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2019届中考数学全程演练 第二部分 图形与几何 第十单元 相似形 第32课时 相似形

第十单元

相似形

第 32 课时 相似形

(60 分) 一、选择题(每题 5 分,共 30 分) 1. 丽水市第一座横跨瓯江的单塔斜拉式大桥紫金大桥, 比例尺为 1∶500 的图纸上的大桥的 长度约为 1.04 m,则大桥的实际长度约是 A.104 m C.5 200 m B.1 040 m D.520 m (D)

【解析】 设大桥的实际长度为 x,依题意, 得 1∶500=1.04∶x; 得 x=1.04×500=520(m).

AD 1 2.[2016·南京]如图 32-1,在△ABC 中,DE∥BC, = ,则下列结论中 DB 2
正确的是 (C) B.

AE 1 A. = AC 2
△ADE的周长 1 C. = △ABC的周长 3

DE 1 = BC 2

△ADE的面积 1 D. = △ABC的面积 3

图 32-1

3.[2016·永州]如图 32-2,下列条件不能判定△ADB∽△ABC 的是 (D) A.∠ABD=∠ACB C.AB =AD·AC
2

B.∠ADB=∠ABC D.

AD AB = AB BC AD AB

【解析】 在△ADB 和△ABC 中, ∠A 是它们的公共角, 那么当 =

图 32-2

AB AD AB 时,才能使△ADB∽△ABC,不是 = .故答案选 D. AC AB BC

4.[2017·河北]在研究相似问题时,甲乙同学的观点如下: 甲:将边长为 3,4,5 的三角形按图 32-3①的方式向外扩张,得到新三角形, 它们的对应边间距为 1,则新三角形与原三角形相似.
1

① 图 32-3



乙:将邻边为 3 和 5 的矩形按图 32-3②的方式向外扩张,得到新矩形,它们的对 应边间距为 1,则新矩形与原矩形相似. 对于两人的观点,下列说法正确的是 A.两人都对 C.甲对,乙不对 B.两人都不对 D.甲不对,乙对 (C)

5.如图 32-4,在平行四边形 ABCD 中,E 是 AB 的中点,CE 和 BD 交 于点 O,设△OCD 的面积为 m,△OEB 的面积为 5,则下列结论中 正确的是 A.m=5 C.m=3 5 【解析】 ∵AB∥CD,∴△OCD∽△OEB, 又∵E 是 AB 的中点,∴2EB=AB=CD, (B) B.m=4 5 D.m=10

图 32-4



S△OEB ?BE?2 5 ?1?2 =? ? ,即 =? ? , S△OCD ?CD? m ?2?

解得 m=4 5. ∴m 的值为 4 5. 6.[2016·武威]如图 32-5,D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 上的点,DE ∥AC,若 S△BDE∶S△CDE=1∶3,则 S△DOE∶S△AOC 的值为 (D) 1 A. 3 1 C. 9 【解析】 ∵S△BDE∶S△CDE=1∶3, ∴BE∶EC=1∶3, ∴BE∶BC=1∶4, ∵DE∥AC,∴△DOE∽△COA,△BED∽△BCA,
2

B.

1 4

图 32-5

1 D. 16

DE BE 1 ∴ = = , AC BC 4
2 1 ?DE? ∴S△DOE∶S△AOC=? ? = . ?AC? 16 二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 7.[2016·东莞]若两个相似三角形的周长比为 2∶3,则它们的面积比是__4∶9__. 8.[2016·金华]如图 32-6,直线 l1,l2,…,l6 是一组等距的平行线,过直线 l1 上的点 A 作两条射线,分别与直线 l3,l6 相交于 B,E,C,F,若 BC=2,则 EF 的长是__5__.

图 32-6 9.[2016·梅州]如图 32-7,△ABC 中,点 E 是 AB 边的中点, 点 F 在 AC 边上,若以 A,E,F 为顶点的三角形与△ABC 相似,则需要 1 增加的一个条件是__AF= AC 2 或∠AFE=∠ABC__.(写出一个即可) 【解析】 分两种情况: ①∵△AEF∽△ABC, ∴AE∶AB=AF∶AC, 即 1∶2=AF∶AC, 1 ∴AF= AC; 2 ②∵△AEF∽△ACB, ∴∠AFE=∠ABC. 1 ∴要使以 A,E,F 为顶点的三角形与△ABC 相似,则 AF= AC 或∠AFE=∠ABC. 2 10.[2016·泰州]如图 32-8,△ABC 中,D 为 BC 上一点, ∠BAD=∠C,AB=6,BD=4,则 CD 的长为__5__. 【解析】 ∵∠BAD=∠C,∠B=∠B,∴△BAD∽△BCA, ∴ = .

图 32-7

BA BD BC BA

图 32-8

3

∵AB=6,BD=4, 6 4 ∴ = , BC 6 ∴BC=9, ∴CD=BC-BD=9-4=5. 三、解答题(共 20 分) 11.(10 分)[2016·泰安]如图 32-9,在△ABC 中,AB=AC,点 P,D 分别是 BC,AC 边上的 点,且∠APD=∠B. (1)求证:AC·CD=CP·BP; (2)若 AB=10,BC=12, 当 PD∥AB 时,求 BP 的长.

图 32-9 解:(1)证明:∵AB=AC, ∴∠B=∠C. ∵∠APD=∠B, ∴∠APD=∠B=∠C. ∵∠APC=∠BAP+∠B, ∠APC=∠APD+∠DPC, ∴∠BAP=∠DPC, ∴△ABP∽△PCD, ∴ = , ∴AB·CD=PC·BP. ∵AB=AC , ∴AC·CD=CP·BP; (2)∵PD∥AB,∴∠APD=∠BAP. ∵∠APD=∠C,∴∠BAP=∠C. ∵∠B=∠B, ∴△BAP∽△BCA,

BP AB CD PC

4

∴ = . ∵AB=10,BC=12, 10 BP ∴ = , 12 10 25 ∴BP= . 3 12.(10 分)[2016·滨州]如图 32-10,已知 B,C,E 三点在同 一条直线上,△ABC 与△DCE 都是等边三角形,其中线段 BD 交 A C 于点 G,线段 AE 交 CD 于点 F,求证: (1)△ACE≌△BCD; (2) =

BA BP BC BA

AG AF . GC FE

图 32-10

证明:(1)∵△ABC 与△DCE 都为等边三角形, ∴AC=BC,CE= CD,∠ACB=∠DCE=60°, ∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠ACE=∠BCD, 在△ACE 和△BCD 中,

AC=BC, ? ? ?∠ACE=∠BCD, ? ?CE=CD,
∴△ACE≌△BCD(SAS); (2)∵△ACE≌△BCD, ∴∠BDC=∠AEC, 在△GCD 和△FCE 中, ∠GCD=∠FCE=60°, ? ? ?CD=CE, ? ?∠BDC=∠AEC, ∴△GCD≌△FCE(ASA), ∴CG=CF, ∴△CFG 为等边三角形, ∴∠CGF=∠ACB=60°, ∴GF∥CE,

5

∴ = . (20 分) 13.(10 分)如图 32-11,在△ABC 和△ADE 中, ∠BAD=∠CAE, ∠ABC=∠ADE. (1)写出图中两对相似三角形(不得添加辅助线); (2)请 分别说明两对三角形相似的理由. 【解析】 由两个角对应相等 得两三角形相似,关键是得到

AG AF GC FE

图 32-11

∠BAC=∠DAE. 解:(1)△ABC∽△ADE,△ABD∽△ACE; (2)∵∠BAD=∠CAE, ∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC, 即∠BAC=∠DAE. 又∵∠ABC=∠ADE, ∴△ABC∽△ADE. ∴ = . 又∵∠BAD=∠CAE, ∴△ABD∽△ACE. 14.(10 分)[2017·资阳]如图 32-12,AB 是⊙O 的直径, 过点 A 作⊙O 的切线并在其上取一 点 C,连结 OC 交⊙O 于点 D,BD 的延长线交 AC 于 E,连结 AD.

AB AC AD AE

图 32-12
(1)求证:△CDE∽△CAD; (2)若 AB=2,AC=2 2,求 AE 的长. 解:(1)∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ADB=90°, ∴∠ABD+∠BAD=90°. 又∵AC 是⊙O 的切线,∴AB⊥AC,∴∠BAC=90°, ∴∠CAD+∠BAD=90°,∴∠ABD=∠CAD. ∵∠ABD=∠BDO=∠CDE,

6

∴∠CAD=∠CDE, 又∵∠C=∠C,∴△C DE∽△CAD; (2)在 Rt△OAC 中,∠OAC=90°, ∴OA +AC =OC ,即 1 +(2 2) =OC , ∴OC=3,则 CD=2.又∵△CDE∽△CAD,得 = ∴CE= 2, ∴AE=AC-CE=2 2- 2= 2. (10 分) 15.(10 分)[2016·巴中]如图 32-13,AB 是⊙O 的直径,OD⊥弦 BC 于点 F,交⊙O 于点 E,连结 CE,AE,CD,若∠AEC=∠ODC. (1)求证:直线 CD 为⊙O 的切线; (2)若 AB=5,BC=4,求线段 CD 的长. 解:(1)证明:如答图,连结 CO,∵圆周角∠AEC 与∠ABC 所对弧 相 同,∴∠ABC=∠AEC. 又∠AEC=∠ODC,∴∠ABC=∠ODC. ∵OC=OB,OD⊥BC, ∴∠OCB=∠OBC,且∠OCB+∠COD=90°. ∴∠ODC+∠COD=90°.∴∠OCD=180°-∠ODC-∠COD=90°, 即
2 2 2 2 2 2

CD CA 2 2 2 ,即 = , CE CD CE 2

图 32-13

OC⊥CD.
又 OC 为半径,∴直线 CD 为⊙O 的切线; (2)在⊙O 中,OD⊥弦 BC 于点 F, 1 ∴BF=CF= BC=2. 2 1 5 3 2 2 又 OB= AB= ,∴OF= OB -BF = . 2 2 2 由(1)知∠OBF=∠CDF,且∠OFB=∠CFD, ∴△OFB∽△CFD. 5 ×2 OF CF OB·CF 2 10 ∴ = ,∴CD= = = . OB CD OF 3 3 2

第 15 题答图

7

10 ∴线段CD的长为 . 3

格 风 言 语 及 句 炼 ) 2 ( 赏 鉴 歌 诗

才 仕 李

【 】 明 说 纲 考 色 特 术 艺 会 领 于 重 侧 , . 2 。 巧 技 达 表 和 言 语 、 象 形 的 品 作 学 文 赏 鉴 : 求 要 纲 考 】 标 目 习 学 【 。 格 风 言 握 把 和 妙 之 句 语 的 歌 诗 典 古 会 体 . 1 。 力 能 解 高 提 , 巧 技 题 答 格 风 言 语 与 句 炼 歌 诗 典 古 握 掌 习 学 . 2 。 情 美 审 高 提 , 趣 兴 的 歌 诗 典 古 读 阅 发 激 . 3 习 学 主 自 】 导 指 法 学 【 。 术 格 风 言 语 的 典 古 记 识 , 歌 诗 读 熟 . 1 。 范 规 会 学 法 方 般 一 的 答 作 格 风 言 语 和 句 炼 握 掌 , 题 真 战 实 及 ” 析 剖 型 典 “ 合 结 . 2 】 析 剖 例 典 【 式 方 问 设 题 句 炼 ) 一 ( ) 义 含 释 解 ( 容 内 的 句 语 关 有 . 1 ) 讨 探 旨 主 对 ( 感 情 的 句 语 要 重 . 2 ) 赏 鉴 面 层 术 艺 ( 法 手 的 句 语 键 关 . 3 : 式 模 题 答 用 作 或 果 效 达 表 点 特 的 出 指 → 句 语 释 解 隅 举 术 格 风 言 语 ) 二 ( 》 遇 不 者 隐 寻 《 岛 贾 。 人 近 易 刻 深 切 真 得 显 描 白 用 或 , 述 陈 接 直 然 自 素 朴 质 实 平 . 1 》 北 寄 雨 夜 《 隐 商 李 。 想 者 读 让 中 之 象 形 在 藏 是 而 , 来 出 说 接 直 思 意 把 不 藉 蕴 婉 委 永 隽 蓄 含 . 2 》 池 小 《 里 万 杨 。 情 感 悦 喜 然 怡 达 表 , 境 意 美 优 造 营 来 言 语 的 丽 用 致 雅 洁 简 快 明 新 清 . 3 》 坑 书 焚 《 碣 章 。 味 和 调 笔 的 辣 辛 或 趣 风 、 指 多 中 诗 判 批 刺 讽 默 幽 谐 诙 . 4 ) 卷 宁 辽 年 0 2 ( 】 1 例 示 【 耒 张 山 嵩 见 初 。 怀 我 豁 山 青 有 赖 , 埃 尘 困 马 鞍 来 年 。 来 云 出 瘦 清 峰 数 , 去 雨 吹 风 北 暮 日 谪 贬 遭 累 连 牵 轼 受 因 , 一 之 士 学 四 门 苏 。 人 诗 宋 北 , 耒 张 ] 注 [ ? 处 何 在 妙 句 一 ” 来 云 出 瘦 清 峰 数 “ ) 1 ( 深 掘 挖 更 义 层 既 涵 内 歌 诗 理 : 二 果 效 分 后 然 词 的 力 有 富 或 点 特 再 , 法 手 现 种 了 运 虑 时 。 巧 技 达 表 与 言 语 赏 鉴 、 用 作 考 要 主 ” 处 何 在 妙 “ 问 一 第 】 析 解 【 面 画 合 结 相 态 跃 、 阔 广 耸 尖 成 层 与 使 予 赋 静 写 动 字 个 。 奇 新 语 造 拔 挺 的 出 容 形 ” 瘦 清 “ 以 法 手 人 拟 了 用 运 者 作 感 观 种 这 于 基 , 现 突 中 云 积 片 一 在 峰 山 峻 高 ① 】 案 答 【 。 答 作 求 要 按 , 诗 的 面 下 读 阅 ) 卷 京 北 年 1 0 ( 】 2 例 示 【 耒 张 ① 秸 秬 示 闲 得 安 求 男 坚 当 志 卑 高 无 业 冷 单 忧 我 射 衣 吹 行 人 西 东 市 一 歌 户 出 盘 捧 绝 欲 声 更 楼 雪 如 霜 落 月 头 城 秸 秬 示 警 所 有 且 诗 作 为 因 。 也 差 少 略 时 而 废 不 风 烈 寒 大 虽 呼 街 绕 即 旦 未 鼓 五 每 , 儿 饼 卖 邻 北 卿 少 寺 常 太 官 曾 家 学 文 名 著 宋 北 , 。 、 子 二 耒 张 秸 秬 1 : 释 注 4 。 析 分 要 简 作 句 体 具 合 结 请 味 韵 有 富 而 实 平 , 事 叙 景 写 的 诗 首 这 ) 1 ( 语 之 饰 修 何 任 无 均 等 西 东 楼 市 ” 户 出 盘 捧 “ 例 举 。 显 浅 俗 通 话 如 白 明 藻 辞 丽 华 有 没 , 实 平 一 点 要 : 案 答 深 意 而 浅 语 均 表 态 心 忧 街 ” 行 未 人 “ 如 他 其 怀 关 情 同 遇 际 活 生 儿 饼 卖 对 者 作 露 透 色 的 寂 空 冷 清 了 出 画 描 面 方 个 听 和 觉 视 从 句 两 篇 开 例 举 。 富 丰 含 蕴 事 叙 、 景 写 , 味 韵 有 : 二 点 要

8


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