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高考数学专题复习导数题型归纳


导数题型归纳 请同学们高度重视: 首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量;2 变更主元;3 根分布;4 判别式法 5、二次函数区间最值求法: (1)对称轴(重视单调区间) 与定义域的关系 (2)端点处和顶点是最值所在 其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结 合思想” ,创建不等关系求出取值范围。 最后,同学们在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立; 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令 f ( x) ? 0 得到两个根; ' 第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知; 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题, 2、常见处理方法有三种: 第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0) 第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元) ; ? ? 例 1:设函数 y ? f ( x) 在区间 D 上的导数为 f ( x ) , f ( x ) 在区间 D 上的导数为 g ( x) ,若在区间 D 上, g ( x) ? 0 恒成立, 则称函数 y ? f ( x) 在区间 D 上为 “凸函数” , 已知实数 m 是常数, f ( x) ? x 4 mx3 3x 2 ? ? 12 6 2 ?0,3? 上为“凸函数” (1)若 y ? f ( x) 在区间 ,求 m 的取值范围; (2)若对满足 m ?2 ? a, b ? 上都为“凸函数” 的任何一个实数 m ,函数 f ( x) 在区间 ,求 b ? a 的最大值. f ( x) ? 解:由函数 x 4 mx3 3x 2 x3 mx 2 ? ? f ?( x) ? ? ? 3x 12 6 2 得 3 2 ? g ( x) ? x2 ? mx ? 3 (1) y ? f ( x) 在区间 ?0,3? 上为“凸函数” , 2 则 ? g ( x) ? x ? mx ? 3 ? 0 在区间[0,3]上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于 gmax ( x) ? 0 ? g (0) ? 0 ??3 ? 0 ?? ?m?2 ? ? g (3) ? 0 ?9 ? 3m ? 3 ? 0 1 解法二:分离变量法: ∵ 当 x ? 0 时, ? g ( x) ? x ? mx ? 3 ? ?3 ? 0 恒成立, 2 当 0 ? x ? 3 时, g ( x) ? x ? mx ? 3 ? 0 恒成立 2 m? 等价于 x2 ? 3 3 ? x? x x 的最大值( 0 ? x ? 3 )恒成立, 3 x ( 0 ? x ? 3 )是增函数,则 hmax ( x) ? h(3) ? 2 h( x ) ? x ? 而 ?m ? 2 (2)∵当 m ?2 ? a, b ? 上都为“凸函数” 时 f ( x) 在区间 时 g ( x) ? x ? mx ? 3 ? 0 恒成立 2 则等价于当 m ?2 解法三:变更主元法 2 m ?2 再等价于 F (m) ? mx ? x ? 3 ? 0 在 恒成立(视为关于 m 的一次函数最值问题) ??2 x ? x 2 ? 3 ? 0 ? F (?2) ? 0 ? ?? ?? ? ?1 ? x ? 1 2 2 x ? x ? 3 ? 0 ? ? F (2) ? 0 ? ?b ? a ?

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