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交并补------集合的运算


第 2 课时

交集

并集 补集

自主练习: 在下列各组集合中,U 为全集,A 为 U 的 子集,求?UA. (1)U={1,2,3,4,5,6},A={2,4,5}; (2)已知全集 U={x|x 是至少有一组对边平行的四边形}, A={x|x 是平行四边形}; (3)U=R,A={x|-1≤x<2}; (4)U=Z,A={x|x=3k± 1,k∈Z}.

[分析]

(1)由补集的定义,只需在集U中将A中元素去

掉,剩下元素构成的集合就是?UA. (2)至少有一组对边平行的四边形包括两组对边分别平行 的四边形和有一组对边平行、另一组对边不平行的四边形, 即平行四边形和梯形,可由此入手解题.

(3)因为实数与数轴上的点一一对应,则在数轴上分析A 及?UA,一目了然,如下图所示.

(4)整数按除以3的余数可分成三类:被3整除的数x= 3k,k∈Z;被3除余1的数x=3k+1,k∈Z;被3除余2的数x =3k-1,k∈Z.

[解析]

(1)?UA={1,3,6};

(2)?UA={x|x是梯形}; (3)如上图所示,?UA={x|x<-1,或x≥2}; (4)?UA={x|x=3k,k∈Z}.

规律总结:(1)要准确理解补集的含义:是由全集中所 有不属于A的元素组成的集合. (2)利用数轴可以直观形象地反映问题,另外要注意分界 点的取值,如本题中?UA中含有2,不含-1. (3)求补集时,首先要正确理解全集及子集中所含的元 素,找出其联系与差异,然后准确写出补集.

自主预习 1.全集 一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的 所有元素,那么就称这个集合为 全集 ,用字母 U 表示.

2.补集 如果 A 是全集 U 的一个子集, U 中所有不属于 A 的元 由 素构成的集合,叫做 A 在 U 中的补集,记作?UA.用描述法表 .. 示为 {x|x∈U 且 x?A} ,用 Venn 图表示为 .

补集符号?UA有三层含义: (1)A 是 U 的一个子集,即 A?U; (2)?UA 表示一个集合,且?UA?U; (3)?UA 是由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合, UA 即? ={x|x∈U,且 x?A},故 A∪?UA=U,A∩?UA=?. 补集的性质?U?= U ,?UU= ? ,?U(?UA)= A . 用适当的集合填空:

? ? ?

? A ?

? ?
?UA

? A
?UA

A A U

?UA

U
?UA

1

补集概念的理解

学法指导: 1.补集符合?UA的三层含义: (1)?UA表示一个集合;(2)A是U的子集,即A?U;(3)?
UA是U中不属于A的所有元素组成的集合.

2.求补集的方法 求给定集合A的补集通常利用补集的定义去求,从全集U 中去掉属于集合A的元素后,由所有剩下的元素组成的集合 即为A的补集.

1. 已知 A={x|-2a≤x≤a+3}, B={x|x<-1,或 x>5},若 A∩B=?,求 a 的取值范围. [分析] 出现交集为空集的情形,应首先考虑集合中有无 空集,即分类讨论.本题中,集合 A 不确定,因而需讨论.

[解析]

在数轴上表示出集合A、B,

当A=?时-2a>a+3即a<-1, 此时A∩B=?; 当A≠?时-2a≤a+3即a≥1,

?-2a≥-1 ? 由图可知? ?a+3≤5 ?

1 ,-1≤a≤2;

1 综上a的取值范围为a≤ . 2

[互动探究] 要例中若将“A∩B=?”改为“A∪B= R”,则a的取值范围是什么?

[解析]

∵A∪B=R,∴A≠?,

?-2a≤-1 ? 由图可知?a+3≥5 ?-2a≤a+3 ?

,∴a≥2.

因此a的取值范围为a≥2.

2.

已知集合 A={-4,2a-1, 2}, a B={a-5, 1-a, 9},

分别求适合下列条件的 a 值. (1)9∈A∩B; (2){9}=A∩B. [分析] 9∈A∩B 与{9}=A∩B 意义不同,9∈A∩B 说明

9 是 A 与 B 的一个公共元素,但 A 与 B 中允许有其他公共元 素. {9}=A∩B,说明 A 与 B 的公共元素有且只有一个 9.

[解析]

(1)∵9∈A∩B,∴9∈A.

∴2a-1=9或a2=9,∴a=5或a=± 3. 检验知:a=5或a=-3满足题意. (2)∵{9}=A∩B,∴9∈A∩B, ∴a=5或a=± 3.检验知:a=5时,A∩B={-4,9}不合题 意,∴a=-3.

规律总结:(1)中检验的是集合A、B中的元素是否是互 异的,a=3时,B中元素a-5与1-a相同,所以a=3应舍 去;(2)中进一步检验A与B有没有不是9的公共元素,a=5 时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},这时A∩B={- 4,9}≠{9},所以a=5应舍去.

1.已知:A={x|2x2 -ax+b=0},B={x|bx2 +(a+2)x+5 1 +b=0},且 A∩B={ },求 A∪B. 2 1 1 [分析] 由交集的定义知 ∈A, ∈B, 且 于是可得关于 a、 2 2 b 的二元方程组.解方程组求 a、b 的值,即可得集合 A、B, 再求 A∪B.

[解析]

1 1 1 ∵A∩B={ },∴ ∈A,且 ∈B. 2 2 2

? 12 1 ? ?2·2? -2a+b=0 ∴? ?b·1?2+1?a+2?+5+b=0 ?2 2 ? 43 ? ?a=- 9 解之得? ?b=-26 9 ?





1 26 于是A={x|18x +43x-26=0}={ ,- }. 2 9
2

1 19 B={x|26x +25x-19=0}={2,-13}.
2

1 26 19 ∴A∪B={2,- 9 ,-13}.

2. 集合 A={x|x2-3x+2=0}, B={x|x2-2x+a-1=0}, A∩B=B,求 a 的取值范围.

[思路分析]
[正解]

A∩B=B,B可能为空集,千万不要忘记.

由题意,得A={1,2},∵A∩B=B,

当B=?时,(-2)2-4(a-1)<0,解得a>2; 当1∈B时,1-2+a-1=0,解得a=2,且此时B= {1},符合题意; 当2∈B时,4-4+a-1=0,解得a=1,此时B={0,2}, 不合题意. 综上所述,a≥2.

3. 已知 M={2, 2-3a+5,5},N={1, 2-6a+10,3}, a a M∩N={2,3},则 a 的值是( A.1 或 2 C.2 B.2 或 4 D.1 )

[思路分析]

M∩N={2,3}有两层含义,一是2,3是集合

M,N的元素,另外集合M,N只有这两个公共元素,因此解 出字母a后,要代入原集合进行检验.

[正解] C ∵M∩N={2,3},∴a2-3a+5=3,∴a=1或2.当a=1 时,N={1,5,3},M={2,3,5}不合题意;当a=2时,N= {1,2,3},M={2,3,5}符合题意.

2

交集、并集、补集的综合运算

学法指导:求集合交、并、补运算的方法

[例2]

已知全集U={x|x≤4},集合A={x|-2<x<3},

B={x|-3≤x≤2},求A∩B,(?UA)∪B,A∩(?UB).

[解析]

利用数轴,分别表示出全集U及集合A,B,先

求出?UA及?UB,再求解.

如图,∵A={x|-2<x<3},B={x|-3≤x≤2},

∴?UA={x|x≤-2,或3≤x≤4}, ?UB={x|x<-3,或2<x≤4}. ∴A∩B={x|-2<x≤2}, (?UA)∪B={x|x≤2,或3≤x≤4}; A∩(?UB)={x|2<x<3}.

规律总结:(1)在用数轴表示不等式的解集时,一定要 注意不等号是否带有等号,在数轴上的点应为实心还是空 心. (2)解决不等式有关的集合问题时,画数轴(这也是集合 的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观.在集 合运算中经常在数轴上进行表示,要注意求解时端点的值是 否取到.

3

集合运算求参数问题

学法指导:解决这类问题一要注意数形结合,以形定 数,才能相得益彰,二要注意验证端点值,做到准确无误, 不然功亏一篑. [例3] 已知A={x|x<3},B={x|x<a}.

(1)若A?B,问?RB??RA是否成立? (2)若?RA??RB,求a的取值范围.

[解析]

(1)∵A?B,如图(1).

∴a≥3,而?RB={x|x≥a},?RA={x|x≥3}. ∴?RB??RA.即?RB??RA成立.

(2)如图(2),

∵?RA={x|x≥3},?RB={x|x≥a}, ∵?RA??RB,∴a≤3. 故所求a的取值范围为{a|a≤3}.

已知集合A={x|x<a},B={x|1<x<3},若A∪?RB= R,求实数a的取值范围. [分析] 与集合交、并补运算有关的求参数问题一般利

用数轴分析法分析求解.

[解析]
RB,如下图

?RB={x|x≤1或x≥3},利用数轴画出集合A与?

∵A∪?RB=R,∴应满足a≥3 故a的取值范围为{a|a≥3}.

建模应用引路

4

用“正难则反”的策略解题

学法指导:“正难则反”策略是指当某一问题从正面 解决较困难时,我们可以从其反面入手解决.已知全集U, 求子集A,若直接求A困难,可运用“正难则反”策略先求?
UA,再由?U(?UA)=A求A.

补集作为一种思想方法给我们研究问题开辟了新思路, 今后要有意识地去体会并运用.在顺向思维受阻时,改用逆 向思维,可能“柳暗花明”.从这个意义上讲,补集思想具 有转换研究对象的功能,这是转化思想的又一体现.

[例4]

已知集合A={x|x2-4x+2m+6=0},B=

{x|x<0},若A∩B≠?,求实数m的取值范围. [分析] 求满足A∩B=? 对上述m的取值范 ―→ ―→ 结论 的m的取值范围 围在R中取补集

[解析]

先求A∩B=?时m的取值范围.

(1)当A=?时, 方程x2-4x+2m+6=0无实根, 所以Δ=(-4)2-4(2m+6)<0, 解得m>-1.

(2)当A≠?,A∩B=?时, 方程x2-4x+2m+6=0的根为非负实根. 设方程x2-4x+2m+6=0的两根为x1,x2,则 ?Δ=?-4?2-4?2m+6?≥0, ? ?x1+x2=4≥0, ?x x =2m+6≥0, ? 1 2
?m≤-1, ? 即? ?m≥-3, ?

解得-3≤m≤-1. 综上,当A∩B=?时, m的取值范围是{m|m≥-3}. 又因为U=R, 所以当A∩B≠?时, m的取值范围是m<-3. 所以,A∩B≠?时, m的取值范围是{m|m<-3}.

[名师点拨]

(1)A∩B=?,对于集合A而言,分A=?与

A≠?两种情况.A=?表示方程无实根. (2)B={x|x<0},而A∩B=?,故A? {x|x≥0},即已知方程 的根为非负实根.

(3)Δ≥0保证了A≠?,即原方程有实根;x1+x2≥0与 x1x2≥0保证了原方程两根非负.如果两根都大于1,则等价 形式为
??x -1?+?x -1?>0, ? 1 2 ? ??x1-1??x2-1?>0, ? ?x +x >2, ? 1 2 而不是? ?x1x2>1. ?

(4)由于A∩B≠?,故方程x2-4x+2m+6=0一定有解, 故我们还可以设全集U={m|Δ≥0}={m|m≤-1}.此时,{m| -3≤m≤-1}关于U的补集也是{m|m<-3},结果相同.

规律总结:(1)运用补集思想求参数范围的方法; ①否定已知条件,考虑反面问题; ②求解反面问题对应的参数范围; ③将反面问题对应参数的范围取补集. (2)补集思想适用的情况: 从正面考虑,情况较多,问题较复杂的时候,往往考虑 运用补集思想.

5

利用Venn图解决补集问题

由于某些集合问题比较抽象学生处理定律比较困难,借 助Venn图会使问题而解. [例5] 设全集U≠?,已知集合M、P、S之间满足关

系:M=?UP,P=?US,则集合M与S之间的正确关系是 ( ) A.M=?US C.S? M B.M=S D.M? S

[分析]

研究抽象集合的关系问题,可以利用集合的

Venn图去分析,在作图的时候要设法将所有可能的情况都考 虑进去,以防因思虑不全面和由局部图形的先入为主而导致 解题的失误.

[解析]

由图形可得正确选项为B.

[答案] B

规律总结:1.由于本题涉及的图形情况比较简单,运 用图示方法求解并未体现出有多大的优越性,但若是遇到较 复杂的情况且涉及多个集合时,集合Venn图将以其直观明了 的特点为你的解题提供一个快捷方式.另外,运用图示方法 或补集的定义,我们能够很快得出结论:?U(?UA)=A,在本 题中直接运用这一结论,则问题立即可解.

2.也可以用语言描述,∵补集关系是相互的,A是B的 补集,则B是A的补集,∴本题中M与P互补,P与S互补,从 而M=S.

如图,I是全集,M、P、S是I的子集,则阴影部分所表 示的集合是( ) B.(M∩P)∪S D.(M∩P)∪(?IS)

A.(M∩P)∩S C.(M∩P)∩(?IS)

[答案] C

[解析]

由图可见阴影部分所表示的集合在M∩P中,同

时又在S的补集?IS中,故(M∩P)∩(?IS)为所求,故选C.


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