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高考数学专题复习导数题型归纳

导数题型归纳 请同学们高度重视: 首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量;2 变更主元;3 根分布;4 判别式法 5、二次函数区间最值求法: (1)对称轴(重视单调区间) 与定义域的关系 (2)端点处和顶点是最值所在 其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结 合思想” ,创建不等关系求出取值范围。 最后,同学们在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立; 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令 f ( x) ? 0 得到两个根; ' 第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知; 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题, 2、常见处理方法有三种: 第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0) 第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元) ; ? ? 例 1:设函数 y ? f ( x) 在区间 D 上的导数为 f ( x ) , f ( x ) 在区间 D 上的导数为 g ( x) ,若在区间 D 上, g ( x) ? 0 恒成立, 则称函数 y ? f ( x) 在区间 D 上为 “凸函数” , 已知实数 m 是常数, f ( x) ? x 4 mx3 3x 2 ? ? 12 6 2 ?0,3? 上为“凸函数” (1)若 y ? f ( x) 在区间 ,求 m 的取值范围; (2)若对满足 m ?2 ? a, b ? 上都为“凸函数” 的任何一个实数 m ,函数 f ( x) 在区间 ,求 b ? a 的最大值. f ( x) ? 解:由函数 x 4 mx3 3x 2 x3 mx 2 ? ? f ?( x) ? ? ? 3x 12 6 2 得 3 2 ? g ( x) ? x2 ? mx ? 3 (1) y ? f ( x) 在区间 ?0,3? 上为“凸函数” , 2 则 ? g ( x) ? x ? mx ? 3 ? 0 在区间[0,3]上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于 gmax ( x) ? 0 ? g (0) ? 0 ??3 ? 0 ?? ?m?2 ? ? g (3) ? 0 ?9 ? 3m ? 3 ? 0 1 解法二:分离变量法: ∵ 当 x ? 0 时, ? g ( x) ? x ? mx ? 3 ? ?3 ? 0 恒成立, 2 当 0 ? x ? 3 时, g ( x) ? x ? mx ? 3 ? 0 恒成立 2 m? 等价于 x2 ? 3 3 ? x? x x 的最大值( 0 ? x ? 3 )恒成立, 3 x ( 0 ? x ? 3 )是增函数,则 hmax ( x) ? h(3) ? 2 h( x ) ? x ? 而 ?m ? 2 (2)∵当 m ?2 ? a, b ? 上都为“凸函数” 时 f ( x) 在区间 时 g ( x) ? x ? mx ? 3 ? 0 恒成立 2 则等价于当 m ?2 解法三:变更主元法 2 m ?2 再等价于 F (m) ? mx ? x ? 3 ? 0 在 恒成立(视为关于 m 的一次函数最值问题) ??2 x ? x 2 ? 3 ? 0 ? F (?2) ? 0 ? ?? ?? ? ?1 ? x ? 1 2 2 x ? x ? 3 ? 0 ? ? F (2) ? 0 ? ?b ? a ? 2 -2 2 1 f ( x) ? ? x 3 ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? b(0 ? a ? 1, b ? R) 3 例 2:设函数 (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间和极值; (Ⅱ)若对任意的 x ? [a ? 1, a ? 2], 不等式 (二次函数区间最值的例子) 解: (Ⅰ) f ?( x) ? a 恒成立,求 a 的取值范围. f ?( x) ? ?x2 ? 4ax ? 3a2 ? ? ? x ? 3a ?? x ? a ? 0 ? a ?1 f ?( x) a 3a a 3a ? 令 f ( x) ? 0, 得 f ( x) 的单调递增区间为(a,3a) 2 ? 令 f ( x) ? 0, 得 f ( x) 的单调递减区间为(- ? ,a)和(3a,+ ? ) 3 3 a ? b; ∴当 x=a 时, f ( x) 极小值= 4 ? 当 x=3a 时, f ( x) 极大值=b. 2 2 ? (Ⅱ)由| f ( x ) |≤a,得:对任意的 x ? [a ? 1, a ? 2], ?a ? x ? 4ax ? 3a ? a 恒成立① 则等价于 g ( x) 这个二次函数 ? gmax ( x) ? a ? ? gmin ( x) ? ?a g ( x) ? x2 ? 4ax ? 3a2 的对称轴 x ? 2a 0 ? a ? 1, a ? 1 ? a ? a ? 2a (放缩法) 即定义域在对称轴的右边, g ( x) 这个二次函数的最值问题:单调增函数的最值问题。 g ( x) ? x2 ? 4ax ? 3a2 在[a ? 1, a ? 2] 上是增函数. (9 分) g ( x)max ? g (a ? 2) ? ?2a ? 1. ?a ? 1, x ? 2a a ? 2? ∴ g ( x)min ? g (a ? 1) ? ?4a ? 4. 于是,对任意 x ? [a ? 1, a ? 2] ,不等式①恒成立,等价于 ? g (a ? 2) ? ?4a ? 4 ? a, 4 解得 ? a ? 1. ? 5 ? g (a ? 1) ? ?2a ? 1 ? ?a 4 ? a ? 1. 0 ? a ? 1 , 又 ∴5 点评:重视二次函数区间最值求法:对称轴(重视单调区间)与定义域的关系 第三种

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