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多元函数的极值与拉格朗日乘数法(1)_图文

第八节 多元函数的极值与 拉格朗日乘数法
多元函数的极值和最值 条件极值 拉格朗日乘数法

小结

思考题

作业
1

第八章 多元函数微分法及其应用

多元函数的极值与拉格朗日乘数法

一、多元函数的极值和最值
1.极大值和极小值的定义 一元函数的极值的定义: 是在一点附近 将函数值比大小. 定义 设在点P0的某个邻域, f ( P ) ? f ( P0 ), 则称

点P0为函数的极大值点. f ( P0 )为极大值.
类似可定义极小值点和极小值.
2

多元函数的极值与拉格朗日乘数法

函数的极大值与极小值统称为函数的 极值.
函数的极大值点与极小值点统称为函数的 极值点.

注 多元函数的极值也是局部的, 是与P0的邻域
内的值比较. 一般来说:极大值未必是函数的最大值. 极小值未必是函数的最小值.
有时, 极小值可能比极大值还大.

3

多元函数的极值与拉格朗日乘数法

函数 容易判断的.

存在极值, 在简单的情形下是
z

例 函数 z ? 3 x 2 ? 4 y 2
2 2 z ? ? x ? y 例 函数

椭圆抛物面
x z x
? O

在(0,0)点取极小值. (也是最小值).

y

下半个圆锥面

O?

在(0,0)点取极大值. (也是最大值). 例 函数 z ? xy 在(0,0)点无极值.

y

马鞍面
z

? O
x

y
4

多元函数的极值与拉格朗日乘数法

2.极值的必要条件 定理1(必要条件) 设函数z ? f ( x, y )在点( x0 , y0 ) 具有偏导数, 且在点( x0 , y0 )处 有极值, 则它在该
点的偏导数必然为零: f x ( x0 , y0 ) ? 0,

f y ( x0 , y0 ) ? 0.

证 不妨设 z ? f ( x, y )在点( x0 , y0 )处有极大值, 则对于( x0 , y0 )的某邻域内任意( x , y ) ? ( x0 , y0 ), 都有 f ( x , y ) ? f ( x0 , y0 ), 故当y ? y0 , x ? x0时,

有f ( x, y0 ) ? f ( x0 , y0 ), 说明一元函数 f ( x, y0 )在x ? x0处有极大值, 必有 f x ( x0 , y0 ) ? 0; 类似地可证 f y ( x0 , y0 ) ? 0.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法

推广 如果三元函数 u ? f ( x , y, z )在点P ( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数, 则它在 P ( x0 , y0 , z0 )有极值的必要条件


f x ( x0 , y0 , z0 ) ? 0,

f y ( x0 , y0 , z0 ) ? 0,

f z ( x0 , y0 , z0 ) ? 0.
仿照一元函数, 凡能使一阶偏导数同时为零的 点, 均称为函数的驻点.

注 驻点

极值点

如, 点(0,0)是函数z ? xy的 驻点, 但不是极值点. 如何判定一个驻点是否为极值点
6

多元函数的极值与拉格朗日乘数法

3.极值的充分条件 定理2 (充分条件) 设函数z ? f ( x, y )在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续, 有一阶及二阶连续偏导数, 又 f x ( x0 , y0 ) ? 0, f y ( x0 , y0 ) ? 0, 令 f xx ( x0 , y0 ) ? A, f xy ( x0 , y0 ) ? B, f yy ( x0 , y0 ) ? C ,

则f ( x, y )在点( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下:
(1) AC ? B 2 ? 0时有极值, 当A ? 0时有极大值, 当A ? 0时有极小值; (2) AC ? B 2 ? 0时没有极值; (3) AC ? B 2 ? 0时 可能有极值, 也可能无极值.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法

求函数 z ? f ( x , y ) 极值的一般步骤: 第一步 ? f x ( x, y) ? 0 解方程组 ? ? f y ( x, y) ? 0 求出实数解, 得驻点. 第二步 对于每一个驻点 ( x0 , y0 ), 求出二阶偏导数的值 A、B、C .

第三步 定出 AC ? B 2 的符号, 再判定是否是极值.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法

例 求函数 f ( x, y ) ? 3axy ? x 3 ? y 3 (a ? 0) 的极值. 2 ? f ? 3 ay ? 3 x ?0 ? x ? 驻点 解 ? (0,0),(a, a ). 2 ? ? f y ? 3ax ? 3 y ? 0
又 f xx ? ? 6 x, f xy ? 3a, f yy ? ? 6 y .

在点(0,0)处, AC ? B 2 ? ?9a 2 ? 0
故 f ( x , y )在(0,0)无极值; 在点(a,a)处, AC ? B 2 ? 27a 2 0 ? 且A ? ?6a ? 0 故 f ( x, y ) 在(a,a)有极大值, 即 f (a, a) ? a 3 .
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法

求由方程 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2 x ? 2 y ? 4z ? 10 ? 0

确定的函数z ? f ( x , y )的极值.
解 法一 将方程两边分别对x, y求偏导数, ? ? 2 x ? 2 z ? z? x ? 2 ? 4z x ? 0 ? ? 2 y ? 2z ? z?y ? 2 ? 4z?y ? 0 由函数取极值的必要条件知, 驻点为 P (1,?1),
将上方程组再分别对x, y求偏导数, 1 1 ? ? A ? z xx |P ? , B ? z? ? ? , yy | P ? xy |P ? 0, C ? z ? 2? z 2? z
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法

x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2 x ? 2 y ? 4z ? 10 ? 0
? A ? z? xx |P ? 1 2? z ? B ? z? xy |P ? 0
1 ? P| y?y?z ? C z ?2

1 故 AC ? B ? ? 0 ( z ? 2) 2 (2 ? z ) 函数在P有极值.
2

将P (1,?1) 代入原方程, 有 z1 ? ?2, z2 ? 6 1 当 z1 ? ?2时, A ? ? 0, 4 所以 z ? f (1,?1) ? ?2 为极小值; 1 当 z2 ? 6时, A ? ? ? 0, 4
所以 z ? f (1,?1) ? 6 为极大值.

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多元函数的极值与拉格朗日乘数法

求由方程 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2 x ? 2 y ? 4z ? 10 ? 0

确定的函数z ? f ( x , y )的极值.
解 法二 配方法 方程可变形为

( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? ( z ? 2)2 ? 16
于是
z ? 2 ? ? 16 ? ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2



显然, 当x ? 1, y ? ?1时, 根号中的极大值为4,

由※可知, z ? 2 ? 4 为极值. 即 z ? 6 为极大值, z ? ?2 为极小值.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法

极值只可能在驻点处 注 由极值的必要条件知, 取得. 然而,如函数在个别点处的偏导数不存在,
这些点当然不是驻点, 但也可能是极值点. 如: 函数 z ? ? x 2 ? y 2 在点(0,0)处的偏导数 不存在,但函数在点(0,0)处都具有极大值. 在研究函数的极值时,除研究函数的驻点外, 还应研究偏导数不存在的点.

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多元函数的极值与拉格朗日乘数法

选择题

2003年考研数学(一), 4分

已知函数f (x, y)在点(0, 0)的某个邻域内连续,
f ( x , y ) ? xy 则 且 lim 2 2 2 ? 1, x ?0 ( x ? y ) y?0

(A) 点(0, 0)不是f (x, y)的极值点. (B) 点(0, 0)是f (x, y)的极大值点. (C) 点(0, 0)是f (x, y)的极小值点.

(D) 根据所给条件无法判断点(0, 0)是否为f (x, y) 的极值点.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法

4.多元函数的最值 与一元函数相类似,可利用函数的极值来 求函数的最大值和最小值.

求最值的一般方法
将函数在D内的所有嫌疑点的函数值及 在D的边界上的最大值和最小值相互比较, 其中最大者即为最大值,最小者即为最小值.

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多元函数的极值与拉格朗日乘数法

例 求函数z ? 1 ? x ? x 2 ? 2 y在x ? 0, y ? 0与 直线 x ? y ? 1 围成的三角形闭域D上的

最大(小)值.
解 (1) 求函数在D内的驻点 ? z x ? ?1 ? 2 x 由于 ? ? zy ? 2 ? 0 所以函数在D内无极值. (2) 求函数在 D边界上的最值 (现最值只能在边界上)
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y
x? y?1

D
O

x

多元函数的极值与拉格朗日乘数法

z ? 1 ? x ? x2 ? 2 y
y

*在边界线 x ? 0, 0 ? y ? 1上,

z ? 1? 2y x? y?1 D dz ? 2 ? 0, z ? 1 ? 2 y 单调上升. 由于 O x dy 所以, z (0,0) ? 1 最小, z (0,1) ? 3 最大.
2 y ? 0 , z ? 1 ? x ? x 0 ? x ? 1上, *在边界线 1 1 3 dz 由于 ? ?1 ? 2 x , 有驻点 x ? ,函数值 z( ,0) ? 2 4 2 dx

又在端点(1,0)处, 有 z (1,0) ? 1.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法

y
x? y?1

z ? 1 ? x ? x2 ? 2 y
*在边界线 x ? y ? 1, 0 ? x ? 1上,
D
O

z ? 1 ? x ? x 2 ? 2(1 ? x ) ? 3 ? 3 x ? x 2 dz 由于 ? ?3 ? 2 x ? 0 (0 ? x ? 1), 函数单调下降, dx z ( 0 ,0 ) ? 1 所以, 最值在端点处. z (0,1) ? 3 1 (3) 比较 z (0,0), z (1,0), z (0,1) 及z ( ,0) z (1,0) ? 1 2 1 3 1 3 zmax ? z(0,1) ? 3 z( 2 ,0) ? 4 zmin ? z ( ,0) ? 2 4
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x

多元函数的极值与拉格朗日乘数法

2 2 2 2 ? ? ? ? y ? 4上 求 f ( x , y ) x 4 y 9在D : x

的最大值与最小值. 解 令f x ? 2 x ? 0, f y ? 8 y ? 0 ? 驻点 (0,0) 2 2 将x ? y ? 4代入f ( x, y ), 得

f ( x, y ) ? 3 y ? 13 ? g( y ) 令g?( y ) ? 6 y ? 0 ? y ? 0
2

y ? [?2,2]

此时 x ? ? 4 ? y 2 ? ?2

当y ? ?2时, 均有x ? 0
f (0,0) ? 9 f (?2,0) ? 13 f (0,?2) ? 25
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故f ( x, y)在D上的最大值为 25, 最小值为 9.

多元函数的极值与拉格朗日乘数法

二、条件极值 拉格朗日乘数法
无条件极值 对自变量除了限制在定义域内外, 并无 其他条件.
条件极值 对自变量有附加条件的极值.

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多元函数的极值与拉格朗日乘数法

例 已知长方体长宽高的和为18, 问长、宽、高 各取什么值时长方体的体积最大? 解 设长方体的长、宽、高分别为 x、y、z , x ? y ? z ? 18, z ? 18 ? x ? y 由题意
长方体的体积为 V ? xyz ? xy(18 ? x ? y )

? 18xy ? x y ? xy x ? 0, y ? 0, x ? y ? 18 区域 D:
2
2 V ? 18 y ? 2 xy ? y ?0 ? x

2

? ? V y ? 18 x ? x 2 ? 2 xy ? 0

? 驻点(6,6)

由于V在D内只有一个驻点, 且长方体体积 一定有最大值, 故当的长、宽、高都为6时长方 体体积最大.

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多元函数的极值与拉格朗日乘数法

上例的极值问题也可以看成是求三元函数

V ? xyz 的极值, 但x、y、z 要受到条件

目标函数 x ? y ? z ? 18 的限制, 这便是一个条件极值 约束条件

问题.
有时条件极值 可通过将约束条件代入 目标函数中化为无条件极值. 但在一般情形 下,这样做是有困难的, 甚至是不可能的. 下面要介绍解决条件极值问题的一般 方法: 拉格朗日乘数法
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法: 现要寻求目标函数 z ? f ( x, y ) 在约束条件 ? ( x , y ) ? 0

利用隐函数的概念与求导法
(1)

(2)

下取得 极值的必要条件. 如函数(1)在( x0 , y0 ) 取得所求的极值, 那末首先有 ? ( x0 , y0 ) ? 0 (3) 由条件 ? ( x, y ) ? 0 确定y是x的隐函数 y ? y( x ). 不必将它真的解出来,则 z ? f ( x , y ( x )),于是函数(1) 在( x0 , y0 ) 取得所 求的极值. 即, x ? x0取得极值.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法

z ? f ( x , y ( x ))在 x ? x0 取得极值.

z ? f ( x , y ) (1) ? ( x , y ) ? 0 ( 2)

由一元可导函数取得极值的必要条件知:

?f dy ?f dz ? 0 (4) ? ? ? ? x0 x ? x0 dx ? y dx x ? x 0 ? x x x ? x0 y ? y0 y ? y0 ? ( x, y ) ? 0 ? x ( x0 , y0 ) dy 其中 代入(4)得: ? ? ? y ( x0 , y0 ) dx x ? x 0 ? ( x0 , y0 ) ? 0 (3) ? x ( x 0 , y0 ) f x ( x0 , y0 ) ? f y ( x0 , y0 ) ?0 (5) ? y ( x0 , y0 ) (3) ,(5)两式 就是函数(1)在条件(2)下的在( x0 , y0 ) 取得极值的必要条件.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法

? x ( x0 , y0 ) ?0 ? ( x0 , y0 ) ? 0 , f x ( x0 , y0 ) ? f y ( x0 , y0 ) ? y ( x0 , y0 )
? y ( x0 , y0 ) ? f x ( x0 , y0 ) ? ??x ( x0 , y0 ) ? 0

f y ( x0 , y0 ) ? ?? 上述必要条件变为:

? ? f y ( x0 , y0 ) ? ?? y ( x0 , y0 ) ? 0 ? ? ? ( x0 , y0 ) ? 0

(6)

(6)中的前两式的左边正是函数: L( x , y ) ? f ( x , y ) ? ?? ( x , y ) 的两个一阶偏导数在 ( x0 , y0 ) 的值. 函数 L( x , y ) 称为拉格朗日函数,
参数? 称为拉格朗日乘子, 是一个待定常数.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法

极值的必要条件
拉格朗日乘数法: 要找函数 z ? f ( x, y )在条件 ? ( x , y ) ? 0 下的可能极值点, 先构造函数

L( x , y ) ? f ( x , y ) ? ?? ( x , y )
其中 ? 为某一常数, 可由

? f x ( x , y ) ? ??x ( x , y ) ? 0, ? ? f y ( x, y ) ? ?? y ( x, y ) ? 0, ? ? ( x , y ) ? 0. ? 解出 x , y , ? , 其中 x, y 就是可能的极值点的坐标.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法

如何确定所求得的点是否为极值点

实际问题中, 可根据问题本身的性质来 判定.
非实际问题我们这里不做进一步的讨论. 拉格朗日乘数法可推广: 自变量多于两个 的情况.

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多元函数的极值与拉格朗日乘数法

此题是否也可化为无条件极值做 例 将正数 12 分成三个正数 x , y , z 之和 使得 u ? x 3 y 2 z 为最大 .
解 令 L( x , y , z ) ? x 3 y 2 z ? ? ( x ? y ? z ? 12)
2 2 ? L ? 3 x y z?? ?0 ? x ? ? 3 ? Ly ? 2 x yz ? ? ? 0 则? ? ? x3 y2 ? ? ? 0 ? Lz ? ? x ? y ? z ? 12

解得唯一驻点 ( 6,4,2)

又是实际问题, 一定存在最值.
3 2 u ? 6 ? 4 ? 2 ? 6912 . 故最大值为 max
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法

x y z 例 在第一卦限内作椭球面 2 ? 2 ? 2 ? 1 的 a b c 切平面, 使切平面与三个坐标面所围成的
四面体体积最小, 求切点坐标.
解 设P ( x0 , y0 , z0 )为椭球面上的一点, 2 2 2 令 F ( x , y , z ) ? x 2 ? y2 ? z 2 ? 1 a b c 2x 2y 2z 则 Fx ? |P ? 20 , Fy? |P ? 20 , Fz? |P ? 20 a b a 过P ( x0 , y0 , z0 ) 的切平面方程为 x0 y0 z0 2 ( x ? x0 ) ? 2 ( y ? y0 ) ? 2 ( z ? z0 ) ? 0 a b c
29

2

2

2

多元函数的极值与拉格朗日乘数法

x ? x0 y ? y0 z ? z0 化简为 2 ? 2 ? 2 ?1 a b c 该切平面在三个轴上的截距各为 2 2 a b c2 x? , y? , z? x0 y0 z0

目标函数

a 2b 2c 2 1 所求四面体的体积 V ? xyz ? 6 x0 y0 z0 6
约束条件
2 2 2 x0 y0 z0 在条件 2 ? 2 ? 2 ? 1 下求V 的最小值, a b c

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多元函数的极值与拉格朗日乘数法

2 2 2 abc x y z 0 0 目标函数V ? , 约束条件 0 ? ? 2 2 2 ?1 6 x0 y0 z0 a b c 令 u ? ln x0 ? ln y0 ? ln z0

2 2 2

L( x0 , y0 , z0 )

2 2 2 ? x0 ? y0 z0 ? ln x0 ? ln y0 ? ln z0 ? ? ? ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 1? ? ? ?

?0 ? 0 L?y0 ? 0, Lz L? x0 ? 0, 由 x2 y2 z2 0 0 0 ? ? 2 2 2 ?1 ? 0 a b c
? ? ? ? ?

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多元函数的极值与拉格朗日乘数法

2 2 2 ? x0 ? y0 z0 L( x0 , y0 , z0 ) ? ln x0 ? ln y0 ? ln z0 ? ? ? ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 1? ? ? ? 0 ? 1 ? 2? x 2 ? 0 a a ? x0 ? x0 ? 3 ? 1 2? y ? ? ? 20 ? 0 b ? y b ? 0 y0 ? 可得 ? 即? 3 1 2 ? z ? 0 ? ? c ? 0 ? ? z0 ? 3 ? z0 c2 ? x2 y2 z2 0 0 ? 0 ? ? ? 1 ? 0 当切点坐标为 2 2 2 ?a b c a b c ( , , ) 3 3 3 3 V ? abc 四面体的体积最小 min 2
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法

1 求 点(1,1, )到 曲 面 z ? x 2 ? y 2的 最 短 距 离 . 2 解 设( x , y, z )是曲面上的点,它与已知点的距离为 1 2 2 2 d ? ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? ( z ? ) 2 目标函数 为简化计算,令 1 2 2 2 f ( x , y , z ) ? ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? ( z ? ) 2 问题化为在 约束条件 z ? x 2 ? y 2 下求

f ( x , y , z ) 的最小值.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法

1 2 设 L( x , y , z ) ? ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? ( z ? ) 2 ? ?(z ? x2 ? y2 ) (1) ? Lx ? 2( x ? 1) ? 2?x ? 0
2 2

? Ly ? 2( y ? 1) ? 2?y ? 0 ? ? ? 1? ? ? Lz ? 2? z ? ? ? ? ? 0 2? ? ? ? ? z ? x2 ? y2

(2) (3) (4)

由(1), ( 2)得 x ? y 代入(4)得 z ? 2 x 2
x ?1 1 x ?1 1 由(1)得? ? ? 代入( 3)得 z ? ? x 2 2x 2x
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法

1 x ?1 1 1 2 ? 故 2x ? 由z ? 2 x 与 z ? ? 2 2x 2x 2x 3 3 3 1 1 4 ,y? ,z ? 得唯一驻点 x ? 4 4 2 由于问题确实存在最小值,
2

? 31 31 34? 故在点? ? 4, 4,2 ? ?处 d有最小值 ? ?
? 1 ? ? 4 ? 1? ? 2? ? 1? ? ? ? ? 4 2 ? ? ? ?
3 3

2

2

还有别的简单方法吗

用几何法!
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法 2 2 2 2 求函数z ? x ? y 在圆( x ? 2 ) ? ( y ? 2 ) ? 9

上的最大值与最小值.

解 (1) 先求函数z ? x 2 ? y 2 在圆内的可能的极值点;
?zx ? 2 x ? 0 ? 驻点 (0,0) ? ?z y ? 2 y ? 0

(2) 再求z ? x 2 ? y 2 在圆上的最大、最小值. 为此作拉格朗日乘函数:
L( x , y ) ? x 2 ? y 2 ? ?[( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 9]
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法 2 2

L( x , y ) ? x ? y ? ?[( x ? 2 )2 ? ( y ? 2 )2 ? 9] (a ) ? Lx ? 2 x ? 2? ( x ? 2) ? 0 ? L ? 2 y ? 2? ( y ? 2 ) ? 0 (b) ? y ? ( x ? 2 )2 ? ( y ? 2 )2 ? 9 (c ) ? 由(a ), (b)可知 x ? y, 代入(c )得 5 2 2 2 2 ? ? z x y x? y? 和x ? y ? ? 函数 2 2
2 2? ?5 2 5 2? ? z? ? ,? ? z? , ?、 ( 3) 比较 z (0,0)、 2 ? 2 ? ? 2 ? 2
2 2 在圆( x ? 2 ) ? ( y ? 2 ) ? 9上, 最大值为 z ? 25, 最小值为 z ? 0.

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多元函数的极值与拉格朗日乘数法

2002年考研数学(一), 7分 设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标 面,其底部所占的区域为 D ? {( x , y ) x 2 ? y 2 ? xy ? 75},

2 2 h ( x , y ) ? 75 ? x ? y ? xy. 小山的高度函数为 (1) 设M(x0 , y0)为区域D上一点,问h(x, y)在该点 沿平面上什么方向的方向导数最大? 若记此方向导数 的最大值为g(x0 , y0), 试写出g(x0 , y0)的表达式.

(2) 现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在 山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点. 也就 是说,要在D的边界线 x 2 ? y 2 ? xy ? 75上找出使(1)中 的g(x, y)达到最大值的点. 试确定攀岩起点的位置.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法

解 (1) 由梯度的几何意义知, h(x, y)在点M(x0 , y0) 处沿梯度 gradh( x , y ) ( x
0 , y0 )

? ( y0 ? 2 x0 , x0 ? 2 y0 )

方向的方向导数最大, 方向导数的最大值为该 梯度的模, 所以

g( x0 , y0 ) ? ( y0 ? 2 x0 )2 ? ( x0 ? 2 y0 )2
2 2 ? 5 x0 ? 5 y0 ? 8 x0 y0 .

(2) 令 f ( x, y ) ? g 2 ( x, y ) ? 5 x 2 ? 5 y 2 ? 8 xy, 由题意,只需求 f ( x , y ) 在约束条件

x 2 ? y 2 ? xy ? 75 下的最大值点. 令 L( x, y ) ? 5 x 2 ? 5 y 2 ? 8 xy ? ? (75 ? x 2 ? y 2 ? xy),
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法

L( x, y ) ? 5 x 2 ? 5 y 2 ? 8 xy ? ? (75 ? x 2 ? y 2 ? xy), 则 ? Lx ? 10 x ? 8 y ? ? ( y ? 2 x ) ? 0, (1) ? ? Ly ? 10 y ? 8 x ? ? ( x ? 2 y ) ? 0, (2) ? (3) ? 75 ? x 2 ? y 2 ? xy ? 0
(1) + (2): ( x ? y )( 2 ? ? ) ? 0, 从而得 y ? ? x或? ? 2.
若? ? 2,由(1)得 y ? x, 再由(3)得 x ? ?5 3, y ? ?5 3. 若y ? ? x , 由(3)得 x ? ?5, y ? ?5. 可作为攀登的起点. 于是得到4个可能的极大值点 M1 (5, ? 5), M 2 ( ?5, 5), M3 (5 3, 5 3), M4 (?5 3, ? 5 3). f ( M1 ) ? f ( M 2 ) ? 450, f ( M 3 ) ? f ( M 4 ) ? 150. 40

多元函数的极值与拉格朗日乘数法

三、小结
多元函数极值的概念
多元函数取得极值的必要条件、充分条件

多元函数最值的概念
(上述问题均可与一元函数类比) 条件极值 拉格朗日乘数法

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多元函数的极值与拉格朗日乘数法

思考题
若x0为f ( x , y0 )的极值点, 点( x0 , y0 )是否为 z ? f ( x , y )的极值点?

答 不一定.
二元函数 f ( x , y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 处有极值

(不妨设为极小值), 是指存在 U ( P0 , ? ), 当点 P ( x , y ) ? U ( P0 ,? ), 且 P ( x , y )沿任何曲线趋向于

P0时, f ( x , y ) ? f ( x0 , y0 ).
一元函数 f ( x , y0 ) 在点 x0 处取得有极小值, 表示动点 P ( x , y ) ? U ( P0 ,? ), 且 P ( x , y )沿直线
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法

y ? y0上, 并沿该直线(即沿平行于Ox轴的正负
方向)趋向于P0 ( x0 , y0 )时, f ( x , y ) ? f ( x0 , y0 ). 它们的关系是:
f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 取得极大(小)值 f ( x0 , y )和f ( x, y0 )分别在y0点和x0点

取得极大(小)值.

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