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二次函数的图象和性质4


2 二次函数y=ax +bx+c

的图象与性质

抛物线y=a(x-h)2+k的性质: h (1)对称轴是直线x=_________ (h、k) (2)顶点坐标是___________ (3) 当a>0时,开口向上,在对称轴的左侧y随x的 减小 ;在对称轴的右侧y随x的增大而 增大而_______ 增大 。 ________ (4)当a<0时,开口向下,在对称轴的左侧y随x 增大 的增大而_________; 在对称轴的右侧y随x的增大 减小 而___________
练习:指出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标 :

(1)y=-2(x-3)2-4

1 2 y ? ( x ?1) ? 5 ( 2) 3

1 2 二次函数 y ? x ? 6 x ? 21 的图像及其特征? 2

x
1 y ? ( x ? 6) 2 ? 3 2

… …

3
7.5

4
5

5
3.5

6
3

7
3.5

8
5

9
7.5

… …

y
10

5

O

5

10

x

1、用配方法把下列函数 化成 y ? a ( x ? h) 2 ? k 的形式,

巩固练习

指出其图象的开口方向 ,对称轴和顶点坐标( 不画图) 2 2 ? ? ? (1) y x 5 x ( 2) y x ? 6 x ? 10
( 3 ) y ? ?2 x 2 ? 3 x ? 4 ( 4) y ? 2 x 2 ? 4 x ? 7

解:
5 2 25 (1) y ? ( x ? ) ? 2 4

5 5 25 对称轴:x ? , 顶点坐标:( , ? ) 2 2 4

(2) y ? ( x ? 3)2 ? 19

对称轴:x ? ?3, 顶点坐标:( ? 3, ? 19 )

3 2 41 3 3 41 ( 3) y ? ?2( x ? ) ? 对称轴:x ? ? , 顶点坐标:(? , ) 4 8 4 4 8 对称轴:x ? ?1, 顶点坐标:(? 1, ?9 ) (4) y ? 2( x ? 1)2 ? 9

巩固练习
2.确定下列二次函数图形的开口方向、对称轴和顶 点坐标:

(1) y ? ? x ? 2x
2

(2) y ? ?2x ? 8x ? 8 1 2 (3) y ? x ? 4 x ? 3 2
2

二次函数 y ? ax ? bx ? c 有哪些特征?
2

顶点? 对称轴? 函数的最值? 与x轴的交点个数? 函数的增减性?函数图象的形状?

例1:已知 y ? x ? 2 x ? 3
2

(1)写出抛物线的开口方向,顶点坐标,对称轴,最值; (2)求抛物线与x轴,y轴的交点坐标; (3)作出函数的草图; (4)观察图象: x为何值时,y随x的增大而增大; x为何值时,y随x的增大而减小; (5)观察图象:当x何值时,y>0; 当x何值时,y=0; 当x何值时,y<0.

例2、如图,二次函数 y ? ax ? bx ? c的 图象如图所示,则( C ) A. a>0,b>0,c>0 y B. a>0,b<0,c>0 C. a<0,b>0,c>0 D. a<0,b<0,c>0 x o
2

变式训练 已知二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图 象如图所示,则 (1) a > 0 y (2) b < 0 1 (3) c < 0 o 1 x < (4) a+b+c 0 (5)一次函数 y ? bx ? ac 的图象不经过第 一 象限。
2

y

y=ax2+bx+c
-1 x

x=1

A.a+b+c>0 B.b>a+c C.c>2b D.abc<0

例3:用总长为60m的篱笆围成的矩形场地,矩 形面积S随矩形一边长l的变化而变化。l是多少 时,场地的面积S最大?

变式训练:
已知直角三角形两条直角边的和等于8,两 条直角边各为多少时,这个直角三角形的面积 最大,最大值是多少?


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