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初三数学复习课--锐角三角函数_图文

锐角三角函数
焦陂职高丁勇

班级----我的家---全靠

你 他



? 教学目标: ? 1、使学生学过的知识条理化、系统化, ? 2、培养学生综合、概括等逻辑思维能力及分析问题、 解决问题的能力. ? 3.通过对本章的复习,让学生学会将千变万化的实际问 题转化为数学问题来解决的能力,培养学生用数学的意 识。 ? 教学重点: ? 锐角三角函数的概念、特殊角的三角函数值、 ? 互余角三角函数关系、 ? 同角三角函数关系、. ? 教学难点: ? 解直角三角形知识的应用 ? .

B

练习1 (利用定义解题) 一、基本概念

a 如右图所示的 Rt⊿ 1.正弦 sinA= c ABC中∠C=90°, b A cosA= c 2. 余弦 a=5 , b=12, 5 a 定义: 13 , 那么 sinA= tanA= _____ 3.正切 b
12 cosA=______ 13

c
b

a
C

,

5 13 cosB=______ , 5 tanA = ______ 12

锐角A的正弦、 余弦、正切、都叫 做∠A的锐角三角 函数.

回味无穷
? 定义中应该注意的几个问题:
1.sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的, ∠A是

锐角(注意数形结合,构造直角三角形).
2.sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A 的三角函数,习惯省去“∠”号;

3.sinA,cosA,tanA, 是一个比值.注意比的顺序,
且sinA,cosA,tanA, 均﹥0,无单位. 4.sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A的大小有关, 而与直角三角形的边长无关. 5.角相等,则其三角函数值相等;两锐角的三角函数值

相等,则这两个锐角相等.

二、几个重要关系式

B

tanA= sin A

cos A

sin2A+cos2A=1

⑴ ∠C=90°∠A为锐角,且 sinA=3/5 ,cosB=( 3/5 ).C A

同角的正 弦余弦与正切之间的 已知:Rt△ABC 中, a 关系

c

练 习 2

(2)cos245° +sin245°=1
互余两个角的三角函数关系

b 同角的正弦余弦平方和等于 1

(3)sin53°cos37°+cos53 sinA=cos(90°- A )=cosB °sin37°=( ) 1

cosA=sin(90°- A)=sinB S △ABC=
1 2

bcsinA =

1 1 acsinB= 2 2

absinC

三、特殊角三角函数值
三角函数

角度 逐渐 增大 3 0° 45 ° 6 0°
1 2
3 2 3 3
2 2 2 2

角 度

正弦 sinα 值如 余弦 何变 值如 正切 cosα 化? 何变 思 考 值如 化? 锐角A的正弦值、 何变 tanα 化? 余弦值有无变化范
围? 0< sinA<1 0<cosA<1

3 2

1 2

1

3

正 弦 余 值 弦 也 值 正 增 逐 大 切 渐 值 减 也 小 随 之 增 大

☆ 应用练习
1.已知角,求值

求下列各式的值

1. 2sin30°+3tan30°+tan45°
2. cos245°+ tan60°cos30°

=2 + d 3 =2

☆ 应用练习
1.已知角,求值 2.已知值,求角

求锐角A的值

1. 已知 tanA= 3 ,求锐角A . 2. 已知2cosA -

3 =0, 3 =0 3

∠A=60° ∠A=30°

求锐角A的度数 . 解:∵ 2cosA -

∴ 2cosA =
∴cosA= 3
2

∴∠A= 30°

☆ 应用练习
1.已知角,求值 2.已知值,求角 3. 确定值的范围

确定值的范围

1. 在Rt△ABC中∠C=90°, 当 锐角A>45°时,sinA的值 ( B) (A)0<sinA<
(C) 0<sinA<
2 2 3 2

(B)
(D)

2 <sinA<1 2 3 <sinA<1 2

2. 当锐角A>30°时,cosA的 值( C ) 1 1 (A)0<cosA< (B) 2 <cosA<1 (C) 0<cosA< 3
2

2

(D)

3 <cosA<1 2

☆ 应用练习

确定角的范围

3 1.已知角,求值 1. 当∠A为锐角,且tanA的值大于 3 时,∠A( )

2.已知值,求角

B

3. 确定值的范围
4. 确定角的范围

(A)0°<∠A<30° (B)30°<∠A<90°

(C)0 °<∠A<60° (D)60°<∠A<90

☆ 应用练习

确定角的范围

1.已知角,求值 2. 当∠A为锐角,且sinA= 1/5 2.已知值,求角 那么∠A ( A ) 3. 确定值的范围 4. 确定角的范围

(A)0°<∠A< 30 ° (B) 30°<∠A<45°
(C)45°<∠A≤ 60 ° (D) 60°<∠A≤ 90 °

解直角三角形的依据
1、 三边之间的关系 锐角之间的关系

a2+b2=c2(勾股定理); ∠ A+ ∠ B= 90?


边角之间的关系(锐角三角函数) a b cosA = sinA= c c a tan A= b


c
a

b



认识有关概念
1、仰角和俯角:
如图,在进行测量时,从下 向上看,视线与水平线的夹角 叫做仰角;从上往下看,视线 与水平线的夹角叫做俯角.
铅 直 线 仰角

视线

水平线
俯角 视线
北 30° A

2、方向角(方位角):
如图:点A在O的北偏东30° 点B在点O的南偏西45° (又叫西南方向)
B 西

东 O 45° 南

1(2007旅顺)一个钢球沿坡角31 ° 的斜坡向上滚动了5米,此时钢球距地面的

高度是(单位:米)( B ) A. 5cos31 ° B. 5sin31 ° C. 5tan31 ° D. 5cot31 °

2(2007滨州)梯子(长度不变)跟地面所成的锐角 为A,关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之

间,叙述正确的是( A )
A. sinA的值越大,梯子越陡

B .cosA的值越大,梯子越陡
C. tanA值越小,梯子越陡

D.梯子陡的程度与∠A的三角函数值无关。

锐角三角函数的应用

1、在离水面高度为5米的岸上有人用绳子 拉船靠岸,开始时绳子与水面的夹角为 30°,此人以每秒0.5米收绳。问:8秒后 船向岸边移动了多少米?(结果保留根号) 2、一船由东向西航行,上午10:00到达一 座灯塔P东南68海里M处,下午2:00到达 这座灯塔西南N处,这只船航行的速度为 多少?(结果保留根号)

锐角三角函数的应用

特殊角放在直角三角形中才特殊

? 这里的特殊角指的是 30°45°60°,只有放在直 角三角形中才显示出它的特殊性,边之间就有了一 定的特殊性.

(一)有直角及特殊角,而无直角三角形

分析: ∠ A=60°,因而可考虑延长DC和AB ,或延长BC和AD. 当延长DC和AB后,已知条件AB或CD不是直角三角的 边,因而延长BC和AD.

(二)内角为特殊角

? 例2,已知:在△ABC中,∠ B=45°, ∠C=30°,AB= 2 , 求AC的长

解析:过A作AD⊥BC于D 则AD=BD,又AB= ∴AD=BD=1,∠C=30°AD⊥BC, ∴ AC=2

2

(三)二方位角为特殊角且在同一水平线上(一个内角及一个外 角为特殊角)

? 例3、如图,小强在江南岸选定建筑物A,并在江北岸的B处观 察,此时,视线与江岸BE所成的夹角是30° ,小强沿江岸BE向东 走了500m,到C处,再观察A,此时视线AC与江岸所成的夹角 ∠ACE=60° ,根据小强提供的信息,你能测出江岸吗?若能,写出 求解过程;若不能,请说明理由.

?分析:知二角为特殊角,通过作辅助线构成直角三角形,且要把这 二角都放在直角三角形,则可过A作BC的垂线.

例4:某海滨浴场的沿岸可以看作直线AC,如图所 示,1号救生员在岸边的A点看到海中的B点有人 求救,便立即向前跑300米到离B点最近的地点C 再跳入海中游到B点救助;若每位救生员在岸上 跑步的速度都是6米/秒,在水中游泳的速度都是 2米/秒。 1. 请问1号救生员的做法是否合理? B
B
B

45°

A

A

45o

60o

C

D

C

45° 60° A C

2. 若2号救生员从A 跑到D再跳入海中游到B点救助, 请问谁先到达B?

拓展一 如图,为了求河的宽度,在河对岸岸边任意
取一点A,再在河这边沿河边取两点B、C,使得 ∠ABC=60°,∠ACB=45°,量得BC长为100米, 求河的宽度(即求BC边上的高).
A

A
B
45o 60o

D

C
翻 转

A A A A A

60°
B
o 45o 4 60 45 4 44 4 o o C C B 5 C C C B B 5 5 C 55 o o

45°

D

o o

C

B BB B

45o

B

D D

C 100米

拓展二
如图,已知铁塔塔基距楼房基水平距离BD为50米, 由楼顶A望塔顶的仰角为45 ? ,由楼顶A望塔底的俯 角为30? ,塔高DC为 ( )米
A B
60o 45o

C

D

C
旋转

B A
E

45
o

A
C
D

60o

E

B

D

拓展三
旋转

B

D
C

平移 A

C

A

问题1
问题2

楼房AB的高度是多少?
楼房CD的高度是多少?

B

45o

60o

D

C

A

B

o o o o o o o

B D D D D D D

45o
60o

o60 60 60 60 60 60 60 45

D
45o

A

60?
30?

M

E

D
50m

C

小提示

1. 应注意锐角三角函数的概念理解及运用。 2. 在解直角三角形时应注意原始数据的使用, 不是直角三角形时,可添辅助线(添加垂线)。 3. 注意数形结合的运用.善于利用方程思想求解 。 4 .使用计算器时,题中没有特别说明,保留4位小 数。

思想与方法

1.数形结合思想. 2.方程思想. 3.转化(化归)思想. 方法:把数学问题转化成解直角三角形问题, 如果示意图不是直角三角形,可添加适当的辅 助线,构造出直角三角形.

-----与大家共勉

作业
? 一、课后分组讨论,查漏补缺 ? 二、做锐角三角函数复习题专题训练

结 束 语

学习任何东西, 最好的途径是自己去发现!


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