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宁夏银川一中2014届高三下学期第一次模拟考试 数学(文) Word版含答案


绝密★启用前

2014 年普通高等学校招生全国统一考试









高考资源网 (银川一中第一次模拟考试)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~24 题为选考题,其它 题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。考试结束后,将本试卷和答题卡 一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、准考 证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号;非选择题答 案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 参考公式:S 圆台侧面积= ? ( r ? R) L

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1. 设集合 M={x| A. ? 2, ?? ? 2.复数

1 ? 2 x ? 4 },N={x|x-k>0},若 M∩N= ? ,则 k 的取值范围为 2
B.(2,+∞) C.(-∞,-1) D. ? ??, ?1?

?1 ? i ?
1? i

2

等于 文科数学试卷 B. 1+i 第 1 页(共 6 页) C.1-i D.-1-i

A.-1+i 3.设 a ? R,则“

1 <1”是“a>1”的 a
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

4.设三角形 ABC 的三个内角为 A,B,C,向量

?? ? ?? ? m ? ( 3 sin A,sin B), n ? (cos B, 3 cos A), m ? n ? 1 ? cos( A ? B), 则 C=

A.

? 6

B.

? 3
C.19

C.

5? 6
D.18

D.

2? 3

5.在等差数列{an}中,a1+a3+a5=105, a2+a4+a6=99, 以 Sn 表示{an}的前 n 项和,则使 Sn 达到最大值的 n 是 A.21 B.20

6.在⊿ABC 中,三边 a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,若 a2-b2= 3 bc, sinC=2 3 sinB ,则角 A= A.300 B.450 C.1500 D.1350 7.运行如下程序框图,如果输入的 t ? [?1,3] ,则输出 s 属于 A. [?3, 4] B. [?5, 2] C. [?4,3] D. [?2,5]
2

8.已知集合 A={(x,y)|-1≤x≤1.0≤y≤2},B={(x,y)| 1 ? x ? y }. 若在区域 A 中随机的扔一颗豆子,则该豆子落在区域 B 中 的概率为 A.

?
4

?1

B.

? 4

C.1-

? 8

D.

? 8

9. 一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示,则这个空间几何体的表面积是 2 600 4 正视图 A. 侧视图 俯视图 D.

600

600

11? 2

B.

11? +6 2

C. 11?

11? +3 3 2

10.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极值 10,则 f(2)= A. 11 或 18, 11.已知点 M 是 y= 的最小值为 A.2 B. 4 C. 8 D. 10 B. 11 C. 17 或 18 D.18

1 2 x 上一点,F 为抛物线的焦点,A 在 C: (x ? 1)2 ? ( y ? 4)2 ? 1 上,则|MA|+|MF| 4

12.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2e ) ? ? f ( x )(其中 e=2.7182…) ,且在区间[e,2e]上是减 函数,令 a ?

ln 2 ln 3 ln 5 ,则 f(a), f(b), f(c) 的大小关系(用不等号连接)为 ,b ? ,c ? 2 3 5
B. f(b)>f(c)>f(a) C. f(a)>f(b)>f(c) D. f(a)>f(c)>f(b)

A.f(b)>f(a)>f(c)

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须做答. 第 22 题~ 第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.某高中共有 900 人,其中高一年级 300 人,高二年级 200 人,高三年级 400 人,现采用分层抽样抽取 容量为 45 的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为______、_______、________.

?x ? 2 y ? 4 ? 14.已知关于 x,y 的二元一次不等式组 ? x ? y ? 1 ,则 x+2y+2 的最小值为_________ ?x ? 2 ? 0 ?
15.设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此 Y 双曲线的 离心率为_________. 16. 函数 f(x)=Asin( ? x ? ? ) (A, ? , ? 为常数,A>0,

2

? ? 0 ,| ? | < ? )的部分图象如图所示,
则 f(0)的值是_______.

O

? 3

7? 12
X

? 2
三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 文科数学试卷 第 3 页(共 6 页) 17. (本小题满分 12 分) 设{an}是等差数列,{bn}是各项为正项的等比数列,且 a1=b1=1, a3+b5=21, a5+b3=13. (1)求{an}, {bn}的通项公式;

(2)求数列{

an }的前 n 项和 Sn; bn
P

18. (本题满分 12 分) 如图,在底面是正方形的四棱锥 P ? ABCD 中,
F

PA ? 面 ABCD , BD 交 AC 于点 E , F 是 PC 中点,
G 为 AC 上一动点.

A E G B C

D

(1)求证: BD ? FG ;

(2)确定点 G 在线段 AC 上的位置,使 FG //平面 PBD ,并说明理由. (3)如果 PA=AB=2,求三棱锥 B-CDF 的体积

19. (本小题满分 12 分) 从某学校的 800 名男生中随机抽 取 50 名测量身高,被测学生身高全部 介于 155 cm 和 195 cm 之间,将测量
0.04 频率/ /组距 频率 组距 0.06

结果按如下方式分成八组:第一组 [ 155 , 160 ),第二组[ 160 , 165 ),…, 第八组[ 190 , 195 ],右图是按上述分 组方法得到的频率分布直方图的一部 分,已知第一组与第八组人数相同, 第六组的人数为 4 人. (Ⅰ)求第七组的频率并估计该校 800 名男生中身高在 180 cm 以上(含 180 cm)的人数; (Ⅱ)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记他们的身高分别为 x, y ,事 件 E ? { x ? y ? 5 },事件 F ? { x ? y ? 15 },求 P( E ? F ) .

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C : MB1⊥MB2。 (1)求椭圆 C 的方程 (2)设过点 M 且斜率不为 0 的直线交椭圆 C 于 A、B 两点,试问 X 轴上是否存在定点 P,使 PM 平分 ∠APB?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由。

x2 y 2 5 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的离心率为 , 定点 M(2, 0), 椭圆短轴的端点是 B1,B2, 且 2 a b 3

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=(2x2-4ax)lnx+x2(a>0) (1)求 f ( x) 的单调区间; (2)设 ?x ? ?1, ?? ? ,不等式(2x-4a)lnx>-x 恒成立,求 a 的取值范围。

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在 答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分) 选修 4—1:几何证明选讲. 如图, AB 是⊙ O 的直径,弦 BD, CA 的延长线 相交于点 E , EF 垂直 BA 的延长线于点 F . 求证: (1) BE ? DE ? AC ? CE ? CE ;
2

(2) E, F , C, B 四点共圆.

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程. 极坐标系中,已知圆心 C (3, (1)求圆的直角坐标方程;

?
6

) ,半径 r=1.

? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 (t为参数) (2)若直线 ? 与圆交于 A, B 两点,求弦 AB 的长. ? y ? 1t ? ? 2

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲. 文科数学试卷 第 5 页(共 6 页) 已知函数 f ( x) ? x ? 3 ? x ? 2 ? k . (1)若 f ( x) ? 3 恒成立,求 k 的取值范围; (2)当 k ? 1 时,解不等式: f ( x) ? 3x .

银川一中2014届高三第一次模拟数学(文科)试卷参考答案
1—5.AABDB, 6—10.AACDD 13.15,10,20, 14. -6 11.B 15. 12.A

5 ?1 , 2

16.

6 2
4 ? ?1 ? 2d ? q ? 21 2 ? ?1 ? 4d ? q ? 13

17.解: (1)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则依题意有 q>0, ? 解得 d=2,q=2. 所以 an=2n-1,
(

bn=2

n-1

18.解析⑴证空间两直线垂直的常用方法是通过线面垂直来证明,本题中,由于直线 FG 在平面 PAC 内, 所以考虑证明 BD ? 平面 APC .⑵注意平面 PAC 与平面 PBD 相交于 PE ,而直线 FG 在平面 PAC 内, 故只需 FG ∥ PE 即可,而这又只需 G 为 EC 中点即可.(3)求三棱锥 B-CDF 的体积中转化为求三棱锥 F- BCD 的体积,这样底面面积与高都很易求得. 试题解析:⑴∵ PA ? 面 ABCD ,四边形 ABCD 是正方形, 其对角线 BD 、 AC 交于点 E ,∴ PA ? BD , AC ? BD .2 分∴ BD ? 平面 APC , P ∵ FG ? 平面 PAC ,∴ BD ? FG 4分 ⑵当 G 为 EC 中点,即 AG ?

a n 2n ? 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 ? n ?1 , Sn=1+ 1 ? 2 ? ? ? n?2 ? n?1 bn 2 2 2 2 2 5 2 n ? 3 2n ? 1 2Sn=2+3+ ? ? ? n ?3 ? n ?2 ,两式相减得: 2 2 2 1 1 ? n ?1 1 1 1 2n ? 1 2 ? 2n ? 1 ? 6 ? 2n ? 3 Sn=2+2( 1 ? ? 2 ? ? ? n ?2 ) ? n ?1 =2+ 2 ? 1 2 2 2 2 2 n ?1 2 n ?1 1? 2
(2)

3 AC 时, FG ∥ /平面 PBD , 4

5分
F

理由如下: 连结 PE ,由 F 为 PC 中点, G 为 EC 中点,知 FG ∥ PE 而 FG ? 平面 PBD , PB ? 平面 PBD , 故 FG //平面 PBD . 8分 (3)三棱锥 B-CDF 的体积为 VB ?CDF ? VF ? BCD ? 19. 解: (Ⅰ)第六组的频率为

6分

A E G B C

D

1 1 2 ? ? 2 ? 2 ? 1 ? .12 分 3 2 3

4 ? 0.08 ,所以第七组的频率为 50 1 ? 0.08 ? 5 ? (0.008 ? 2 ? 0.016 ? 0.04 ? 2 ? 0.06) ? 0.06 ; 由直方图得后三组频率为 0.06 ? 0.08 ? 0.008 ? 5 ? 0.18 , 所以 800 名男生中身高在 180cm 以上(含 180cm)的人数为 0.18 ? 800 ? 144 人 (Ⅱ)第六组 [180,185) 的人数为 4 人 , 设为 a, b, c, d , 第八组 [190,195] 的人数为 2 人 , 设为 A, B , 则有 ab, ac, ad , bc, bd , cd , aA, bA, cA, dA, aB, bB, cB, dB, AB 共 15 种情况, 因事件 E ? { x ? y ? 5 } 发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组,所以事件 E 包含的基本事件为
ab, ac, ad , bc, bd , cd , AB 共 7 种情况,故 P( E ) ?
由于 x ? y max

7 . 15 ? 195 ? 180 ? 15 ,所以事件 F ? { x ? y ? 15 }是不可能事件, P( F ) ? 0

由于事件 E 和事件 F 是互斥事件,所以 P( E ? F ) ? P( E ) ? P( F ) ? 20. 解析: (1)由

7 15

5 a 2 ? b2 b2 b 2 ? e2 ? ? 1 ? , ? ,依题意△MB1B2 是等腰直角三角形,从而 b=2,故 a=3, 9 a2 a2 a 3

x2 y2 所以椭圆 C 的方程是 ? ?1 9 4
(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方程为 x=my+2, 将直线 AB 的方程与椭圆 C 的方程联立,消去

y1 ? y= ? 2 X 得(4m +9)y +16my-20=0, y1+y2= 4m2 ? 9 , y ,若 PM 平分∠APB,则直线 PA,PB 的倾斜 1·y22 2 4m 4m ?? 99
2 2

?16m

20 ?? 20

y1 y ? 2 ? 0. 将 x1=my1+2,x2=my2+2, 代 入 得 x1 ? n x2 ? n 9 2my1y2+(2-n)(y1+y2)=0. 整理得(2n-9)m=0.由于上式对任意实数 m 都成立,所以 n= ,综上,存在定点 P 2 9 ( ,0) ,使 PM 平分∠APB。 2 1 (2 x 2 ? 4ax) ? (4 x ? 4a) lnx ? 2 x 21. 解:(Ⅰ)f’(x)= x . ? (4 x ? 4a) ? (4 x ? 4a) ln x ? 4( x ? a)(ln x ? 1)( x ? 0). 1 当 0<a< 时, e f ?( x) , f ( x) 在(0,+∞)上随 x 的变化情况如下: 1 1 1 (0, a) (a, ) ( , ??) a x e e e
角 互 补 , 所 以 KPA+KPB=0 , 设 P ( n,0 ) , 则 有

f ?( x)
f ( x)

+ ↗

0 极大 值



0 极 小 值

+ ↗

所以 f(x)在(0,a)和( 当 a=

1 1 ,+∞)上是单调递增,在(a, )上单调递减 e e

1 时,f’(x)≥0, f(x)在(0,+∞)上单调递增 e 1 当 a> 时, e f ?( x) , f ( x) 在(0,+∞)上随 x 的变化情况如下: 1 1 1 (0, ) ( , a) x e e e
f ?( x) f ( x)

a 0 极小 值

(a, ??)

?


0 极 大 值

?


?


所以,f(x)在 (0, ) 和 (a, ??) 上单调递增,在 ( , a) 上单调递减 (Ⅱ)因为 x≥1,所以由(2x-4a)lnx>-x,得(2x -4ax)lnx+x >0, 即 f(x)>0 对 x≥1 恒成立。 由(Ⅰ)可知,当 0<a≤ 0<a≤
2 2

1 e

1 e

1 时,f(x)在 ?1, ?? ? 上单调递增,则 f(x)min=f(1)>0 成立, e

1 e



1 ? a ? 1 时,f(x)在[1,+ ∞)为增函数,f(x)min=f(1)=1>0 恒成立,符合要求 e
即(2a -4a )lna+a >0, 1<a< e
2 2 2

当 a>1 时,f(x)在(1,a)上单调递减, (a,+∞)上单调递增,则 f(x)min=f(a)>0 综上所述,0<a< e 22(1)? ?ABE ~ ?CDE, ? BE : CE ? AE : DE ,

? BE ? DE ? AC ? CE ? CE 2

…… 5 分

(2)? AB 是⊙ O 的直径,所以 ?ECB ? 90? ,取 BE 的中点为 M,? CM ?

1 BE ,? EF ? BF , 2

? FM ?
23

1 BE ,? E, F , C, B 四点与点 M 等距,? E, F , C, B 四点共圆 …… 10 分 2



? | AB | ? 2 所以 ? ? ? d ? 1 ,解得 | AB |? 3 ? 2 ?

2

10 分

24.


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