 AC ? 6 ,如果以 C 为圆心的圆与 AB 相切于 D ,则 ? C 的半径长为___________

210 .(广东省湛江市 2013 届高三 4 月高考测试(二)数学理试题(WORD 版))( 几何证明选

讲选做题) 如图,点 A、B、C 都在 O 上,过点 C 的切线 交 A B 的延长线于点 D , 若 AB = 5, BC

= 3,CD = 6,则线段 AC 的长为_______

211 . (广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题(2013深圳二模) )如图, P 是圆 O

外一点, PT 为切线, T 为切点,割线 PAB 经过圆心 O , PT ? 2 3, PB ? 6 ,则

?PTA ? _________.

212 . (广东省韶关市 2013 届高三 4 月第二次调研测试数学理试题)(几何证明选讲选做题)如

图, AB 为圆 O 的直径, C 为圆 O 上一点, AP 和过 C 的切线互相垂直,垂足为 P ,过 B 的 切 线 交 过 C 的 切 线 于 T , PB 交 圆 O 于 Q , 若 ?BTC ? 120? , AB ? 4 , 则

PQ ? PB =________ .

149

213 . (广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷)如图,已知

Rt ?ABC 的两条直角边 AC , BC 的长分别为 3cm, 4cm ,以 AC 边为直径与 AB 交于点
D ,则三角形 ACD 的面积为_______ __.

214 . (广东省茂名市 2013 届高三 4 月第二次高考模拟数学理试题(WORD 版) )(几何证明选讲)

如图所示,AB 是半径等于 3 的圆 O 的直径, C D 是圆 O 的弦,BA,DC 的延长线交于点 P 若 PA=4,PC=5,则∠CB D____

文字说明、证明过程和演算步骤)
215 . (广东省揭阳市 2013 年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题)(几何证明选讲选

做题) 如图(3)所示, C , D 是半圆周上的两个三等分点,直径 AB ? 4 , CE ? AB ,垂足 为 E , BD 与 CE 相交于点 F ,则 BF 的长为________.
D C

F A o 图3 E B

216 . (广东省江门佛山两市 2013 届高三 4 月教学质量检测(佛山二模)数学理试题)(几何证明选讲 )

如图,圆 O 的直径 AB ? 9 ,直线 CE 与圆 O 相切于点 C , AD ? CE 于 D ,若 AD ? 1 ,设

?ABC ? ? ,则 sin ? ? ______.

150

B O A E C D 第 15 题图

217. (广东省惠州市 2013 届高三 4 月模拟考试数学 理试题(WORD 版) )(几何证明选讲选做题)

如图圆 O 的直径 AB ? 6 , P 是 AB 的延长线上一点,过点 P 作圆 O 的切线,切点为 C , 连接 AC ,若 ?CPA ? 30? ,则 PC ? ________.

218. (广东省广州市2013届高三4月综合测试(二)数学理试题(WORD版) )(几何证明选讲选做

题) 在△ ABC 中, D 是边 AC 的中点,点 E 在线段 BD 上,且满足 BE ?

1 BD ,延长 AE 交 3

BC 于点 F ,则

BF 的值为_____. FC

219. (广东省潮州市 2013 届高三第二次模 拟考试数学(理)试题)(几何证明选讲选做题)如

图 3, 圆 O 的 割 线 PAB 交 圆 O 于 A 、 B 两 点 , 割 线 P C D 经 过 圆 心 . 已 知

1 PA ? 6 , AB ? 7 , PO ? 12 .则圆 O 的半径 R ? ____ . 3
A P B

C
图3

? O

D

151

广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 16:几何证明参考答 案
一、填空题 209.

解析:在 Rt△ABC 中,∵AB=12,AC=6,即 AC=

1 AB,∴∠B=30°,∠A =90°-∠B=60°. 2

∴CD=AC·sinA=6×

3 ?3 3. 2

9 2 211. 30 ? 212. 3 ; 54 2 cm 213. 25
210. 214. 215.

? 6

? 依 题 意 知 ?DBA ? 30 , 则 AD=2, 过 点 D 作 DG ? AB 于 G, 则 AG=BE=1, 所 以

BF ?
216.

2 3 . 3

217. 【解析】连接 BC ,设 ?PCB ? ? ,则 ?CAP ? ? ,三角形 CAP 中,

1 3

? ? (? ? 90?) ? 30? ? 180? , 所 以 ? ? 30? , 所 以 BP ? CB ?
CP 2 ? BP?AP ? 3 ? 9 ? 27 ,故 CP ? 3 3
1 4 219. 8 ;
218.

1 AB ? 3 , 而 2

152

广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 17:坐标 系与参数方程
姓名____________班级___________学号____________分数______________
一、填空题 220 .(广东省湛江市 2013 届高三 4 月高考测试(二)数学理试题(WORD 版))(坐标系与参

数方程选做题)

? x ? 2 ? 2 cos ? ? y ? 2 sin ? 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C 的参数方程是 ? ( ? ? [0,2? ], ? 为参数),若
以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,则曲线 C 的极坐标方程是________. 221 . (广东省韶关市 2013 届高三 4 月第二次调研测试数学理试题)(坐标系与参数方程选做 题)在极坐标系中,过点 A ?1 , ?

? ?

π? ? 引圆 ? ? 8sin ? 的一条切线,则切线长为______. 2?

222 . (广东省汕 头市 2013 年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷)直角坐标系

xOy 中 , 以原点为极点 , x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 , 设点 A, B 分别在曲线
? ? x ? 2 ? cos ? C1 : ? ( ? 为参数)和曲线 C2 : ? ? 1 上,则 | AB | 的最 大值为__________. ? ? y ? 5 ? sin ?
223 . (广东省茂名市 2013 届高三 4 月第二次高考模拟数学理试题(WO RD 版) )(坐标系与参数

方 程 ) 在 极 坐 标 系 ( ? , ? ) (0 ? ? ? 2? ) 中 , 曲 线 ? (cos? ? sin ? ) ? 1 与

? (cos ? ? sin ? ) ? ?1 的交点的极坐标为_________.
224 . (广东省揭阳市 2013 年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题)(坐标系与参数方

程选做题)在极坐标系中,O 为极点,直线 l 过圆 C: ? ? 2 2 cos(? ? 线 OC 垂直,则直线 l 的极坐标方程为_________.

?
4

) 的圆心 C, 且与直

225 . (广东省惠州市 2013 届高三 4 月模拟考试数学理试题(WORD 版) )(坐标系与参数方程选

做题 )若直线的极坐标方程为 ? cos(? ? 离为 d ,则 d 的最大值为_________.

? ) ? 3 2 , 曲线 C : ? ? 1 上的点到直线的距 4

226 . (广东省广州市2013届高三4月综合测试(二)数学理试题(WORD版) )(坐标系与参数方

程选做题) 在极坐标系中,已知点 A ? 1,

? ?? 2 ? ,点 P 是曲线 ? sin ? ? 4 cos ? 上任意一点,设点 P 到 2 ? ?

直线 ? cos ? ? 1 ? 0 的距离为 d ,则 PA ? d 的最小值为______.
227 . (广东省潮州市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)(坐标系与参数方程选做

153

题)在极坐标系 ( ? , ? ) ( 0 ? ? ? 2? )中,直线 ? ? __________.

?
4

被 圆 ? ? 2 sin ? 截得的弦的长是

228. (广东省肇庆市 2013 届高三 4 月第二次模拟数学(理)试题)(坐标系与参数方程选做题)

已知曲线 l1 的极坐标系方程为 ? sin ? ? ?

? ?

??

2 ( ? ? 0, ?? 4? 2

0 ? ? ? 2? ) , 直线 l2 的参数方程为 x ? 1 ? 2t ( 为参数 ),若以直角坐标系的 x 轴的非 y ? 2t ? 2
负半轴为极轴,则 l1 与 l2 的交点 A 的直角坐标是____________
229. (广东 省深圳市 2013 届高三第二次调研考试数学理试题(2013 深圳二模) )在极坐标系中,

?

圆 ? ? 3cos ? 上的点到直线 ? cos(? ?

?
3

) ? 1 的距离的最大值是______.

230. (广东省江门佛山两市 2013 届高三 4 月教学质量检测(佛山二模)数学理试题)(坐标系

与参数方程 ) 在极坐标系中 , 设曲线 C1 : ? ? 2sin ? 与 C2 : ? ? 2 cos ? 的交点分别为

A、B ,则线段 AB 的垂直平分线的极坐标方程为_______ _________.

154

广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 17:坐标系与参数方 程参考答案
一、填空题 220. 221. 222. 223. 224.

? ? 4cos?
3;
5

(1, ) 2
把 ? ? 2 2 cos(? ? ? ) 化为直角坐标系的方程为 x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y , 圆心 C 的坐标为
4

?

(1,1), 与 直 线 OC 垂 直 的 直 线 方 程 为 x ? y ? 2 ? 0 , 化 为 极 坐 标 系 的 方 程 为

? cos? ? ? sin ? ? 2 ? 0 或 ? cos(? ? ? ) ? 2
4
225. 【解析】 直线的直角坐标方程为 x ?

y ? 6 ? 0 ,曲线 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 1 ,为圆; d 的
0?0?6 2 ?1 ? 3 2 ?1

最大值为圆心到直线的距离加半径, 即为 d max ?

226. 227.

2
2.

228.解析: ? sin ? ?

?? 2 ? ? 2 ? ? ?? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? y ? x ?1 4? 2 4 4 2 ?
,由 ?

? xy ??12?t ?2t2 ? x ? y ? 3
229.

?x ? y ? 3 ?x ? 1 ?? ? A(1, 2) ?y ? x ?1 ?y ? 2

7 4

230.

? sin ? ? ?

? ?

??

2 (或 ? sin ? ? ? cos ? ? 1 ) ?? 4? 2

155


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