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龙山中学2010-2011学年高二下学期3月月考(数学理)

龙山中学 201 届 3 月月考试题
高二数学(理)
第一部分 选择题(共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题意要求的. 1.设集合 A ? {x |

y ? 2x ? x2 } , B ? { y | y ? 2x } ,则 A ? B ? (
C. (1 , 2]



( 2) A. 0 ,

2] B. [0 ,

( 2] D. 0 ,


2.已知 ? , ? 为不重合的两个平面,直线 m ? ? , 那么“ m ? ? ”是“ ? ? ? ”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( A.



4 5

B.

3 5

C.

2 5

D.

1 5


4.若等差数列{

an }的前三项和 S 3 ? 9 且 a1 ? 1 ,则 a2 等于(

A.3 B.4 C.5 D.6 5.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位: cm ) ,可得这个几何体的 体积是 ( ) A. cm

8 3

3

B.

4 3 cm 3

C.

2 3 cm 3

D. cm

1 3

3

? ? 6. 在△ ABC 中, B ? 135 , C ? 15 , a ? 5 ,则此三角形的最大边长为(



A. 5 3

B. 4 3

C. 5 2

D. 4 2 )

7.已知函数 f ( x) ? ln( x ? x 2 ? 1), 若实数 a , b 满足 f (a) ? f (b ? 2) ? 0 ,则 a ? b ? (

A. ?2 B. ?1 C. 0 D. 2 8. 在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,如果函数 f ( x) 的图象恰
? 好通过 n(n ? N ) 个整点,则称函数 f ( x) 为 n 阶整点函数.有下列函数: 3 ① f ( x) ? sin 2 x ; ② g ( x) ? x

③ h( x ) ? ( ) ;
x

1 3

④ ? ( x) ? ln x , D.④

其中是一阶整点函数的是( ) A.①②③④ B.①③④

C.①④

1

第二部分 非选择题(共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。把答案填在答题卡相应位置。

?y ? x ? 9、已知不等式组 ? y ? ? x ,表示的平面区域的面积为 4,点 P( x , y) 在 ?x ? a ?
所给平面区域内,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 .

10.已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的 a 2 b2

离心率 e ? 2 ,且它的一个顶点到较近焦点的距离为 1, 则双曲线 C 的方程为 . 11. 右面框图表示的程序所输出的结果是_______ . 12.函数 f ( x) ? ( x ? 3)e x 的单调递增区间是_____________

S ? n ? 9 n, 则 其 通 项 a 13. 已 知 数 列 { n } 的 前 n 项 和 n
2

an ? _____________ ; 若 它 的 第 k 满 足 5 ? ak ? 8 , 则
k ? _____________

14.设函数

f ?x ? ?

?x ? 1??x ? a ?
x
为奇函数,则实数

a?
?
) 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?)( A ? 0, ? ? 0,| ? | ? 的部分图象如图所示 (1)求 f ( x) 的最小正周期及解析式; (2)设 g ( x) ? f ( x) ? cos 2 x, 求函数 g ( x) 在 区间 [0 ,

?
2

] 上的最大值和最小值.

16. (本小题满分 12 分)某项选拔共有四轮 考核, 每轮设有一个问题, 能正确回答问题 者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某 选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为 能否正确回答互不影响. (Ⅰ)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率; (Ⅱ)求该选手至多进入第三轮考核的概率.
2

4 3 2 1 、 、 、 ,且各轮问题 5 5 5 5

(注:本题结果可用分数表示) 17. (本小题满分 14 分)右图为一简单组合体, 其底面 ABCD 为正方形, PD ? 平面 ABCD , EC // PD , 且 PD ? 2 EC , (1)求证: BE //平面 PDA ; (2)若 N 为线段 PB 的中点,求证: EN ? 平面 PDB ;

P _

E _ N _ D _ C _

A _

B _

18. (本小题满分 14 分)已知圆 C 的圆心为 C (m, 0), m ? 3 ,半径为 5 ,圆 C 与椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 有一个公共点 A (3,1), F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点. a2 b2
(1)求圆 C 的标准方程; (2)若点 P 的坐标为(4,4),试探究斜率为 k 的直线 PF1 与圆 C 能否相切,若能,求 出椭圆 E 和直线 PF1 的方程;若不能,请说明理由. 19、 (本小题满分 14 分)已知等差数列 ?a n ?的公差为 ?1, 且 a2 ? a7 ? a12 ? ?6 , (1)求数列 ?an ? 的通项公式 a n 与前 n 项和 S n ; (2)将数列 ?a n ?的前 4 项抽去其中一项后,剩下三项按原来顺序恰为等比数列 ?bn ? 的前 3 项,记 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn , 若存在 m ? N , 使对任意 n ? N 总有
* ?

Sn ? Tm ? ? 恒成立, 求实数 ? 的取值范围.
x ?1 x ?1 x ?1 (Ⅰ)求函数的定义域,并证明 f ( x ) ? ln 在定义域上是奇函数; x ?1
20. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? ln (Ⅱ)若 x ? [2, 6] f ( x) ? ln

x ?1 m ? ln 恒成立,求实数 m 的取值范围; x ?1 ( x ? 1)(7 ? x)
2

(Ⅲ)当 n ? N 时,试比较 f (2) ? f (4) ? f (6) ? ... ? f (2n) 与 2n ? 2n 的大小关系.
*

3

参考答案
1.D 9. 6 12. (2, ??) 2.A 3.B 4. A 5.B
2

6.C 7.D 8. C

10. x ?

y2 ?1 3
8

11. 1320

13. 2n-10 ;:

14.-1



0? x?

?

当 2x ? 当 2x ?

?

?

6 6

?

?

2

, ,即 x ?

∴ ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

?
3

5? 6

2

时, g ( x) 有最大值,最大值为1,

??

?
6

,即 x ? 0 时, g ( x) 有最小值,最小值为 ?

1 ???????12 分 2

17.解: (1)证明:∵ EC // PD , PD ? 平面 PDA , EC ? 平面 PDA ∴EC//平面 PDA , 同理可得 BC//平面 PDA ∵EC ? 平面 EBC,BC ? 平面 EBC 且 EC ? BC ? C

4

∴平面 BEC //平面 PDA 又∵BE ? 平面 EBC ∴BE//平面 PDA---------------7 分 (2)证法 1:连结 AC 与 BD 交于点 F, 连结 NF, ∵F 为 BD 的中点,

1 PD , 2 1 又 EC // PD 且 EC ? PD 2 ∴ NF // EC 且 NF ? EC
∴ NF // PD 且 NF ? ∴四边形 NFCE 为平行四边形 ∴ NE // FC

DB ? AC , PD ? 平面 ABCD , AC ? 面 ABCD ∴ AC ? PD , 又 PD ? BD ? D ∴ AC ? 面 PBD ∴ NE ? 面 PDB ----------------------14 分
∵ 18. 解: (1)由已知可设圆 C 的方程为 ( x ? m) 2 ? y 2 ? 5(m ? 3) 将点 A 的坐标代入圆 C 的方程,得 (3 ? m) ? 1 ? 5
2

,或 m ? 5 即 (3 ? m) ? 4 ,解得 m ? 1
2

∵m ? 3

∴m ?1
2 2

∴圆 C 的方程为 ( x ? 1) ? y ? 5 ?????????.6 分 (2)直线 PF1 能与圆 C 相切 依题意设直线 PF1 的方程为 y ? k ( x ? 4) ? 4 ,即 kx ? y ? 4k ? 4 ? 0 若直线 PF1 与圆 C 相切,则

k ? 0 ? 4k ? 4 k 2 ?1

? 5

2 ∴ 4k ? 24k ? 11 ? 0 ,解得 k ?

11 1 ,或 k ? 2 2

当k ?

11 36 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 ,不合题意,舍去 2 11 1 当 k ? 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 ? 4 , 2

∴ c ? 4,F1 (?4,0),F2 (4,0) ∴由椭圆的定义得:

2a ? AF1 ? AF2 ? (3 ? 4) 2 ? 12 ? (3 ? 4) 2 ? 12 ? 5 2 ? 2 ? 6 2
∴ a ? 3 2 ,即 a ? 18, ∴ b ? a ? c ? 2
2 2 2 2

5

直线 PF1 能与圆 C 相切,直线 PF1 的方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 ,椭圆 E 的方程为

x2 y2 ? ? 1 ???.14 分 18 2
19、 解:(1) 由 a2 ? a7 ? a12 ? ?6 得 a7 ? ?2 ,所以 a1 ? 4

? an ? 5 ? n ,

从而 S n ?

n(9 ? n) ----------------------------6 分 2

(2)由题意知 b1 ? 4, b2 ? 2, b3 ? 1 设等比数列 ?bn ?的公比为 q ,则 q ?

b2 1 ? , b1 2

1 ? ? 4 ?1 ? ( )m ? 1 ? 2 ? ? Tm ? ? ? 8 ?1 ? ( )m ? 1 ? 2 ? ? 1? 2

1 ? ( ) m 随 m 递减, 2

? ?Tm ? 为递增数列,得 4 ? Tm ? 8
又 Sn ?

n(9 ? n) 1 1? 9 81? ? ? ( n 2 ? 9n) ? ? ? ( n ? ) 2 ? ? , 2 2 2? 2 4?

故 (Sn )max ? S4 ? S5 ? 10 , 若存在 m ? N , 使对任意 n ? N 总有 Sn ? Tm ? ?
* ?

则 10 ? 8 ? ? ,得 ? ? 2 ------------------------14 分 20.解: (Ⅰ)由

x ?1 ? 0 ,解得 x ? ?1 或 x ? 1 , x ?1

∴ 函数的定义域为 (??, ?1) ? (1, ??) 当 x ? (??, ?1) ? (1, ??) 时,

?x ?1 x ?1 x ? 1 ?1 x ?1 ? ln ? ln( ) ? ? ln ? ? f ( x) ?x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 ∴ f ( x ) ? ln 在定义域上是奇函数。 ???4 分 x ?1 f (? x) ? ln
(Ⅱ)由 x ? [2, 6] 时, f ( x) ? ln

x ?1 m ? ln 恒成立, x ?1 ( x ? 1)(7 ? x)



x ?1 m ? ? 0,? x ? [2, 6] x ? 1 ( x ? 1)(7 ? x)
6

∴ 0 ? m ? ( x ? 1)(7 ? x) 在 x ? [2, 6] 成立 令 g ( x) ? ( x ? 1)(7 ? x) ? ?( x ? 3)2 ? 16 , x ? [2, 6] ,由二次函数的性质可知

x ? [2,3] 时函数单调递增, x ? [3, 6] 时函数单调递减, x ? [2, 6] 时, g ( x)min ? g (6) ? 7
∴0 ? m ? 7 ???8 分

(Ⅲ) f (2) ? f (4) ? f (6) ? ??? ? f (2n) = ln ? ?

3 5 7 2n ? 1 ????? ? ln(2n ? 1) 1 3 5 2n ? 1

证法一:设函数 h( x) ? ln x ? ( x ? 1)( x ? 1) , x ? [1 , ??) 则 x ? (1 , ??) 时, h?( x ) ?

1? x ? 0 ,即 h( x) 在 (1 , ??) 上递减, x

所以 h( x) ? h(1) ? 0 ,故 ln x ? x ? 1 ln x ? x ? 1 在 x ? [1, ??) 成立, 则当 x ? 2n ? 1(n ? N ) 时, ln(2n ? 1) ? 2n ? 2n2 ? 2n 成立. ???14 分
?

x2 1 ? x2 ? 2 x ?( x) ? ? x ?1 ? 证法二:构造函数 h( x) ? ln(1 ? x) ? ( x ? )( x ? 0) , h 2 x ?1 x ?1
当 x ? 0 时, h?( x) ? 0 ,∴ h( x) ? ln(1 ? x) ? ( x ?

x2 ) 在 (0, ??) 单调递减, 2

? h( x) ? h(0) ? 0
?

???12 分
2

当 x ? 2n ( n ? N )时, ln(1 ? 2n) ? (2n ? 2n ) ? 0

?ln(1 ? 2n) ? 2n ? 2n2 ?14 分

7