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高中数学 第三章 数系的扩充与复数 3.1.3 复数的几何意义课件 新人教B版选修22_图文

第三章 §3.1 数系的扩充与复数的概念
3.1.3 复数的几何意义

学习目标
1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示 复数及它们之间的一一对应关系. 2.掌握实轴、虚轴、模等概念. 3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法. 4.理解共轭复数的概念.

内容索引

问题导学 题型探究 当堂训练

问题导学

知识点一 复平面
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,在复平面内, x轴 叫 做实轴, y轴 叫做虚轴,x轴的单位是 1 ,y轴的单位是 i ,实轴与虚轴 的交点叫做原点,原点(0,0)对应复数 0 .

知识点二 复数的几何意义
思考1
复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面上的点Z(a,b)具有怎样的对 应关系? 答案 一一对应.
思考2
复平面内的点Z与向量O→Z 有怎样的对应关系?
答案 一一对应.
答案

梳理
复数 z=a+bi←―一――一―对―应――→ 有序实数对(a,b)←―一――一―对―应――→ 点 Z(a,b).

知识点三 复数的模
设O→Z=a+bi(a,b∈R),则向量O→Z的长度叫做复数 a+bi 的模(或绝对值), 记作|a+bi|,且|a+bi|=__a_2_+__b_2_.

知识点四 共轭复数
如果两个复数的实部 相等 ,而虚部互为 相反数 ,则这两个复数叫 做互为共轭复数.复数z的共轭复数用z表示,即当z=a+bi时,则 z =a-bi ,任一实数的共轭复数 仍是它本身 .

题型探究

类型一 复数的几何意义 命题角度1 复数与复平面内点的对应关系 例1 实数x分别取什么值时,复数z=(x2+x-6)+(x2-2x-15)i对应的点 Z在: (1)第三象限;
解 因为x是实数,所以x2+x-6,x2-2x-15也是实数. 当实数 x 满足?????xx22+-2x-x-6<150<,0, 即当-3<x<2时,点Z在第三象限.
解答

(2)直线x-y-3=0上. 解 z=x2+x-6+(x2-2x-15)i对应的点Z(x2+x-6,x2-2x-15), 当实数x满足(x2+x-6)-(x2-2x-15)-3=0, 即当x=-2时,点Z在直线x-y-3=0上.
解答

引申探究 若例1中的条件不变,其对应的点在: (1)虚轴上; 解 当实数x满足x2+x-6=0, 即当x=-3或x=2时,点Z在虚轴上.
解答

(2)第四象限. 解 当实数 x 满足?????xx22+ -2x-x-61>50<,0, 即当2<x<5时,点Z在第四象限.
解答

反思与感悟
按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系,每一个 复数都对应着一个有序实数对,只要在复平面内找出这个有序实数对 所表示的点,就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值.

跟踪训练1 在复平面内,复数i,1,4+2i的对应的点分别是A,B,C. 求平行四边形ABCD的D点所对应的复数. 解 由已知得 A(0,1),B(1,0),C(4,2),则 AC 的中点 E????2,32????, 由平行四边形的性质知E也是BD的中点,设D(x,y),

则???????xy++22 10==232,,

∴?????xy==33,, 即 D(3,3).

∴D点所对应的复数为3+3i.

解答

命题角度2 复数与复平面内的向量的关系

例 2 (1)向量O→Z1对应的复数是 5-4i,向量O→Z2对应的复数是-5+4i,

则O→Z1+O→Z2对应的复数是

A.-10+8i

B.10-8i

√C.0

D.10+8i

解析 由复数的几何意义,可得

O→Z1=(5,-4),O→Z2=(-5,4), 所以O→Z1+O→Z2=(5,-4)+(-5,4)=(0,0), 所以O→Z1+O→Z2对应的复数为 0.

解析 答案

(2)设 O 是原点,向量O→A,O→B对应的复数分别为 2-3i,-3+2i,那

么向量B→A对应的复数是

A.-5+5i B.-5-5i

C.5+5i

√ D.5-5i

解析 由复数的几何意义,得 O→A=(2,-3),O→B=(-3,2), B→A=O→A-O→B=(2,-3)-(-3,2)=(5,-5). 所以B→A对应的复数是 5-5i.

解析 答案

反思与感悟
根据复数与平面向量的对应关系可知,当平面向量的起点在原点时, 向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后, 从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量.

跟踪训练2 (1)在复平面内,O是原点,向量 O→A 对应的复数为2+i, 若点A关于实轴的对称点为点B,则向量O→B 对应的复数为__2_-__i _. 解析 复数2+i表示的点A(2,1)关于实轴对称的点为B(2,-1), ∴O→B对应的复数为 2-i.
解析 答案

(2)复数z=3+4i对应的向量

O→ Z

4 所在直线的斜率为____3____.

解析 ∵复数z对应点Z(3,4), ∴向量O→Z所在的直线的斜率为43.

解析 答案

类型二 复数的模与共轭复数的计算 例3 已知复数z满足z+|z|=2+8i,求复数z及其共轭复数.
解答

反思与感悟
计算复数的模时,应先找出复数的实部和虚部,然后再利用模的公式 进行计算,两个虚数不能比较大小,但它们的模可以比较大小.

跟踪训练3 (1)若复数z=1+ai(i是虚数单位)的模不大于2,则实数a的取 值范围是_[_-___3_,___3_]__. 解析 复数z=1+ai(i是虚数单位)的模不大于2, 即 1+a2≤4,即 a2≤3,可得 a∈[- 3, 3].
解析 答案

(2)若x-2+yi和3x-i互为共轭复数,则实数x与y的值分别是_5_,_1__.

解析

由共轭复数的定义得

??x-2=3,
?

??y=1,

得?????xy= =51, .

解析 答案

当堂训练

1.复数z=-1-2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于

A.第一象限

B.第二象限

√C.第三象限

D.第四象限

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答案

2.若 O→Z=(0,-3),则 O→Z 对应的复数为

A.0
√C.-3i

B.-3 D.3

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答案

3.在复平面内表示复数z=(m-3)+2 m i的点在直线y=x上,则实数m的 值为___9__. 解析 ∵z=(m-3)+2 mi 表示的点在直线 y=x 上, ∴m-3=2 m,解得 m=9.

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解析 答案

4.已知3-4i=x+yi(x,y∈R),则|1-5i|,|x-yi|,|y+2i|的大小关系为 _|1_-__5_i_|>_|_x_-__yi_|>__|y_+__2_i|_. 解析 由3-4i=x+yi, ∴x=3,y=-4. 则|1-5i|= 26,|x-yi|=|3+4i|=5,
|y+2i|=|-4+2i|=2 5, ∴|1-5i|>|x-yi|>|y+2i|.

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解析 答案

5.在复平面内,O 是原点,O→A,O→C,A→B对应的复数分别为-2+i, 3+2i,1+5i,那么B→C对应的复数为__4_-__4_i__. 解析 由复数的几何意义可知,O→A=(-2,1),O→C=(3,2),A→B=(1,5), O→B=O→A+A→B=(-2,1)+(1,5)=(-1,6), B→C=O→C-O→B=(3,2)-(-1,6)=(4,-4), ∴B→C对应的复数为 4-4i.

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解析 答案

规律与方法
1.复数的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的对应点的坐标为(a,b),而不是(a,bi). (2)复数 z=a+bi(a,b∈R)的对应向量O→Z是以原点 O 为起点的,否则就谈 不上一一对应,因为在复平面内与O→Z相等的向量有无数个. 2.复数的模 (1)复数 z=a+bi(a,b∈R)的模|z|= a2+b2.
(2)从几何意义上理解,复数z的模表示复数z对应的点Z和原点间的距离.

本课结束