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高三数学总复习4.3三角函数的图像和性质教学设计

高三数学总复习
《三角函数的图像和性质》教案设计

y
yy=?tatannxx
y ? cosx

y ? sin x

3? -2

-?

? -2

o?
2

? 3?

x

2

武威第十五中学数学组 尚永杰

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一、【教材分析】

1.教材背景

学生已经学习了三角函数,他们对于正弦函数、余弦函数、正切函数有了基本的了解

(包括图像、性质等等);但是并没有对它们进行细致整理、消化。因此需要把三角函数

进行系统复习,学生在复习中能进一步熟悉函数图像及性质,同时深化三角函数的整体意

识。也借助这一阶段的复习,让学生对高考数学有个初步认识和了解:概念优先,计算为

重,突出思维方法,培养学习习惯。因此,安排相对集中的复习课,突出思想方法,突出

用数学语言表达数学思维的培养,也是高考的重要内容之一。

2.本课的地位和作用

本节内容是函数内容的深化,具有非常高的实用价值,在三角函数的研究过程中蕴含

了数形结合、分类讨论、归纳推理、演绎推理、换元等数学思想方法,通过学习可以帮助

学生进一步理解三角函数,培养学生的函数应用意识,增强学生对数学的兴趣,走进高考。
二、【重难点分析】
根据新课程标准、高考考纲要求以及对教材的分析,确定本节课重难点如下:
重点:教学重点是掌握三角函数的图象和性质,并能灵活应用达到高考要求。 难点: 对于三角函数图象的不同特征,学生不容易归纳认识清楚。因此,弄清楚图
象之间的异同和平移变换是本节的难点之一。
三、【目标分析】

1.知识技能目标
掌握三角函数的概念、图象和性质。
2.过程性目标
通过自主回顾与探索,让学生经历“温故→应用→提升”的训练过程,完善认知结构, 领会数形结合、归纳推理、换元等数学思想方法。
3.情感、价值观目标
让学生感受数学问题探索的乐趣和成功的喜悦,体会数学的理性、严谨及数与形的和 谐统一美,展现数学实用价值及其在社会进步、人类文明发展中的重要作用。
四、【学情分析】 1.有利因素
学生已经学习了三角函数的定义、图象、性质,已经掌握了三角函数的一些解题方法 和思想方法,对于本节课的学习会有很大帮助。
2.不利因素
本节内容思维量较大,题型较多较难,对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理、换元 等能力有较高的要求,学生学习起来有一定难度。
五、【考纲解读】

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1.能画出 y ? sin x, y ? cosx, y ? tan x 的图象,了解三角函数的周期性.

2.理解正弦函数、余弦函数在区间 ?0,2? ?上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与

x 轴的交点等),理解正切函数在区间 ?? ? ? , ? ?? 内的单调性. ? 2 2?
3.了解函数 y ? Asin(?x ? ?) 的物理意义;能画出 y ? Asin(?x ? ?) 的图象,了解参数

A,?,? 对函数图象变化的影响.

4.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际 问题.
六、【考点预测】
高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为: 1.三角函数是历年来高考重点内容之一 ,三角函数的图象和性质的考查,经常以选择题与 填空题的形式出现,还常在解答题中与三角变换结合起来考查,在考查三角函数知识的同 时,又考查函数思想、数形结合思想、换元思想和分类讨论思想解决问题的能力。 2.2016 年的高考将会继续保持稳定,坚持考查三角函数的图象和性质,命题形式会更加灵 活多样,要求学生理解并掌握。
七、【教法学法】
根据对教材、重难点、目标、考纲要求及学生情况的分析,本着教法为学法服务的宗 旨,确定以下教法、学法:
启发式教学法、类比复习法,并利用多媒体辅助教学。遵循“以学生为主体、教师是 数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则。以问题的提出、问题的解决 为主线,倡导学生主动参与,自主探究,通过分析、发现,在师生互动、生生互动中,让 学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。

八、【教学过程流程设计】

复习考点→典例精讲→方法指点→知识扩展→课堂练习→课堂小结→课后作业

九、【教学过程】 一、知识梳理(设计意图:引导学生梳理课本基础知识,并重点讲解高考高 频考点应该注意的地方,让学生再一次理解重难点,是学生达到高考的要求。)

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(时间安排:约 15 分钟。)

1.周期函数的定义 对于函数 y ? f (x) ,如果存在一个不为零的常数T ,使得当 x 取定义域内的每一个值 时, f (x ? T ) ? f (x) 都成立,那么就把函数 y ? f (x) 叫做周期函数,不为零的常数 T 叫做 这个函数的周期。
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

y=sinx

y

-4? -7? -3? 2

-5?
2 -2? -3? -? 2

?
-2 1 o
-1

? 2

?

3?

7?

2

2

2? 5? 3? 2

4?

x

y=cosx

y

-3?
-4? -7? 2

-5?
2 -2?

-? -3? 2

? -2

1

o

-1

? 2

?

3? 2
2?

3? 5? 2

7?
2 4?

x

y
y=tanx

3? -2

-?

? -2

o?
2

? 3? x
2

3.三角函数的单调区间:

y

?

sin

x

的递增区间是

???2k?

?

? 2

,2k?

?

? 2

? ??

,递减区间是

???2k?

?

? 2

,2k?

?

3? 2

? ??

(k

?

Z)



y ? cosx 的递增区间是 ?2k? ? ?,2k? ? (k ? Z) ,递减区间是 ?2k?,2k? ? ? ? (k ? Z) ,

y ? tan x 的递增区间是 ?? k? ? ? ,k? ? ? ?? (k ? Z) ,

?2

2?

重、难点问题重点讲解!

4.函数 y ? Asin(?x ? ?) ? B(其中A ? 0,? ? 0)

最大值是 A ? B ,最小值是 B ? A ,周期是T ? 2? ,频率是 f ? ? ,相位是?x ? ? ,

?

2?

初相是? ;其图象的对称轴是直线?x ? ? ? k? ? ? (k ? Z) ,凡是该图象与直线 y ? B 的交 2

点都是该图象的对称中心。

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注意:由 y=sinx 的图象变换出 y=sin(ωx+? )的图象一般有两个途径,只有区别

开这两个途径,才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现 无论哪种 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
变形,请切记每一个变换总是对字母 x 而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不
是“角变化”多少。
途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将 y=sinx 的图象向左(? >0)或向右(? <0=平移|? |个单位,再将图象上各

点的横坐标变为原来的 1 倍(ω>0),便得 y=sin(ωx+? )的图象。 ?
途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
先将 y=sinx 的图象上各点的横坐标变为原来的 1 倍(ω>0),再沿 x 轴向左(? >0) ?
或向右(? <0=平移 | ? | 个单位,便得 y=sin(ωx+? )的图象。 ?

5.由 y=Asin(ωx+? )的图象求其函数式:

给出图象确定解析式 y=Asin(ωx+? )的题型,有时从寻找“五点”中的第一零点(- ? ,
? 0)作为突破口,要从图象的升降情况找.准.第一个零点的位置。
6.对称轴与对称中心:

y

?

sin

x

的对称轴为

x

?

k?

?

? 2

,对称中心为 (k?

, 0)

k?Z ;

y

?

cos

x

的对称轴为

x

?

k?

,对称中心为

(k?

?

? 2

, 0)



学生易混点重点讲解!

对于 y ? Asin(?x ??) 和 y ? Acos(?x ??) 来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值

点联系。

注意:①、求三角函数的单调区间:

一般先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注意

A、?

的正负 利用单调性三 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间;

②、求三角函数的周期的常用方法:

经过恒等变形化成“ y ? Asin(?x ??) 、y ? Acos(?x ??) ”的形式,在利用周期公式,

另外还有图像法和定义法。 7.五点法作 y=Asin(ωx+? )的简图:

巧设巧取是关键!

五点取法是设 x=ωx+? ,由 x 取 0、π 、π、 3π 、2π来求相应的 x 值及对应的 y 值,

2

2

再描点作图。

二、双基自测(设计意图:检查学生对基础知识和基本技能的掌握情况.)

(时间安排:约 5 分钟。)

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1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.

(1)y=cos x 在第一、二象限内是减函数.( )

(2)y=ksin x+1,x∈R,则 y 的最大值是 k+1.( )

(3)由 sin

π 6

+

2π 3

=sinπ6知,23π是正弦函数 y=sin x(x∈R)的一个周

期.( )

((45自))函函数数测yy==点ssiinn评x2的 +对3称21π 轴.是判方偶断程函为数函x,最=数2小kπ周正+π2周期(k期∈不为Z).π能(.( 以) 特) 殊代一般,只有 x
的每一((67))个函函数数值yf(=时x)ta=n,s都ixn在(-有2整x)与个f(定fx(x义+)=域Tsi)n上=2是xf(的增x单)函,T调数增.才( 区是间)都函是数π-f(π4x,k)π的+一π4 (k个周期. ∈Z2)..(求函) 数 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,应注意 ω 的符号,只

才能把2A..((π22ω01x4+陕φ西),理看B2.作)π函数一f(个x)=整cosC体2.2π-,π6代的入最小yD正=.4周πs期in是t(的相) 应单调区间求解 33..函函数数f(x)y==sinsi2n-xπ4 与在区y间=0c,oπ2 s上x的的最小对值为称( 轴分) 别是经过其图象的最

点且平行于 y 轴的直线,如 y=cos x 的对称轴为 x=kπ(k∈Z),而不

∈Z).4A4..对.(-教1 材于习题y=改t编aBn.P-√3226xT2不(4))函能数认f(Cx)为.=√22√3其sin在2 -定π4D.,0x义∈R域的上最小为正周增期函数,而是在每



.

π-


π25.(,教k材π习+题π2改编(kP∈41T6Z)函)数内y为=3c增os 2函- 数π4 的.单调递增区间
.

自测点评 1.判断函数周期不能以特殊代一般,只有 x 取定义域内
的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x),T 才是函数 f(x)的一个周期. 2.求函数 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,应注意 ω 的符号,只有当 ω>0 时,
才能把(ωx+φ)看作一个整体,代入 y=sin t 的相应单调区间求解. 3.函数 y=sin x 与 y=cos x 的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低
点且平行于 y 轴的直线,如 y=cos x 的对称轴为 x=kπ(k∈Z),而不是 x=2kπ(k ∈Z).
4.对于 y=tan x 不能认为其在定义域上为增函数,而是在每个区间

π-

π 2

,kπ

+

π 2

(k∈Z)内为增函数.

三、核心考点(设计意图:通过对考点的讲解与理解,培养学生解决高考对

三角函数的图像和性质问题的能力。)

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(时间安排:约 10 分钟。)

考点一:三角函数的定义域、值域

考点二:三角函数的单调性

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考点三:三角函数的奇偶性、周期性和对称性 (1)、求三角形的周期 (2)、已知三角函数的周期性判断对称性
(3)、已知三角函数的周期性、奇偶性判断单调性

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4、拓展提高(设计意图:通过对考点的讲解与理解,培养了学生解决三 角函数的图像和性质等问题的能力,让学生进一步强化提高走进高考。) (时间安排:约 6 分钟。)

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〈一〉求三角函数的最小正周期

〈二〉核心规律

5、课堂小结(设计意图:总结学生对基础知识和基本技能的掌握.基本数学
思想方法的掌握。)
(时间安排:约 2 分钟。)
本节课复习那些内容,那些题型,那些方法和那些数学思想呢? 1、三角函数的图像和性质。 2、掌握了基本题型,如求周期、求对称中心、求单调性及综合题型。 3、学习了数形结合、归纳推理、换元等数学思想方法。
6、课后作业(设计意图:巩固学生对基础知识和基本技能的掌握.)
(时间安排:约 1 分钟。)
①优化设计对点练习,

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②考点规范练 19。

十、【课后反思】

(时间安排:约 1 分钟。)
〈一〉在教学过程中有几个问题值得注意: 1.学生可能把正弦函数、余弦函数的对称中心和对称轴混淆,应予以及时纠正。 2.本节课涉及高考高频考点题型,应该多讲思想方法、多归纳总结,部分题可留给 学生课余时间进行探讨。 〈二〉本课设计有以下几点值得借鉴: 1.本课设计在注重引导学生复习书本基础知识的同时,还进行了基本技能训练、知 识的扩展和提升,让学生感受到高考以基础知识和基本技能为主。 2.本课设计时考虑到学生基础不扎实和学生在学习中最可能出现的各种情况,并采 用合理方式进行分析、引导并解决。 3.教学过程中充分发挥学生主体作用,始终以问题的形式引导学生主动参与,在师 生互动、生生互动中让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程,做到了把握重点、突 破难点的效果。

附:【板书设计】

三角函数的图像和性质

一、 知识梳理清单 ………………… ………………… ………………… …………………
二、 双击自测练习 ………………… ………………… ………………… …………………

三、核心考点精讲 ………………… ………………… ………………… …………………
四、拓展提高分析 ………………… ………………… ………………… …………………

五、课时小结 ………………… ………………… ………………… …………………
六、作业布置 ………………… ………………… ………………… …………………

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