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高中数学必修5常考题型:等比数列的前n项和


等比数列的前 n 项和
【知识梳理】
等比数列的前 n 项和公式 已知量 首项 a1 与公比 q na ?q=1?, ? ? 1 Sn=?a1?1-qn? ?q≠1? ? ? 1-q 首项 a1,末项 an 与公比 q na ?q=1?, ? ? 1 Sn=?a1-anq ?q≠1? ? ? 1-q

公式

【常考题型】 题型一、等比数列的前 n 项和公式的基本运算
【例 1】 在等比数列{an}中, (1)若 a1=1,a5=16,且 q>0,求 S7; (2)若 Sn=189,q=2,an=96,求 a1 和 n; 3 9 (3)若 a3= ,S3= ,求 a1 和公比 q. 2 2 [解] (1)因{an}为等比数列且 a1=1,a5=16

∴a5=a1q4 ∴16=q4 ∴q=2(负舍) a1?1-q7? 1-27 ∴S7= = =127. 1-q 1- 2 a1?1-2n? ? ? 189 = , a1?1-qn? - 1-2 (2)法一:由 Sn= ,an=a1qn 1 以及已知条件得? 1-q - ? 2n 1. ?96=a1· ∴a1· 2n=192, 192 ∴2n= . a1 192 ? ∴189=a1(2n-1)=a1? ? a1 -1?, ∴a1=3. 96 - 又∵2n 1= =32, 3 ∴n=6. a1-anq 法二:由公式 Sn= 及条件得 1-q

a1-96×2 - 189= ,解得 a1=3,又由 an=a1· qn 1, 1-2 得 96=3· 2n 1,解得 n=6.


a1?1-q3? 9 (3)①当 q≠1 时,S3= = , 2 1-q 3 又 a3=a1· q2= , 2 9 ∴a1(1+q+q2)= , 2 3 2 9 即 2(1+q+q2)= , q 2 1 解得 q=- (q=1 舍去), 2 ∴a1=6. ②当 q=1 时,S3=3a1, 3 ∴a1= . 2 3 a =6, ? ? ? 1 ?a1=2, 综上得? 或? 1 ?q=-2, ?q=1. ? ? 【类题通法】 在等比数列{an}的五个量 a1,q,an,n,Sn 中,a1 与 q 是最基本的元素,当条件与结论间 的联系不明显时,均可以用 a1 与 q 表示 an 与 Sn,从而列方程组求解,在解方程组时经常用到 两式相除达到整体消元的目的.这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用. 【对点训练】 1.在等比数列{an}中, (1)若 q=2,S4=1,求 S8. 5 (2)若 a1+a3=10,a4+a6= ,求 a4 和 S5; 4 解:(1)设首项为 a1, ∵q=2,S4=1, ∴ a1?1-24? 1 =1,即 a1= , 15 1-2
8

1 ?1-28? a1?1-q ? 15 ∴S8= = =17. 1-q 1 -2

(2)设公比为 q,由通项公式及已知条件得 a +a q =10, ? ? 1 1 ? 3 5 5 ?a1q +a1q =4, ? a ?1+q ?=10 ? ? 1 即? 3 5 2 ? ?a1q ?1+q ?=4 ②
2 2



∵a1≠0,1+q2≠0,∴②÷ ①得, 1 1 q3= ,即 q= , 8 2 ∴a1=8. 1?3 ∴a4=a1q3=8×? ?2? =1, a1?1-q ? S5= = 1-q
5

?1?5? 8×? 1 - ? ?2? ?
1 1- 2

31 = 2

题型二、等比数列前 n 项和的性质
【例 2】设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S4=2,S8=6,求 a17+a18+a19+a20 的值. [解] 由等比数列前 n 项和的性质,可知 S4,S8-S4,S12-S8,…,S4n-S4n-4,…成等比 数列. S8-S4 由题意可知上面数列的首项为 S4=2,公比为 =2,故 S4n-S4n-4=2n(n≥2), S4 所以 a17+a18+a19+a20=S20-S16=25=32. 【类题通法】 等比数列前 n 项和的重要性质 (1)等比数列{an}的前 n 项和 Sn,满足 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…成等比数列(其中 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…均不为 0),这一性质可直接应用. S偶 (2)等比数列的项数是偶数时, =q; S奇 等比数列的项数是奇数时, 【对点训练】 S6 S9 2.(1)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 =3,则 =( S3 S6 ) S奇-a1 =q. S偶

A.2 8 C. 3

7 B. 3 D.3

3 S6 ?1+q ?S3 解析: (1)设公比为 q(q≠0), 则题意知 q≠-1, 根据等比数列前 n 项和的性质, 得 = S3 S3

=1+q3=3, 即 q3=2.
3 6 S9 1+q +q 1+2+4 7 于是 = = . 3 = S6 3 1+q 1+2

答案:B (2)等比数列{an}共有 2n 项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大 80,则公比 q= ________.
?S奇+S偶=-240, ? 解析:由题意知:? ?S奇-S偶=80, ? ?S奇=-80, ? S偶 -160 ∴? ∴公比 q= = =2. S奇 -80 ? S =- 160. ? 偶

答案:2

题型三、等比数列的综合应用
【例 3】 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,S3,S2 成等差数列. (1)求{an}的公比 q; (2)若 a1-a3=3,求 Sn. [解] (1)∵S1,S3,S2 成等差数列,

∴2S3=S1+S2,显然{an}的公比 q≠1, 2a1?1-q3? a1?1-q2? 于是 =a1+ , 1-q 1-q 即 2(1+q+q2)=2+q, 整理得 2q2+q=0, 1 ∴q=- (q=0 舍去). 2 1 (2)∵q=- , 2 又 a1-a3=3, 1 ∴a1-a1· (- )2=3, 2

解得 a1=4.

? 1?n? 4? ?1-?-2? ? 8? ? 1?n? 于是 Sn= = ?1-?-2? ?. 1 3 - ? 1-? ? 2?
【类题通法】 在解决等差、等比数列的综合题时,重点在于读懂题意,而正确利用等差、等比数列的定 义、通项公式及前 n 项和公式是解决问题的关键. 【对点训练】 3.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n-n2,an=log5bn,其中 bn>0,求数列{bn}的前 n 项和 Tn . 解:当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 =(2n-n2)-[2(n-1)-(n-1)2]=-2n+3, 当 n=1 时,a1=S1=2×1-12=1 也适合上式, ∴{an}的通项公式 an=-2n+3(n∈N*). 又 an=log5bn, ∴log5bn=-2n+3, 于是 bn=5 ∴
-2n+3 +

,bn+1=5

-2n+1



bn+1 5 2n 1 1 - = =5 2= . bn 5-2n+3 25


1 - + 因此{bn}是公比为 的等比数列,且 b1=5 2 3=5, 25

? 1 ?n? 5? ?1-?25? ? 于是{bn}的前 n 项和 Tn= 1 1- 25
= 125? ? 1 ?n? 1- . 24 ? ?25? ?

【练习反馈】
1.数列{2n 1}的前 99 项和为(


) B.1-2100 D.1-299

A.2100-1 C.299-1


解析:选 C 数列{2n 1}为等比数列,首项为 1,公比为 2,故其前 99 项和为 S99= 299-1. 2.等比数列{an}中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比 q 等于( )

1-299 = 1-2

A.2 C.4

1 B. 2 1 D. 4

解析:选 C a3=3S2+2,a4=3S3+2,等式两边分别相减得 a4-a3=3a3 即 a4=4a3,∴q =4. 3.已知等比数列{an}中,q=2,n=5,Sn=62,则 a1=________. 解析:∵q=2,n=5,Sn=62, ∴ a1?1-qn? a1?1-25? =62,即 =62, 1-q 1-2

∴a1=2. 答案:2 4.等比数列{an}的前 5 项和 S5=10,前 10 项和 S10=50,则它的前 15 项和 S15=________. 解析:由等比数列前 n 项和的性质知 S5,S10-S5, S15-S10 成等比数列,故(S10-S5)2=S5(S15-S10), 即(50-10)2=10(S15-50),解得 S15=210. 答案:210 5.在等比数列{an}中, (1)S2=30,S3=155,求 Sn; (2)若 Sn=189,a1=3,an=96,求 q 和 n.
?a1?1+q?=30, ? 解:(1)由题意知? 2 ? ?a1?1+q+q ?=155,

? ?a1=5, ? 1 ? 解得? 或? 5 ? ?q=5 ?q=- , ?
6 1 5 + 从而 Sn= ×5n 1- 4 4

a =180,

? 5?n? 1 080×? ?1-?-6? ? 或 Sn= . 11
(2)∵等比数列{an}中,a1=3,an=96,Sn=189, ∴ 3-96q =189. 1-q

∴q=2. ∴an=a1qn 1.


∴96=3×2n 1.


∴n=5+1=6.


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