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人教版高一数学必修二导学案:2.3 直线、平面垂直的判定及其性质


2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定
一、考纲要求 1 线面垂直定义: 如果一条直线和一个平面相交, 并且和这个平面内的任意一条直线都垂直, 我们就说这 条直线和这个平面互相垂直 其中直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面 交点叫做垂足 直线与平面垂直简称线面垂直,记作:a⊥α 2 直线与平面垂直的判定定理: 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面
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3.斜线: 斜足 斜线在平面上的投影: 直线和平面所成的角: 一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是直角;(判断直线与平面垂直的方法 4) 一条直线和平面平行或在平面内,我们说它们所成的角是 0°的角. 二、自主学习 问题 1、结合对下列问题的思考,试着给出直线和平面垂直的定义. (1)阳光下,直立于地面的旗杆 AB 与它在地面上的影子 BC 所成的角度是多少? (2)随着太阳的移动,影子 BC 的位置也会移动,而旗杆 AB 与影子 BC 所成的角度是否会发生改 变? (3)旗杆 AB 与地面上任意一条不过点 B 的直线 B1C1 的位置关系如何?依据是什么? 问题 2、直线与平面垂直的定义 如果直线 l 与平面α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 l 与平面α 互相垂直,记作: l⊥α . 直线 l 叫做平面α 的垂线,平面α 叫做直线 l 的垂面.直线与平面垂直时,它们唯 一的公共点 P 叫做垂足。 符号语言:

l
图形语言:

a是平面?内任一直线? ??l ?? l?a ?

α

P

思想: 直线与平面垂直 ? 直线与平面垂直

思考: (1)如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线是否与这个平面垂 直? (2) 如果一条直线垂直于一个平面, 那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线? 即若 l ? ? , a ? ? ,则 l ? a 问题 3、 请同学们拿出一块三角形纸片, 我们一起做一个试验: 过三角形的顶点 A 翻折纸片, 得到折痕 AD(如图 1) ,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC 与桌面接触) A B B D (图 1) C C (图 2) D A

(1)折痕 AD 与桌面垂直吗? (2)如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在的平面垂直?

问题 4、直线与平面垂直的判定定理。 定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 符号语言: m ? ? , n ? ? , m ? n ? P? ??l ?? l ? m, l ? n ? 思想: 直线与直线垂直 ? 直线与平面垂直 图形语言: α m p n l

问题 5、如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,请列举与平面 ABCD 垂直的直线。并说明这些直 线有怎样的位置关系? D1 A1 B1 C1

D C 三、考点突破 A B 典型例题 例 1 有一根旗杆 AB 高 8m , 它的顶端 A 挂一条长 10m 的绳子, 拉紧绳子并把它的下端放在 地面上的两点(和旗杆脚不在同一直线上)C , D ,如果这两点都和旗杆脚 B 的距离是 6 m , 那么旗杆就和地面垂直,为什么? 略

例 2 已知 a // b, a ? ? ,则 b ? ? 吗?请说明理由。

a
?

b

反馈训练 例 3: 在正方体 ABCD _ A 1B 1C1 D 1 中,求: (1)直线 A1 B 和平面 ABCD 所成的角 (2)直线 A1 B 和平面 A1 B1C D 所成的角 答案: (1) 45o (2) 30o
A A
1

D1 B
1

C
1

D B

C

例 4.如图,已知 E,F 分别是正方形 ABCD 边 AD,AB 的中点,EF 交 AC 于 M,GC 垂直于 ABCD 所在平面. 求证:EF⊥平面 GMC.

G

证明:已知EF ? AC 又因为GC ? 平面ABCD 所以EF ? GC 所以EF ? 平面GMC
A

D E M F B

C

四、考点巩固 1. 直线 l 与平面?内的两条直线都垂直,则直线 l 与平面?的位置关系是 (B) (A)平行 (B)垂直 (C)在平面?内 (D)无法确定 2. 对于已知直线 a,如果直线 b 同时满足下列三个条件:(D) ①与 a 是异面直线; ②与 a 所成的角为定值θ ; ③与 a 距离为定值 d 那么这样的直线 b 有 ( (A)1 条 (B)2 条 (C)3 条 (D)无数条
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3.下列关于直线 l , m 与平面 ? , ? 的命题中,真命题是

( B



( A) 若 l ? ? 且 ? ? ? ,则 l ? ? (C ) 若 l ? ? 且 ? ? ? ,则 l // ?

( B ) 若 l ? ? 且 ? // ? ,则 l ? ? ( D ) ? ? ? ? m 且 l // m ,则 l // ?
A )

4.已知直线 a、b 和平面 M、N,且 a ? M ,那么( (A) b ∥M ? b⊥a

(B)b⊥a ? b∥M
[来源:学_科_网]

(C)N⊥M ? a∥N (D) a ? N ? M ? N ? ? 5 .在 正方体 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 中 ,点 P 在 侧面 BCC1 B 1 及 其边 界上运 动,并且 保持 ( A ) AP ? BD1 , 则动点 P 的轨迹为 ( A) 线段 B1C ( B ) 线段 BC1 (C ) BB1 的中点与 CC1 的中点连成的线段 ( D ) BC 的中点与 B1C1 的中点连成的线段 ①若 ? ? ? , ? ? ? , 则? ∥ ? ③若 a ? ? , b 、 c ? ? , a ? b, a ? c, 则? ? ?
b, 则? ? ?

6.三条不同的直线, ? 、 ? 、 ? 为三个不同的平面

②若 a ? b, b ? c, 则a ∥ c或a ? c . ④ 若 a ? ?, b ? ? , a ∥

上面四个命题中真命题的个数是

②④

7.如图, PA ? 矩形 ABCD 所在的平面, M , N 分别是 AB, PC 的中点, (1)求证: MN // 平面 PAD ; 证明:略 (2)求证: MN ? CD

8.已知:空间四边形 ABCD , AB ? AC , DB ? DC , 求证: BC ? AD

证明: 过A作AE ? BC交BC于E点, 链接DE ? BD ? CD ? DE ? BC ? BC ? 平面AED ? BC ? AD

A

B E C

D

2.3.2 平面与平面垂直的判定
一、考纲要求 1 两个平面垂直的定义: 两个相交成直二面角的两个平面互相垂直; 相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的 平面 2.两平面垂直的判定定理: 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直
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推理模式: a ? ? , a ? ? ? ? ? ? . 二、自主学习 问题 1: (定义) 半平面: 二面角: 二面角的表示: 二面角的平面角: 二面角的平面角∠AOB 的特点: (1)角的顶点在棱上;(2)角的两边分别在二面角的两个面上;(3)角的两边分别和棱垂直。 特别指出: ①二面角的大小是用平面角来度量的,其范围是[0, 1800 ) ; ②二面角的平面角的大小与棱上点(角的顶点)的选择无关,是有二面角的两个面的位置惟

一确定; ③二面角的平面角所在的平面和棱是垂直的 直二面角: 规律:求异面直线所成的角,直线与平面所成的角,平面与平面所成的角最终都转化为线与 线相交构成的角。 例 1:如图四面体 ABCD 的棱 BD 长为 2,其余各棱长均为 2 ,求二面角 A-BD-C 的大小。

问题 2: (定义) 两个平面互相垂直:

两个互相垂直的平面画法:

平面 ? 与β 垂直,记作:

定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 符号语言: AB ? ?,AB ? ? =B,AB ? ? ? ? ? ? 图形语言:

三、考点突破 典型例题 例 1、 若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,那么这两个二 面角( ). A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.关系无法确定 答案 D 例 2、 如图所示,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,E、F 是线段 AB 上的两点,且 DE⊥AB, CF⊥AB,AB=12,AD=5,BC=4 2,DE=4.现将△ADE,△CFB 分别沿 DE,CF 折起, 使 A,B 两点重合于点 G,得到多面体 CDEFG. (1)求证:平面 DEG⊥平面 CFG; (2)求多面体 CDEFG 的体积. (1)证明 因为 DE⊥EF,CF⊥EF, 所以四边形 CDEF 为矩形. 由 GD=5,DE=4,得 GE= GD2-DE2=3. 由 GC=4 2,CF=4,得 FG= GC2-CF2=4,所以 EF=5. 在△EFG 中,有 EF2=GE2+FG2,

所以 EG⊥GF. 又因为 CF⊥EF,CF⊥FG,所以 CF⊥平面 EFG. 所以 CF⊥EG,又 CF∩GF=F,所以 EG⊥平面 CFG. 又 EG?平面 DEG,所以平面 DEG⊥平面 CFG. EG· GF 12 如图,在平面 EGF 中,过点 G 作 GH⊥EF 于点 H,则 GH= = . EF 5 因为平面 CDEF⊥平面 EFG,所以 GH⊥平面 CDEF, 1 所以 V 多面体 CDEFG= S 矩形 CDEF· GH=16. 3 例 3、 已知 Rt△ABC,斜边 BC?α,点 A?α,AO⊥α,O 为垂足,∠ABO=30° ,∠ACO =45° ,求二面角 ABCO 的大小. 解 如图,在平面 α 内,过 O 作 OD⊥BC,垂足为 D,连接 AD. ∵AO⊥α,BC?α,∴AO⊥BC. 又∵AO∩OD=O, ∴BC⊥平面 AOD. 而 AD?平面 AOD, ∴AD⊥BC. ∴∠ADO 是二面角 ABCO 的平面角. 由 AO⊥α,OB?α,OC?α,知 AO⊥OB,AO⊥OC. 又∠ABO=30° ,∠ACO=45° , ∴设 AO=a,则 AC= 2a,AB=2a. 在 Rt△ABC 中,∠BAC=90° , 2 2 ∴BC= AC +AB = 6a, AB· AC 2a· 2a 2 3 ∴AD= = = a. BC 3 6a AO a 3 在 Rt△AOD 中,sin∠ADO= = = . AD 2 3 2 a 3 ∴∠ADO=60° .即二面角 ABCO 的大小是 60° . (2)解 反馈训练 1 例 4、如图在三棱柱 ABCA1B1C1 中,侧棱垂直底面,∠ACB=90° ,AC=BC= AA1,D 2 是棱 AA1 的中点. (1)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC; (2)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比. (1)证明 由题设知 BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,所以 BC⊥平面 ACC1A1. 又 DC1?平面 ACC1A1,所以 DC1⊥BC. 由题设知∠A1DC1=∠ADC=45° ,所以∠CDC1=90° ,即 DC1⊥DC.又 DC∩BC=C,所 以 DC1⊥平面 BDC. 又 DC1?平面 BDC1,故平面 BDC1⊥平面 BDC. (2)解 设棱锥 BDACC1 的体积为 V1,AC=1. 1 1+2 1 由题意得 V1= × ×1×1= . 3 2 2 又三棱柱 ABCA1B1C1 的体积 V=1,所以(V-V1)∶V1=1∶1. 故平面 BDC1 分此棱柱所得两部分体积的比为 1∶1. 四、考点巩固 1.过平面 ? 外两点且垂直于平面 ? 的平面 ( A) 有且只有一个 (C ) 有且仅有两个 ( D )

( B ) 不是一个便是两个 ( D ) 一个或无数个

2.若平面 ? ? 平面 ? ,直线 n ? ? , m ? ? , m ? n ,则 ( A) n ? ? ( B) n ? ? 且 m ? ?

( D )

(C ) m ? ?

( D ) n ? ? 与 m ? ? 中至少有一个成立
( B )

3.对于直线 m, n 和平面 ? , ? , ? ? ? 的一个充分条件是

( A) m ? n , m // ? , n // ? ( B ) m ? n, ? ? ? ? m, n ? ? (C ) m // n, n ? ? , m ? ? ( D ) m ? n, m ? ? , n ? ? 4.设 l , m, n 表示三条直线, ? , ? , ? 表示三个平面,给出下列四个命题: ①若 l ? ? , m ? ? ,则 l // m ;②若 m ? ? , n 是 l 在 ? 内的射影, m ? l ,则 m ? n ; ③若 m ? ? , m // n ,则 n // ? ; ④若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? . 其中真命题( A ) ( A) ①② ( B ) ②③ (C ) ①③ ( D ) ③④
5. 设 ABCDA1B1C1D1 为长方体, 且底面 ABCD 为正方形, 试问: 截面 ACB1 与对角面 BDD1B1 垂直吗? 证明:∵ABCD 是正方形,∴AC⊥BD ∵BB1⊥底面 ABCD, ∴AC⊥B1B 又∵BD∩BB1=B,AC?平面 BDD1B ∴AC⊥平面 BDD1B, ∵AC?截面 ACB1, ∴截面 ACB1⊥对角面 BDD1B1. 6.如图,在底面为直角梯形的四棱锥 PABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90° ,PA⊥平面 ABCD, AC∩BD=E,AD=2,AB=2 3,BC=6.求证:平面 PBD⊥平面 PAC. AD 3 证明 ∵PA⊥平面 ABCD,BD?平面 ABCD,∴BD⊥PA.又 tan∠ABD= = , AB 3 BC tan∠BAC= = 3, AB ∴∠ABD=30° ,∠BAC=60° ,∴∠AEB=90° ,即 BD⊥AC. 又 PA∩AC=A,∴BD⊥平面 PAC. ∵BD?平面 PBD,平面 PBD⊥平面 PAC. 7、如图所示,在△ABC 中,AB⊥BC,SA⊥平面 ABC,DE 垂直平分 SC,且分别交 AC,SC 于点 D,E,又 SA=AB,SB=BC,求二面角 EBDC 的大小. 解 ∵E 为 SC 中点,且 SB=BC. ∴BE⊥SC.又 DE⊥SC.BE∩DE=E. ∴SC⊥平面 BDE. ∴BD⊥SC,又 SA⊥平面 ABC. 可得 SA⊥BD.SC∩SA=S. ∴BD⊥平面 SAC,从而 BD⊥AC,BD⊥DE. ∴∠EDC 为二面角 EBDC 的平面角. 设 SA=AB=1,△ABC 中 AB⊥BC, ∴SB=BC= 2,AC= 3, ∴SC=2.在 Rt△SAC 中,∠DCS=30° , ∴∠EDC=60° ,即二面角 EBDC 为 60° .

2.3.3 直线与平面垂直的性质

一、考纲要求 1 直线和平面垂直的性质定理: 如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行
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2 三垂线定理 在平面内的一条直线, 如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直, 那么它也和这条斜线 垂直 说明: (1)定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系;
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PO ? ? , O ? ? ? ? (2)推理模式: PA ? ? ? A ? ? a ? PA a ? ? , a ? OA ? ?

P

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O A

?

a

5.三垂线定理的逆定理: 在平面内的一条直线, 如果和这个平面的一条斜线垂直, 那麽它也和这条斜线的射影 垂直
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PO ? ? , O ? ? ? ? 推理模式: PA ? ? ? A ? ? a ? AO . a ? ? , a ? AP ? ?

二、自主学习 直线与平面垂直的性质 问题 1、 如图,长方体 ABCD—A′B′C′D′中,棱 A A′、B B′、C C′、D D′所在直

线都垂直于平面 ABCD,它们之间具有什么位置关系?

问题 2、 已知:a ? ? ,b ? ? 。求证:b∥a(由 1 让学生自行证明)

三、考点突破 典型例题 例 1、如图所示,在正方体 A1B1C1D1ABCD 中,EF 与异面直线 AC,A1D 都垂直相交. 求证:EF∥BD1. 证明 如图所示: 连接 AB1,B1D1,B1C1,BD. ∵DD1⊥平面 ABCD, AC?平面 ABCD,∴DD1⊥AC. 又 AC⊥BD,DD1∩BD=D,

∴AC⊥平面 BDD1B1. 又 BD1?平面 BDD1B1,∴AC⊥BD1. 同理可证 BD1⊥B1C.又 B1C∩AC=C,∴BD1⊥平面 AB1C. ∵EF⊥AC,EF⊥A1D,又 A1D∥B1C,∴EF⊥B1C.又 AC∩B1C=C,∴EF⊥平面 AB1C, ∴EF∥BD1. 例 2、如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面. 已知 α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l. 求证:l⊥γ. 证明:在 γ 内取一点 P,作 PA 垂直 α 与 γ 的交线于 A,PB 垂直 β 与 γ 的交线于 B, 则 PA⊥α,PB⊥β. ∵l=α∩β,∴l⊥PA,l⊥PB. 又 PA∩PB=P,且 PA?γ,PB?γ,∴l⊥γ. 例 3 在平面四边形 ABCD 中,已知 AB=BC=CD=a,∠ABC=90° ,∠BCD=135° ,沿 AC 将四边形折成直二面角 BACD. (1)求证:平面 ABC⊥平面 BCD;(2)求平面 ABD 与平面 ACD 所成的角的度数. (1)证明 如图所示,其中图(1)是平面四边形,图(2)是折后的立体图. 在四边形 ABCD 中, ∵AB=BC,AB⊥BC, ∴∠ACB=45° ,而∠BCD=∠ACB+∠ACD=135° , ∴∠ACD=90° ,即 CD⊥AC.又平面 ABC 与平面 ACD 的二面角的平面为直角, 且平 面 ABC∩平面 ACD=AC, ∴CD⊥平面 ABC,又 CD?平面 BCD,∴平面 ABC⊥平面 BCD. (2)解 过点 B 作 BE⊥AC,E 为垂足,则 BE⊥平面 ACD. 又过点 E 在平面 ACD 内作 EF⊥AD,F 为垂足,连接 BF. 由已知可得 BF⊥AD, ∴∠BFE 是二面角 BADC 的平面角. ∵E 为 AC 的中点, 1 2 ∴AE= AC= a. 2 2 CD 3 3 又 sin∠DAC= = ,EF= AE, AD 3 3 2 3 6 BE ∴EF= a· = a,tan∠BFE= = 3. 2 3 6 EF ∴∠BFE=60° , 即平面 ABD 与平面 ACD 所成的角的度数为 60°.

反馈训练 例 4、△ABC 是正三角形,AE 和 CD 都垂直于平面 ABC,且 AE=AB=2a,CD=a,F 为 BE 的中点.求证:DF∥平面 ABC. 证明 取 AB 的中点 G,连接 FG、GC,则 FG 为△BEA 中位线,∴FG∥AE. ∵AE⊥平面 ABC,FG∥AE,∴FG⊥平面 ABC. 1 ∵FG⊥平面 ABC,CD⊥平面 ABC,∴FG∥CD.又 FG= AE=CD=a. 2 ∴四边形 CDFG 为平行四边形,FD∥CG. ∵FD∥CG.CG?平面 ABC,∴DF∥平面 ABC. 四、考点巩固 1.若 a , b, c 表示直线, ? 表示平面,下列条件中,能使 a ? ? 的是 ( D )

( A) a ? b, a ? c, b ? ? , c ? ? (C ) a ? b ? A, b ? ? , a ? b

( B ) a ? b, b // ? ( D ) a // b, b ? ?

2.已知 l 与 m 是两条不同的直线,若直线 l ? 平面 ? ,①若直线 m ? l ,则 m // ? ;②若

m ? ? ,则 m // l ;③若 m ? ? ,则 m ? l ;④ m // l ,则 m ? ? 。上述判断正确的是
( B )

( A) ①②③

( B ) ②③④

(C ) ①③④

( D ) ②④
( B )

3.下列关于直线 l , m 与平面 ? , ? 的命题中,真命题是

( A) 若 l ? ? 且 ? ? ? ,则 l ? ? ( B ) 若 l ? ? 且 ? // ? ,则 l ? ? (C ) 若 l ? ? 且 ? ? ? ,则 l // ? ( D ) ? ? ? ? m 且 l // m ,则 l // ? ABCD 满足条件 AC ? BD 4 .在直四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 中,当底面四边形 时,有 AC (注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情况) ? B D 1 1 1 5.设三棱锥 P ? ABC 的顶点 P 在平面 ABC 上的射影是 H ,给出以下命题: ①若 PA ? BC , PB ? AC ,则 H 是 ?ABC 的垂心 ②若 PA, PB, PC 两两互相垂直,则 H 是 ?ABC 的垂心
③若 ?ABC ? 90 , H 是 AC 的中点,则 PA ? PB ? PC ④若 PA ? PB ? PC ,则 H 是 ?ABC 的外心 其中正确命题的命题是
?

6 如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?ACB ? 90? , AC ? 1, CB ? 2 ,侧棱 AA1 ? 1 , 侧面 AA 1C1 的中点为 M , 1B 1B 的两条对角线交于点 D , B 求证: CD ? 平面 BDM
D C M B B1 C1 A A1

7. 如图,在三棱锥 PABC 中,PA⊥平面 ABC,平面 PAB⊥平面 PBC.求证:BC⊥AB. 证明 在平面 PAB 内,作 AD⊥PB 于 D. ∵平面 PAB⊥平面 PBC,且平面 PAB∩平面 PBC=PB.

∴AD⊥平面 PBC. 又 BC?平面 PBC,∴AD⊥BC. 又∵PA⊥平面 ABC,BC?平面 ABC,∴PA⊥BC,∴BC⊥平面 PAB. 又 AB?平面 PAB,∴BC⊥AB.

8. 如图,在四棱锥 PABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,且 PA=AD=2, E、F 分别为 AD、PC 中点. (1)求异面直线 EF 和 PB 所成角的大小; (2)求证:平面 PCE⊥平面 PBC; (1)解 如图,取 PB 的中点 G,连接 FG、AG, ∵E、F 分别为 AD、PC 中点, 1 1 ∴FG 綉 BC,AE 綉 BC, 2 2 ∴FG 綉 AE,∴四边形 AEFG 是平行四边形,∴AG∥FE, ∵PA=AD=AB, ∴AG⊥PB,即 EF⊥PB, ∴EF 与 PB 所成的角为 90° . (2)证明 由(1)知 AG⊥PB,AG∥EF, ∵PA⊥平面 ABCD,∴BC⊥PA, ∵BC⊥AB,AB∩BC=B, ∴BC⊥平面 PAB, ∴BC⊥AG,又∵PB∩BC=B, ∴AG⊥平面 PBC, ∴EF⊥平面 PBC, ∵EF?平面 PCE, ∴平面 PCE⊥平面 PBC.

2.3.4 平面与平面垂直的性质
一、考纲要求 1.两平面垂直的性质定理: 若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 推理模式: ? ? ? , ? ? ? ? l , a ? ? , a ? l ? a ? ?
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2 向量法证明直线与平面、平面与平面垂直的方法: ①证明直线与平面垂直的方法:直线的方向向量与平面的法向量平行; ②证明平面与平面垂直的方法:两平面的法向量垂直
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二、自主学习 问题 1:黑板所在平面与地面所在平面垂直,你能否在黑板上画一条直线与地面垂直?

问题 2:如图,长方体 ABCD-A'B'C'D'中,平面 A'ADD'与平面 ABCD 垂直,直 线 A'A 垂直于其交线 AD,平面 A'ADD’内的直线 A'A 与平面 ABCD 垂直吗?

探究 1:如图,设α ⊥β ,α ∩β =CD,AB?α ,AB⊥CD,且 AB∩CD=B,我们看直线 AB 与 平面β 的位置关系。

三、考点突破 典型例题 例 1. 如图,在四棱锥 PABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,且 PA=AD=2, E、F 分别为 AD、PC 中点. 求二面角 EPCD 的大小 解 作 EM⊥PD 于点 M,连接 FM, ∵CD⊥平面 PAD,∴CD⊥EM, ∴EM⊥平面 PCD,EM⊥PC, 由(2)知 EF⊥平面 PBC,∴EF⊥PC, 又 EM∩EF=E, ∴PC⊥平面 EFM,∴FM⊥PC, ∴∠MFE 是二面角 EPCD 的平面角或其补角. 2 ∵PA=AD=2,∴EF=AG= 2,EM= , 2 EM 1 ∴sin∠MFE= = , ∴∠MEF=30° ,即二面角 EPCD 的大小为 30° . EF 2 例 2.如图,已知平面α 、β ,α ⊥β ,α ∩β =AB, 直线 a⊥β , a ? α , 试判断直线 a 与平面α 的位置关系(求证:a ∥α )(引导学生思考) 略 反馈训练 例 3.平面 α⊥平面 β,a⊥α,则有( ). A.a∥β B.a∥β 或 a?β C.a 与 β 相交 D.a?β 解析 由已知易得:a∥β 或 a?β. 答案 B 例 4. (2012· 济宁高一检测)已知平面 α⊥平面 β,则以下说法正确的个数是( ). ①平面 α 内的直线必垂直平面 β 内的无数条直线; ②在平面 β 内垂直于平面 α 与平面 β 的交 线的直线必垂直于 α 内的任意一条直线;③α 内的任意一条直线必垂直于 β;④过 β 内的任 意一点作平面 α 与平面 β 的交线的垂线,此直线必垂直于 α. A.4 B.3 C.2 D.1 解析 ①②正确,③④不正确. 答案 C

四、 五、考点巩固 1.已知 PA ? 正方形 ABCD 所在的平面,垂足为 A ,连结 PB, PC, PD, AC, BD ,则互相 垂直的平面有 ( ) ( A) 5 对 ( B) 6 对 (C ) 7 对 (D) 8 对 2.平面 ? ⊥平面 ? , ? ? ? =,点 P ? ? ,点 Q ? l ,那么 PQ ? l 是 PQ ? ? 的( ) ( A) 充分但不必要条件 ( B ) 必要但不充分条件 (C ) 充要条件 ( D ) 既不充分也不必要条件 3. 若三个平面 ? , ? , ? , 之间有 ? ? ? ,? ? ? , 则? 与 ? ( B ) 平行 (C ) 相交 ( D ) 以上三种可能都有 ( A) 垂直 ( )

4.已知 ? , ? 是两个平面,直线 l ? ? , ? ? ,设(1)l ? ? , (2)l // ? , (3)? ? ? , 若以其中两个作为条件,另一个作为结论,则正确命题的个数是 ( ) ( A) 0 ( B) 1 (C ) 2 (D) 3 5.在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD ,底面各边都相等, M 是 PC 上的一动点, 当点 M 满足__________时,平面 MBD ? 平面 PCD 。 6.已知 α、β、γ 是三个互不重合的平面,l 是一条直线,给出下列四个命题: ①若 α⊥β,l⊥β,则 l∥α;②若 l⊥α,l∥β,则 α⊥β;③若 l 上有两个点到 α 的距离相等, 则 l∥α;④若 α⊥β,α∥γ,则 γ⊥β. 其中正确命题的序号是________. 7.三棱锥 P ? ABC 中, PB ? PC , AB ? AC ,点 D 为 BC 中点, AH ? PD 于 H 点,连

BH ,求证:平面 ABH ? 平面 PBC 证明: ? AB ? AC, PB ? PC, 又D是BC的中点 ? AD ? BC, PD ? BC,
? BC ? 平面APD ? BC ? AH 又 ? AH ? PD ? AH ? 平面PBC ? 平面ABH ? 平面PBC
8. 如图, 在底面为平行四边形的四棱锥 PABCD 中, AB⊥AC, PA⊥平面 ABCD, 且 PA=AB, 点 E 是 PD 的中点. (1)求证:AC⊥PB; (2)求证:PB∥平面 AEC; (3)求二面角 EACB 的大小. (1)证明 (1)由 PA⊥平面 ABCD 可得 PA⊥AC. 又 AB⊥AC,所以 AC⊥平面 PAB,所以 AC⊥PB. (2)证明 如图,连接 BD 交 AC 于点 O,连接 EO,则 EO 是△PDB 的中位线, ∴EO∥PB.又 EO?平面 AEC,PB?平面 AEC, ∴PB∥平面 AEC. (3)解 如图,取 AD 的中点 F,连接 EF,FO, 则 EF 是△PAD 的中位线,∴EF∥PA. 又 PA⊥平面 ABCD,∴EF⊥平面 ABCD. 同理,FO 是△ADC 的中位线, ∴FO∥AB,∴FO⊥AC. 1 1 因此,∠EOF 是二面角 EACD 的平面角.又 FO= AB= PA=EF, 2 2 ∴∠EOF=45° .而二面角 EACB 与二面角 EACD 互补,故所求二面角 EACB 的大小为 135° .

参考答案:1B

2C

3D

4C

5 中点

6②④


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