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高二数学必修五训练题


高二数学强化训练题(五)
一、填空题 1.已知 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 , ( x) ? kx ? 1, “ | k |? 2 ”“ f x) gx) 则 是 ( ?( g 在 R 上恒成立” 的 .

14.已知方程 32 x ? 3x?1 ? p 有两个相异的正实数解,则实数 p 的取值范围是 三、解答题 15. 在Δ ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a, b, c ,若

.

1 1 2 ? ? ,求证:∠B 是锐角. a c b

A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 2.函数 y ? loga (3x ? 2) ?a ? 0, a ? 1? 的图像经过定点 A ,则 A 点坐标是 . . . .

3. 若方程 x 2 ? 2 x ? lg(2a 2 ? a) ? 0 有一个正根和一个负根, 则实数 a 的取值范围是 4.若直线 y ? x ? m 与曲线 y ? 1 ? x 2 有两个不同的交点,则实数 m 的取值范围是 5.若关于 x 的方程 9 ? (4 ? a) ? 3 ? 4 ? 0 有解,则实数 a 的取值范围是
x x

2 2 2 2 2 6.已知 f ? x ? ? x ? a ? b ? 1 x ? a ? 2ab ? b 是偶函数,则函数图象与 y 轴交点的纵坐标的

?

?

最大值是

. 16.设 f ( x) ? x2 ? bx ? c(b, c ?R) .若 x ≥ 2 时, f ( x) ≥ 0 ,且 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的最大值为 1,求 b2 ? c 2 的最大值和最小值.

7.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0) 的图象与直线 y ? a (0 ? a ? A) 的三个相邻交点的横 坐标分别是 2,4,8,则 f ( x) 的单调递减区间是 . ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 8.在平面直角坐标系中, O 为坐标原点,设向量 OA ? (1,2) , OB ? (2, ?1) ,若 OP ?xOA ? yOB 且
1 ? x ? y ? 2 ,则点 P 所有可能的位置所构成的区域面积是

.

2 9.设实系数一元二次方程 x ? ax ? 2b ? 2 ? 0 有两个相异实根,其中一根在区间 (0,1) 内,另一根

在区间 (1, 2) 内,则

b?4 的取值范围是 a ?1

.

10.在边长为 1 的正三角形 ABC 的边 AB、AC 上分别取 D、E 两点,使沿线段 DE 折叠三角形时,顶 点 A 正好落在边 BC 上.AD 的长度的最小值为 . f ( x) ? 2 x ? cos x 的性质进行研究,得出如下的结论: 11.某学生对函数
?? ? ①函数 f ( x) 在 ? ?? ,0? 上单调递增,在 ? 0, ? ? 上单调递减; ②点 ? , 0 ? 是函数 y ? f ( x) 图像的一个 ?2 ?

对称中心;③函数 y ? f ( x) 图像关于直线 x ? ? 对称;④存在常数 M ? 0 ,使 f ( x) ? M x 对一切 实数 x 均成立.其中正确的结论是 12. 函数 f ( x) ? sin( x ? .

) ? sin( x ? ) ? cos x ?3 的最小值等于 . 6 6 bx ? 1 1 13.已知 f ( x ) ? , 其中 a , b 为常数, ab ? 2 . 若 f ( x) ? f ( ) ? k 为常数, k 的值为 且 则 2x ? a x
1

?

?

.
2

17.从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,打算本 年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年平均减少 20% ,本年度旅游收入为 400 万元,由于该 项建设对旅游的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年平均增加 25% . (Ⅰ)设第 n 年(本年度为第一年)的投入为 an 万元,旅游业收入为 bn 万元,求 an , bn 的表达 式; (Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入超过总投入?

18.已知数列 {an } 中, a1 ? 1, a 2 ?

(n ? 1)an 1 ,且 a n ?1 ? 4 n ? an

(n ? 2,3,4,?) .

(1)求数列 {an } 的通项公式;(2)求证:对一切 n ? N ,有
*

?a
k ?1

n

2 k

?

7 . 6

3

4

高二数学强化训练题(五)
一、填空题 1.已知 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 , g ( x) ? kx ? 1,则 “ | k |? 2 ”是“ f ( x) ? g ( x) 在 R 上恒成立” 的 条件.

面积是

. ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 解:作 OG ? 2OA , OE ? 2OB , OF ? 2OA ? 2OB
M , N 为 OF , EF 中点,则 P 在 ?MNF 内,面积为

5 . 2

9.设实系数一元二次方程 x 2 ? ax ? 2b ? 2 ? 0 有两个相异实根,其中一根在区间 (0,1) 内,另一根 在区间 (1, 2) 内,则

A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 2.函数 y ? loga (3x ? 2) ?a ? 0, a ? 1? 的图像经过定点 A ,则 A 点坐标是
2 2

b?4 的取值范围是 a ?1

.

.

解: 根据题意,设两个相异的实根为 x1 , x2 ,且 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 ,则

3 . 若 方 程 x ? 2 x ? lg(2a ? a) ? 0 有 一 个 正 根 和 一 个 负 根 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是

1 ? x1 ? x2 ? ?a ? 3 , 0 ? x1x2 ? 2b ? 2 ? 2 。
于是有 ?3 ? a ? ?1,1 ? b ? 2 ,也即有 ?

1 1 ( ? , 0) ? ( ,1) . 2 2
4.若直线 y ? x ? m 与曲线 y ? 1 ? x 2 有两个不同的交点,则实数 m 的取值范围是 (? 2, ?1] . 5.若关于 x 的方程 9 x ? (4 ? a) ? 3x ? 4 ? 0 有解,则实数 a 的取值范围是 (??, ?8] .
2 2 2 2 2 6.已知 f ? x ? ? x ? a ? b ? 1 x ? a ? 2ab ? b 是偶函数,则函数图象与 y 轴交点的纵坐标的

1 1 1 ? ?? , 2 a ?1 4

? 3 ? b ? 4 ? ?2 。

故有

1 b?4 3 ?1 3? ? ? ,即取值范围为 ? , ? . 2 a ?1 2 ?2 2?

10.在边长为 1 的正三角形 ABC 的边 AB、AC 上分别取 D、E 两点,使沿线段 DE 折叠三角形时,顶 点 A 正好落在边 BC 上.AD 的长度的最小值为 解:设 AD ? x, ?ADE ? ? ,作△ADE 关于 DE 的对称图形,A 的对称点 G 落在 BC 上。

?

?

最大值是

.
2 2 2 2

在△DGB 中,

x sin

解:由已知条件可知, a ? b ? 1 ? 0 ,函数图象与 y 轴交点的纵坐标为 a ? 2ab ? b 。令

?
3

?

1? x

sin(2? ? ) 3
3 2? 3

?

?x?

3

3 ? 2sin(2? ? ) 3

?

,

a ? cos ? , b ? sin ? ,则 a2 ? 2ab ? b2 ? cos2 ? ? 2sin ? cos? ? sin 2 ? ? cos 2? ? sin 2? ? 2 .
7.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0) 的图象与直线 y ? a (0 ? a ? A) 的三个相邻交点的横 坐标分别是 2,4,8,则 f ( x) 的单调递减区间是 .

当 sin(2? ?

?
3

) ? 1 时,即 xmin ?

? 2 3 ? 3。

11.某学生对函数 f ( x) ? 2 x ? cos x 的性质进行研究,得出如下的结论:

解:? 相邻交点的中点的横坐标分别为 3,6,则周期 T ? 6 , ? ?

?
3

①函数 f ( x) 在 ? ?? ,0? 上单调递增,在 ? 0, ? ? 上单调递减;
?? ? ②点 ? , 0 ? 是函数 y ? f ( x) 图像的一个对称中心; ?2 ? ③函数 y ? f ( x) 图像关于直线 x ? ? 对称;

? f ( x) ? A sin( x ? ? ) ,又 f (2) ? f (4) ? 0 ,? 当 x ? 3 时, f ( x) 取最大值, 3 ? ? 3? 即 f (3) ? A sin(? ? ? ) ? A , ? ? ? ? 2k? , k ? Z , f ( x) ? Asin( x ? ) 2 3 2 ? f ( x) 的单调递减区间为 [6k ? 3,6k ], k ? Z . ??? ? ??? ? 8.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,设向量 OA ? (1,2) ,OB ? (2, ?1) ,
??? ? ??? ? ??? ? 若 OP ? xOA ? yOB 且 1 ? x ? y ? 2 , 则点 P 所有可能的位置所构成的区域
5

?

④存在常数 M ? 0 ,使 f ( x) ? M x 对一切实数 x 均成立.其中正确的结论是 解: f ( x) ? 2 x ? cos x 为奇函数,则函数 f ( x) 在 ? ?? ,0? , ? 0, ? ? 上单调性相同,所以①错;
f (0) ? 0, f (? ) ? ?2? ,所以②错; f (0) ? 0, f (2? ) ? 4? ,所以③错;

.

f ( x) ? 2x ? cos x ? 2x ? cos x ? 2 x ,令 M ? 2 ,所以④对.
6

选④

12. 函数 f ( x) ? sin( x ? 解:因为

?

) ? sin( x ? ) ? cos x ?3 的最小值等于 6 6

?

.答案:1

相异的实数解 y1 , y2 ,且满足 3 1 ? y1 ,3 2 ? y2 的两个实数 x1 , x2 都是正的. 由于 x1 , x2 都是正的,
x x

f ( x) ? sin x cos

?
6

? cos x sin

?
6

? sin x cos

?
6

? cos x sin

?
6

故 y1 , y2 都应大于 1. 由于 y1 ? y2 ? 3 ,故 y2 ? 3 ? y1 ,因此 y1 必须满足 y1 ? 1 , 3 ? y1 ? 1 及

? cos x ? 3

? 3 sin x ? cos x ? 3 ? 2sin( x ? ) ? 3, 6
所以 f (x) 的最小值为 1. 13. 已知 f ( x ) ? 为

?

3 3 y1 ? 3 ? y1 . 因此 y1 的取值范围为 (1, ) ? ( , 2) . 因此 p ? ? y1 y2 ? ? y1(3 ? y1) 的取值范围为 2 2 9 ( ? , ? 2) . 4
三、解答题 15. 在Δ ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a, b, c ,若

bx ? 1 1 ,其中 a , b 为常数,且 ab ? 2 . 若 f ( x) ? f ( ) ? k 为常数,则 k 的值 2x ? a x 1 . 答案: . 4

1 1 2 ? ? ,求证:∠B 是锐角. a c b

解:由于 k ? f ( x) ? f ( ) ?

1 x

bx ? 1 b ? x bx 2 ? (b2 ? 1) x ? b ? ? 2 x ? a 2 ? ax 2ax 2 ? (a 2 ? 4) x ? 2a
2 2 2 2

16.设 f ( x) ? x2 ? bx ? c(b, c ?R) .若 x ≥ 2 时, f ( x) ≥ 0 ,且 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的最大值为 1,求 b2 ? c 2 的最大值和最小值. 解:由题意函数图象为开口向上的抛物线,且 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的最大值只能在闭端点取得, 故有 f (2) ≤ f (3) ? 1 ,从而 b ≥ ?5 且 c ? ?3b ? 8 . 若 f ( x) ? 0 有实根,则 ? ? b2 ? 4c ≥ 0 ,
4 ? ? ?b ≤ ? 5 , ? f ( ?2) ≥ 0, ? 4 ? 2b ? c ≥ 0, ? ? ? 在区间 ? ?2,2? 有 ? f (2) ≥ 0, 即 ? 4 ? 2b ? c ≥ 0, 消去 c,解出 ?b ≤ ?4, ? ? ?4 ≤ b ≤ 4, ? ?4 ≤ b ≤ 4, b ? ?2 ≤ ≤ 2, ? ? ? 2 ?

是 常 数 , 故 2a ? k ? b, 且 (a ? 4)k ? b ? 1 . 将 b ? 2ak 代 入 (a ? 4)k ? b ? 1 整 理 得

(4k 2 ? k )a2 ? (1 ? 4k ) ? 0 ,分解因式得 (4k ?1)(ka2 ?1) ? 0 . 若 4k ? 1 ? 0 ,则 ka 2 ? 1 ? 0 ,因
2 此 ab ? 2ka ? 2 ,与条件相矛盾. 故 4k ? 1 ? 0 ,即 k ?

1 . 4
. (? , ?2).

14.已知方程 3 ? 3
2x

x ?1

? p 有两个相异的正实数解,则实数 p 的取值范围是

9 4

解法一:令 t ? 3 ,则原方程化为 t 2 ? 3t ? p ? 0 .
x

即 b ? ?4 ,这时 c ? 4 ,且 ? ? 0 . 若 f ( x) ? 0 无实根,则 ? ? b2 ? 4c ? 0 ,将 c ? ?3b ? 8 代入解得 ?8 ? b ? ?4 . 综上 ?5 ≤ b ≤ ?4 . 所以 b2 ? c2 ? b2 ? (?3b ? 8)2 ? 10b2 ? 48b ? 64 ,单调递减 故 (b2 ? c2 )min ? 32,(b2 ? c2 )max ? 74 . 17.从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,打算本 年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年平均减少 20% ,本年度旅游收入为 400 万元,由于该 项建设对旅游的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年平均增加 25% . (Ⅰ)设第 n 年(本年度为第一年)的投入为 an 万元,旅游业收入为 bn 万元,求 an , bn 的表达 式;

根据题意,方程 t 2 ? 3t ? p ? 0 有两个大于 1 的相异实根.

? ?? ? (?3) 2 ? 4 p ? 0, ? 9 2 2 令 f (t ) ? t ? 3t ? p ,则 ? f (1) ? 1 ? 3 ?1 ? p ? 0, ? ? ? p ? ?2. 4 ?3 ? ? 1. ?2
解法二: y ? 3 , 令 则原方程化为 y ? 3 y ? p ? 0 . 注意到这个关于 y 的方程最多有两个解,
x 2 x 2 而由 y ? 3 严格单调递增知每个 y 最多对应一个 x ,因此所求的 p 应当使 y ? 3 y ? p ? 0 有两个

7

8

(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入超过总投入?

4 (Ⅰ)解,依题意每年投入构成首项为 800 万元,公比为 的等比数列,每年旅游业收入组成首 5 5 项为 400 万元,公比为 的等比数列。????????????2 分 4 4 n ?1 5 n ?1 所以, an ? 800 ? ( ) , bn ? 400( ) ????????????4 分 5 4 4 800(1 ? ( ) n ) 5 ? 4000(1 ? ( 4 )n ) ???5 分 (Ⅱ)解,经过 n 年,总收投入 sn ? 4 5 1? 5 5 400(1 ? ( )n ) 4 ? 1600(( 5 )n ? 1) ?????6 分 经过 n 年,总收入 Tn ? 5 4 1? 4 5 n 4 n 设经过 n 年,总收入超过总投入,由此, Tn ? Sn ? 0 , 1600(( ) ? 1) ?4000(1 ? ( ) ) ? 0 4 5 4 5 5 ? ( ) n ? 2 ? ( ) n ? 7 ? 0 ????????????8 分 化简得 5 4 4 n 2 设 x ? ( ) 代入上式整理得, 5 x ? 7 x ? 2 ? 0 5 2 解得, x ? , 或 x ? 1 (舍去)????????????10 分 5 4 n 2 4 n 256 2 4 1024 2 ? ???12 分 ? , n ? 5 , ( )n = 由 ( ) ? , n ? 4 时, ( ) ? 5 5 625 5 3125 5 5 5 4 x 因为 y ? ( ) 在定义域上是减函数,所以 n ? 5 ????????13 分 5
答:至少经过 5 年旅游业的总收入超过总投入。????????????14 分 18.已知数列 {an } 中, a1 ? 1, a 2 ?

解 (1)由已知,对 n ? 2 有

n ? an 1 n 1 , ? ? ? an?1 (n ? 1)an (n ? 1)an n ? 1

两边同除以 n,得

1 1 1 , ? ? nan ?1 (n ? 1)a n n(n ? 1)
????????5 分



1 1 1 1 ? ? ?( ? ), nan ?1 (n ? 1)a n n ?1 n
n ?1

于是,

n ?1 ? 1 ? 1 1? 1 ? 1 ? ? ?? ? ? ? ka (k ? 1)a ? k ?2 ? k ? 1 ? k ? ? ?(1 ? n ? 1) , ? k ?2 ? k ?1 k ?



1 1 1 ? ? ?(1 ? ), n ? 2 , (n ? 1)an a2 n ?1
1 1 1 1 3n ? 2 ,n ? 2 . , an ? ? ? (1 ? )? 3n ? 2 (n ? 1)an a2 n ?1 n ?1 1 ,n ? N *. 3n ? 2
????????10 分

所以

又 n ? 1 时也成立,故 a n ? (2)当 k ? 2 ,有
2 ak ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ,??????15 分 2 (3k ? 4)(3k ? 1) 3 3k ? 4 3k ? 1 (3k ? 2)

所以 n ? 2 时,有

?a
k ?1

n

2 k

n 1? 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 1 ? ? ak ? 1 ? ?( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 3? 2 5 5 8 3n ? 4 3n ? 1 ? ? k ?2

1 ,且 4

an?1 ?

(n ? 1)an n ? an

1?1 1 ? 1 7 ? 1? ? ? ? ? 1? ? . 3 ? 2 3n ? 1 ? 6 6
2 又 n ? 1 时, a1 ? 1 ?

(n ? 2,3,4,?) .

7 . 6

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求证:对一切 n ? N ,有
*

故对一切 n ? N ,有
*

?a
k ?1

n

2 k

?

7 . 6

????????20 分

?a
k ?1

n

2 k

?

7 . 6

9

10


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