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江门市2016年普通高中高二调研测试(一)数学(文科)

秘密★启用前

试卷类型:A

江门市 2016 年普通高中高二调研测试(一)



学(文科)2016.1

本试卷共 4 页,24 题,满分 150 分,测试用时 120 分钟. 注意事项: ⒈答题前,考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。 ⒉做选择题时,必须用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。 ⒊非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔,将答案写在答题卡规定的位置上。 ⒋所有题目必须在答题卡上指定位置作答,不按以上要求作答的答案无效。 ⒌考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将答题卡交回。 参考公式: sin ? ? sin ? ? 2 sin

? ??
2

cos

? ??
2



一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列语句中,不是命题的语句是 A. 12 ? 5 C.正弦函数是周期函数吗?
2

B.若 a 为正无理数,则 a 也是正无理数 D. ? ? ? 1 , 2 , 3 , 4?

2.若“ x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 2 ”为原命题,则它的逆命题、否命题与逆否命题中, 真命题的个数是 A.1 B.2 C .3 D.0 3.设 a 、 b 为实数,则“ a ? b ? 0 ”是“ ab ? 0 ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.若 1 , a , 4 成等比数列, 3 , b , 5 成等差数列,则 A. 2 5.以椭圆 A. B.

1 2

C. ? 2

b 的值是 a 1 D. ? 2

x2 y2 ? ? 1 的焦点为顶点、顶点为焦点的的双曲线方程是 24 49
B.

y2 x2 ? ?1 25 24

x2 y2 ? ?1 24 25

C.

x2 y2 ? ?1 25 24

D.

y2 x2 ? ?1 24 25

数学试题(文科)

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?x ? y ? 3 ? 0 ? 6.在平面直角坐标系 xOy 中,不等式组 ? x ? y ? 0 表示的平面区域内坐标为整数的 ?y ? 0 ?
点的个数是 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7.一个蜂巢里有 1 只蜜蜂。第 1 天,它飞出去找回了 5 个伙伴;第 2 天,6 只蜜蜂飞出 去,各自找回了 5 个伙伴??如果这个找伙伴的过程继续下去,第 6 天所有的蜜蜂 都归巢后,蜂巢中一共有蜜蜂的数量是 A.55986 8.对于曲线 C : B.46656 C.216 D.36

x2 y2 ? ? 1 ,给出下列四个命题: 4 ? k k ?1
5 ; 2

⑴曲线 C 不可能表示椭圆; ⑵若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆, 则 1< k < ⑶若曲线 C 表示双曲线,则 k <1 或 k >4; ⑷当 1< k <4 时曲线 C 表示椭圆. 其中,正确的是 A.⑵⑶ B.⑴⑶
?

C.⑵⑷

D.⑶⑷

9.在 ?ABC 中, ?A ? 60 , a ? A.无解

6 , b ? 2 ,则 ?ABC 解的情况
C.有两解 D.不能确定

B.有唯一 解

10.一个三角形三边长分别为 2cm 、 3cm 、 4cm ,这个三角形最大角的余弦值是 A. ?

1 4

B.

1 4

C. ?

1 3

D.

1 3

11 . 若 动 点 P( x , y ) 到 定 点 F (0 , 3) 的 距 离 与 它 到 定 直 线 y ? ?3 的 距 离 相 等 , 则

z ? x ? 2y 的
A.最大值是 6 12.已知椭圆 B.最小值是 ? 6 C.最大值是 ?

3 2

D.最小值是 ?

3 2

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上有一点 A ,它关于原点的对称点为 B ,点 F 为 a2 b2 ? ? 椭圆的右焦点,且满足 AF ? BF ,设 ?ABF ? ? ,且 ? ? [ , ] ,则该椭圆的 12 6 离心率 e 的取值范围为
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A. [

3 ?1 3 , ] 2 2 6 ] 3

B. [

3 ?1 6 , ] 2 3 3 ] 2

C. [ 3 ? 1 ,

D. [ 3 ? 1 ,

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.
13.顶点在原点,准线为 x ? 4 的抛物线的标准方程是 . .

2 14.已知命题 p : ?x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ,则命题 p 的否定为 ? p :

0 0 15.?ABC 中, 角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c , 若 A ? 60 ,B ? 45 ,c ? 20cm ,

则 ?ABC 的 AB 边上的高 hc ?



16. 把 300 毫升溶液分给 5 个实验小组, 使每组所得成等差数列, 且较多三组之和的 1 是

7

较少两组之和,则最少的那个组分得溶液

毫升.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分 12 分)
2 已知 p : x ? 6 x ? 8 ? 0 , q : ( x ? a)(x ? a ? 1) ? 0 ,若 p 是 q 的必要不充分条

件,求实数 a 的取值范围. 18. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、c , a ? 1 ,b ? 2 ,cos C ? ⑴求 ?ABC 的周长; ⑵求 sin A 的值. 19. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n ( n ? N ? )项和 S n ? n 2 ? 2n . ⑴求 an ; ⑵设 bn ?

11 . 16

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . Sn

数学试题(文科)

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20. (本小题满分 12 分) 人们生活水平的提高,越来越注重科学饮食. 研究指出,成人良好的日常饮食应该 至少摄取 0.075kg 的碳水化合物,0.06kg 的蛋白质,0.06kg 的脂肪. 已知 1kg 食物 A 含 有 0.105kg 碳水化合物,0.07kg 蛋白质,0.14kg 脂肪,花费 28 元;而 1kg 食物 B 含有 0.105kg 碳水化合物,0.14kg 蛋白质,0.07kg 脂肪,花费 21 元. 为了达到良好的日常饮 食要求,同时花费最低,每天需要食用食物 A 和食物 B 各多少 kg?最低花费是多少? 21. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,动点 M 到定点 F1 (?2 , 0) 和 F2 (2 , 0) 的距离之和为

4 2.
⑴求动点 M 轨迹 C 的方程; ⑵设 N (0 , 2) ,过点 P(?1 , ? 2) 作直线 l ,交曲线 C 异于 N 的 A 、 B 两点,直线

NA 、 NB 的斜率分别为 k 1 、 k 2 ,证明: k1 ? k 2 为定值.
请考生从第 22、23、24 题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做, 则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22. (本小题满分 10 分) 已知 a ? 0 , b ? 0 ,且 a ? b ? 2 . ⑴求 a ? b 的最大值; ⑵求

1 4 ? 的最小值. a b

23. (本小题满分 10 分) 在数列 ?an ? 中, a1 ?

⑴设 bn ? an ? 1,证明: ?bn ? 是等比数列; ⑵求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n . 24. (本小题满分 10 分)

5 ,且 3an?1 ? an ? 2 . 3

已知双曲线 C 的顶点在 x 轴上,两顶点间的距离是 8 ,离心率 e ? ⑴求双曲线 C 的标准方程;

5 . 4

⑵过点 P(3 , 0) 且斜率为 k 的直线与双曲线 C 有且仅有一个公共点,求 k 的值.

数学试题(文科)

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参考答案
一、选择题 二、 填空题 CBDC ACBA BADC ⒔ y 2 ? ?16x(填 y 2 ? 16x 给 2 分) ; ⒕ ?x0 ? R ,x0 ? x0 ? 1 ? 0( x0
2

或 x 前后统一 1 分, ? 、 ? 错误各扣 3 分,扣完为止) ;⒖ 10(3 ? 3 ) ;⒗ 5 . 三、解答题
2 17.解:由 x ? 6 x ? 8 ? 0 得, 2 ? x ? 4 ??2 分,

由 ( x ? a)(x ? a ? 1) ? 0 得, a ? x ? a ? 1 ??4 分,

?a ? 2 ? 因为 p 是 q 的必要不充分条件,所以 ?a ? 1 ? 4 ??10 分 ?a ? 2与a ? 1 ? 4不同时成立 ?
解得, a 的取值范围为. 2 ? a ? 3 ??12 分

18.解:⑴根据余弦定理, c ? a ? b ? 2ab cos C ? 1 ? 4 ? 4 ?
2 2 2

11 9 ? ??4 分 16 4

c?

3 9 ??5 分, ?ABC 的周长为 a ? b ? c ? ??6 分 2 2

11 3 15 ( 0 ? C ? ? )得, sin C ? ??8 分 16 16 3 a c 1 ? 由正弦定理 得, ? 2 ??10 分 sin A sin C sin A 3 15 16
⑵由 cos C ? 解得 sin A ?

15 ??12 分 8

19.解:⑴ a1 ? S1 ? 3 ??1 分

n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? (n 2 ? 2n) ? [(n ? 1) 2 ? 2(n ? 1)] ? 2n ? 1 ??5 分

a1 ? 3 满足 an ? 2n ? 1 ,所以, ?n ? N ? , an ? 2n ? 1 ??6 分
⑵ bn ?

1 1 1 1 ? ( ? ) ??7 分 Sn 2 n n ? 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 [( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 1 3 2 4 3 5 n n?2
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n ? 3 时, b1 ? b2 ? ? ? bn ?

数学试题(文科)

??9 分

?

1 1 1 1 1 3n 2 ? 5n ( ? ? ? ) ??10 分, ? ??11 分, 2 1 2 n ?1 n ? 2 4(n ? 1)(n ? 2)

检验知, n ? 1 , n ? 2 时, Tn ? 所以, ?n ? N ? , Tn ?

3n 2 ? 5n 也成立, 4(n ? 1)(n ? 2)

3n 2 ? 5n ??12 分 4(n ? 1)(n ? 2)

20.解:设每天食用 x kg 食物 A, y kg 食物 B,总花费为 z 元,则 x, y 满足约束条件
?0.105 x ? 0.105 y ? 0.075 ?0.07 x ? 0.14 y ? 0.06 ? ??3 分,目标函数为 z ? 28 x ? 21y ??4 分 ? ?0.14 x ? 0.07 y ? 0.06 ? ? x ? 0, y ? 0

?7 x ? 7 y ? 5 ?7 x ? 14 y ? 6 ? 约束条件等价于 ? ??5 分 ?14 x ? 7 y ? 6 ? ? x ? 0, y ? 0

作出约束条件所表示的可行域,如右图 所示??7 分

4 z 将目标函数 z ? 28 x ? 21y 变形为 y ? ? x ? ,作直线 l0 : 28 x ? 21y ? 0 ,当直线 l0 平 3 21
移经过可行域,在过点 M 处时, y 轴上截距

z 最小,即此时 z 有最小值??9 分 21

1 4 ?7 x ? 7 y ? 5 1 4 解方程组 ? ,得 x ? , y ? ,即点 M 的坐标为 ( , ) ??10 分 7 7 7 7 ?14 x ? 7 y ? 6
∴ zmin ? 28x ? 21y ? 16 ??11 分 答: 每天需要同时食用食物 A 约

1 4 kg ( 或 0.143 kg) , 食物 B 约 kg (或 0.571 kg) , 7 7

能够满足日常饮食要求,且花费最低 16 元??12 分

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21.解:⑴依题意,轨迹 C 是焦点在 x 轴上的椭圆??1 分, 设轨迹方程为

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )??2 分 a2 b2 x2 y2 ? ? 1 ??4 分 8 4
14 14 B(?1 , ? ) ?? ), 2 2

2a ? 4 2 , c ? 2 ??3 分
所以 a ? 2 2 , b ? 2 ,轨迹 C 的方程为

0 ⑵若 l 的倾斜角为 90 , 则 l 的方程为 x ? ?1 ,A(?1 ,

5 分, k1 ? k 2 ? (2 ?

14 14 ) ? (2 ? ) ? 4 ??6 分 2 2

0 若 l 的倾斜角不为 90 ,设 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ? 2 ??7 分,设 A( x1 , y1 ) ,

? x2 y2 ?1 ? ? 得 (2k 2 ? 1) x 2 ? 4k (k ? 2) x ? 2k 2 ? 8k ? 0 ??8 分 B( x2 , y 2 ) ,由 ? 8 4 ? y ? k ( x ? 1) ? 2 ?
4 k ( k ? 2) 2k 2 ? 8k x1 ? x 2 ? ? , x1 ? x2 ? ??9 分 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

k1 ? k 2 ?

y1 ? 2 y 2 ? 2 k ( x1 ? 1) ? 4 k ( x2 ? 1) ? 4 ??10 分 ? ? ? x1 x2 x1 x2

? 2k ? (k ? 4)(

x ? x2 1 1 4k (k ? 2) ? ) ? 2k ? (k ? 4) 1 ? 2k ? (k ? 4) ?4 x1 x2 x1 x2 2k (k ? 4)

综上所述, k1 ? k 2 为定值 4??12 分. 22.解:⑴根据基本不等式 ab ?

a?b ? 1 ??2 分, 2

所以 ab ? 1 , a ? b 的最大值为 1??3 分 ⑵

1 4 a ? b 2(a ? b) 5 b 2a ? ? ? ? ? ? ??7 分 a b 2a b 2 2a b 1 4 9 5 b 2a 9 ?2 ? ? ??9 分, ? 的最小值为 ??10 分. 2 a b 2 2a b 2
2 ? 0 ??1 分 3

?

23.解:⑴依题意, b1 ? a1 ? 1 ?

an ? bn ? 1, an?1 ? bn?1 ? 1,所以 3(bn?1 ? 1) ? bn ? 1 ? 2 ??3 分

数学试题(文科)

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3bn?1 ? bn ??4 分,
⑵由⑴得 bn ?

bn ?1 1 ? , ?bn ? 是等比数列??5 分 bn 3

2 1 n ?1 2 2 ? ( ) ? n ??7 分, a n ? bn ? 1 ? n ? 1 ??8 分 3 3 3 3 2 1 (1 ? n ) 1 3 所以 S n ? 3 ? n ? n ? 1 ? n ??10 分 1 3 1? 3

24.解:⑴设双曲线 C 的标准方程为

x2 y2 ? ? 1 ??1 分 a2 b2

2a ? 8 ,

c 5 ? ??2 分 a 4

所以 a ? 4 , c ? 5 , b ? 3 ??3 分,双曲线 C 的标准方程为 ⑵直线方程为 y ? k ( x ? 3) ??5 分

x2 y2 ? ? 1 ??4 分 16 9

? x2 y2 ?1 ? ? 由 ? 16 得 (9 ? 16k 2 ) x 2 ? 96k 2 x ? 144(k 2 ? 1) ? 0 ??6 分 9 ? y ? k ( x ? 3) ? 3 3 2 ① 9 ? 16k ? 0 ,即 k ? 或 k ? ? 时,直线与双曲线有且仅有一个公共点??7 4 4

2 2 2 2 ② 9 ? 16k ? 0 , 解 (96k ) ? 4 ?144(9 ? 16k )(k ? 1) ? 0 ? ? 8 分 , 得
2

7k 2 ? 9 ? 0 , k ?

3 7 3 7 或k ? ? ??9 分 7 7
3 3 3 7 3 7 或k ? ? 或k ? 或k ? ? ??10 分 4 4 7 7

综上所述, k ?

数学试题(文科)

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