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内蒙古呼伦贝尔市满洲里七中2014-2015学年高二上学期第二次月考数学试卷


内蒙古呼伦贝尔市满洲里七中 2014-2015 学年高二上学期第二次 月考数学试卷
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的.) 1. (5 分)已知命题 p:?x∈R,sinx≤1,则() A.?p:?x∈R,sinx≥1 B. ?p:?x∈R,sinx≥1 C. ?p:?x∈R,sinx>1 D.?p:?x∈R,sinx>1 2. (5 分)若集合 A={x|(2x+1) (x﹣3)<0},B={x∈N|x≤5},则 A∩B 是() A.{1,2,3} B.{0,1,2} C.{4,5} D.{1,2,3,4,5} 3. (5 分)若 x+y>0,a<0,ay>0,则 x﹣y 的值为() A.大于 0 B.等于 0 C.小于 0 4. (5 分)若 0<x<1,0<y<1,则在 x+y,x +y ,2xy,2 A.2xy B.x+y C. 2
2 2

D.符号不能确定 中,最大的一个数是() 2 2 D.x +y

5. (5 分)已知数列{an}的首项 a1=1,且 an=2an﹣1+1(n≥2) ,则 a5 为() A.7 B.15 C.30 D.31 6. (5 分)已知一等比数列的前三项依次为 x,2x+2,3x+3,那么﹣13 是此数列的第() 项. A.2

B. 4
2 2

C. 6

D.8

7. (5 分)若 f(x)=3x ﹣x+1,g(x)=2x +x﹣1,则 f(x)与 g(x)的大小关系是() A.f(x)>g(x) B. f(x)=g(x) C. f(x)<g(x) D.随 x 的值的变化而变化 8. (5 分)若命题 p:2n﹣1 是奇数,q:2n+1 是偶数(n∈Z) ,则下列说法中正确的是() A.p 或 q 为真 B.p 且 q 为真 C.非 p 为真 D.非 q 为假 9. (5 分)命题“a=0,则 ab=0”的逆否命题是() A.若 ab=0,则 a=0 B.若 a≠0,则 ab≠0 C.若 ab=0,则 a≠0 10. (5 分)x ﹣3x+2≠0 是 x≠1 的() A.充分不必要条件 C. 充要条件 11. (5 分)下列数列是等差数列的是() n A.an=﹣2n B.an=(﹣1) ?n
2

D.若 ab≠0,则 a≠0

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

C.an=(n+1)

2

D.an=2 +1

n

12. (5 分)等差数列{an}中,若 a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则前 9 项的和 S9 等于() A.66 B.99 C.144 D.297

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)“实数 a,b,c 成等差数列”是“2b=a+c”的条件. (按充分、必要关系填写) 14. (5 分)x,y∈(0,+∞) ,x+2y=1,则 的最小值是.

15. (5 分)如果函数

的定义域为 R,则实数 k 的取值范围是.

16. (5 分)已知数列{an},其前 n 项和 Sn=n +n+1,则 a8+a9+a10+a11+a12=.

2

三、解答题(本大题共 4 小题,共 40 分)

17. (8 分)已知 x,y 满足约束条件

,求目标函数 z=2x﹣y 的最大值和最小

值及对应的最优解. 18. (12 分)已知等差数列{an}中,公差 d>0,又 a2?a3=45,a1+a4=14 (I)求数列{an}的通项公 式; (II)记数列 bn= ,数列{bn}的前 n 项和记为 Sn,求 Sn.

19. (8 分)设两个命题:p:关于 x 的不等式 x +2ax+4>0 对一切 x∈R 恒成立,q:函数 f x (x)=﹣(4﹣2a) 在(﹣∞,+∞)上是减函数,若命题 p∨q 为真,p∧q 为假,则实数 a 的取值范围是多少?

2

20. (12 分) 已知函数 为 x1=3,x2=4. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)设 k>1,解关于 x 的不等式;

(a,b 为常数)且方程 f(x)﹣x+12=0 有两个实根



内蒙古呼伦贝尔市满洲里七中 2014-2015 学年高二上学 期第二次月考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的.) 1. (5 分)已知命题 p:?x∈R,sinx≤1,则() A.?p:?x∈R,sinx≥1 B. ?p:?x∈R,sinx≥1 C. ?p:?x∈R,sinx>1 D.?p:?x∈R,sinx>1 考点: 命题的否定. 分析: 根据?p 是对 p 的否定,故有:?x∈R,sinx>1.从而得到答案. 解答: 解:∵?p 是对 p 的否定∴?p:?x∈R,sinx>1 故选 C. 点评: 本题主要考查全称命题与特称命题的转化问题. 2. (5 分)若集合 A={x|(2x+1) (x﹣3)<0},B={x∈N|x≤5},则 A∩B 是() A.{1,2,3} B.{0,1,2} C.{4,5} D.{1,2,3,4,5} 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 分别求出集合 A 中不等式的解集和集合 B 中解集的自然数解得到两个集合,求出 交集即可. 解答: 解:集合 A 中的不等式(2x+1) (x﹣3)<0 可化为 或

解得﹣ <x<3,所以集合 A=(﹣ ,3) ; 集合 B 中的不等式 x≤5 的自然数解有:0,1,2,3,4,5,所以集合 B={0,1,2,3,4, 5}. 所以 A∩B={0,1,2} 故选 B 点评: 此题考查了集合交集的运算,是一道基础题. 3. (5 分)若 x+y>0,a<0,ay>0,则 x﹣y 的值为() A.大于 0 B.等于 0 C.小于 0

D.符号不能确定

考点: 不等式. 分析: 用不等式的性质判断两个变量 x, y 的符号, 由符号判断 x﹣y 的值的符号. 方法一: 综合法证明一般性原理;方法二用特值法证明.可以看到方法二比方法一简单. 解答: 解:法一:因为 a<0,ay>0,所以 y<0,又 x+y>0, 所以 x>﹣y>0,所以 x﹣y>0. 法二:a<0,ay>0,取 a=﹣2 得:

﹣2y>0,又 x+y>0,两式相加得 x﹣y>0. 故应选 A. 点评: 本题考点是不等式的性质, 本题考查方法新颖, 尤其是第二种方法特值法充分体现 了数学解题的灵活性. 4. (5 分)若 0<x<1,0<y<1,则在 x+y ,x +y ,2xy,2 A.2xy B.x+y C. 2 考点: 专题: 分析: 解答: 不等式的基本性质. 不等式的解法及应用. 利用基本不等式的性质和不等式的基本性质即可得出. 解:∵0<x<1,0<y<1,
2 2 2 2

中,最大的一个数是() 2 2 D.x +y

∴ ,x +y ≥2xy. 2 2 又 x>x ,y>y , 2 2 ∴x+y>x +y . ∴在 x+y,x +y ,2xy,2 中,最大的一个数是 x+y. 故选:B. 点评: 本题考查了基本不等式的性质和不等式的基本性质,属于基础题. 5. (5 分)已知数列{an}的首项 a1=1,且 an=2an﹣1+1(n≥2) ,则 a5 为() A.7 B.15 C.30 D.31 考点: 数列递推式. 专题: 计算题. 分析: (法一)利用已递推关系把 n=1,n=2,n=3,n=4,n=5 分别代入进行求解即可求 解 (法二)利用迭代可得 a5=2a4+1=2(a3+1)+1=…进行求解 (法三)构造可得 an+1=2(an﹣1+1) ,从而可得数列{an+1}是以 2 为首项,以 2 为等比数列, 可先求 an+1,进而可求 an,把 n=5 代入可求 解答: 解: (法一)∵an=2an﹣1+1,a1=1 a2=2a1+1=3 a3=2a2+1=7 a4=2a3+1=15 a5=2a4+1=31 (法二)∵an=2an﹣1+1 ∴a5=2a4+1=4a3+3=8a2+7=16a1+15=31 (法三)∴an+1=2(an﹣1+1) ∵a1+1=2 ∴{an +1}是以 2 为首项,以 2 为等比数列 n﹣1 n ∴an+1=2?2 =2 n ∴an=2 ﹣1 5 ∴a5=2 ﹣1=31 故选:D
2 2

点评: 本题主要考查了利用数列的递推关系求解数列的项, 注意本题解法中的一些常见的 数列的通项的求解:迭代的方法即构造等比(等差)数列的方法求解,尤其注意解法三中的 构造等比数列的方法的应用

6. (5 分)已知一等比数列的前三项依次为 x,2x+2 ,3x+3,那么﹣13 是此数列的第() 项. A.2

B. 4

C. 6

D.8

考点: 等比数列的通项公式. 专题: 综合题. 分析: 根据等比数列的性质可知第 2 项的平方等于第 1, 第 3 项的积, 列出关于 x 的方程, 求出方程的解,经检验得到满足题意 x 的值,然后根据 x 的值求出等比数列的首项和公比, 写出等比数列的通项公式,令通项公式等于﹣13 列出关于 n 的方程,求出方程的解即可得 到 n 的值. 解答: 解:由等比数列的前三项依次为 x,2x+2,3x+3, 得到(2x+2) =x(3x+3) ,即(x+1) (x+4)=0, 解得 x=﹣1 或 x=﹣4,当 x=﹣1 时,等比数列的前三项依次为﹣1,0,0 不合题意舍去, 所以 x=﹣4,等比数列的前三项依次为﹣4,﹣6,﹣9, 则等比数列的首项为﹣4,公比 q= 令 an=﹣4 = ,
2

=﹣13 ,解得 n=4.

故选 B 点评: 此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值, 掌握等比数列的性质, 是一 道综合题. 7. (5 分)若 f(x)=3x ﹣x+1,g(x)=2x +x﹣1,则 f(x)与 g(x)的大小关系是() A.f(x)>g(x) B. f(x)=g(x) C. f(x)<g(x) D.随 x 的值的变化而变化 考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题. 2 分析: 比较大小一般利用作差的方法,进而得到 f(x)﹣g(x)=x ﹣2x+2,然后再利用 二次函数的性质解决问题即可. 2 2 解答: 解:由题意可得:f(x)=3x ﹣x+1,g(x)=2x +x﹣1 2 2 所以 f(x)﹣g(x)= x ﹣2x+2=(x﹣1) +1≥1, 所以 f(x)>g(x) . 故选 A. 点评: 解决此类问题的关键是熟练掌握比较大小的方法与二次函数的性质, 并且结合正确 的运算. 8. (5 分)若命题 p:2n﹣1 是奇数,q:2n+1 是偶数(n∈Z) ,则下列说法中正确的是()
2 2

A.p 或 q 为真

B.p 且 q 为真

C.非 p 为真

D.非 q 为假

考点: 四种命题的真假关系. 专题: 计算题. 分析: 对复合命题的真假性进行证明,我们可先分析命题 p、q 的真假,然后利用真值表 进行计算.由(n∈Z)易得,2n﹣1 是奇数为真,2n+1 也是奇数,故 2n+1 是偶数为假命题. 解答: 解:由题设知:p 真 q 假, 故 p 或 q 为真命题. 故选 A 点评: (1)由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断,反之 根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假.假若 p 且 q 真,则 p 真,q 也真;若 p 或 q 真,则 p,q 至少有一个真;若 p 且 q 假,则 p,q 至少有一个假. (2)可把“p 或 q”为 真命题转化为并集的运算;把“p 且 q”为真命题转化为交集的运算. 9. (5 分)命题“a=0,则 ab=0”的逆否命题是() A.若 ab=0,则 a=0 B.若 a≠0,则 ab≠0 C.若 ab=0,则 a≠0

D.若 ab≠0,则 a≠0

考点: 四种命题间的逆否关系. 专题: 常规题型. 分析: 根据互为逆否的两命题是条件和结论先逆后否来解答. 解答: 解:因为原命题是“a=0,则 ab=0”, 所以其逆否命题为“若 ab≠0,则 a≠0”, 故选 D. 点评: 本题考察命题中的逆否关系,可以从字面理解“逆否”:先逆后否. 10. (5 分)x ﹣3x+2≠0 是 x≠1 的() A.充分不必要条件 C. 充要条件
2

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题. 2 2 2 分析: x ﹣3x+2≠0?x≠1 且 x≠2, 由此易判断“x ﹣3x+2≠0?x≠1”和“x≠1?x ﹣3x+2≠0”的真 假,进而根据充要条件的定义,得到答案. 2 解答: 解:当 x ﹣3x+2≠0 时,x≠1 且 x≠2,此时 x≠1 成立, 2 故 x ﹣3x+2≠0 是 x≠1 的充分条件; 2 当 x≠1 时,x ﹣3x+2≠0 不一定成立, 2 故 x ﹣3x+2≠0 是 x≠1 的不必要条件; 2 x ﹣3x+2≠0 是 x≠1 的充分不必要条件; 故选 A 2 点评: 本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断,其中分别判断“x ﹣ 3 3 2 1=0?x ﹣x=0”与“x ﹣x=0?x ﹣1=0”的真假,是解答本题的关键. 11. (5 分)下列数列是等差数列的是() n A.an=﹣2n B.an=(﹣1) ?n

C.an=(n+1)

2

D.an=2 +1

n

考点: 等差数列的性质. 专题: 规律型;等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列的通项公式,可得通项为 n 的一次函数形式,即可得出结论. 解答: 解:由等差数列的通项公式,可得通项为 n 的一次函数形式,故可知选 A. 故选:A. 点评: 本题考查等差数列的通项公式,比较基础. 12. (5 分)等差数列{an}中,若 a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则前 9 项的和 S9 等于() A.66 B.99 C.144 D.297 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 根据等差数列的通项公式化简 a1+a4+a7=39 和 a3+a6+a9=27,分别得到①和②,用 ②﹣①得到 d 的值,把 d 的值代入①即可求出 a1,根据首项和公差即可求出前 9 项的和 S9 的值. 解答: 解:由 a1+a4+a7=3a1+9 d=39,得 a1+3d=13①, 由 a3+a6+ a9=3a1+15d=27,得 a1+5d=9②, ②﹣①得 d=﹣2,把 d=﹣2 代入①得到 a1=19, 则前 9 项的和 S9=9×19+ ×(﹣2)=99.

故选 B. 点评: 此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前 n 项和的公式化简求值, 是一道中 档题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)“实数 a,b,c 成等差数列”是“2b=a+c”的充要条件. (按充分、必要关系填写) 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据等差数列的定义以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论. 解答: 解:若实数 a,b,c 成等差数列,则 b﹣a=c﹣b,即 2b=a+c, 反之也成立, 即实数 a,b,c 成等差数列”是“2b=a+c”的 充要条件, 故答案为:充要 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据等差数列的定义是解决本题的关 键. 14. (5 分)x,y∈(0,+∞) ,x+2y=1,则

的最小值是 3+2



考点: 基本不等式. 专题: 计算题.

分析: 由 x+2y=1?

=(

)?(x+2y)=1+

+ +2,结合条件,应用基本不等式即

可. 解答: 解:∵x,y∈(0,+∞) ,x+2y=1, ∴ =( )?(x+2y)=1+ + +2≥3+2 (当且仅当 = ,即 x= ﹣1 时取“=”) .

故答案为:3+2 . 点评: 本题考查基本不等式,着重考查代入法及基本不等式的应用,属于基础题. 15. (5 分)如果函数 的定义域为 R,则实数 k 的取值范围是

点评: 本题考查线性规划,准确作图是解决问题的关键,属中档题. 18. (12 分)已知等差数列{an}中,公差 d>0,又 a2?a3=45,a1+a4=14 (I)求数列{an}的通项公式; (II)记数列 bn= ,数列{bn}的前 n 项和记为 Sn,求 Sn.

考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (I)等差数列{an}中,由公差 d>0,a2?a3=45,a1+a4=14,利用等差数列的通项公 式列出方 程组,求出等差数列的首项和公差,由此能求出数列{an}的通项公式. (II)由 an=4n﹣3,知 bn= = ( ﹣ ) ,由此利用裂项求和法能求出数列

{bn}的前 n 项和. 解答: 解: (I)∵等差数列{an}中,公差 d>0,a2?a3=45,a1+a4=14, ∴ ,

解得

,或

(舍) ,

∴an=a1+(n﹣1)d=1+4(n﹣1)=4n﹣3.

(II)∵an=4n﹣3, ∴bn= = = ( ﹣ ) ,

∴数列{bn}的前 n 项和: Sn=b1+b2+b3+…+bn = = = . + + +…+

点评: 本题考查数列的通项公式和前 n 项和公式的应用,解题时要认真审题,仔细解答, 注意裂项求和法的合理运用. 19. (8 分)设两个命题:p:关于 x 的不等式 x +2ax+4>0 对一切 x∈R 恒成立,q:函数 f x (x)=﹣(4﹣2a) 在(﹣∞,+∞)上是减函数,若命题 p∨q 为真,p∧q 为假,则实数 a 的取值范围是多少? 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据一元二次不等式的解和判别式△ 的关系,及指数函数的单调性即可求出命题 p,q 下的 a 的取值范围,由 p∨q 为真,p∧q 为假知 p,q 一真一假,所以分成 p 真 q 假,p 假 q 真两种情况,分别求出 a 的取值范围再求并集即可. 2 解答: 解:p:△ =4a ﹣16<0,解得﹣2<a<2; q:首先 4﹣2a>0,∴a<2; 函数 f(x)=﹣(4﹣2a) 在(﹣∞,+∞)上是减函数,则 4﹣2a>1,∴a< ; 若命题 p∨q 为真,p∧q 为假,则 p,q 一真一假; 若 p 真 q 假,则: ,∴ ;
x 2

若 p 假 q 真,则: 综上得 a 的取值范围是

,∴a≤﹣2; .

点评: 考查一元二次不等式的解和判别式△ 的关系,指数函数的单调性,p∨q,p∧q 的真 假和 p,q 真假的关系.

20. (12 分)已知函数 x1=3,x2=4. (1)求函数 f(x)的解析式;

(a,b 为常数)且方程 f(x)﹣x+12=0 有两个实根为

(2)设 k>1,解关于 x 的不等式;



考点: 函数解 析式的求解及常用方法. 专题: 计算题;综合题. 分析: (1)将 x1=3,x2=4 分别代入方程 得出关于 a,b 的方程组,解之

即得 a,b,从而得出函数 f(x)的解析式. (2)不等式即为:即(x﹣2) (x﹣1) (x﹣k)>0.下面对 k 进行分类讨论:①当 1<k< 2,②当 k=2 时,③当 k>2 时,分别求出此不等式的解集即可.

解答: 解: (1)将 x1=3,x2=4 分别代入方程

,得

,解得

,所以 f(x)=



(2)不等式即为

,可化为

即(x﹣2) (x﹣1) (x﹣k)>0. ①当 1<k<2,解集为 x∈(1,k)∪(2,+∞) . ②当 k=2 时,不等式为(x﹣2) (x﹣1)>0 解集为 x∈(1,2)∪(2,+∞) ; ③当 k>2 时,解集为 x∈(1,2)∪(k,+∞) . 点评: 本题主要是应用分类讨论思想解决不等式问题, 关键是正确地进行分类, 而分类一 般有以下几个原则: 1.要有明确的分类标准; 2.对讨论对象分类时要不重复、不遗漏,即分成若干类,其并集为全集,两两的交集为空 集; 3.当讨论的对象不止一种时,应分层次进行,以避免混乱.根据绝对值的意义判断出 f(x) 的奇偶性,再利用偶函数的图象关于 y 轴对称,求出函数在(0,+∞)上的单调区间,并且 2 只要求出当 x>0 时,函数 f(x)=x ﹣2ax(a>0)最小值进而利用 f(x)min≤﹣1 解答此题.
2


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