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33等比数列及其前n项和


第 33 课时
编者:束必祥 审核: 朱正琴

等比数列及其前 n 项和
班级________

第一部分
一、知识回顾:
1.等比数列的定义

预习案

学号_________ 姓名_________

如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个 数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的________,通常用字母______表示(q≠0). 2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则它的通项 an=____________. 3.等比中项: 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比 中项. 4.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am· ________ (n,m∈N*). (2)若{an}为等比数列,且 k+l=m+n (k,l,m,n∈N*),则__________________.
?1? ?an? (3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan} (λ≠0),?a ?,{a2},{an·n},?b ?仍是等 b n ? n? ? n?

比数列.
? ? ?a1<0 ?a1<0 ?a1>0, ?a1>0, (4)单调性:? 或? ?{an}是________数列;? 或? ?{an}是 ?0<q<1 ?q>1 ? ? ?q>1 ?0<q<1

________数列;q=1?{an}是____数列;q<0?{an}是________数列. 5.等比数列的前 n 项和公式 等比数列{an}的公比为 q (q≠0),其前 n 项和为 Sn,当 q=1 时,Sn=na1; a1?1-qn? a1?qn-1? a1qn a1 当 q≠1 时,Sn= = = - . 1-q q-1 q-1 q-1 6.等比数列前 n 项和的性质 公比不为-1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍成等比数列, 其公比为______.

二、基础训练 1.如果-1,a,b,c,-9 成等比数列,那么 b=________. 2.已知{an}是递增等比数列,a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比 q=________. a c 3.已知 a,b,c 成等比数列,如果 a,x,b 和 b,y,c 都成等差数列,则 + =________. x y 4.若数列{an}的前 n 项和 Sn=3n-a,数列{an}为等比数列,则实数 a 的值为________. 5.设{an}是公比为 q 的等比数列,|q|>1,令 bn=an+1 (n=1,2,…),若数列{bn}有连 续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则 6q=________. 6.设 f(n)=2+24+27+…+23n
+1

(n∈N*),则 f(n)=____________.

三、我的疑惑

第二部分
探究一

探究案

等比数列的基本量运算

问题 1 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 S1,S3,S2 成等差数列. (1)求{an}的公比 q;(2)若 a1-a3=3,求 Sn.

32 问题 2 等比数列{an}满足:a1+a6=11,a3·4= ,且公比 q∈(0,1). a 9 (1)求数列{an}的通项公式;(2)若该数列前 n 项和 Sn=21,求 n 的值.

探究二

等比数列的判定

问题 3 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1 (n≥2),且 an+Sn=n. (1)设 cn=an-1,求证:{cn}是等比数列;(2)求数列{bn}的通项公式.

问题 4 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*). (1)求 a2,a3 的值;(2)求证:数列{Sn+2}是等比数列.

探究三

等比数列性质的应用

问题 5 在等比数列{an}中, 1 (1)若已知 a2=4,a5=- ,求 an;(2)若已知 a3a4a5=8,求 a2a3a4a5a6 的值. 2

问题 6

(1)已知等比数列{an}中,有 a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且 b7=a7,求 b5+

b9 的值; (2)已知 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,且 S3=8,S6=7,求 a4+a5+…+a9。

问题 7

设首项为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 80, 它的前 2n 项和为 6 560, 且前 n

项中数值最大的项为 54,求此数列的第 2n 项

我的收获

第三部分

训练案

见附页


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