# 控制系统的数学描述与建模_图文

＋ ur(t) － i ＋ uc(t) －

L[ f (t )] = F (s)
df ( t ) L = sF ( s ) f ( 0 ) dt
= s 2 F ( s ) sf ( 0 ) f ' ( 0 )

d 2 f (t ) L 2 dt

d 3 f (t ) 3 2 ' '' L = s F ( s ) s f (0) sf (0) f (0) 3 dt
d n f (t ) L = s n F ( s ) s n 1 f ' (0) s n 2 f (0) L f ( n 1) (0) dt n

f
L

L

[f

(t )]= F ( s )

[∫

F (s) 1 f ( t ) dt = + f s s

]

( 1)

(0 )

( 1)

(0 ) =

f ( t ) dt

t=0处的值）

f(t)多重积分的拉氏变换为：
F (s) 1 n L L f (t ) dt = n + n f s s 123 n

∫ ∫

( 1)

1 (0) + L + f s

(n)

(0)

L f ' ( t ) = sF ( s )
'' 2

[ ] L [ f (t ) ] = s F ( s ) L [f (t ) ] = s F ( s )
''' 3

L

[∫

f ( t ) dt

]
2

1 = F (s) s

L

[∫∫

f ( t ) dt

] = s1
n

2

F (s)

L L f ( t ) dt 123 n

L f

[

(n)

(t ) = s n F ( s )

]

∫ ∫

F (s) = sn

1 di (t ) L + Ri + ∫ idt = U r (t ) dt C
1 ∫ idt = U c (t ) C

LsI ( s ) + RI ( s ) + I (s) = U c (S ) Cs 1 I (S ) = U r (s) C s

( LCs + RCs + 1)U c ( s ) = U r ( s )
2

U c ( s) 1 = 2 U r ( s ) ( LCs + RCs + 1)

R t=0 i (t ) ± Vs=1V

L + C vo (t )

mα = ∑ F
d y dy m 2 =F f ky dt dt
2

ms Y ( s ) = F ( s ) fsY ( s ) KY ( s )
2

Y (s) 1 G (s) = = 2 F ( s ) ms + fs + k

ωm (θ m )

dωm Tm + ωm = K mua dt
m (s) Km = U a ( s ) Tm s + 1

1 ui = ∫ (i1 i2 )dt + R1i1 C1 1 1 ∫ (i2 i1 )dt + R2i2 + C2 ∫ i2 dt = 0 C1 1 ∫ i2 dt = uc C2

1 ∫ (i1 i2 )dt + R1i1 C1 1 1 (i2 i1 )dt + R2i2 + ∫ ∫ i2 dt = 0 C1 C2 1 ∫ i2 dt = uc C2 ui =

1 U i ( s) = [ I1 ( s ) I 2 ( s )] + R1 I1 ( s ) C1s 1 1 [ I 2 ( s ) I1 ( s )] + R2 I 2 ( s ) + I 2 (s) = 0 C1s C2 s 1 I 2 (s) = U C (s) C2 s

U c ( s) 1 = U i ( s ) R1R2C1C2 S 2 + ( R1C1 + R1C2 + R2C2 ) s + 1

U c ( s) K = U i ( s ) ( R1C1s + 1)( R2C2 s + 1)

K1 (Xr - Xc ) + B1 (Xr - Xc ) = K 2 Xc + B2 Xc

R2i + 1 1 idt + R1i + ∫ ∫ idt = U r C2 C1
C 1U c1 = C 2U c2
U c = R1 i + U c1

③ ④

( B1 + B 2 ) X c + ( K 1 + K 2 ) X c = B1 X r + K 1 X r

(R 1 + R 2 )i + U c1 + U c2 = U r

C1 Ur (1 + )Uc C2 i= C1 R1 + R 2 (1 + ) R1 C2

1 1 1 ( R1 + R 2 ) U c + ( + )U c = R1 U r + Ur C1 C 2 C1

R1

R 2 Y (s) R3
1

C1

X (s)

+

Y (S )

Q I R1 ( s ) = I R2 ( s ) , I R2 ( s ) = I c1 ( s ) + I R3 ( s )

Y1 ( s ) X (s) I R1 ( s ) = , I R2 ( s ) = R1 R2 Y1 ( s ) I C1 ( s ) = , 1 / c1 s Y1 ( s ) Y ( s ) I R3 ( s ) = R3

Y (s) ∴ G (s) = = K C (1 + Td s ) X (s)

R2 + R3 KC = R1
R2 R3 Td = C1 R2 + R3

C ( s ) b1s m + b2 s m 1 + ... + bn s + bm +1 G( s) = = R( s ) a1s n + a2 s n 1 + ... + an s + an +1

( s z1 )( s z2 )...( s zm ) G( s) = K ( s p1 )( s p2 )...( s pn )

K为系统增益，zi为零点，pj为极点 在MATLAB中零极点增益模型用[z,p,K]矢量组表示。即： z=[z1,z2,…,zm] p=[p1,p2,...,pn] K=[k] 函数tf2zp()可以用来求传递函数的零极点和增益。

12 s 3 + 24 s 2 + 20 举例：传递函数描述 1）G ( s ) = 2s 4 + 4s 3 + 6s 2 + 2s + 2
》num=[12,24,0,20];den=[2 4 6 2 2];

4( s + 2)( s 2 + 6 s + 6) 2 2） G ( s ) = s( s + 1)3 ( s 3 + 3s 2 + 2 s + 5)

s 3 + 11s 2 + 30 s 零极点增益模型： G ( s ) = 4 s + 9 s 3 + 45s 2 + 87 s + 50 》num=[1,11,30,0];
》den=[1,9,45,87,50]; [z,p,k]=tf2zp(num,den) 》 z= p= k= 0 -6 -5 -3.0000+4.0000i -3.0000-4.0000i -2.0000 -1.0000 1

s( s + 6)( s + 5) 结果表达式：G ( s ) = ( s + 1)( s + 2)( s + 3 + 4 j )( s + 3 4 j )

2s 3 + 9s + 1 G( s ) = 3 2 s + s + 4s + 4

k= 2

0.0000+2.0000i 0.0000-2.0000i -1.0000

0.25i 0.25i 2 + + 结果表达式： G ( s ) = 2 + s 2i s + 2i s + 1

& x = Ax + Bu y = Cx + Du

1 6 9 10 4 3 12 6 8 2 x + & x= 4 7 9 11 2 5 12 13 14 1 0 0 2 1 y= x 8 0 2 2

6 4 u 2 0

》A=[0 1; -1 -2]; B=[0;1]; 》C=[1,3]; D=[1]; 》[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu) ％iu用来指定第n个输入，当只有一个输入时可忽略。 》num=1 5 2; den=1 2 1; 》[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,iu) 》z= -4.5616 p= -1 k=1 -0.4384 -1

y = [1 3]x + u

1 0 x + 1 u 2

2）已知一个单输入三输出系统的传递函数模型为：

y1(s) 2 s 5 G11(s) = = 3 G21(s) = 3 2 u(s) s + 6s +11 + 6 s s + 6s2 +11 + 6 s s + 2s G31(s) = 3 2 s + 6s +11 + 6 s
2

》num=[0 0 -2;0 -1 -5;1 2 0];den=[1 6 11 6]; 》[A,B,C,D]=tf2ss(num,den) 》A= -6 -11 -6 B= 1 C= 0 0 -2 D= 0 1 0 0 0 0 -1 -5 0 0 1 0 0 1 2 0 0

6( s + 3) G 3）系统的零极点增益模型： ( s ) = ( s + 1)( s + 2)( s + 5)
》z=[-3];p=[-1,-2,-5];k=6; 》[num,den]=zp2tf(z,p,k) 》num= 0 0 6 18 den= 1 8 17 10 》[a,b,c,d]=zp2ss(z,p,k) 》a= -1.0000 0 0 b=1 2.0000 -7.0000 -3.1623 1 0 3.1623 0 0 c= 0 0 1.8974 d=0 注意：零极点的输入可以写出行向量，也可以写出列向量。

0.25i 0.25i 2 + + 4）已知部分分式： G ( s ) = 2 + s 2i s + 2i s + 1
》r=[-0.25i,0.25i,-2]; 》p=[2i,-2i,-1];k=2; 》[num,den]=residue(r,p,k) 》num= 2 0 9 1 》den= 1 1 4 4 注意余式一定要与极点相对应。

1、并联：parallel 格式： [a,b,c,d]=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2) ％并联连接两个状态空间系统。 [a,b,c,d]=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,inp1,inp2,out1,out2) ％inp1和inp2分别指定两系统中要连接在一起的输入端编号，从 u1,u2,…,un依次编号为1,2,…,n； out1 out2 u1,u2,…,un 1,2,…,n out1和out2分别指定要作相加的 输出端编号，编号方式与输入类似。inp1和inp2既可以是标量也可 以是向量。out1和out2用法与之相同。如inp1=1,inp2=3表示系统1 的第一个输入端与系统2的第三个输入端相连接。 若inp1=[1 3],inp2=[2 1]则表示系统1的第一个输入与系统2的第二个 输入连接，以及系统1的第三个输入与系统2的第一个输入连接。 [num,den]=parallel(num1,den1,num2,den2) ％将并联连接的传递函数进行相加。

2、串联：series 格式： [a,b,c,d]=series(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2) ％串联连接两个状态空间系统。 [a,b,c,d]=series(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,out1,in2) ％out1和in2分别指定系统1的部分输出和系统2的部分输 入进行连接。 [num,den]=series(num1,den1,num2,den2) ％将串联连接的传递函数进行相乘。

3、反馈：feedback

4、闭环：cloop（单位反馈） 格式： [ac,bc,cc,dc]=cloop(a,b,c,d,sign) ％通过将所有的输出反馈到输入，从而产生闭环系统的状态 空间模型。当sign=1时采用正反馈；当sign= -1时采用负反 馈；sign缺省时，默认为负反馈。 [ac,bc,cc,dc]=cloop(a,b,c,d,outputs,inputs) ％表示将指定的输出outputs反馈到指定的输入inputs，以此 构成闭环系统的状态空间模型。一般为正反馈，形成负反馈 时应在inputs中采用负值。 [numc,denc]=cloop(num,den,sign) ％表示由传递函数表示的开环系统构成闭环系统，sign意义 与上述相同。

1 0 0 & x1 = x1 + 1 u1 1 2 y1 = [1 3]x1 + u1

1 0 0 & x2 = x2 + 1u2 1 3 y2 = [1 4]x2

2）exp3_3.m
& x 11 1 x = 2 & 12 x 13 3 & 4 2

1 0 0 0 u 11 0 u 12 1 u 13

4 x 11 0 1 x 12 + 1 6 2 x 13 0 x 11 y 11 0 0 1 + 0 y = 0 1 1 x 12 1 12 x 13 & x 21 1 1 0 x 21 1 x = 3 2 1 x + 0 & 22 22 x 23 1 1 x 23 0 6 & x 21 y 21 0 1 0 1 1 y = 1 0 1 x 22 + 1 0 22 x 23

u 11 1 0 u 12 0 1 u 13 0 0 u 21 1 0 u 22 0 1 u 23
u 21 0 u 22 1 u 23

ctrb和obsv函数可以求出状态空间系统的可控性和可观 性矩阵。 格式：co=ctrb(a,b) ob=obsv(a,c) 对于n×n矩阵a，n×m矩阵b和p×n矩阵c ctrb(a,b)可以得到n×nm的可控性矩阵 co=[b ab a2b … an-1b] obsv(a,c)可以得到nm×n的可观性矩阵 ob=[c ca ca2 … can-1]’ 当co的秩为n时，系统可控；当ob的秩为n时，系统可 观。exp3_4.m