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江门市2016年普通高中高二调研测试(一)数学(文科)

秘密★启用前

试卷类型:A

江门市 2016 年普通高中高二调研测试(一)

数 学(文科)2016.1

本试卷共 4 页,24 题,满分 150 分,测试用时 120 分钟. 注意事项:

⒈答题前,考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。

⒉做选择题时,必须用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用

橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

⒊非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔,将答案写在答题卡规定的位置上。

⒋所有题目必须在答题卡上指定位置作答,不按以上要求作答的答案无效。

⒌考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将答题卡交回。

参考公式: sin? ? sin ? ? 2sin ? ? ? cos? ? ? .

2

2

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.下列语句中,不是命题的语句是

A.12 ? 5

B.若 a 为正无理数,则 a 也是正无理数

C.正弦函数是周期函数吗? D.? ? ?1, 2 , 3 , 4?

2.若“ x2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 2 ”为原命题,则它的逆命题、否命题与逆否命题中,
真命题的个数是

A.1

B.2

C.3

3.设 a 、 b 为实数,则“ a ? b ? 0 ”是“ ab ? 0 ”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

D.0

4.若1, a , 4 成等比数列, 3 , b , 5 成等差数列,则 b 的值是 a

A. 2

B. 1 2

C. ?2

D. ? 1 2

5.以椭圆 x 2 ? y 2 ? 1的焦点为顶点、顶点为焦点的的双曲线方程是 24 49

A. y 2 ? x 2 ? 1 25 24

B. x 2 ? y 2 ? 1 24 25

C. x 2 ? y 2 ? 1 25 24

D. y 2 ? x 2 ? 1 24 25

数学试题(文科) 第 1 页 (共 8 页)

?x ? y ?3? 0 6.在平面直角坐标系 xOy 中,不等式组 ??x ? y ? 0 表示的平面区域内坐标为整数的
?? y ? 0

点的个数是

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

7.一个蜂巢里有 1 只蜜蜂。第 1 天,它飞出去找回了 5 个伙伴;第 2 天,6 只蜜蜂飞出

去,各自找回了 5 个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去,第 6 天所有的蜜蜂

都归巢后,蜂巢中一共有蜜蜂的数量是

A.55986

B.46656

C.216

D.36

8.对于曲线 C : x2 ? y2 ? 1,给出下列四个命题: 4 ? k k ?1
⑴曲线 C 不可能表示椭圆; ⑵若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆, 则 1< k < 5 ;
2 ⑶若曲线 C 表示双曲线,则 k <1 或 k >4; ⑷当 1< k <4 时曲线 C 表示椭圆.
其中,正确的是

A.⑵⑶

B.⑴⑶

C.⑵⑷

D.⑶⑷

9.在 ?ABC 中, ?A ? 60 , a ? 6 , b ? 2 ,则 ?ABC 解的情况

A.无解

B.有唯一 解

C.有两解

D.不能确定

10.一个三角形三边长分别为 2cm 、 3cm 、 4cm ,这个三角形最大角的余弦值是

A. ? 1 4

B. 1 4

C. ? 1 3

D. 1 3

11.若动点 P(x , y) 到 定点 F(0 , 3) 的距离与它到 定直线 y ? ?3 的距离相等, 则

z ? x ? 2y的

A.最大值是 6

B.最小值是 ? 6

C.最大值是 ? 3 2

D.最小值是 ? 3 2

12.已知椭圆

x a

2 2

?

y2 b2

? 1(a

? b ? 0) 上有一点 A ,它关于原点的对称点为 B ,点 F



椭圆的右焦点,且满足 AF ? BF ,设 ?ABF ? ? ,且? ?[ ? , ? ] ,则该椭圆的
12 6

离心率 e 的取值范围为

数学试题(文科) 第 2 页 (共 8 页)

A.[ 3 ?1 , 3 ] 22
C.[ 3 ? 1, 6 ] 3

B.[ 3 ?1 , 6 ] 23
D.[ 3 ?1, 3 ] 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.

13.顶点在原点,准线为 x ? 4 的抛物线的标准方程是



14.已知命题 p : ?x ? R , x2 ? x ?1 ? 0,则命题 p 的否定为 ?p :



15.?ABC中,角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ,若 A ? 600 ,B ? 450 ,c ? 20cm ,

则 ?ABC的 AB 边上的高 hc ?



16.把 300 毫升溶液分给 5 个实验小组,使每组所得成等差数列,且较多三组之和的 1 是 7

较少两组之和,则最少的那个组分得溶液

毫升.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 12 分)
已知 p : x2 ? 6x ? 8 ? 0 , q : (x ? a)(x ? a ?1) ? 0 ,若 p 是 q 的必要不充分条 件,求实数 a 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分)
在 ?ABC中,角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ,a ? 1 ,b ? 2,cosC ? 11 . 16
⑴求 ?ABC的周长; ⑵求 sin A 的值.

19.(本小题满分 12 分)

已知数列?an ?的前 n ( n ? N ? )项和 Sn ? n2 ? 2n .

⑴求 an ;

⑵设 bn

?

1 Sn

,求数列?bn ?的前 n 项和Tn .

数学试题(文科) 第 3 页 (共 8 页)

20.(本小题满分 12 分) 人们生活水平的提高,越来越注重科学饮食. 研究指出,成人良好的日常饮食应该
至少摄取 0.075kg 的碳水化合物,0.06kg 的蛋白质,0.06kg 的脂肪. 已知 1kg 食物 A 含 有 0.105kg 碳水化合物,0.07kg 蛋白质,0.14kg 脂肪,花费 28 元;而 1kg 食物 B 含有
0.105kg 碳水化合物,0.14kg 蛋白质,0.07kg 脂肪,花费 21 元. 为了达到良好的日常饮
食要求,同时花费最低,每天需要食用食物 A 和食物 B 各多少 kg?最低花费是多少?

21.(本小题满分 12 分)
在平面直角坐标系 xOy 中,动点 M 到定点 F1 (?2 , 0) 和 F2 (2 , 0) 的距离之和为 4 2.
⑴求动点 M 轨迹 C 的方程; ⑵设 N (0 , 2) ,过点 P(?1, ? 2) 作直线 l ,交曲线 C 异于 N 的 A 、 B 两点,直线 NA、 NB 的斜率分别为 k1 、 k 2 ,证明: k1 ? k2 为定值.

请考生从第 22、23、24 题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做, 则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22.(本小题满分 10 分)
已知 a ? 0 , b ? 0 ,且 a ? b ? 2 . ⑴求 a ? b 的最大值; ⑵求 1 ? 4 的最小值.
ab

23.(本小题满分 10 分)

在数列?an ?中, a1

?

5 3

,且 3an?1

?

an

?

2.

⑴设 bn ? an ? 1,证明: ?bn ?是等比数列;

⑵求数列?an ?的前 n 项和 S n .

24.(本小题满分 10 分)
已知双曲线 C 的顶点在 x 轴上,两顶点间的距离是8 ,离心率 e ? 5 . 4
⑴求双曲线 C 的标准方程; ⑵过点 P(3 , 0) 且斜率为 k 的直线与双曲线 C 有且仅有一个公共点,求 k 的值.

数学试题(文科) 第 4 页 (共 8 页)

一、选择题 二、填空题

参考答案
CBDC ACBA BADC
⒔ y 2 ? ?16 x(填 y 2 ? 16 x 给 2 分);⒕ ?x0 ? R ,x02 ? x0 ?1 ? 0( x0

或 x 前后统一 1 分, ? 、 ? 错误各扣 3 分,扣完为止);⒖10(3 ? 3) ;⒗ 5 .

三、解答题
17.解:由 x2 ? 6x ? 8 ? 0 得, 2 ? x ? 4 ……2 分, 由 (x ? a)(x ? a ?1) ? 0 得, a ? x ? a ?1……4 分,

?a ? 2

因为 p 是 q 的必要不充分条件,所以 ??a ? 1 ? 4

……10 分

??a ? 2与a ? 1 ? 4不同时成立

解得, a 的取值范围为. 2 ? a ? 3……12 分

18.解:⑴根据余弦定理, c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cosC ? 1 ? 4 ? 4 ? 11 ? 9 ……4 分 16 4

c ? 3 ……5 分, ?ABC的周长为 a ? b ? c ? 9 ……6 分

2

2

⑵由 cosC ? 11 ( 0 ? C ? ? )得, sin C ? 3 15 ……8 分

16

16

3 由正弦定理 a ? c 得, 1 ? 2 ……10 分
sin A sin C sin A 3 15

16

解得 sin A ? 15 ……12 分 8

19.解:⑴ a1 ? S1 ? 3 ……1 分

n ? 2时, an ? Sn ? Sn?1 ? (n2 ? 2n) ? [(n ? 1)2 ? 2(n ? 1)] ? 2n ? 1……5 分

a1 ? 3 满足 an ? 2n ? 1 ,所以, ?n ? N ? , an ? 2n ? 1 ……6 分

⑵ bn

?

1 Sn

?

1 ( 1 ? 1 ) ……7 分 2 n n?2

n

?

3 时, b1

? b2

??? bn

?

1 [(1 ? 1) ? (1 21 3 2

?

1) ? (1 ? 1) ??? (1

4 35

n

?

1 )] n?2

数学试题(文科) 第 5 页 (共 8 页)

……9 分

? 1 (1 ? 1 ? 1 ? 1 ) ……10 分, ? 3n 2 ? 5n ……11 分,

2 1 2 n?1 n? 2

4(n ? 1)(n ? 2)

检验知, n

?1, n

?

2 时,Tn

?

3n2 ? 5n 4(n ? 1)(n ?

2)

也成立,

所以, ?n ? N ? ,Tn

?

3n2 ? 5n 4(n ? 1)(n ? 2)

……12



20.解:设每天食用 x kg 食物 A, y kg 食物 B,总花费为 z 元,则 x, y 满足约束条件

?0.105x ? 0.105y ? 0.075

??0.07x ? 0.14 y ? 0.06 ??0.14x ? 0.07 y ? 0.06

……3 分,目标函数为 z ? 28x ? 21y ……4 分

??x ? 0, y ? 0

?7x ? 7 y ? 5

约束条件等价于

??7x ? 14 y ??14x ? 7 y

? ?

6 6

……5



??x ? 0, y ? 0

作出约束条件所表示的可行域,如右图

所示……7 分

将目标函数

z

?

28x

?

21y

变形为

y

?

?

4 3

x

?

z 21

,作直线

l0

:

28x

?

21y

?

0

,当直线

l0



移经过可行域,在过点 M 处时, y 轴上截距 z 最小,即此时 z 有最小值……9 分 21

解方程组

?7x ? 7 y ? 5 ??14x ? 7 y ? 6

,得

x

?

1 7

,

y

?

4 7

,即点

M

的坐标为

(

1 7

,

4) ……10 分 7

∴ zmin ? 28x ? 21y ? 16 ……11 分

答:每天需要同时食用食物 A 约 1 kg ( 或 0.143 kg),食物 B 约 4 kg(或 0.571 kg),

7

7

能够满足日常饮食要求,且花费最低 16 元……12 分

数学试题(文科) 第 6 页 (共 8 页)

21.解:⑴依题意,轨迹 C 是焦点在 x 轴上的椭圆……1 分,

设轨迹方程为 x 2 a2

?

y2 b2

? 1( a ? b ? 0 )……2 分

2a ? 4 2 , c ? 2 ……3 分 所以 a ? 2 2 , b ? 2,轨迹 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 1……4 分
84

⑵若 l 的倾斜角为 900 ,则 l 的方程为 x ? ?1,A(?1, 14 ) ,B(?1, ? 14 ) ……

2

2

5 分, k1 ? k2 ? (2 ?

14 ) ? (2 ? 2

14 ) ? 4 ……6 分 2

若 l 的倾斜角不为 900 ,设 l 的方程为 y ? k(x ?1) ? 2 ……7 分,设 A(x1 , y1 ) ,

?x2 y2

B(x2 ,

y

2

)

,由

? ?

8

?

4

?1

得 (2k 2 ? 1)x2 ? 4k(k ? 2)x ? 2k 2 ? 8k ? 0 ……8 分

??y ? k(x ? 1) ? 2

x1

?

x2

?

?

4k (k 2k 2

? 2) ?1



x1

?

x2

?

2k 2 ? 8k 2k 2 ?1

……9



k1

? k2

?

y1 ? 2 x1

?

y2 ? 2 x2

?

k ( x1

? 1) ? 4 x1

?

k(x2

? 1) ? 4 x2

……10 分

? 2k ? (k ? 4)( 1 ? 1 ) ? 2k ? (k ? 4) x1 ? x2 ? 2k ? (k ? 4) 4k(k ? 2) ? 4

x1 x2

x1 x2

2k(k ? 4)

综上所述, k1 ? k2 为定值 4……12 分.

22.解:⑴根据基本不等式 ab ? a ? b ? 1 ……2 分, 2

所以 ab ? 1, a ? b 的最大值为 1……3 分

⑵ 1 ? 4 ? a ? b ? 2(a ? b) ? 5 ? b ? 2a ……7 分

a b 2a

b

2 2a b

? 5 ? 2 b ? 2a ? 9 ……9 分, 1 ? 4 的最小值为 9 ……10 分.

2 2a b 2

ab

2

23.解:⑴依题意, b1

?

a1

?1

?

2 3

?

0 ……1



an ? bn ? 1, an?1 ? bn?1 ? 1,所以 3(bn?1 ? 1) ? bn ? 1 ? 2 ……3 分

数学试题(文科) 第 7 页 (共 8 页)

? ? 3bn?1

?

bn

……4

分,

bn ?1 bn

?

1, 3

bn

是等比数列……5 分

⑵由⑴得 bn

?

2 ? (1)n?1 33

?

2 3n

……7 分, an

? bn

?1?

2 3n

? 1 ……8 分

所以 S n

?

2 (1 ? 3

1 3n

) 1?

1

?n

?

n ?1?

1 3n

……10 分

3

24.解:⑴设双曲线

C

的标准方程为

x a

2 2

?

y2 b2

? 1……1 分

2a ? 8 , c ? 5 ……2 分 a4

所以 a ? 4 , c ? 5 , b ? 3 ……3 分,双曲线 C 的标准方程为 x 2 ? y 2 ? 1 ……4 分 16 9

⑵直线方程为 y ? k(x ? 3) ……5 分

?x2



? ?16

?

y2 9

? 1得 (9 ?16k 2 )x2

? 96k 2 x ?144 (k 2

? 1) ? 0 ……6 分

??y ? k(x ? 3)

① 9 ?16k 2 ? 0 ,即 k ? 3 或 k ? ? 3 时,直线与双曲线有且仅有一个公共点……7

4

4



② 9 ?16k 2 ? 0 , 解 (96k 2 )2 ? 4 ?144 (9 ?16k 2 )(k 2 ? 1) ? 0 … … 8 分 , 得

7k 2 ? 9 ? 0 , k ? 3 7 或 k ? ? 3 7 ……9 分

7

7

综上所述, k ? 3 或 k ? ? 3 或 k ? 3 7 或 k ? ? 3 7 ……10 分

4

4

7

7

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