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算术平均数与几何平均数(第2讲)


6.2 算术平均数与几何平均数 主要内容
基本不等式:a,b>0 时,
a+b ≥ ab 的运用。 2
2 2

学习指导
1、本节给出的两个基本不等式为:①a,b∈R 时,a +b ≥2ab(当且仅当 a=b 时“=”号成立) ; 。这两个公式的结构完全一致,但适 ②a,b≥0 时,a+b≥2 ab (当且仅当 a=b 时“=”号成立) 用范围不同。若在非负实数范围之内 ,两个公式均成立,此时应根据题目的条件和结论选用合适 的公式及公式的变形:ab≤ 式:|ab|≤
a 2 + b2 。 2 a+b 称为 a,b 的等差中项, ab 称为 a,b 的等比中项,故算术平均数 2 a 2 + b2 a+b 2 a 2 + b2 ,ab≤ ( ) 。对不等式 ab≤ ,还有更一般的表达 2 2 2

由高一学习可知,

与几何平均数的定理又可叙述为: “两个正数的等比中项不大于它们的等差中项” 。 同学们可在二元基本不等式的基础上类比推出三元基本不等式:当 a,b,c>0 时,a+b+c≥
3

abc ,当且仅当 a=b=c 时,等号成立,……乃至 n 元基本不等式;当 ai>0(i=1,2,…,n)时,
n

a1+a2+…+an≥ a 1 a 2 a n 。 二元基本不等式的其它表达形式也应记住:当 a>0,b>0 时,
b a 1 + ≥2,a+ ≥2 等。 a b a 1 ≤ a

当字母范围为负实数时,有时可利用转化思想转化为正实数情形,如 a<0 时,可得到 a+ -2。 基本不等式中的字母 a,b 可代表多项式。

2、利用二元基本不等式求函数的最大值或最小值是高中求函数最值的主要方法之一。在高一 已学过了用单调性求函数最大值或最小值。利用二元基本不等式求函数最值时,其条件为“一正 二定三等” , “一正” 指的是在正实数集合内, “二定” 指的是解析式各因式的和或积为定值 (常数) , “三等”指的是等号条件能够成立。 利用基本不等式求函数最值的方法使用范围较广泛,既可适用于已学过的二次函数,又可适 用于分式函数,高次函数,无理函数。 利用基本不等式求函数最值时,可能上面的三个条件不一定满足,此时不能认为该函数不存 在最值,因为通过化归思想和初等变形手段可以使条件得到满足。常用的初等变形手段有均匀裂 项,增减项,配系数等。 在利用基本不等式求最值时,若不能直接得到结论,应考虑与间接法的解题思路连用,如通 过解不等式的途径。 一般说来,和式形式存在最小值,凑积为常数;积的形式存在最大值,凑和为常数。

典型例题
例 1、已知 a>1,0<b<1,求证:logab+logba≤-2。 解题思路分析:

1

由对数函数可知: log b a =

1 1 ,logba<0,因此由 log a b + 的结构特点联想到用基本 log a b log a b 1 1 ≥2 ( log a b) =2 log a b log a b

不等式去缩小,但条件显然不满足,应利用相反数的概念去转化。 ∵ logab<0 ∴ -logab>0 ∴ logab+
1 ≤-2 log a b

∴ log a b +

即 logab+logba≤-2

当且仅当 log a b =

1 2 ,loga b=1,logab=-1 时,等号成立,此时 ab=1。 log a b

例 2、已知 x,y,z 均为正数,且 xyz(x+y+z)=1,求证:(x+y)(y+z)≥2。 解题思路分析: 这是一个含条件的不等式的证明,欲证不等式的右边为常数 2,联想到二元基本不等式及条 件等式中的“1” 。下面关键是凑出因式 xyz 和 x+y+z。对因式(x+y)(y+z)展开重组即可。 (x+y)(y+z)=xy+xz+y +yz=(xy+y +yz)+xz=y(x+y+z)+xz。 将 y(x+y+z),xz 分别看成是两个因式,得用二元基本不等式: y(x+y+z)+xz=2 y( x + y + z) xz =2 xyz( x + y + z) =2
y( x + y + z) = xz 当且仅当 时等号成立 xyz( x + y + z) = 1
2 2

讲评:通过本题的证明,同学们应该知道基本不等式中的 a,b 不仅指数、字母、单项式,还 指多项式,这是数学中的整体思想的一个体现。 例 3、 (1)已知 x>1,求 3x+
4 +1 的最小值; x 1 y2 =1,求 x 1 + y 2 的最大值; 2

(2)已知 x,y 为正实数,且 x 2 +

(3)已知 x,y 为正实数,3x+2y=10,求函数 W = 3x + 2 y 的最值; (4)已知 x>0,求函数 f(x)=4x+ 的最小值; x2 1 的最小值; (5)已知 a>b>0,求函数 y=a+ (a b ) b
14 )的最大值; 3
π )的最值。 2

9

(6)求函数 y=x(10-x)(14-3x)(0<x<
2

(7)求函数 y=sin θcosθ,θ∈(0, 解题思路分析:

这一组练习主要介绍在利用基本不等式求最大值或最小值时,为满足“一正二定三等”的条 件所涉及的一些变形技巧。 (1)在分式的位置凑出分母 x-1,在 3x 后面施加互逆运算:±3 原式=(3x-3)+3+
4 4 4 +1=3(x-1)+ +4≥2 3( x 1) + 4 =4 3 +4 x 1 x 1 x 1

(2)因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式 ab≤

a 2 + b2 2 。同时还应化简 1+ y 2 中 y 2
2

前面的系数为

1 2

x 1 + y2 = x 2

1 + y2 1 y2 = 2x + 2 2 2

下将 x,

1 y2 + 分别看成两个因式 2 2
2

x

1 y + ≤ 2 2

x2 + (

1 y2 2 y2 1 ) + x2 + + 2 3 2 2 =3 = 2 2 4

∴ x 1 + y2 = 2 x

3 1 y2 + ≤ 2 4 2 2 a+b a 2 + b2 ≤ ,本题很简单 2 2

(3)若利用算术平均与平方平均之间的不等关系,

3x + 2 y ≤ 2 ( 3x ) 2 + ( 2 y ) 2 = 2 3x + 2 y = 2 5

否则,这样思考: 条件与结论均为和的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的形式,再向 “和为定值”条件靠拢。 W>0,W =3x+2y+2 3x 2 y = 10 + 2 3x 2 y ≤ 10 + ( 3x ) 2 + ( 2 y ) 2 =10+(3x+2y)=20
2

∴ W≤ 20 = 2 5 (4)函数式为和的形式,故考虑凑积为常数。分母为 x 的二次,为使积的结果在分式位置上 出现 x ,应对 4x 均匀裂项,裂成两项即可。 f(x)=2x+2x+
9 x
2
2

≥ 3 2x 2x

3

9 x
2

= 36
3 1 1 ≥ 3 (a b ) b =3 (a b ) (a b ) b

3

(5)本题思路同(1) y=(a-b)+b+ :

(6)配 x 项前面系数为 4,使得与后两项和式中的 x 相消
1 1 4x + 10 x + 14 3x 2 1 24 3 512 y= (4x)(10-x)(14-3x)≤ ( ) = ( ) = 3 3 3 3 3 3

(7)因式为积的形式,设法凑和为常数,注意到 cos 2 θ + sin 2 θ =1 为常数,应对解析式平方。 y>0,y = sin 4 θ cos 2 θ = sin 2 θ sin 2 θ cos 2 θ =
1 sin 2 θ + sin 2 θ + 2 cos 2 θ 3 4 ≤ ( ) = 2 3 27
2

1 sin 2 θ sin 2 θ (2 cos 2 θ) 2

y≤

2 3 9

例 4、已知 a,b 为正实数,2b+ab+a=30,求函数 y= 解题思路分析:

1 的最小值。 ab

这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再 用单调性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的;二是直接用基本不等式,对本题 来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式 放缩后,再通过解不等式的途径进行。 、
3

法一: a =

30 2b 30 2b 2b 2 + 30b , ab = b= b +1 b +1 b +1

由 a>0 得,0<b<15 令 t=b=1,1<t<16,ab= ∴ ab≤18 ∴ y≥
2t 2 + 34t 31 16 = 2( t + ) + 34 t t

∵ t+

16 16 ≥2 t =8 t t

1 18

当且仅当 t=4,即 b=3,a=6 时,等号成立。

法二:由已知得:30-ab=a+2b∵ a+2b≥ 2 2ab ∴ 30-ab≥ 2 2ab 令 u = ab ∴ 则 u 2 + 2 2u 30 ≤0, 5 2 ≤u≤ 3 2
1 18

ab ≤ 3 2 ≤,ab≤18,y≥

评注:在法一,通过消元得到一个分式函数,在分子(或分母)中含有二次式。这种类型的 函数一般都可转化为 x +
1 型,从而用基本不等式求解。其处理方法,请同学们仔细体会。实际 x ax 2 + bx + c mx 2 + nx + p

上,一般含二次式的分式函数 y = 解。 例 5、已知函数 f ( x ) =

(a,b,c,m,n,p 不全为零)均可用此方法求

x2 + c +1 x2 + c

(c 为常数)最小值为 m,求证:当 c≤1 时,m=2;

1 (1)当 c>1 时,m= c (1 + ) 。 c

解题思路分析: 分母与分子是一次与二次的关系,通过换元法可转化为基本不等式型。 令
x 2 + c = t ,则 t≥ c , y = t2 +1 1 =t+ t t

1 ∵ t + ≥2,当且仅当 t=1 时等号成立 t

∴ 当 c≤1 时, c ≤1,t=1 在函数定义域( c ,+∞)内,ymin=2 当 c>1 时, c >1,1 [ c ,+∞),等号条件不能成立,转而用函数单调性求解。
1 易证函数 t + 在[ c ,∞)上递增 t

t= c ,x=0 时,ymin= c +

1

1 = c (1 + ) c c

评论:求函数 y = (1)若 c≤ (2)若 c>

a + bx (a>0,b>0,x∈[c,+∞) ,c>0)的最小值时,有下列结论 x

a a ,当且仅当 x= 时, y min = 2 ab ; b b a a ,当且仅当 x=c 时, y min = + bc 。 b c
2

例 6、某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 200m 的三级污水处理池(平面图如图) ,如 果池外圈周壁建造单价为每米 400 元,中间两条隔墙建筑单价为每米 248 元,池底建造单价为每 平方米 80 元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价。

4

解题思路分析: 这是一道应用题,一般说来,涉及到“用料最省”“造价最低”等实际问题时,考虑建立目 、 标函数,求目标函数的最大值或最小值。在建立关于造价的目标函数时,造价是由池外圈周壁, 中间隔墙造价,池底造价三部分组成,造价均与墙壁长度有关,应设相关墙壁长度为未知数。 若设污水池长为 x 米,则宽为 水池外圈周壁长: 2 x + 2 中间隔墙长: 2
200 (米) x

200 (米) x

200 (米) x
2

池底面积:200(米 ) 目标函数: y = 400(2x + 2 ≥ 1600 x 同步练习 (一)选择题 1、设 a,b∈R,且 a≠b,a+b=2,则下列不等式成立的是( A、 1 < ab < C、 ab <
a +b 2
2 2

200 200 324 ) + 248 2 + 80 × 200 = 800( x + ) + 1600 x x x

324 + 1600 = 44800 x



B、 ab < 1 < D、

a +b 2
2

2

a 2 + b2 <1 2
2

a 2 + b2 < ab < 1 2

3、若 a,b∈R,且 ab+bc+ca=1,则下列不等式成立的是( A、a +b +c ≥2 C、
1 1 1 + + ≥2 3 a b c
2 2



B、(a+b+c) ≥3 D、a+b+c≤ 3 )

2

4、x>0,y>0,则下列不等式中等号不成立的是( A、 x +
1 1 + ≥2 1 x x x

1 1 B、 ( x + )( y + ) ≥4 x y lg x + lg y 2 lg 2 x + lg 2 y ) ≤ 2 2

1 1 C、 ( x + y)( + ) ≥4 x y 5 x + (x≠0) x 5
x -x

D、 (

5、在下列函数中,最小值为 2 的是( A、 y =


1 (1<x<10) lg x 1 π (0<x< ) sin x 2

B、 y = lg x + D、 y = sin x +
x y

C、y=3 +3 (x∈R)

6、x,y∈R,x+y=5,则 3 +3 最小值是( A、10 B、 6 3
1 2

) D、 18 3 )

C、 4 6
1 4

7、已知 x>1,y>1,lgx+lgy=4,则 lgxlgy 的最大值是( A、2 B、 C、 D、4

5

8、设 a>0,b>0,a≠b,则下列各式中最小的是( A、
1 a+b

) D、 ) D、不存在 ) D、
1 ≥1 xy

B、

1 2ab

C、

1 2 ab

1 a + b2
2

9、函数 y = sin x + A、2

π 1 ,x∈(0, ]的最小值是( sin x 4

B、 2

C、

3 2 2

10、已知 x>0,y>0,x+y≤4,则下列不等式成立的是( A、
1 1 ≤ x+y 4

B、

1 1 + ≥1 x y

C、 x + y ≥2

(二)填空题 11、若 x<0,当 x=________时, y = 4 2 x 12、若 x>0,当 x=________时, y = 13、0<x<
x x +2
2

3 的最小值是__________。 x

的最大值是__________。

1 时,当 x=________ 时, y = x (1 4 x ) 的最大值是__________。 4 1 最小值是__________。 14、若 x>3,当 x=________时, y = x + x 3 π 1 15、若 x∈(0, ],当 x=________时, y = sin x + 有______值是________。 4 sin x

(三)解答题 16、正数 a,b,c 满足 a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc。 17、已知 a>0,b>0,ab-(a+b)=1,求 a+b 的最小值。 18、若直角三角形周长为 1,求它的面积最大值。 19、已知 a>b>c,n∈N+,且
1 1 n + ≥ 恒成立,求 n 的最大值。 a b a c a c
2

20、某房屋开发公司用 100 万元购得一块土地,该地可以建造每层 1000m 的楼房,楼房的总 建筑面积(即各层面积之和)每平方米平均建筑费用与建筑高度有关,楼房每升高一层,整幢楼 房每平方米建筑费用提高 5%。已知建筑 5 层楼房时,每平方米建筑费用为 400 元,公司打算造一 幢高于 5 层的楼房,为了使该楼房每平方和的平均综合费用最低(综合费用是建筑费用与购地费 用之和) ,公司应把楼层建成几层? 参考答案 (一)选择题 1、B。 ∵a≠b,a>0,b>0,∴ab< ( 2、B。 由 a>b>0 得,
2 2 2 2

a+b 2 a 2 + b2 a2 + b2 a + b ) = 1, =1, >1。 > 2 2 2 2

a+b a+a < = a , ab > bb = b 。 2 2

3、(a+b+c) =a +b +c +2(ab+bc+ca)≥ab+bc+ca+2(ab+bc+ca)=3(ab+bc+ca)=3。 4、A。 令 t= x +
1 1 1 1 1 5 ,则 t≥2, t + 在[2,+∞)上递增, t + ≥ 2 + = ,即 x + + x x t t 2 2 1 x+ 1 x

6



1 5 ,x + + x 2

1 1 x+ x

不能取到最小值 2。

5、C。 y = 3 x + 3 x = 3 x +

1 3
x

≥ 2 3x

1 3
x

= 2 ,当且仅当 3 x = 3 x ,x=0 时等号成立。
5 时取得最小值。 2

6、D。 3 x >0, 3 y >0, 3 x + 3 y ≥ 2 3 x + y = 2 35 = 18 3 ,当且仅当 x=y= 7、D。 x>y>1,lgx>0,lgy>0,lgxlgy= ( 时等号成立。

lg x + lg y 2 ) = 4 ,当且仅当 lgx=lgy=2,x=y=100 2

8、A。 比较分母 a+b, 2ab , 2 ab , a 2 + b 2 大小即可。a+b> 2 ab > 2 ab = 2ab ,
a 2 + b 2 < a 2 + b 2 + 2ab = (a + b) 2 = a + b 。

9、C。 令 t=sinx,t∈(0,
y min = 2 3 + 2= 2。 2 2

2 1 2 2 π ], y = t + 在(0, ]上递减,∴ t = ,即 x = 时, 2 t 2 2 4

10、B。 ∵x>0,y>0 时,

2 x+y 1 1 4 1 ≤ ,∴ + ≥ ≥ 4 × =1。 1 1 x y x+y 2 4 + x y

(二)填空题 11、 且仅当-2x=
6 , 4+2 6 2

∵x<0,∴-x>0,∴ 2( x ) +

3 1 ≥ 2 6 ,∴y=4-2x- ≥ 4 + 2 6 ,当 x x

3 6 2 3 ,x = ,x= ± (舍正)时,等号成立。 x 2 2 2 4

12、 2 ,

∵x>0,∴ y =

1 x+ 2 x



1 2 x 2 x

=

1 2 2

=

2 2 2 ,当且仅当 x= ,x =2,x= 2 4 x

(舍负)时,等号成立。
1 1 13、 , 8 4

∵0<x<

1 4x + 1 4 x 2 1 1 ) = ,∴ x (1 4 x ) ≤ , ,∴1-4x>0,∴ 4 x (1 4x ) ≤ ( 4 2 4 16

∴y≤

1 1 ,当且仅当 4x=1-4x,x= 时等号成立。 4 8

14、 4,5
x 3=

∵x>3,∴x-3>0,∴ y = ( x 3) +

1 1 +3≥ 2 ( x 3) +3=5,当且仅当 x3 x3

1 2 (x-3) =1,x=4,或 x=2(舍)时等号成立。 x 3 π 3 , 小, 2 4 2

15、

(三)解答题 16、证明:∵ a+b+c=1 ∴ 1-a=b+c,1-b=a+c,1-c=a=b ∵ a>0,b>0,c>0
7

∴ b+c≥2 bc >0 a+c≥2 ac >0 a+b≥2 ac >0 将上面三式相乘得:(b+c)(a+c)(a+b)≥8abc 即 (1-a)(1-b)(1-c)≥8abc 17、解:∵ a>0,b>0 ∴ ab≤ (
a+b 2 ) 2

又 ab=a+b+1 ∴ a+b+1≤ 令 t=a+b ∴ t -4t-4≥0 ∴ t≥2(1+ 2 ),或 t≤2(1- 2 )(舍) ∴ (a + b) min = 2(1 + 2 ) ,当且仅当 a=b=1+ 2 时等号成立。 评注:本题亦可用消元思想求解。 由 ab-(a+b)=1 得: a = ∴ a+b=1+
b +1 2 +b =1+ b 1 b 1
2

(a + b ) 2 4

2 2 +b=(b-1)+ +2 b 1 b 1

∵ a>0,b>0 ∴ b>1 ∴ (b-1)+
2 + 2≥2 2 + 2 b 1

∴ a+b≥ 2 2 + 2 ,当且仅当 b=1+ 2 ,a=1+ 2 时等号成立。 18、解:设直角三角形两直角边长分别为 a,b,则条件为 a + b + a 2 + b 2 = 1 ,目标函数为 S=
1 ab ,求 S 的最大值。 2

令 ab=t 则 a+b≥ 2 ab = 2 t ,a +b ≥2ab=2t, a 2 + b 2 ≥ 2t
2 2

∵ a+b+ a 2 + b 2 ≥ 2 t + 2t = (2 + 2 ) t ∴
t≤ 1 2+ 2

=

2 2 2

∴ S≤

32 2 32 2 , S max = 4 4 2 2 时,取得最大值。 2

当且仅当 a=b=

19、解:∵ a-c>0 ∴
1 1 n 1 1 + ≥ a≤ (a c)( + ) ab bc a c ab bc

8

令 y = (a c)(

1 1 + ) ab bc

则 n≤y n≤(y)min ∵ a-c=(a-b)+(b-c)≥ 2 (a b)(b c) > 0
1 1 1 + ≥2 >0 (a b)(b c) ab bc

∴ (a c)( ∴ ymin=4 ∴ n≤4 又 n∈N+ ∴ nmax=4

1 1 + ) ≥4 ab bc

20、解;设该楼建成 n 层,则整幢楼每平方米的建筑费用为 400+400(x-5)×5%(元) 又每平方米购地费用为
100 × 10 4 1000 = (元) 1000x x 1000 50 + 400 + 400( x 5) × 5% = 20( x + ) + 300 ≥ x x

故 每 平 方 米 的 平 均 综 合 费 用 y=
20 × 2 x

50 50 2 + 300 = 200 2 + 300 ,当且仅当 x = ,x =50,x≈7 时,y 最小 x x

∴ 大楼应建成 7 层综合费用最低。 七、附录 例 2 的解: (x+y)(y+z)=xy+xz+y +yz=y(x+y)+z+xz ∵ x>0,y>0,z>0 ∴ y(x+y=z)>0,xz>0 ∴ y(x+y+z)+xz≥ 2 y( x + y + z) xz = 2 xyz( x + y + z) = 2
y( x + y + z) = xz xz = 1 , 当且仅当 时等号成立。 xyz( x + y + z) = 1 y( x + y + z) = 1
2

例 3 的解: (1)∵ x>1 ∴ x-1>0 ∴ 3x +
4 4 4 + 1 = 3( x 1) + + 4 ≥ 2 3( x 1) +4 =4+4 3 x 1 x 1 x 1 4 2 , x =1+ 3 时等号成立。 x 1 3 1 y2 + ≤ 2 2 2

当且仅当 3( x 1) =

x2 + (

(2) x 1 + y 2 = 2 x
1+

1 y2 2 y2 1 + ) x2 + + 2 2 2 2 = 2 2 2

= 2

1 2 =3 2 2 4

9

x = 当且仅当 2 x +

1 y2 + 2 2 , 2 y =1 2

x = y =

3 2 2 2

时等号成立。

(3)∵ x>0,y>0 ∴ W>0 ∴ W = ( 3x + 2 y ) 2 = 3x + 2 y + 2 3x 2 y = 10 + 2 3x 2 y ≤10+3x+2y=20
2

∴ W≤ 2 5
3x = 2 y 当且仅当 , 3x + 2 y = 10 x = y =
3

5 3 时等号成立。 5 2

(4)∵ x>0 ∴ y = 2x + 2x + 当且仅当 2 x = (5)∵ a>b>0 ∴ a-b>0 ∴ y = (a b ) + b +
3 1 1 ≥ 3 (a b ) b =3 (a b ) b (a b ) b

9 x
2

≥ 3 2x 2 x
3

9 x
2

= 3 36

3

9 x
2

,x =

9 时等号成立。 2

a b = b a = 2 当且仅当 时等号成立。 1 , b = (a b)b b = 1

(6)∵ 0<x<

14 3

∴ 10-x>0,14-3x>0 ∴ y=
1 1 4 x + 10 x + 14 3x 3 1 24 3 512 (4x ) (10 x ) (14 3x ) ≤ ( ) = ( ) = 4 4 3 4 3 3

4 x = 10 x 当且仅当 ,x=2 时等号成立。 4 x = 14 3x

(7)∵ 0<θ<

π 2 1 sin 2 θ sin 2 θ(2 cos 2 θ) 2

∴ y 2 = sin 2 θ sin 2 θ cos 2 θ =

1 sin 2 θ + sin 2 θ + 2 cos 2 θ 3 1 2 3 4 ≤ ( ) = ( ) = 2 3 2 3 27



y≤

2 3 9
2 2

当且仅当 sin θ=2cos θ,tanθ= 2 ,θ=arctan 2 时等号成立。

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