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1.2.1函数的概念


【课题】§1.2.1 函数的概念
【教材】 普通高中课程标准实验教科书(A 版) ·必修 1(人民教育出版社) 【课时安排】 1 课时 【教学设计说明】 ? 教材分析 函数是中学数学中最重要的概念之一,而函数概念贯穿在中学数学的始终, 概念是数学的基础, 概念性强是函数理论的一个显著特点,只有对概念作到深刻 理解, 才能正确灵活地加以应用。本课中学生对函数概念理解的程度会直接影响 数学其它知识的学习,所以函数的第一课时非常的重要。 ? 学情分析 在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前, 学生已经把函数看成变量之 间的依赖关系; 同时, 虽然函数概念比较抽象, 但函数现象大量存在于学生周围, 因此, 课本采用了从实际例子中抽象出用集合与对应的语言定义函数方式介绍函 数概念。 【教学目标】 ? 知识与技能 了解对应和映射概念、理解函数的近代定义、函数三要素,以及对函数抽 象符号的理解。 ? 过程与方法 (1) 通过学习函数的概念,培养学生观察、提出问题的能力 (2) 会求一些简单函数的定义域,体会对应关系在刻画函数概念中的作用, 使学生感受到学习函数的必要性和重要性

? 情感态度与价值观 (1)培养学生学习数学的兴趣和抽象概括能力 (2)启发学生运用函数模型表达思考和解决现实世界中蕴含的规律,逐渐形 成善于提出问题的习惯,学会数学表达和交流,发展数学应用意识。 【教学重点】 理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数 【教学难点】 符号“y=f(x) ”的含义,不容易认识到函数概念的整体性,而将函数单一的理解 成为对应关系,甚至认为函数就是函数值。 【教学方法】 探索式教学方法,利用讲授法、练习法相结合,由浅入深进行教学。 【教学手段】 PPT、板书等 【教学过程设计】 一、教学流程设计
创 设 情 境 导 入 新 课 发 现 问 题 探 求 新 知 随 堂 训 练 共 同 提 高 归 纳 小 结 拓 展 深 化 布 置 作 业 学 以 致 用

二、教学过程设计 (一)创设情境 导入新课 北京时间 2013 年 6 月 11 日 17 时 38 分,万众瞩目的“神舟”十号飞船胜利 发射升空,15 天后圆满完成各项任务并顺利返回。在“神舟”十号飞行期间,我们

时刻关注“神舟”六号离我们的距离 y 随时间 t 是如何变化的,本节课就对这种变 量关系进行定量描述和研究。 (二)发现问题 1、函数概念 提出问题: (1)给出下列对应: ①一枚炮弹发射后,经过 26s 落到地面击中目标。炮弹的射高为 845m,且 炮弹距地面的高度 h(单位:m)随时间 t(单位:s)变化的规律是 h=130t-5t2 时 间 t 的 变 化 范 围 是 数 集 A ? {t | 0 ? t ? 26}, h 的 变 化 范 围 是 数 集
B ? {h | 0 ? h ? 845}. 则有对应 f : t ? h ? 130 ? 5t 2 , t ? A, h ? B.

探求新知

②国际上常用恩格尔系数反应一个国家人民生活质量的高低,恩格尔系数越 低,生活质量越高。下表中的恩格尔系数随时间 t(年)变化的情况表明, “八五” 计划以来,我国城镇居民的生活质量发生了显著变化。 “八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况
时间(t) 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

恩格尔 53.8 系数(y) 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9

根据上表,可知时间 t 的变化范围是数集 A ? {t | 1991 ? t ? 2001}, 恩格尔系数 y 的变化范围是数集 B ? { y | 37.9 ? y ? 53.8}. 则有对应 f : t ? y, t ? A, y ? B. (2)以上两个对应有什么共同点?

两个实例中变量关系都可以描述为:对于数集 A 中的每一个 x,按照某种对 应关系 f,在数集 B 中都有唯一确定的 y 和它对应,记作: f : A ? B. 我们把这 样的对应称为函数,用集合的观点表示函数的定义如下: 定义:一般地,我们有:设 A,B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f, 使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应, 那么,就称 f : A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作
y ? f ( x), x ? A

其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域,与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合 { f ( x) | x ? A} 叫做函数的值域。 由函数的定义可知,一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域。由 于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域相同,并且 对应关系完全一致,我们就称这两个函数相等。 例1 已知函数 f ( x) ? x ? 3 ?
1 x?2

(1) 求函数的定义域
2 (2) 求 f (?3), f ( ) 的值 3

(3) 当 a>0 时,求 f(a),f(a-1)的值 分析: 函数的定义域通常由常见问题的实际背景确定, 如前所述的两个实例, 如果只给出解析式 y ? f ( x), 而没有指名它的定义域, 那么函数的定义域就是指能 使这个式子有意义的实数的集合。 设计意图:让学生从实例出发理解函数的概念,进而用刚学过的集合的概念来表

述函数的概念,层层递进,更易让学生理解。 2、区间的概念 研究函数时常会用到区间的概念,设 a,b 是两个实数,而且 a<b.我们规定: (1) 满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做闭区间,表示为[a,b]; (2) 满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做开区间,表示为(a,b); (3) 满足不等式 a ? x ? b 或 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,分 别表示为[a,b),(a,b]. 这里的实数 a,b 都叫做相应区间的端点。 这些区间的集合表示如下表所示, 在图中, 用实心点表示包括在区间内的端点, 用空心点表示不包括在区间内的端点。 定义
{x | a ? x ? b} {x | a ? x ? b} {x | a ? x ? b} {x | a ? x ? b}

名称 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间

符号 [a,b] (a,b) [a,b) (a,b]

数轴表示
a b

a

b

a

b

a

b

实数集 R 可以用区间 (??,??), "?" 读作“无穷大” , “- ? ”读作“负无穷大” , “+ ? ”读 作“正无穷大” 。我们可以把满足 x ? a, x ? a, x ? b, x ? b 的实数 x 的集合分别表示为
[a,??), (a,??), (??, b], (??, b).

设计意图:用文字和数学语言及数轴相结合的方式描述区间,显而易懂,使同学

们容易接受,且加深同学们对区间表示的印象。

(三)随堂训练

共同提高

例 1:下列函数中哪个与函数 y=x 相等? (1) y ? ( x ) 2 ; (3) y ? x 2 ; (2) y ? 3 x 3 ; (4) y ?
x2 . x

例 2:已知函数 f(x)的定义域是[-1,1],则函数 f(2x-1)的定义域是______. (四)归纳小结 拓展深化

本节课学习了: ① 函数的概念、函数定义域的求法和对符号 f(x)的理解 ② 区间的概念及区间的表示方法 设计意图:让学生在小结中明确本节课的学习内容,强化本节课的学习重点,并 为后续学习打下基础。 (五)布置作业 习题 P 19 学以致用 1、2

习题

(六)板书设计 §1.2.1 一、函数概念
y ? f ( x), x ? A

函数的概念 三、区间 [a,b],(a,b),[a,b),(a,b]

二、定义域求法 实际背景、使式子有意义

四、小结

【教学反思】


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