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高中数学全程学习方略配套课件:2.2.1等差数列(人教版必修5)


【点拨】 【思考】 等差数列的判定与证明 【名师指津】 1.判断一个数列是等差数列的常用方法 (1)an+1-an=d(常数)(n∈N*)? {an}是等差数列. (2) 2an+1=an+an+2(n∈N*)? {an}是等差数列. (3)an=kn+b(k,b是常数,n∈N*)? {an}是等差数列. 2.定义法判断或证明数列{an}是等差数列的步骤: (1)作差an+1-an,将差变形; (2)当an+1-an是一个与n无关的常数时,数列{an}是等差数列; 当an+1-an不是常数,而是与n有关的代数式时,数列{an}不是 等差数列. 【特别提醒】作差an+1-an,是指数列中的任意相邻两项,不是 指数列中的特殊两项.若an-an-1,需强调n≥2. 【例1】已知数列{an}满足a1=4,an=4- 4 a n ?1 (n>1, n∈N*), 记b n= 1 an ? 2 . 试判断数列{bn}是否为等差数列?说明理由. 【审题指导】题目中给出了数列{an}的递推关系式以及bn和an的 关系,欲判断数列{bn}是否为等差数列,只需说明bn+1-bn为常数 是否成立. 【规范解答】∵bn+1-bn= 1 (4 ? 4 an ) ? 2 ? 1 an ? 2 ? ( 2 an 1 a n ?1 ? 2 ? 1 an ? 2 = an ? 2 1 ? . ? 2) 2 又b1= 1 a1 ? 2 ? 1 2 . ∴数列{bn}是以 1 为首项,1 为公差的等差数列. 2 2 等差数列的通项公式及其应用 【名师指津】等差数列的通项公式及其应用. (1)从函数的角度看等差数列的通项公式.由等差数列的通 项公式an=a1+(n-1)d可得an=dn+(a1-d),当d≠0时,an是 关于n的一次函数. (2)由两点确定一条直线的性质可以得出,等差数列的任意 两项可以确定这个等差数列.若已知等差数列的通项公式,可 以写出数列中的任意一项. (3)等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中含有四个量, 即an,a1,n,d,如果知道了其中的任意三个量,就可以由通 项公式求出第四个,这一求未知量的过程我们通常称之为“知 三求一”. 【例2】在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31,求通项公式an. 【审题指导】本题给出了等差数列{an}中的两项,可利用等差 数列的通项公式,列出方程组,求解即可 . 【规范解答】设公差为d,由题意a5=10,a12=31,可知, ?a1 ? 4d ? 10 ?a1 ? ?2 ? ? ? ?d ? 3 ?a1 ? 11d ? 31 ∴an=-2+(n-1)×3=3n-5. 【例】已知等差数列{an}的前三项分别为a,2a,2a+1.试写 出此数列的通项公式,并判断此数列的增减性. 【审题指导】欲写出等差数列的通项公式,只需求出该数列 的首项和公差,利用等差数列的定义求解 . 【规范解答】∵a,2a,2a+1为等差数列{an}的前三项, ∴2a-a=2a+1-2a. 解得a=1.∴公差d=2a-a=a=1. ∴an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×1=n. ∴通项公式an=n.由于公差d=1>0,所以该数列为递增数列. 【典例】(12分)已知三个数成等差数列,它们的和为9,积 为-21,求这三个数. 【审题指导】题目中已知三个数成等差数列,可采用对称 的设法,设这三个数分别为a-d,a,a+d,利用和为

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