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16【数学】3.1.4《空间向量运算的正交分解及基坐标表示》课件(新人教A版选修2-1)-PPT课件_图文

新课标人教版课件系列

《高中数学》
选修2-1

3.1.4《空间向量运算的 正交分解及基坐标表示》

教学目标
? ⒈理解空间向量的基底、基向量的概念.理解空间任一向 量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表出; ? ⒉理解共面向量定理及其推论;掌握点在已知平面内的充 要条件; ? ⒊会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题. ? 教学重点:点在已知平面内的充要条件.共线、共面定理 及其应用. ? 教学难点:对点在已知平面内的充要条件的理解与运用. ? 授课类型:新授课. ? 课时安排:1课时.

空间向量及其运算-共线与共面
复习问题引入
练习1、2

共面向量定 理

复习回顾: 1.共线向量: 如果表示空间向量的有向线段所在的 直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行 向量. a 平行于 b 记作 a // b . 规定: o 与任一向量 a 是共线向量.
? ? 2.共线向量定理: 空间任意两个向量 a 、 , b( b ≠ 0 )

共线与共面分析

a // b 的充要条件是存在实数 ? ,使 a ? ? b . 思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,

那么如何表示直线 l 上的任一点 P ?

A?

?

l
P

注:非零向量 a 叫做 直线 l 的方向向量.

a

思考

思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
如何表示直线 l 上的任一点 P ?

A?
O

?

?

l

a

BP

注:非零向量 a 叫做 直线 l 的方向向量.

⑴∵ AP // a ,∴存在唯一实数 t ? R ,使 AP ? t a . ∴ 点 P 在直线 l 上 ? ? 唯一实数 t ? R, 使 AP ? t a ①
⑵对于任意一点 O,有 AP ? OP ? OA 则点 P 在直线 l 上 ? ? 唯一实数 t ? R, 使 OP ? OA ? t a ② ⑶点 B 在直线 l 上,且 AB ? a
则点 P 在直线 l 上 ? ? 唯一实数 t ? R, 使 OP ? OA ? t AB ③ 注:①、②、③式都称为空间直线的向量表示式, 即空间直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定 .

OB 、 OC 为棱的平行六面 练习 1: 已知 OE 是以 OA 、 体 OADB─CFEG 的对角线,点 M 是 △ ABC 的重心. G 求证:点 M 在直线 OE 上. E F C 分析:

证三点共线可 尝试用向量来分析.
O

B

?M
O
A

D

练习2:已知A、B、P三点共线,O为直线AB
P ? x O Ay ?O B 外一点 , 且 O ,求 x ? y 的值.

练习2:已知A、B、P三点共线,O为直线AB
P ? x O Ay ?O B 外一点 , 且 O ,求 x ? y 的值. 解:∵ A 、 B、 P 三点共线,∴ ?t ? R ,使 OP ? OA ? t AB

∴ OP ? (1 ? t )OA ? tOB ∵A 、 B、 P、 O 四点在同一个平面内,且 OP ? xOA ? yOB

∵ O 为直线 AB 外一点,∴ OA 、 OB 不共线

∴由平面向量基本定理可知 x ? 1 ? t , y ? t
∴ x? y ?1

反过来,如果已知 OP ? xOA ? yOB ,且 x ? y ? 1 , B、 P 三点共线吗? 那么 A 、
学习共面

二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
O

a a

A

?

注意:空间任意两个 向量是共面的,但空 间任意三个向量就不 一定共面的了。

2. 共面向量定理 : 如果两个向量 a 、 b 不共线 , 则向 量 p 与向量 a 、 b 共面的充要条件是存在唯一的有 序实数对 ( x, y) 使 p ? xa ? yb .
b
A
C

p

P

a

B

思考1

思考 1:如图,平面 ? 为经过已知点 A 且平行两不共线
的非零向量 a 、 b 的平面,如何表示平面 A 上的任一点 P P 呢? p C
b

⑴∵ AP与a 、b 共面, ∴ ? 唯一有序实数对 ( x, y),
O

A

a

B

使 AP ? xa ? yb .

∴点 P 在平面 ? 上 ? ∴ ? 唯一有序实数对 ( x, y), 使 AP ? xa ? yb ①
C 在平面 ? 内且 AB ? a , AC ? b ⑵∵已知点 B 、

∴点 P 在平面 ? 上 ? ? 是存在唯一有序实数对 ( x, y), 使 AP ? xAB ? yAC ②

C 在平面 ? 内且 AB ? a , AC ? b ,对于空间任意一点 O ⑶∵已知点 B 、 ∴点 P 在平面 ? 上 ? ? 是存在唯一有序实数对 ( x, y), 使 OP ? OA ? xAB ? yAC ③

注:①、②、③式都称为平面?的向量表示式, 即平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
思考2

思考 2(课本 P95 思考) B、 C, 已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A 、 满 足 向 量 关 系 式 OP ? xOA ? yOB ? zOC ( 其 中 B、 C 是否共面? x ? y ? z ? 1 )的点 P 与点 A 、

引入

知识要点

练习1

练习2

练习 3

本课小结

z

以 i , j , k 为单位正交基底

?

?

z
k

P ( x , y, z )

?

建立空间直角坐标系O—xyz
p ? xi ? y j ? zk

i , j , k? 为基底 ? ( x, y, z ) p

x

x

i

O ?

y

j

y

记 p ? ( x, y, z )

OP ? ( x, y, z ) ? P( x, y, z )
若A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2), 则 AB = OB - OA=(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)

空间向量类似于平面向量可以用坐标表示, 而且也类似于平面向量可以用坐标 来进行各种运算及进行有关判断. 如: 1.长度的计算
已知 a ? ( x, y, z ) ,则 a ?
x2 ? y2 ? z2
2.角度的计算 已知 a ? ( x1 , y1 , z1 ) , b ? ( x2 , y2 , z2 ) 则 cos a , b ?
a?b a?b ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 x12 ? y12 ? z12 ? x2 2 ? y2 2 ? z2 2

3.中点坐标公式 已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) x1 ? x2 y1 ? y2 z1 ? z2 , , ) 则线段 AB 的中点坐标为 ( 2 2 2

练习 1 ABCD ,顶点 A(1,0,0), B(0,1,0) , C (0,0,2) , ⑴已知 (1,-1,2) 则顶点 D 的坐标为______________; ⑵ Rt △ ABC 中, ?BAC ? 90 , A(2,1,1), B(1,1, 2) , 2 C ( x,0,1) ,则 x ? ____; ⑶已知 A(3,5, ?7) , B(?2,4, 3) ,则 AB 在坐标平面 yOz 上的射影的长度为_______. 101

练习 2: ⑴已知 A( 0, 2, 3)、B(? 2,1,6), C(1, ?1,5) , 7 3 则 △ ABC 的面积 S=_____.
2

⑵ a ? ( x, 2,1) , b ? (?3, x 2 , ?5) 且 a 与 b 的夹角为 5 钝角,则 x 的取值范围为 ( ? 1, ) . 2 ⑶正方体 A1 B1C1 D1 ─ABCD 的棱长为 2, E 、F 分别是 C1C 、 D1 A1 的中点 , 求点 A 到直线 EF 的 174 距离. 6

练习 3: ⑴在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1中 ,
E 、F 分别是 BB1 、 CD 的中点,

D1 A1 D A F B B1 E

C1

求证: D1F ? 平面ADE .

C

⑵如图,在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中,O 是 B1D1 的中点, 求证:B1C∥面 ODC1.

1答案

2答案

练习 3⑴.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1中 , E 、F 分别是 BB1 、 CD 的中点,求证: D1F ? 平面ADE .

证明: 设正方体的棱长为1, D A ? i , D C ? j , D D ? k . 1 建立如图的空间直角坐标系 1 则 A D ? (1 ? , 0 , 0 ) , D F ? ( 0 , , ? 1 ) , 1 2 1

D1 A1 D A

z

C1 B1

E F
B C

y

? A D ? D F .又AE ? (0,1, ), 1 2 1 1 A E ? D F ? ( 0 , 1 , )( ?0 , , ? 1 ) ? 0 . ? A E ? D F . 1 1
又 A D A E = A , ? D F ? 平 面 A D E . 1
2 2

x A D ? D F ? (1 ? , 0 , 0 )( ? 0 , , ?? 1 ) 0 . 1 2 1

另 证 : 可 以 用 三 垂 线 定 理 证 D F ?? A D , A E A D 得 证 . 1

练习 3⑵.如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中, O 是 B1D1 的中点,求证:B1C∥面 ODC1.

?1 ? b?a ) ? c? ? 则c?a ? x? ( ?2 ?

1 B C ? c ? a , C O ? ( a?b ), 证明:设 C1 B1 ? a , , 则 C1 D1 ? b , C1C ? c 1 1 2 1 OD ? OD1 ? c ? ( b?a ) ? c ,若存在实数 x , y ,使得 B1C ? xOD ? yOC1成立, 2
1 1 ? 1 ? y ?? ( a?b ) ? ? (x ? y ) a ? (x ? y ) b ? xc ? 2 2 ? 2 ?

∵ a, b ,不同面, c
?1 (x ? y )? 1 ?2 ? ? x ? 1 ∴ B1C ? OD ? OC1, ∴?1 ( x ? y ) ? 0 即 ? ? 2 ?y ?1 ? ?x ? 1 ? ?

b

a
c

∵ B1C, OD , OC1 为共面向量,且 B1C不在OD , OC1所确定的平面ODC1 内 ∴ B1C // 平面ODC1,即B1C // 平面ODC1 .

学习小结:
1.基本知识: (1)向量的长度公式与两点间的距离公式; (2)两个向量的夹角公式。 2.思想方法:用向量计算或证明几何问题 时,可以先建立直角坐标系,然后把向量、点坐 标化,借助向量的直角坐标运算法则进行计算或 证明。

自学《随堂通》 P116 例 6, P118 例 5