当前位置:首页 >> >>

高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2复数的几何意义课件新人教A版选修1_2_图文

?3.1.2 复数的几何意义

自主学习?新知突破

? 1.理解复平面、实轴、虚轴等概念. ? 2.了解复数的几何意义. ? 3.理解复数模的概念,会求复数的模.

? 回顾:实数可以用数轴上的点来表示.

? 你能否找到用来表示复数的几何模型呢? ? [提示] 能.

复平面的定义
? 建立直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面. ? x轴叫作___实__轴__,y轴叫作__虚__轴___,实轴上的点都
实表虚数示数_._____原_;点除_______外,虚轴上的点都表示纯

? 1.对复平面的理解 ? (1)虚轴: ? ①单位是i; ? ②虚轴上的点表示所有的纯虚数和0; ? ③原点在虚轴上,表示实数0. ? (2)实轴: ? ①单位是1; ? ②表示所有的实数; ? ③原点在实轴上.

复数的几何意义

2.复数模的几何意义 根据复数与平面向量O→Z一一对应知,复数模的几何意义 是复数 z=a+bi 所对应的点 Z(a,b)到原点(0,0)的距离.

复数的模
复数 z=a+bi(a,b∈R)对应的向量为O→Z,则O→Z的模 r 叫作复数 z=a+bi 的模,记作|z|或|a+bi|,且|z|=|a+bi|=r=
a2+b2(r≥0,且 r∈R).

3.对复数模的理解 (1)从几何意义上理解,复数的模表示点 Z 到原点的距离; (2)模的计算公式:|a+bi|= a2+b2,求复数的模,关键 是明确复数的实部与虚部,将复数化为标准代数形式,然后 根据公式求解.

1.复数 z=-12+2i 对应的点位于( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

解析: 复数 z=-12+2i 对应的点的坐标为???-12,2???,该

点位于第二象限,所以复数 z=-12+2i 对应的点位于第二象

限.

答案: B

2.复数 z=1+3i 的模等于( )

A.2

B.4

C. 10

D.2 2

解析: |z|= 1+32= 10.

答案: C

3.若复数 z 对应的点在直线 y=2x 上,且|z|= 5,则复 数 z=________.
解析: 根据题意设 z=a+2ai(a∈R),由|z|= 5得 a2+4a2= 5,解得 a=±1,故 z=1+2i 或 z=-1-2i.
答案: 1+2i 或-1-2i

? 4.当实数x分别取什么值时,复数z=x2+x-6+(x2 -2x-15)i,
? (1)对应的点Z在实轴上;
? (2)对应的点Z在第四象限;
? (3)对应的点Z在直线x-y-3=0上.

解析: 因为 x 是实数,所以 x2+x-6,x2-2x-15 也 是实数.
(1)当实数 x 满足 x2-2x-15=0,即 x=5 或 x=-3 时, 点 Z 在实轴上.
(2)当实数 x 满足?????xx22+ -x2-x-6> 150<,0, 即 2<x<5 时,点 Z 在第四象限.
(3)当实数 x 满足 x2+x-6-(x2-2x-15)-3=0,即 x= -2 时,点 Z 在直线 x-y-3=0 上.

合作探究?课堂互动

复数的几何意义

?

求当实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)

+(m2+3m-28)i在复平面内的对应点:

? (1)位于第四象限;(2)位于x轴的负半轴上.

? [思路点拨]

?

1.复数z=a+bi(a,b∈R)与有序实

数对(a,b)建立了一一对应关系.

? 2.判断复数z=a+bi(a,b∈R)的对应点在复平面内 的位置的方法就是判断a,b是否为0,或a,b值的符
号,或a,b满足的其他某些关系式.

3.复数 z=a+bi(a,b∈R)对应点 Z 的特征. 点 Z 在第一象限:?????ab> >00, ; 点 Z 在第二象限:?????ab< >00, ; 点 Z 在第三象限:?????ab< <00, ; 点 Z 在第四象限:?????ab> <00, ; 点 Z 在 x 轴上:b=0;点 Z 在 y 轴上:a=0; 点 Z 在一、三象限:ab>0;点 Z 在二、四象限:ab<0; 点 Z 在直线 Ax+By+C=0 上:Aa+Bb+C=0.

? 1.已知复数z=(a2-1)+(2a-1)i,其中a∈R.当复 数z在复平面内对应的点满足下列条件时,求a的值 (或取值范围).
? (1)在实轴上;
? (2)在第三象限;
? (3)在抛物线y2=4x上.

解析: 复数 z=(a2-1)+(2a-1)i 在复平面内对应的点

是(a2-1,2a-1).

(1)若 z 对应的点在实轴上,则有

2a-1=0,解得 a=12.

(2)若 z 对应的点在第三象限,则有

??a2-1<0, ???2a-1<0,

解得-1<a<12.

(3)若 z 对应的点在抛物线 y2=4x 上,则有

(2a-1)2=4(a2-1),即 4a2-4a+1=4a2-4,

解得 a=54.

复数的模的计算

的大小.

复数 z1=sinπ3-icosπ6,z2=2+3i,试比较|z1|与|z2|

[思路点拨] → 结论

求出|z1|,|z2| → 比较|z1|与|z2|的大小

∵|z1|=???sinπ3-icosπ6???



sin2π3+???-cosπ6???2



?? ??

23????2+????

23????2=

26,

|z2|=|2+3i|= 22+32= 13,

且|z1|= 26=

3 2<

13=|z2|,

∴|z1|<|z2|.

?

计算复数的模时,应先找出复数的

实部和虚部,然后再利用模的公式进行计算,两个

虚数不能比较大小,但它们的模可以比较大小.

2.如果复数 z 满足条件 z+|z|=2+i,那么 z 等于( )

A.-34+i

B.34-i

C.-34-i

D.34+i

解析: 设 z=a+bi(a,b∈R), 则 z+|z|=a+bi+ a2+b2=a+ a2+b2+bi, 因为 z+|z|=2+i,

所以?????ba=+1,a2+b2=2,

解得???a=34, ??b=1,

所以复数 z=34+i.

答案: D

复数的模的几何意义

?

设z∈C,满足下列条件的点Z的集合是什么

图形?

? (1)|z|=2;(2)2<|z|<3.

? [思路点拨] 复数的模的意义是表示复数对应的点 到原点的距离,这可以类比实数的绝对值,也可类
比以原点为起点的向量的模来加深理解.

?

(1)因为|z|=2,即|OZ|=2,所以满

足|z|=2的点Z的集合是以原点为圆心,2为半径的圆,

如图①.

? 6分

(2)不等式 2<|z|<3 可化为不等式组?????||zz||><23,, 不等式|z|>2 的

解集是圆|z|=2 外部所有的点组成的集合,不等式|z|<3 的解集

是圆|z|=3 内部所有的点组成的集合,这两个集合的交集就是

上述不等式组的解集.

因此,满足条件 2<|z|<3 的点 Z 的集合是以原点为圆心、

分别以 2 和 3 为半径的两个圆所夹的圆环,但不包括圆环的

边界,如图②.

12 分

?

解决复数的模的几何意义问题,需

把握两个关键点:一是|z|表示点Z到原点的距离,可

依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形;二是

利用复数模的定义,把模的问题转化为几何问题来

解决.要注意掌握复数的模的几何意义常与轨迹、

最值等问题相结合命题.

? 3.满足条件|z-i|=|3+4i|的复数z在复平面上对应点 的轨迹是________.
? 解析: 由已知得|z-i|=5,令z=x+yi(x,y∈R), ? 则|x+(y-1)i|=5.∴x2+(y-1)2=25. ? ∴复数z在复平面上对应点的轨迹是圆. ? 答案: 圆

? ◎设z为纯虚数,且|z-1|=|-1+i|,求复数z. ? 【错解】 由|z-1|=|-1+i|,得z-1=±(-1+i), ? 当z-1=-1+i时,z=i; ? 当z-1=-(-1+i)时,z=2-i. ? 因为z为纯虚数,所以z=2-i应舍去. ? 综上得z=i.

? 【错因】 造成这种错误的主要原因是实数绝对值 概念的负迁移所致.当x∈R时,|x|=a(a>0)才有x= ±a,而当x∈C时,这一性质不再成立.解决这类等 式问题,一般要设出复数的代数形式,化复数问题 为实数问题.
【正解】 因为 z 为纯虚数,所以设 z=ai(a∈R 且 a≠0), 则|z-1|=|ai-1|= a2+1. 又|-1+i|= 2,由|z-1|=|-1+i|, 得 a2+1= 2,解得 a=±1. 所以 z=±i.

再见