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高中数学难点突破


难点 14 关于数列综合应用问题
纵观近几年的高考,在解答题中,有关数列的试题出现的频率较高,不仅可与函数、方 程、不等式、复数相联系,而且还与三角、立体几何密切相关;数列作为特殊的函数,在实 际问题中有着广泛的应用,如增长率,减薄率,银行信贷,浓度匹配,养老保险,圆钢堆垒 等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外,还要善于观察题设的特征,联想有关数 学知识和方法,迅速确定解题的方向,以提高解数列题的速度. ●难点磁场 (★★★★★)已知二次函数 y=f(x)在 x=

t2 t?2 处取得最小值- (t>0),f(1)=0. 4 2

(1)求 y=f(x)的表达式; (2)若任意实数 x 都满足等式 f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1[g(x)]为多项式,n∈N*),试用 t 表 示 an 和 bn; (3)设圆 Cn 的方程为(x-an)2+(y-bn)2=rn2, Cn 与 Cn+1 外切(n=1,2,3,?);{rn}是各项都是 圆 正数的等比数列,记 Sn 为前 n 个圆的面积之和,求 rn、Sn. ●案例探究 [例 1]从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅 游产业,根据规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年减少

1 ,本年度当地旅游 5

业收入估计为 400 万元, 由于该项建设对旅游业的促进作用, 预计今后的旅游业收入每年会 比上年增加

1 . 4

(1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅游业总收入为 bn 万元,写出 an,bn 的 表达式; (2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入? 命题意图:本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识;考查综合运 用数学知识解决实际问题的能力,本题有很强的区分度,属于应用题型,正是近几年高考的 热点和重点题型,属★★★★★级题目. 知识依托:本题以函数思想为指导,以数列知识为工具,涉及函数建模、数列求和、不 等式的解法等知识点. 错解分析:(1)问 an、bn 实际上是两个数列的前 n 项和,易与“通项”混淆;(2)问是既 解一元二次不等式又解指数不等式,易出现偏差. 技巧与方法:正确审题、深刻挖掘数量关系,建立数量模型是本题的灵魂,(2)问中指 数不等式采用了换元法,是解不等式常用的技巧. 解:(1)第 1 年投入为 800 万元,第 2 年投入为 800×(1- ×(1-

1 )万元,?第 n 年投入为 800 5

1 n-1 ) 万元,所以,n 年内的总投入为 5 1 1 - n 1 - )+?+800×(1- )n 1= 800×(1- )k 1 5 5 5 k ?1

an=800+800×(1-

?

=4000×[1-(

4 n )] 5

第 1 年旅游业收入为 400 万元,第 2 年旅游业收入为 400×(1+ 收入 400×(1+

1 ),?,第 n 年旅游业 4

1 n-1 ) 万元.所以,n 年内的旅游业总收入为 4 1 1 - n 5 - )+?+400×(1+ )k 1= 400×( )k 1. 4 4 4 k ?1

bn=400+400×(1+

?

=1600×[(

5 n ) -1] 4

(2)设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入,由此 bn-an>0,即:

5 n 4 4 ) -1]-4000×[1-( )n]>0,令 x=( )n,代入上式得:5x2-7x+2> 4 5 5 2 4 n 2 0.解此不等式,得 x< ,或 x>1(舍去).即( ) < ,由此得 n≥5. 5 5 5
1600×[( ∴至少经过 5 年,旅游业的总收入才能超过总投入.

1 1 1 ? +?+ ,(n∈N*)设 f(n)=S2n+1-Sn+1,试确定实数 m 的取值范围, 2 3 n 11 使得对于一切大于 1 的自然数 n,不等式:f(n)>[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2 恒成 20
[例 2]已知 Sn=1+ 立. 命题意图:本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题,需较强的综合分析问 题、解决问题的能力.属★★★★★级题目. 知识依托:本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起,构思巧妙. 错解分析:本题学生很容易求 f(n)的和,但由于无法求和,故对不等式难以处理. 技巧与方法:解决本题的关键是把 f(n)(n∈N*)看作是 n 的函数,此时不等式的恒成立 就转化为:函数 f(n)的最小值大于[logm(m-1)]2- 解:∵Sn=1+

11 [log(m-1)m]2. 20

1 1 1 ? +?+ .(n∈N*) 2 3 n 1 1 1 ? f (n ) ? S 2 n ?1 ? S n ?1 ? ? ??? n?2 n?3 2n ? 1 1 1 1 1 1 2 又f ( n ? 1) ? f ( n ) ? ? ? ? ? ? 2 n ? 2 2n ? 3 n ? 2 2n ? 2 2 n ? 3 2 n ? 4 1 1 1 1 ?( ? )?( ? )?0 2n ? 2 2n ? 4 2n ? 3 2n ? 4

∴f(n+1)>f(n) ∴f(n)是关于 n 的增函数 ∴f(n) min=f(2)=

1 1 9 ? ? 2 ? 2 2 ? 3 20

∴要使一切大于 1 的自然数 n,不等式

11 [log(m-1)m]2 恒成立 20 9 11 只要 >[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2 成立即可 20 20
f(n)>[logm(m-1)]2-

?m ? 0, m ? 1 由? 得 m>1 且 m≠2 ?m ? 1 ? 0, m ? 1 ? 1
此时设[logm(m-1)]2=t 则 t>0

11 ?9 ? ?t? 于是 ? 20 20 解得 0<t<1 ?t ? 0 ?
由此得 0<[logm(m-1)]2<1

1? 5 且 m≠2. 2 ●锦囊妙计 1.解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、 解决问题的能力;解答应用性问题,应充分运用观察、归纳、猜想的手段,建立出有关等差 (比)数列、递推数列模型,再综合其他相关知识来解决问题. 2.纵观近几年高考应用题看,解决一个应用题,重点过三关: (1)事理关:需要读懂题意,明确问题的实际背景,即需要一定的阅读能力. (2)文理关:需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言,用数学式子表达数学关系. (3)事理关:在构建数学模型的过程中;要求考生对数学知识的检索能力,认定或构建 相应的数学模型,完成用实际问题向数学问题的转化.构建出数学模型后,要正确得到问题 的解,还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★★)已知二次函数 y=a(a+1)x2-(2a+1)x+1,当 a=1,2,?,n,?时,其抛
解得 m> 物线在 x 轴上截得的线段长依次为 d1,d2,?,dn,?,则 lim (d1+d2+?+dn)的值是(
n ??

)

A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 2.(★★★★★)在直角坐标系中,O 是坐标原点,P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是第一象限的两 个点,若 1,x1,x2,4 依次成等差数列,而 1,y1,y2,8 依次成等比数列,则△OP1P2 的面 积是_________. 3.(★★★★)从盛满 a 升酒精的容器里倒出 b 升,然后再用水加满,再倒出 b 升,再用 水加满;这样倒了 n 次,则容器中有纯酒精_________升. 4.(★★★★★)据 2000 年 3 月 5 日九届人大五次会议《政府工作报告》“2001 年国内 : 生产总值达到 95933 亿元,比上年增长 7.3%, ”如果“十·五”期间(2001 年~2005 年)每年 的国内生产总值都按此年增长率增长, 那么到 “十· 末我国国内年生产总值约为_________ 五” 亿元. 三、解答题 5.(★★★★★)已知数列{an}满足条件:a1=1,a2=r(r>0),且{anan+1}是公比为 q(q>0)的等 比数列,设 bn=a2n-1+a2n(n=1,2,?). (1)求出使不等式 anan+1+an+1an+2>an+2an+3(n∈N*)成立的 q 的取值范围; (2)求 bn 和 lim

1 ,其中 Sn=b1+b2+?+bn; n?? S n

(3)设 r=219.2-1,q=

log2 bn ?1 1 ,求数列{ }的最大项和最小项的值. log2 bn 2

6.(★★★★★)某公司全年的利润为 b 元,其中一部分作为奖金发给 n 位职工,奖金分 配方案如下:首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小,由 1 到 n 排序,第 1 位 职工得奖金

b 元,然后再将余额除以 n 发给第 2 位职工,按此方法将奖金逐一发给每位职 n

工,并将最后剩余部分作为公司发展基金. (1)设 ak(1≤k≤n)为第 k 位职工所得奖金金额,试求 a2,a3,并用 k、n 和 b 表示 ak(不必 证明); (2)证明 ak>ak+1(k=1,2,?,n-1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义; (3)发展基金与 n 和 b 有关,记为 Pn(b),对常数 b,当 n 变化时,求 lim Pn(b).
n ??

7.(★★★★)据有关资料,1995 年我国工业废弃垃圾达到 7.4×108 吨,占地 562.4 平方 公里,若环保部门每年回收或处理 1 吨旧物资,则相当于处理和减少 4 吨工业废弃垃圾,并 可节约开采各种矿石 20 吨,设环保部门 1996 年回收 10 万吨废旧物资,计划以后每年递增 20%的回收量,试问: (1)2001 年回收废旧物资多少吨? (2)从 1996 年至 2001 年可节约开采矿石多少吨(精确到万吨)? (3)从 1996 年至 2001 年可节约多少平方公里土地? 8.(★★★★★)已知点的序列 An(xn, 0),n∈N,其中 x1=0,x2=a(a>0),A3 是线段 A1A2 的中点, A4 是线段 A2A3 的中点,?,An 是线段 An-2An-1 的中点,?. (1)写出 xn 与 xn-1、xn-2 之间关系式(n≥3); (2)设 an=xn+1-xn,计算 a1,a2,a3,由此推测数列{an}的通项公式,并加以证明; (3)求 lim xn.
n ??

参考答案 难点磁场 解:(1)设 f(x)=a(x-

t ? 2 2 t2 ) - ,由 f(1)=0 得 a=1. 4 2

∴f(x)=x2-(t+2)x+t+1. (2)将 f(x)=(x-1)[x-(t+1)]代入已知得: (x-1)[x-(t+1)]g(x)+anx+bn=xn+1,上式对任意的 x∈R 都成立,取 x=1 和 x=t+1 分别 代入上式得:

?an ? bn ? 1 1 t ?1 ? 且 t≠0,解得 an= [(t+1)n+1-1] n= ,b [1-(t+1 ] n) ? n?1 t t ?(t ? 1)an ? bn ? (t ? 1) ?
(3)由于圆的方程为(x-an)2+(y-bn)2=rn2,又由(2)知 an+bn=1,故圆 Cn 的圆心 On 在直线 x+y=1 上,又圆 Cn 与圆 Cn+1 相切,故有 rn+rn+1= 2 |an+1-an|= 2 (t+1)n+1 ? 设{rn}的公比为 q,则 ① ②

n ?1 ? ?rn ? rn q ? 2 (t ? 1) ? ?rn?1 ? rn?1q ? 2 (t ? 1) n? 2 ?

② ÷ ① 得

q=

rn ?1 2 (t ? 1) n?1 =t+1,代入①得 rn= t?2 rn
∴Sn=π (r12+r22+?+rn2)=

?r1 (q 2 n ? 1) 2?(t ? 1) 4 [(t+1)2n-1] ? 2 3 q ?1 t (t ? 2)
2

歼灭难点训练 一、1.解析:当 a=n 时 y=n(n+1)x2-(2n+1)x+1 由|x1-x2|=

1 ? ,得 dn= ,∴d1+d2+?+dn n(n ? 1) a

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ?1? ? ? ? ?? ? ?1? 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) 2 2 3 n n ?1 n ?1 1 ? lim (d1 ? d 2 ? ? ? d n ) ? lim (1 ? ) ?1 n?? n?? n ?1 答案:A 二、 2.解析: 1,x1,x2,4 依次成等差数列得: 1=x2+1,x1+x2=5 解得 x1=2,x2=3.又由 1,1,y2,8 由 2x y 依次成等比数列,得 y12=y2,y1y2=8,解得 y1=2,y2=4, ?
∴P1(2,2),P2(3,4).∴ OP ? (2,2), OP2 =(3,4) 1 ∴ OP OP2 ? 6 ? 8 ? 14, OP ? 2 2 ,| OP2 |? 5, 1 1

? cos P OP2 ? 1 ? S ?OP1P2 ?
答案:1

OP OP2 1 | OP | | OP2 | 1

?

14 5? 2 2

?

7 2 2 ,? sin P OP2 ? 1 10 10

1 1 2 | OP | | OP2 | sin P OP2 ? ? 2 2 ? 5 ? ?1 1 1 2 2 10

3.解析:第一次容器中有纯酒精 a-b 即 a(1-

b b )升,第二次有纯酒精 a(1- )- a a

b a(1 ? ) a b ,即 a(1- b )2 升,故第 n 次有纯酒精 a(1- b )n 升. a a a
答案:a(1-

b n ) a

4.解析:从 2001 年到 2005 年每年的国内生产总值构成以 95933 为首项,以 7.3%为公 比的等比数列,∴a5=95933(1+7.3%)4≈120000(亿元). 答案:120000 三、 - 5.解:(1)由题意得 rqn 1+rqn>rqn+1.由题设 r>0,q>0,故从上式可得:q2-q-1<0,解



1? 5 1? 5 1? 5 <q< ,因 q>0,故 0<q< ; 2 2 2
(2)∵

an?1an? 2 an?2 b a ? a2 n?2 a2 n?1q ? a2 n q ? ? q,? n?1 ? 2 n?1 ? ? q ? 0 .b1=1+r≠0,所以 an an?1 an bn a2 n?1 ? a2 n a2 n?1 ? a2 n

{bn}是首项为 1+r,公比为 q 的等比数列,从而 bn=(1+r)qn-1. 当 q=1 时,Sn=n(1+r),

1 1 (1 ? r )(1 ? q n ) ? lim ? 0;当0 ? q ? 1时, S n ? , lim n ?? S n n?? n(1 ? r ) 1? q 1 1? q 1? q ? lim ? ; n n ?? S n n?? (1 ? r )(1 ? q ) 1? r lim 当q ? 1时, S n ? (1 ? r )(1 ? q n ) , 1? q (0 ? q ? 1) ( q ? 1)

?1 ? q , 1 1? q 1 ? ? lim ? 0, 所以 lim ? ?1 ? r lim n n ?? S n n?? (1 ? r )(1 ? q ) n ?? S n ?0, ? (3)由(2), 有bn ? (1 ? r )q
n ?1

log2 bn?1 log2 [(1 ? r )q n ] log2 (1 ? r ) ? n log2 q 1 ? ? ?1? . n?1 log2 bn log2 (1 ? r )( n ? 1) log2 q n ? 20.2 log2 [(1 ? r )q ]
记C n ?
小,故 1<Cn≤C21=1+

log2 bn?1 ,从上式可知,当 n-20.2>0,即 n≥21(n∈N*)时,Cn 随 n 的增大而减 log2 bn

1 1 =2.25 ?1? 21 ? 20.2 0.8



当 n - 20.2 < 0 , 即 n ≤ 20(n ∈ N*) 时 , Cn 也 随 n 的 增 大 而 减 小 , 故 1 > Cn ≥ C20=1+

1 1 =-4 ?1? 20 ? 20.2 0.2



综合①②两式知, 对任意的自然数 n 有 C20≤Cn≤C21,故{Cn}的最大项 C21=2.25, 最小项 C20=-4.

b 1 1 ,第 2 位职工的奖金 a2= (1- )b,第 3 位职工的奖 n n n 1 1 1 1 - 金 a3= (1- )2b,?,第 k 位职工的奖金 ak= (1- )k 1b; n n n n 1 1 - (2)ak-ak+1= 2 (1- )k 1b>0,此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭” n n
6.解:(1)第 1 位职工的奖金 a1= 的原则. (3) 设 fk(b) 表 示 奖 金 发 给 第 k 位 职 工 后 所 剩 余 数 , 则 f1(b)=(1 -

1 )b,f2(b)=(1 - n

1 2 1 1 ) b,?,fk(b)=(1- )kb.得 Pn(b)=fn(b)=(1- )nb, n n n

故 lim Pn (b) ?
n??

b . e

7.解: an 表示第 n 年的废旧物资回收量, n 表示前 n 年废旧物资回收总量, 设 S 则数列{an} 是以 10 为首项,1+20%为公比的等比数列. (1)a6=10(1+20%)5=10×1.25=24.8832≈25(万吨) (2)S6=

10[(1 ? 20%) 6 ? 1] 1.6 6 ? 1 ? 10 ? =99.2992≈99.3(万吨) (1 ? 20%) ? 1 0.2

∴从 1996 年到 2000 年共节约开采矿石 20×99.3≈1986(万吨) (3)由于从 1996 年到 2001 年共减少工业废弃垃圾 4×99.3=397.2(万吨), ∴从 1996 年到 2001 年共节约:

562.4 ? 397.2 ? 104 ≈3 平方公里. 7.4 ? 108
8.解:(1)当 n≥3 时,xn=

xn?1 ? xn?2 ; 2 x ? x1 1 1 (2)a1 ? x2 ? x1 ? a, a2 ? x3 ? x2 ? 2 ? x2 ? ? ( x2 ? x1 ) ? ? a, 2 2 2 x ? x2 1 1 1 1 a2 ? x4 ? x3 ? 3 ? x3 ? ? ( x3 ? x2 ) ? ? (? a) ? a 2 2 2 2 4 1 n-1 ) a(n∈N) 2 xn ? xn?1 x ? xn 1 1 ? xn ? n?1 ? ( xn ? xn?1 ) ? ? an?1 (n≥2) 2 2 2 2

由此推测 an=(-

证法一:因为 a1=a>0,且

an ? xn?1 ? xn ?
所以 an=(-

1 n-1 ) a. 2

证法二:用数学归纳法证明:

1 0 ) a,公式成立; 2 1 - (ⅱ)假设当 n=k 时,公式成立,即 ak=(- )k 1a 成立. 2
(ⅰ)当 n=1 时,a1=x2-x1=a=(- 那么当 n=k+1 时,

xk ?1 ? xk 1 1 ? xk ?1 ? ? ( xk ?1 ? xk ) ? ? ak 2 2 2 1 1 1 ? ? (? ) k ?1 a ? (? )(k ?1 )?1 a公式仍成立 . 2 2 2 1 据(ⅰ)(ⅱ)可知,对任意 n∈N,公式 an=(- )n-1a 成立. 2
ak+1=xk+2-xk+1= (3)当 n≥3 时,有 xn=(xn-xn-1)+(xn-1-xn-2)+?+(x2-x1)+x1 =an-1+an-2+?+a1, 由(2)知{an}是公比为-

a1 2 1 ? a. 的等比数列,所以 lim xn ? 1 n?? 2 1 ? (? ) 3 2


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