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2018_2019学年高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念学案新人教A版必修42

2.1 平面向量的实际背景及基本概念 [A 级 基础巩固] 一、选择题 1.关于向量的概念,下列命题中正确的是( ) A.若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合 B.模相等的两个平行向量是相等向量 C.若 a 和 b 都是单位向量,则 a=b D.两个相等向量的模相等 解析:A 项,两个向量如果相等,则它们的模和方向相同,起点和终点不一定重合,故错 误;B 项,模相等的两个平行向量有可能方向相反,故错误;C 项,两个向量相等不仅要求模 相等还要求方向相同,单位向量的模相等,方向不一定相同,故错误;D 项,如果向量相等, 则它们的模和方向均相同,故正确. 答案:D → 2.数轴上点 A,B 分别对应-1,2,则向量 AB 的长度是( A.-1 B.2 C.1 D.3 → 解析:|AB|=2-(-1)=3. 答案:D → → → 3.如图所示,在⊙O 中,向量 OB、 OC、AO 是( ) ) A.有相同起点的向量 B.共线向量 C.模相等的向量 D.相等的向量 答案:C 4.如图,等腰梯形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 P,点 E,F 分别在两腰 AD,BC 上, EF 过点 P,且 EF∥AB,则( ) 1 → → A.AD=BC → → C.PE=PF → → B.AC=BD → → D.EP=PF → → → → → → → → → 解析:由平面几何知识知,AD 与 BC 方向不同,故 AD≠BC;AC 与 BD 方向不同,故 AC≠BD;PE → → → → → → → 与 PF 的模相等而方向相反,故 PE≠PF;EP 与 PF 的模相等且方向相同,所以 EP=PF. 答案:D → → → → 5.若|AB|=|AD|且 BA=CD,则四边形 ABCD 的形状为( A.平行四边形 C.菱形 B.矩形 D.等腰梯形 ) → → → → 解析:由 BA=CD 知四边形为平行四边形;由|AB|=|AD|知四边形 ABCD 为菱形. 答案:C 二、填空题 6.有下列说法: → → ①向量 AB 和向量 BA 长度相等; → ②向量 BC 是有向线段; ③向量 0= 0 → →④ 向量 AB 大于向量 CD; ⑤单位向量都相等. 其中,正确的说法是________(填序号). 解析: 序号 √ ② ③ 正误 原因 → →① |AB|=|BA|=AB × × 向量可以用有向线段表示,但不能把二者等同起来 0 是一个向量,而 0 是一个数量 2 ④ ⑤ 答案:① × × 向量不能比较大小 单位向量的模均为 1,但方向不确定 → 7.如图,已知正方形 ABCD 的边长为 2,O 为其中心,则|OA|=________. → 解析:因为正方形的对角线长为 2 2,所以|OA|= 2. 答案: 2 → 8.如果在一个边长为 5 的正△ABC 中,一个向量所对应的有向线段为 AD(其中 D 在边 BC → 上运动),则向量 AD 长度的最小值为________. 解析:结合图形进行判断求解(图略),根据题意,在正△ABC 中,有向线段 AD 长度最小 53 时,AD 应与边 BC 垂直,有向线段 AD 长度的最小值为正△ABC 的高, 为 . 2 53 答案: 2 三、解答题 9.如图所示,四边形 ABEF 和 BCDE 均是边长为 1 的正方形,在以 A,B,C,D,E,F 为起 点和终点的向量中, → → (1)写出与 AF,AE 相等的向量; → (2)写出与 AD 模相等的向量. → → → → → 解:(1)与 AF 相等的向量有 BE, CD,与 AE 相等的向量 为 BD. → → → → (2) 与 AD 模相等的向量有 DA, CF,FC. 10.如图所示,O 是正六边形 ABCDEF 的中心. 3 → (1)与 OA 的模相等的向量有多少个? → (2)是否存在与 OA 长度相等、方向相反的向量?若存在,有几个? → (3)与 OA 共线的向量有哪些? → 解 : (1)与 OA 的模相等的线段是六条边和六条半径(如 OB),而每一条线段可以有两个向量, 所以这样的向量共有 23 个. → (2)存在.由正六边形的性质可知 BC∥AO∥EF,所以与 OA 的长度相等、方向相反的向量是 → → → → AO, OD, FE, BC,共 4 个. → → → (3) 由(2)知,BC∥OA∥EF,OD,AD 与 OA 在同一条直线上,所以与 OA 共线的向量有 BC, CB, → → → → → → → EF, FE, AO, OD, DO, AD, DA,共 9 个向量. B 级 能力提升 → 1.已知点 O 固定,且|OA|=2,则 A 点构成的图形是( A.一个点 C.一个圆 → 解析: 因为|OA|=2, 所以终点 A 到起点 O 的距离为 2. 又因为 O 点固定, 所以 A 点的轨迹是以 O 为圆心,2 为半径的圆. 答案:C 2.给出下列四个条件:①a=b;②|a|=|b|;③a 与 b 方向相反;④|a|=0 或|b|=0, 其中能使 a∥b 成立的条件是________(填序号). 解析:因为 a 与 b 为相等向量,所以 a∥b,即①能够使 a∥b 成立;由于|a|=|b|并没有 确定 a 与 b 的方向,即②不能够使 a∥b 成立;因为 a 与 b 方向相反时,a∥b,即③能够使 a∥ B.一条直线 D.不能确定 ) b 成立;因为零向量与任意向量共线,所以|a|=0 或|b|=0 时,a∥b 能够成立.故使 a∥b 成 4 立的条件是①③④. 答案:①③④ 3.如图,两人分别从 A 村出发,其中一人沿北偏东 60°方向行走了 1km 到了 B 村,另一 人沿北偏西 30°方向行走了 3km 到了 C 村,问 B、 C 两村相距多远,B 村在 C 村的什么方向上? → → 解:由题 可知|AB|=1,

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