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2018年高考数学总复习第九章平面解析几何第8讲曲线与方程!


第 8 讲 曲线与方程

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.方程(2x+3y-1)( x-3-1)=0 表示的曲线是( A.两条直线 C.两条线段 )

B.两条射线 D.一条直线和一条射线

?2x+3y-1=0, ? 解析 原方程可化为? 或 x-3-1=0,即 2x+3y-1=0(x≥3)或 x=4,故原 ? ?x-3≥0

方程表示的曲线是一条直线和一条射线. 答案 D

y2 2.(2017·嘉兴一中质检)若方程 x + =1(a 是常数),则下列结论正确的是( a
2

)

A.任意实数 a 方程表示椭圆 B.存在实数 a 方程表示椭圆 C.任意实数 a 方程表示双曲线 D.存在实数 a 方程表示抛物线 解析 当 a>0 且 a≠1 时,方程表示椭圆,故选 B. 答案 B 3.(2017·长春模拟)设圆(x+1) +y =25 的圆心为 C,A(1,0)是圆内一定点,Q 为圆周上任 一点.线段 AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M,则 M 的轨迹方程为( A. C. 4x 4y - =1 21 25 4x 4y - =1 25 21
2 2 2 2 2 2

)

B. D.

4x 4y + =1 21 25 4x 4y + =1 25 21
2 2

2

2

解析 ∵M 为 AQ 的垂直平分线上一点, 则|AM|=|MQ|, ∴|MC|+|MA|=|MC| 5 +|MQ|=|CQ|=5,故 M 的轨迹是以定点 C,A 为焦点的椭圆.∴a= ,∴c 2 21 4x 4y =1,则 b =a -c = ,∴M 的轨迹方程为 + =1. 4 25 21
2 2 2 2 2

答案 D 4.设点 A 为圆(x-1) +y =1 上的动点, PA 是圆的切线, 且|PA|=1, 则点 P 的轨迹方程是( A.y =2x C.y =-2x
2 2 2 2

)

B.(x-1) +y =4 D.(x-1) +y =2
-12 2

2

2

解析 如图,设 P(x,y),圆心为 M(1,0),连接 MA,则 MA⊥PA,且|MA| =1,又∵|PA|=1, ∴|PM|= |MA| +|PA| = 2, 即|PM| =2,∴(x-1) +y =2. 答案 D → → → 5.平面直角坐标系中,已知两点 A(3,1),B(-1,3),若点 C 满足OC=λ 1OA+λ 2OB(O 为原 点),其中 λ 1,λ 2∈R,且λ 1+λ 2=1,则点 C 的轨迹是( A.直线 解析 B.椭圆 C.圆 ) D.双曲线
2 2 2 2 2

→ → → 设 C(x , y) ,因为 OC = λ 1 OA + λ 2 OB ,所以 (x , y) = λ 1(3 , 1) + λ 2( - 1 , 3) ,即

? ?x=3λ 1-λ 2, ? 解得 ?y=λ 1+3λ 2, ?

? ?λ ? ? ?λ

1



y+3x
10

, 又 λ 1+λ 2=1,

3y-x , 2= 10

所以

y+3x 3y-x
10 + 10

=1,即 x+2y=5 ,

所以点 C 的轨迹为直线,故选 A. 答案 A 二、填空题 6.(2017·湖州月考)已知两定点 A(-2,0),B(1,0),如果动点 P 满足|PA|=2|PB|,则点 P 的轨迹方程是________;轨迹所包围的图形的面积为__________. 解析 设 P(x,y),由|PA|=2|PB|, 得 (x+2) +y =2 (x-1) +y , ∴3x +3y -12x=0, 即 x +y -4x=0. ∴P 的轨迹为以(2,0)为圆心,半径为 2 的圆. 即轨迹所包围的面积等于 4π . 答案 x +y -4x=0 4π → → 7.已知点 A(1,0),直线 l:y=2x-4,点 R 是直线 l 上的一点,若RA=AP,则点 P 的轨迹方 程为________.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

解析

x+x =1, ? ? 2 ? ?x =2-x, → → 设 P(x, y), R(x , y ), 由RA=AP知, 点 A 是线段 RP 的中点, ∴? 即? ?y =-y. y+y ? ? ? 2 =0,
1 1 1 1 1 1

∵点 R(x1,y1)在直线 y=2x-4 上, ∴y1=2x1-4,∴-y=2(2-x)-4,即 y=2x.
-2-

答案 y=2x → → → 8.在△ABC 中,|BC|=4,△ABC 的内切圆切 BC 于 D 点,且|BD|-|CD|=2 2,则顶点 A 的轨 迹方程为________. 解析 以 BC 的中点为原点,中垂线为 y 轴建立如图所示的坐标系,E,F 分别为两个切点. 则|BE|=|BD|,|CD|=|CF|, |AE|=|AF|.∴|AB|-|AC|=2 2<|BC|=4, ∴点 A 的轨迹为以 B,C 的焦点的双曲线的右支(y≠0)且 a= 2,c=2,∴

x 2 y2 b= 2,∴轨迹方程为 - =1(x> 2).
2 2 答案

x2 y 2
2

- =1(x> 2) 2

三、解答题 9.(2017·温州十校模拟)已知点 C(1,0),点 A,B 是⊙O:x +y =9 上任意两个不同的点, → → 且满足AC·BC=0,设 P 为弦 AB 的中点. (1)求点 P 的轨迹 T 的方程; (2)试探究在轨迹 T 上是否存在这样的点:它到直线 x=-1 的距离恰好 等于到点 C 的距离?若存在,求出这样的点的坐标;若不存在,说明理 由. → → 解 (1)连接 CP,OP,由AC·BC=0,知 AC⊥BC, 1 ∴|CP|=|AP|=|BP|= |AB|, 2 由垂径定理知|OP| +|AP| =|OA| , 即|OP| +|CP| =9, 设点 P(x,y),有(x +y )+[(x-1) +y ]=9, 化简,得 x -x+y =4. (2)存在.根据抛物线的定义,到直线 x=-1 的距离等于到点 C(1,0)的 距离的点都在抛物线 y =2px(p>0)上,其中 =1. 2 ∴p=2,故抛物线方程为 y =4x, 由方程组?
?y =4x, ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

p

? ?x -x+y =4

得 x +3x-4=0,

2

解得 x1=1,x2=-4,由 x≥0, 故取 x=1,此时 y=±2. 故满足条件的点存在,其坐标为(1,-2)和(1,2).

-3-

10.如图所示,抛物线 C1:x =4y,C2:x =-2py(p>0).点 M(x0,y0)在抛 物线 C2 上,过 M 作 C1 的切线,切点为 A,B(M 为原点 O 时,A,B 重合于 O). 1 当 x0=1- 2时,切线 MA 的斜率为- . 2 (1)求 p 的值; (2)当 M 在 C2 上运动时,求线段 AB 中点 N 的轨迹方程(A,B 重合于 O 时,中点为 O). 解 (1)因为抛物线 C1:x =4y 上任意一点(x,y)的切线斜率为 y′= ,且切线 MA 的斜率为 2 1? 1 ? - ,所以 A 点坐标为?-1, ?, 4? 2 ? 1 1 故切线 MA 的方程为 y=- (x+1)+ . 2 4 因为点 M(1- 2,y0)在切线 MA 及抛物线 C2 上,于是
2

2

2

x

y0=- (2- 2)+ =-
2

1 2

1 4

3-2 2 ,① 4

y0=-

(1- 2) 3-2 2 =- .② 2p 2p

由①②得 p=2. (2)设 N(x,y),A?x1, ?,B?x2, ?,x1≠x2. 4? ? 4? ? 由 N 为线段 AB 的中点知

?

x2 1?

?

x2 2?

x1+x2 x= ,③
2 8
2 x2 1+x2 y= .④

切线 MA,MB 的方程分别为

x1 x2 1 y= (x-x1)+ ,⑤
2 2 4 4

x2 x2 2 y= (x-x2)+ .⑥
由⑤⑥得 MA,MB 的交点 M 的坐标为?
2

?x1+x2,x1x2?. 4 ? ? 2 ?

因为点 M(x0,y0)在 C2 上,即 x0=-4y0, 所以 x1x2=-
2 x2 1+x2

6

.⑦

4 2 由③④⑦得 x = y,x≠0. 3

-4-

4 2 当 x1=x2 时,A,B 重合于原点 O,AB 的中点 N 为点 O,坐标满足 x = y. 3 4 2 因此 AB 的中点 N 的轨迹方程为 x = y. 3 能力提升题组 (建议用时:30 分钟) 11.已知△ABC 的顶点 A(-5,0),B(5,0),△ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上,则顶点 C 的 轨迹方程是( A. - =1 9 16 C. - =1(x>3) 9 16 ) B. D. - =1 16 9 - =1(x>4) 16 9

x2 x2

y2 y2

x2 x2

y2 y2

解析 如图,|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,所以|CA| -|CB|=8-2=6<10=|AB|,根据双曲线定义,所求轨迹是以 A,B 为 焦点,实轴长为 6 的双曲线的右支(y≠0),方程为 - =1(x>3). 9 16 答案 C → → → → 12.已知两点 M(-2,0),N(2,0),点 P 为坐标平面内的动点,满足|MN|·|MP|+MN·NP=0, 则动点 P(x,y)的轨迹方程为( A.y =8x C.y =4x
2 2

x2

y2

) B.y =-8x D.y =-4x
2 2

→ → → 解析 MN=(4,0),MP=(x+2,y),NP=(x-2,y). → → 2 2 → → ∴|MN|=4, |MP|= (x+2) +y , MN· NP=4(x-2).根据已知条件得 4 (x+2)2+y2=4(2 -x). 整理得 y =-8x.∴点 P 的轨迹方程为 y =-8x. 答案 B 13.如图,P 是椭圆 2+ 2=1 上的任意一点,F1,F2 是它的两个焦点,O → → → 为坐标原点,且OQ=PF1+PF2,则动点 Q 的轨迹方程是________. → → → 解析 由于OQ=PF1+PF2, → → → → → 又PF1+PF2=PM=2PO=-2OP,
2 2

x2 y2 a b

y? y? 1→ ? x → ? x 设 Q(x, y), 则OP=- OQ=?- ,- ?, 即 P 点坐标为?- ,- ?, 又 P 在椭圆上, 则有 2? 2? 2 ? 2 ? 2

?-x? ? 2? ? ?
a2

2

-5-



?-y? ? 2? ? ?
b2

2

x2 y2 =1,即 2+ 2=1. 4a 4 b

答案

x2 y2 2+ 2=1 4a 4b
2

14.设 λ >0,点 A 的坐标为(1,1),点 B 在抛物线 y=x 上运动,点

Q 满足BQ=λ QA,经过点 Q 与 x 轴垂直的直线交抛物线于点 M,点 P
→ → 满足QM=λ MP,求点 P 的轨迹方程. → → 解 由QM=λ MP知 Q,M,P 三点在同一条垂直于 x 轴的直线上,故可 设 P(x,y),Q(x,y0),M(x,x ), 则 x -y0=λ (y-x ),即 y0=(1+λ )x -λ y.① → → 再设 B(x1,y1),由BQ=λ QA, 即(x-x1,y0-y1)=λ (1-x,1-y0), 解得?
? ?x1=(1+λ )x-λ , ?y1=(1+λ )y0-λ . ?
2 2 2 2







将①式代入②式,消去 y0, 得?
?x1=(1+λ )x-λ , ? ?y1=(1+λ ) ?
2 2

x -λ (1+λ )y-λ .
2



又点 B 在抛物线 y=x 上, 所以 y1=x1,再将③式代入 y1=x1,得(1+λ ) x -λ (1+λ )y-λ =[(1+λ )x-λ ] , (1+λ ) x -λ (1+λ )y-λ =(1+λ ) x -2λ (1+λ )x+λ , 2λ (1+λ )x-λ (1+λ )y-λ (1+λ )=0. 因 λ >0,两边同除以 λ (1+λ ),得 2x-y-1=0. 故所求点 P 的轨迹方程为 y=2x-1. 15.(2016·全国Ⅲ卷)已知抛物线 C:y =2x 的焦点为 F,平行于 x 轴的两条直线 l1,l2 分别交
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

C 于 A,B 两点,交 C 的准线于 P,Q 两点.
(1)若 F 在线段 AB 上,R 是 PQ 的中点,证明:AR∥FQ; (2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求 AB 中点的轨迹方程.

?1 ? 解 由题设 F? ,0?,设 l1:y=a,l2:y=b,则 ab≠0, ?2 ? ?a ? ?b ? ? 1 ? ? 1 ? 且 A? ,a?,B? ,b?,P?- ,a?,Q?- ,b?, ?2 ? ?2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 1 a+b?. R?- , ? ? 2
2 ? 记过 A,B 两点的直线为 l,则 l 的方程为 2x-(a+b)y+ab=0.
-62 2

(1)证明 由于 F 在线段 AB 上,故 1+ab=0.

a-b a-b 1 ab 记 AR 的斜率为 k1,FQ 的斜率为 k2,则 k1= = =- =-b=k2.所以 AR∥FQ. 2= 2 1+a a -ab a a
(2)设过 AB 的直线为 l,设 l 与 x 轴的交点为 D(x1,0), 1? 1 1 ? 则 S△ABF= |b-a||FD|= |b-a|?x1- ?, 2? 2 2 ?

S△PQF=

1? |a-b| |a-b| ? .由题设可得|b-a|?x1- ?= ,所以 x1=1,x1=0(舍去). 2? 2 2 ?

设满足条件的 AB 的中点为 E(x,y). 当 AB 与 x 轴不垂直时,由 kAB=kDE 可得 当 AB 与 x 轴垂直时,E 与 D 重合. 所以,所求轨迹方程为 y =x-1.
2

2 y a+b 2 = (x≠1).而 =y,所以 y =x-1(x≠1). a+b x-1 2

-7-


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