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山东省青岛市2015届高三下学期第二次模拟数学(文)试卷


2015 年山东省青岛市高考数学二模试卷(文科)
一、选择题(本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分) 1.已知 =1﹣bi,其中 a,b 是实数,i 是虚数单位,则|a﹣bi|=( )

A. 3 B. 2 C. 5 D. 2.已知集合 M={x|2x﹣x >0},N={x|x +y =1},则 M∩N=( A. [﹣1,2) B. (0,1) C. (0,1] D. ?
2 2 2



3.某校共有高一、高二、高三学生共有 1290 人,其中高一 480 人,高二比高三多 30 人, 为了解该校学生健康状态,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有高一学生 96 人,则该样本中的高三学生人数为( ) A. 84 B. 78 C. 81 D. 96 4.函数 y= 的值域为( )

A. [0,+∞) B. (0,1) C. [0,1) D. [0,1] 5.已知 MOD 函数是一个求余函数,其格式为 MOD(n,m) ,其结果为 n 除以 m 的余数,例如 MOD(8,3)=2.如图是一个算法的程序框图,当输入的值为 25 时,则输出的结果为( )

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 已知圆 C: x +y ﹣4x﹣4y=0 与 x 轴相交于 A, B 两点, 则弦 AB 所对的圆心角的大小 ( A. B. C. D.
2 2



7. “0≤m≤1”是“函数 f(x)=sinx+m﹣1 有零点”的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件



C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

8.已知函数 f(x)=2sin(2x+φ) (|φ|< 象的一个对称中心是( A. ) B. C.

的图象过点

,则 f(x)的图

D.

9.设 x,y 满足约束条件

,则下列不等式恒成立的是(



A. x≥3 B. y≥4 C. x+2y﹣8≥0 D. 2x﹣y+1≥0

10.如果函数 y=f(x)在区间 I 上是增函数,而函数 y=

在区间 I 上是减函数,那

么称函数 y=f (x) 是区间 I 上 “缓增函数” , 区间 I 叫做 “缓增区间” , 若函数 f (x) = 是区间 I 上“缓增函数” ,则“缓增区间”I 为( A. [1,+∞) B. C. [0,1] D. )

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.已知不共线的平面向量 , 满足 | = . , ,那么

12.已知函数 f(x)=

则 f(f(﹣1) )=



13.已知实数 x,y 满足 2 +2 =1,则 x+y 的最大值是 14.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是

x

y

. ;

15.已知双曲线

=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,过 F 作斜率为﹣1 的直线交双曲

线的渐近线于点 P,点 P 在第一象限,O 为坐标原点,若△OFP 的面积为 线的离心率为 .

,则该双曲

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16.某区工商局、消费者协会在 3 月 15 号举行了以“携手共治,畅享消费”为主题的大型 宣传咨询服务活动,着力提升消费者维权意识.组织方从参加活动的群众中随机抽取 120 名群众,按他们的年龄分组:第 1 组[20,30) ,第 2 组[30,40) ,第 3 组[40,50) ,第 4 组[50,60) ,第 5 组[60,70],得到的频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)若电视台记者要从抽取的群众中选 1 人进行采访,求被采访人恰好在第 2 组或第 4 组的概率; (Ⅱ) 已知第 1 组群众中男性有 2 人, 组织方要从第 1 组中随机抽取 3 名群众组成维权志愿 者服务队,求至少有两名女性的概率.

17.已知向量 函数 f(x)=

, ,x∈R,且函数 f(x)的最大值为 .

,实数 k 为大于零的常数,

(Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)在 A 中,A9 分别为内角 A2 所对的边,若 求 的值. <A<π,f(A)=0,且 b=2 ,a=2 ,

18.如图,在正四棱台 ABCD﹣A1B1C1D1 中,A1B1=a,AB=2a, 的中点. (Ⅰ)求证:平面 EFB1D1∥平面 BDC1; (Ⅱ)求证:A1C⊥平面 BDC1.

,E、F 分别是 AD、AB

注: 底面为正方形, 从顶点向底面作垂线, 垂足是底面中心, 这样的四棱锥叫做正四棱锥. 用 一个平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥,底面与截面之间的部分叫做正四棱台.

19.设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正整数的等比数列,且 a1=b1=1,a13b2=50, * a8+b2=a3+a4+5,n∈N . (Ⅰ)求{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)若数列{dn}满足 公式及其前 2n 项和 S2n. 20.已知抛物线 C1:y =2px(p>0)的焦点为 F,抛物线上存在一点 G 到焦点的距离为 3, 2 2 且点 G 在圆 C:x +y =9 上. (Ⅰ)求抛物线 C1 的方程; (Ⅱ)已知椭圆 C2: =1(m>n>0)的一个焦点与抛物线 C1 的焦点重合,且离心率
2

(n∈N ) ,且 d1=16,试求{dn}的通项

*

为 .直线 l:y=kx﹣4 交椭圆 C2 于 A、B 两个不同的点,若原点 O 在以线段 AB 为直径的圆 的外部,求 k 的取值范围.

21.已知函数 f(x)=1﹣ ﹣lnx(a∈R) . (Ⅰ)当 a=1 时,求函数 f(x)的图象在点 (Ⅱ)当 a≥0 时,记函数Γ(x)= 递减区间; (Ⅲ)设函数 h(a)=3λa﹣2a (其中λ为常数) ,若函数 f(x)在区间(0,2)上不存在 极值,求 h(a)的最大值.
2

处的切线方程; ﹣1+f(x) ,试求Γ(x)的单调

2015 年山东省青岛市高考数学二模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分) 1.已知 =1﹣bi,其中 a,b 是实数,i 是虚数单位,则|a﹣bi|=( )

A. 3 B. 2 C. 5 D. 考点: 复数求模. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 通过复数的相等求出 a、b,然后求解复数的模. 解答: 解: =1﹣bi,

可得 a=1+b+(1﹣b)i,因为 a,b 是实数, 所以 ,解得 a=2,b=1. = .

所以|a﹣bi|=|2﹣i|=

故选:D. 点评: 本题考查复数的代数形式的混合运算,复数的模的求法,考查计算能力. 2.已知集合 M={x|2x﹣x >0},N={x|x +y =1},则 M∩N=( A. [﹣1,2) B. (0,1) C. (0,1] D. ?
2 2 2



考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 M 中不等式的解集确定出 M,求出 N 中 x 的范围确定出 N,找出两集合的交集即 可. 解答: 解:由 M 中不等式变形得:x(x﹣2)<0, 解得:0<x<2,即 M=(0,2) , 由 N 中 x +y =1,得到﹣1≤x≤1,即 N=[﹣1,1], ∴M∩N=(0,1], 故选:C. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 3.某校共有高一、高二、高三学生共有 1290 人,其中高一 480 人,高二比高三多 30 人, 为了解该校学生健康状态,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有高一学生 96 人,则该样本中的高三学生人数为( ) A. 84 B. 78 C. 81 D. 96 考点: 分层抽样方法. 专题: 概率与统计.
2 2

分析: 根据分层抽样的定义建立比例关系即可. 解答: 解:∵高一 480 人,高二比高三多 30 人, ∴设高三 x 人,则 x+x+30+480=1290, 解得 x=390, 故高二 420,高三 390 人, 若在抽取的样本中有高一学生 96 人,则该样本中的高三学生人数为 故选:B 点评: 本题主要考查分层抽样的应用,根据比例关系是解决本题的关键. 4.函数 y= 的值域为( ) 人,

A. [0,+∞) B. (0,1) C. [0,1) D. [0,1] 考点: 函数的值域. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意得 0≤1﹣ 解答: 解:∵0≤1﹣ ∴0≤ 即函数 y= < 1, 的值域为[0,1) ; <1,从而求函数的值域. <1,

故选 C. 点评: 本题考查了函数值域的求法.高中函数值域求法有:1、观察法,2、配方法,3、反 函数法,4、判别式法;5、换元法,6、数形结合法,7、不等式法,8、分离常数法,9、单 调性法,10、利用导数求函数的值域,11、最值法,12、构造法,13、比例法.要根据题意 选择. 5.已知 MOD 函数是一个求余函数,其格式为 MOD(n,m) ,其结果为 n 除以 m 的余数,例如 MOD(8,3)=2.如图是一个算法的程序框图,当输入的值为 25 时,则输出的结果为( )

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序框图,根据题意,依次计算 MOD(n,i)的值,当 i=5,MOD(25,5) =0,满足条件 MOD(25,2)=0,退出循环,输出 i 的值为 5. 解答: 解:模拟执行程序框图,可得: n=25,i=2,MOD(25,2)=1, 不满足条件 MOD(25,2)=0,i=3,MOD(25,3)=1, 不满足条件 MOD(25,3)=0,i=4,MOD(25,4)=1, 不满足条件 MOD(25,4)=0,i=5,MOD(25,5)=0, 满足条件 MOD(25,2)=0,退出循环,输出 i 的值为 5. 故选:B. 点评: 本题主要考查了循环结构的程序框图,依次正确写出每次循环得到的 MOD(n,i) 的值是解题的关键,属于基础题. 6. 已知圆 C: x +y ﹣4x﹣4y=0 与 x 轴相交于 A, B 两点, 则弦 AB 所对的圆心角的大小 ( A. B. C. D.
2 2



考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 综合题;直线与圆. 分析: 根据条件令 x=0,求出 AB 的长度,结合三角形的勾股定理求出三角形 ACB 是直角三 角形即可得到结论. 解答: 解:当 y=0 时,得 x ﹣4x=0,解得 x=0 或 x=4, 则 AB=4﹣0=4, 半径 R=2 , 2 2 2 2 2 ∵CA +CB =(2 ) +(2 ) =8+8=16=(AB) , ∴△ACB 是直角三角形, ∴∠ACB=90°, 即弦 AB 所对的圆心角的大小为 90°, 故选:C. 点评: 本题主要考查圆心角的求解,根据条件求出先 AB 的长度是解决本题的关键. 7. “0≤m≤1”是“函数 f(x)=sinx+m﹣1 有零点”的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: f(x)是连续函数,从而 f(x)是否有零点就看是否满足 ,从而 )
2

从两个方向判断:先看“0≤m≤1”能否得到“函数 f(x)=sinx+m﹣1 有零点” ,再看“函

数 f(x)=sinx+m﹣1 有零点”能否得到“0≤m≤1” ,并且 f(x)的最大值为 m,最小值为 m﹣2. 解答: 解: (1)若 0≤m≤1,﹣1≤sinx≤1; ∴﹣2≤sinx+m﹣1≤1; 即 f(x)∈[﹣2,1]; ∴此时 f(x)存在零点; “0≤m≤1”是“函数 f(x)=sinx+m﹣1 有零点”的充分条件; (2)若“函数 f(x)=sinx+m﹣1 有零点” ,则 f(x)的最大值 m≥0,最小值 m﹣2≤0; ∴0≤m≤2; ∴得不到 0≤m≤1; ∴“0≤m≤1”不是“函数 f(x)=sinx+m﹣1 有零点”的必要条件; ∴综上得“0≤m≤1”是“函数 f(x)=sinx+m﹣1 有零点”的充分不必要条件. 故选:A. 点评: 考查判断一个条件是另一个条件的什么条件时,要从两个方面判断:充分条件,和 必要条件, 掌握正弦函数的值域, 以及需理解充分条件、 必要条件、 充分不必要条件的概念.

8.已知函数 f(x)=2sin(2x+φ) (|φ|< 象的一个对称中心是( A. ) B. C.

的图象过点

,则 f(x)的图

D.

考点: 正弦函数的对称性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由题意可得 可解得:x=﹣ =2sinφ, 结合 (|φ|< 可得φ的值, 由五点作图法令 2x+ =0,

,则可求 f(x)的图象的一个对称中心. 的图象过点 ,

解答: 解:∵函数 f(x)=2sin(2x+φ) (|φ|< ∴ =2sinφ,由(|φ|< ) , =0,可解得:x=﹣ ,可得:φ=

∴f(x)=2sin(2x+ ∴由五点作图法令 2x+ .

,则 f(x)的图象的一个对称中心是

故选:B. 点评: 本题主要考查了正弦函数的对称性,属于基本知识的考查.

9.设 x,y 满足约束条件

,则下列不等式恒成立的是(



A. x≥3 B. y≥4 C. x+2y﹣8≥0 D. 2x﹣y+1≥0 考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用线性规划的知识进行判断即可. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: 则 C(2,3) ,B(2,5) , 则 x≥3,y≥4 不成立, 作出直线 x+2y﹣8=0,和 2x﹣y+1=0, 由图象可知 2x﹣y+1≥0 不成立, 恒成立的是 x+2y﹣8≥0, 故选:C.

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键.

10.如果函数 y=f(x)在区间 I 上是增函数,而函数 y=

在区间 I 上是减函数,那

么称函数 y=f (x) 是区间 I 上 “缓增函数” , 区间 I 叫做 “缓增区间” , 若函数 f (x) = 是区间 I 上“缓增函数” ,则“缓增区间”I 为( A. [1,+∞) B. C. [0,1] D. )

考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意,求 f(x)= 从而求缓增区间. 解答: 解:f(x)= y= = x﹣1+ , 在区间[1,+∞)上是增函数, 的增区间,再求 y= = x﹣1+ 的减函数,

y′= ﹣ ?

=



故 y=

= x﹣1+

在[﹣



]上是减函数,

故“缓增区间”I 为[1, ]; 故选 D. 点评: 本题考查了函数的性质应用,属于基础题. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 已知不共线的平面向量 , 满足 2 . , , 那么| =

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据向量 的坐标即可求得 ,从而得到 解答: 解: ∴ ; ; ∴ ∴ . ; ; ,而根据 ,这样便可求出答案. 即可得到

故答案为: . 点评: 考查根据向量的坐标求向量的长度的公式,两非零向量垂直的充要条件,以及数量 积的运算.

12.已知函数 f(x)=

则 f(f(﹣1) )= 1 .

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接利用分段函数求解函数值即可. 解答: 解:函数 f(x)= 则 f(﹣1)= ,

f(f(﹣1) )=f( )=

=1.

故答案为:1. 点评: 本题考查分段函数的应用,考查计算能力. 13.已知实数 x,y 满足 2 +2 =1,则 x+y 的最大值是 ﹣2 . 考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 实数 x,y 满足 2 +2 =1,利用基本不等式可得 解答: 解:∵实数 x,y 满足 2 +2 =1, ∴ =2 ,化为 x+y≤﹣2.
x y x y x y

,化简即可得出.

当且仅当 x=y=﹣1 时取等号. 则 x+y 的最大值是﹣2. 故答案为:﹣2. 点评: 本题考查了基本不等式的性质、指数运算性质,属于基础题. 14.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是 32 ;

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据几何体的三视图,得三棱锥的底面边长与对应的高,求出它的体积. 解答: 解:根据几何体的三视图,得; 该几何体是底面边长为 8,该边上的高为 6 的三棱锥, 且三棱锥的高为 4; ∴该三棱锥的体积为 V 三棱锥= × 8×6×4=32.

故答案为:32. 点评: 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题,解题时应根据三视图得出几何体的结 构特征,是基础题目.

15.已知双曲线

=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,过 F 作斜率为﹣1 的直线交双曲

线的渐近线于点 P,点 P 在第一象限,O 为坐标原点,若△OFP 的面积为 线的离心率为 .

,则该双曲

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 过 F 作斜率为﹣1 的直线方程为 y=﹣ (x﹣c) , 与双曲线的渐近线 y= x, 可得 P ( ) ,利用△OFP 的面积为 ,可得 a=3b,即可求出该双曲线的离心率. ,

解答: 解:过 F 作斜率为﹣1 的直线方程为 y=﹣(x﹣c) , 与双曲线的渐近线 y= x,可得 P( ∵△OFP 的面积为 ∴ ∴a=3b, ∴c= ∴e= = 故答案为: = . . b, = , , , ) ,

点评: 本题考查双曲线的离心率,考查三角形面积的计算,考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16.某区工商局、消费者协会在 3 月 15 号举行了以“携手共治,畅享消费”为主题的大型 宣传咨询服务活动,着力提升消费者维权意识.组织方从参加活动的群众中随机抽取 120 名群众,按他们的年龄分组:第 1 组[20,30) ,第 2 组[30,40) ,第 3 组[40,50) ,第 4 组[50,60) ,第 5 组[60,70],得到的频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)若电视台记者要从抽取的群众中选 1 人进行采访,求被采访人恰好在第 2 组或第 4 组的概率; (Ⅱ) 已知第 1 组群众中男性有 2 人, 组织方要从第 1 组中随机抽取 3 名群众组成维权志愿 者服务队,求至少有两名女性的概率.

考点: 古典概型及其概率计算公式;列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)设第 2 组[30,40)的频率为 f2,利用概率和为 1,求解即可. (Ⅱ)设第 1 组[30,40)的频数 n1,求出 n1,记第 1 组中的男性为 x1,x2,女性为 y1,y2, y3,y4 列出随机抽取 3 名群众的基本事件,列出至少有两名女性的基本事件,然后求解至少 有两名女性的概率. 解答: (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设第 2 组[30,40)的频率为 f2=1﹣(0.005+0.01+0.02+0.03)×10=0.35; …(3 分) 第 4 组的频率为 0.02×10=0.2 所以被采访人恰好在第 2 组或第 4 组的概率为 P1=0.35+0.2=0.55…(6 分) (Ⅱ)设第 1 组[30,40)的频数 n1,则 n1=120×0.005×10=6…(7 分) 记第 1 组中的男性为 x1,x2,女性为 y1,y2,y3,y4 随机抽取 3 名群众的基本事件是: (x1,x2,y1) , (x1,x2,y2) , (x1,x2,y3) , (x1,x2,y4) (x1,y2,y1) , (x1,y3,y2) , (x1,y1,y3) , (x1,y4,y1) , (x1,y2,y4) , (x1,y3,y4) , (x2, y2,y1) , (x2,y3,y2) , (x2,y1,y3) , (x2,y4,y1) , (x2,y2,y4) , (x2,y3,y4) , (y1,y2, y3) , (y1,y2,y4) , (y2,y3,y4) , (y1,y3,y4)共 20 种 …(10 分) 其中至少有两名女性的基本事件是: (x1,y2,y1) , (x1,y3,y2) , (x1,y1,y3) , (x1,y4, y1) , (x1,y2,y4) , (x1,y3,y4) , (x2,y2,y1) , (x2,y3,y2) , (x2,y1,y3) , (x2,y4,y1) , (x2,y2,y4) , (x2,y3,y4) , (y1,y2,y3) , (y1,y2,y4) , (y2,y3,y4) , (y1,y3,y4)共 16 种 所以至少有两名女性的概率为 …(12 分)

点评: 本题考查古典概型概率公式的应用概率的求法,考查计算能力.

17.已知向量 函数 f(x)=

, ,x∈R,且函数 f(x)的最大值为 .

,实数 k 为大于零的常数,

(Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)在 A 中,A9 分别为内角 A2 所对的边,若 求 的值. <A<π,f(A)=0,且 b=2 ,a=2 ,

考点: 余弦定理的应用;平面向量数量积的运算;两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值;平面向量及应用. 分析: (Ⅰ)利用数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的表达式,然后利用函数的 最大值求解 k 的值即可. (Ⅱ)求出 求出 A 的值,利用要走的路求出 c,然后求解数量积的值即可. 解答: 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由已知 = ,利用 A 的范围

= …(5 分) 因为 x∈R,所以 f(x)的最大值为 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, ,则 k=1…(6 分) ,所以

化简得 因为 则 ,所以 ,解得 …(8 分)

所以 化简得 c +4c﹣32=0,则 c=4…(10 分) 所以 …(12 分)
2

点评: 本题考查余弦定理的应用,两角和与差的三角函数,向量的数量积,考查计算能力. 18.如图,在正四棱台 ABCD﹣A1B1C1D1 中,A1B1=a,AB=2a, 的中点. (Ⅰ)求证:平面 EFB1D1∥平面 BDC1; (Ⅱ)求证:A1C⊥平面 BDC1. 注: 底面为正方形, 从顶点向底面作垂线, 垂足是底面中心, 这样的四棱锥叫做正四棱锥. 用 一个平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥,底面与截面之间的部分叫做正四棱台. ,E、F 分别是 AD、AB

考点: 平面与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)连接 A1C1,AC,分别交 B1D1,EF,BD 于 M,N,P,连接 MN,C1P,证明 D∥平 面 EFB1D1,推出 MC1∥NP,然后证明 PC1∥MN,得到 PC1∥平面 EFB1D1,利用平面与平面平行 的判定定理证明平面 EFB1D1∥平面 BDC1. (Ⅱ)连接 A1P,说明四边形 A1C1CP 为平行四边形,证明 A1C⊥PC1,推出 BD⊥平面 A1C1CA, 得到 BD⊥A1C,然后证明 A1C⊥平面 BDC1. 解答: 18. (本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ)连接 A1C1,AC,分别交 B1D1,EF,BD 于 M,N,P,连接 MN,C1P 由题意,BD∥B1D1 因为 BD? 平面 EFB1D1,B1D1? 平面 EFB1D1,所以 BD∥平面 EFB1D1…(3 分)又因为 A1B1=a, AB=2a,所以 又因为 E、F 分别是 AD、AB 的中点,所以 所以 MC1=NP 又因为 AC∥A1C1,所以 MC1∥NP 所以四边形 MC1PN 为平行四边形 所以 PC1∥MN 因为 PC1? 平面 EFB1D1,MN? 平面 EFB1D1,所以 PC1∥平面 EFB1D1 因为 PC1∩BD=P,所以平面 EFB1D1∥平面 BDC1…(6 分) (Ⅱ)连接 A1P,因为 A1C1∥PC,A1C1= ,

所以四边形 A1C1CP 为平行四边形

因为

,所以四边形 A1C1CP 为菱形

所以 A1C⊥PC1…(9 分) 因为 MP⊥平面 ABCD,MP? 平面 A1C1CA 所以平面 A1C1CA⊥平面 ABCD, 因为 BD⊥AC,所以 BD⊥平面 A1C1CA 因为 A1C? 平面 A1C1CA,所以 BD⊥A1C 因为 PC1∩BD=P,所以 A1C⊥平面 BDC1.…(12 分)

点评: 本题考查平面与平面平行的判定定理的应用,直线与平面垂直的判定定理的应用, 考查空间想象能力以及逻辑推理能力, 19.设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正整数的等比数列,且 a1=b1=1,a13b2=50, * a8+b2=a3+a4+5,n∈N . (Ⅰ)求{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)若数列{dn}满足 公式及其前 2n 项和 S2n. 考点: 数列的求和;等差数列与等比数列的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)通过{bn}的各项都为正整数及 ,可 (n∈N ) ,且 d1=16,试求{dn}的通项
*

得解得

,从而可得结论;

(Ⅱ)通过(I)及 log2bn+1=n 可得

,结合已知条件可得 d1,d3,d5,…是以 d1=16

为首项、以 为公比的等比数列,d2,d4,d6,…是以 d2=8 为首项、以 为公比的等比数列, 分别求出各自的通项及前 n 项和,计算即可. 解答: 解: (Ⅰ)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则依题意有 q>0, 且 ,





解得

,或



由于{bn}各项都为正整数的等比数列,所以 从而 an=1+(n﹣1)d=2n﹣1, (Ⅱ)∵ ∴ ,∴log2bn+1=n, ,

, ;



两式相除:



由 d1=16,

,可得:d2=8,

∴d1,d3,d5,…是以 d1=16 为首项,以 为公比的等比数列; d2,d4,d6,…是以 d2=8 为首项,以 为公比的等比数列,

∴当 n 为偶数时,



当 n 为奇数时,



综上,



∴S2n=(d1+d3+…+d2n﹣1)+(d2+d4+…+d2n) =

. 点评: 本题考查等差、等比数列的基本性质,求通项及前 n 项和,考查对数的性质,考查 分类讨论的思想,注意解题方法的积累,属于中档题.

20.已知抛物线 C1:y =2px(p>0)的焦点为 F,抛物线上存在一点 G 到焦点的距离为 3, 2 2 且点 G 在圆 C:x +y =9 上. (Ⅰ)求抛物线 C1 的方程; (Ⅱ)已知椭圆 C2: =1(m>n>0)的一个焦点与抛物线 C1 的焦点重合,且离心率

2

为 .直线 l:y=kx﹣4 交椭圆 C2 于 A、B 两个不同的点,若原点 O 在以线段 AB 为直径的圆 的外部,求 k 的取值范围. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的简单性质;抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)设点 G 的坐标为(x0,y0) ,列出关于 x0,y0,p 的方程组,即可求解抛物线 方程. (Ⅱ)利用已知条件推出 m、n 的关系,设(x1,y1) 、B(x2,y2) ,联立直线与椭圆方程, 利用韦达定理以及判别式大于 0,求出 K 的范围,通过原点 O 在以线段 AB 为直径的圆的外 部,推出 ,然后求解 k 的范围即可.

解答: (本小题满分 13 分)

解: (Ⅰ)设点 G 的坐标为(x0,y0) ,由题意可知

…(2 分)

解得:
2



所以抛物线 C1 的方程为:y =8x…(4 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)得抛物线 C1 的焦点 F(2,0) , 2 2 2 ∵椭圆 C2 的一个焦点与抛物线 C1 的焦点重合∴椭圆 C2 半焦距 c=2,m ﹣n =c =4, ∵椭圆 C2 的离心率为 ,∴ , ,

∴椭圆 C2 的方程为: 设 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,
2 2

…(6 分)



得(4k +3)x ﹣32kx+16=0

由韦达定理得:
2


2

…(8 分) 或 , …①…(10 分)

由△>0? (﹣32k) ﹣4×16(4k +3)>0 ∵原点 O 在以线段 AB 为直径的圆的外部,则

∴ = =

=

…②

由①、②得实数 k 的范围是



…(13 分)

点评: 本题考查直线与题意的位置关系的综合应用,圆锥曲线的综合应用,考查分析问题 解决问题的能力.

21.已知函数 f(x)=1﹣ ﹣lnx(a∈R) . (Ⅰ)当 a=1 时,求函数 f(x)的图象在点 (Ⅱ)当 a≥0 时,记函数Γ(x)= 递减区间; (Ⅲ)设函数 h(a)=3λa﹣2a (其中λ为常数) ,若函数 f(x)在区间(0,2)上不存在 极值,求 h(a)的最大值. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)当 a=1 时,化简函数的解析式求出函数的导数,求出斜率以及切点坐标,求 解切线方程. (Ⅱ)化简函数Γ(x)= ﹣1+f(x)的解析式,求出函数的导数,
2

处的切线方程; ﹣1+f(x) ,试求Γ(x)的单调

通过①当 a=0 时,②当 a>0 时,分别通过函数的极值点,判断函数的单调性.求出单调区 间. (Ⅲ)通过函数的导数为 0,求出极值点,利用题意转化为函数 f(x)在区间(0,2)上不 存在极值,求出 a 的范围然后求解 h(a)max 值即可. 解答: (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)当 a=1 时, 则 , 的切线方程为: 即 2x﹣y+ln2﹣2=0.…(4 分) , , ∴函数 f(x)的图象在点 ,

(Ⅱ)∵

,∴

(x>0) ,



①当 a=0 时, 由 (6 分) ②当 a>0 时,
2

, 及 x>0 可得:0<x≤1,∴Γ(x)的单调递减区间为(0,1]…


2 2

由 ax ﹣(2a﹣1)x﹣1=0 可得:△=(2a﹣1) +4a=4a +1>0, 设其两根为 x1,x2,因为 ,所以 x1,x2 一正一负,

设其正根为 x2,则





及 x>0 可得:

,∴

Γ(x)的单调递减区间为

.…(8 分)

(Ⅲ)

,由 f'(x)=0? x=a,

由于函数 f(x)在区间(0,2)上不存在极值,所以 a≤0 或 a≥2…(10 分)对于 h(a) =3λa﹣2a ,对称轴 当 当 当 或 ,即 ,即
2

, ,即λ≤0 或 时, ;

时,h(a)max=h(0)=0; 时,h(a)max=h(2)=6λ﹣8;

综上可知:

.…(14 分)

点评: 本题考查函数的导数的综合应用,函数的单调性以及函数的极值最值的求法,考查 分类讨论以及转化思想的应用.


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