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山西省忻州实验中学2013届高三第一次模拟考试理科数学试卷


山西省忻州实验中学2013届高三第一次模拟考试 理科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分 钟.

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的)
1.如图所示的韦恩图中, A 、 B 是非空集合,定义 A * B 表示阴影部分集合.若 x, y ? R ,

A ? ?x y ? 2x ? x2
A. (2, ??) C. ?0,1? ? (2, ??)

?, B ? ?y

y ? 3x , x ? 0

? ,则 A *B=(

) .

B. ?0,1? ? (2, ??) D. ?0,1? ?[2, ??)

2.若命题 p : ?x ? [1, 2], x 2 ? a ;命题 q : ?x ? R, x 2 ? 2ax ? 2 ? a ? 0 ,若命题“ p ? q ”是 真命题,则实数 a 的取值范围为( A. ( ??, ?2] B. ( ?2,1) ) C. ( ??, ?2] ? {1} ) D. 420 ) D. [1, ?? )

3. 已知等差数列 ?an ?中,a2 ? 7,a4 ? 15,则前 项和S10=( 10 A. 140 4. 已知 a >0,b>0,则 A.4 B. 210 C. 380

1 1 ? ? 2 ab 的最小值为( a b
B.2

C. 2 2

D.

5 2

5. 如右图,在△ ABC 中, AN ? 值为( A. ) B

?? ?

? ?? ? ?? ? 2 ?? ? 1 ?? NC , P 是 BN 上的一点,若 AP ? m AB ? AC ,则实数 m 的 3 9

1 9

1 3
2

C. 1

D.

3 )

6. 函数 f ( x) ? ?2 x ? 7 x ? 6 与 g ( x) ? ? x 的图象所围成封闭图形的面积为( A.

2 3

B.

4 3
f ?( x )

C.2 的图象

D.

8 3

7. 定义在 R 上的可导函数 f ( x ) ,已知 y ? e

1 / 10

如右图所示,则 y ? f ( x) 的增区间是( A. (??,1) B. (??, 2) C. (0,1)

) D. (1, 2)

?x ? 0 x ? 2y ? 3 ? 8.设 x, y 满足约束条件 ? y ? x ,则 的取值范围是( ) x ?1 ? 4 x ? 3 y ? 12 ?
A. 1,5

? ?

B. 2,6

?

?

C. 3,10

?

?

D. ?3,11?

9.如图所示是一几何体的三视图,正视图是一等腰直角三角形,且斜边 BD 长为 2,侧视图是 一直角三角形,俯视图为一直角梯形,且 AB=BC=1,则异面直线 PB 与 CD 所成角的正切 值是( )

A.1

B. 2

C.

2 2

D.

1 2

10.已知正方形 APP P 的边长为 4,点 B, C 位边 PP , P P 的中点,沿 AB, BC, CA 折叠成 1 2 3 1 2 2 3 一个三棱锥 P ? ABC (使 P , P , P 重合于点 P ) ,则三棱锥 P ? ABC 的外接球表面积为 1 2 3 ( ) B. 12? C. 8? D. 4?

A. 24?

11. 已知 y ? f (x) 是偶函数, x ? R ,若将 y ? f (x) 的图象向右平移一个单位又得到一个奇 函数,又 f (2) ? ?1, 则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ?+f (2011) ? ( A.-1003 B.1003 C.1 ) D.-1

12.设函数 f ( x) ? x x ? bx ? c ,给出以下四个命题:①当 c=0 时,有 f (? x) ? ? f ( x) 成立; ②当 b=0,c>0 时,方程 f ( x) ? 0, 只有一个实数根;③函数 y ? f (x) 的图象关于点(0,c) 对称 ④当 x>0 时;函数 f ( x) ? x x ? bx ? c , f ( x) 有最小值是 c ? 序号是( )
2 / 10

b2 。其中正确的命题的 2

A.①②④

B.①③④

C.②③④

D.①②③

卷Ⅱ(非选择题 共 90 分) 二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.已知 a ? 0 ,b ? 0 ,且满足 a ? b ? 3 ,则

1 4 ? 的最小值为 a b



?2 x ? 1, x?0 ? 14.已 知 定 义 在 (?1, ??) 上 的 函 数 f ( x) ? ? 3x ? 1 , , ?1 ? x ? 0 ? ? x ?1
若 f (3 ? a2 ) ? f (2a) ,则实数 a 取值范围为 15.设函数 f ( x) ? 2sin( .

?

x ? ) ,若对任意 x ? R ,都有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) 成立, 2 5

?

则 x1 ? x2 的最小值为 16.设 X n ? {1, 2,3?n}(n ? N * ) ,对 X n 的任意非空子集 A,定义 f ( A) 为 A 中的最大元素, 当 A 取遍 X n 的所有非空子集时,对应的 f ( A) 的和为 Sn ,则 Sn =

三、解答题(共 70 分要求写出详细解答过程)
17、 (本小题 10 分)在△ABC 中,内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c, 已知向量 m =(1,cosA -1), n =(cosA,1)且满足 m ⊥ n . (1)求 A 的大小; (2)若 a= 3 ,b+c=3 求 b、c 的值.

18. (本题满分 12 分)已知数列 {an } 的首项 a1 ?

2 2an ? , an ?1 ? , n? N ) ( 3 an ? 1

(1)证明:数列 {

1 n ? 1} 是等比数列; (2)求数列 { } 的前 n 项和 Sn . an an

19、 (本小题 12 分)如图所示,在三棱锥 V—ABC 中,VC⊥底面 ABC,AC⊥BC,D 是 AB 的中点,且 AC=BC= a , ?VDC ? ? (0 ? ? ?

?
2

)。

3 / 10

(1)求证:平面 VAB⊥平面 VCD; (2)当角 ? 变化时,求直线 BC 与 平面 VAB 所成的角的取值范围。

20. (本小题满分 12 分)某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另 投入成本为 C ( x) ,当年产量不足 80 千件时, C ( x ) ? 80 千件时 C ( x) ? 51x ?

1 2 x ? 10 x (万元) ;当年产量不小于 3

10000 ? 1450 (万元) ,每件商品售价为 0.05 万元,通过市场分析, x

该厂生产的商品能全部售完。 (1)写出年利润 L(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?

21. (本题满分 12 分)如图,在三棱锥 P ? ABC 中,

PA ? 底面 ABC, PA ? AB, ?ABC ? 60? , ?BCA ? 90? ,
点 D 、 E 分别在棱 PB, PC 上,且 DE // BC (1)求证: BC ? 平面 PAC ; (2)当 D 为 PB 的中点时,求 AD 与平面 PAC 所成的 角的正弦; (3)是否存在点 E 使得二面角 A ? DE ? P 为直二面角?并说明理由. 22、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax ? 1 ? ln x (a ?R) . (1)若函数 f (x) 在 x ? 1 处取得极值,对 ?x ? (0,??) , f ( x) ? bx ? 2 恒成立,求实数 b 的取值范围;
4 / 10

(2)当 0 ? x ? y ? e 2 且 x ? e 时,试比较

y 1 ? ln y 与 的大小. x 1 ? ln x

5 / 10

高三年级数学(理科)答案

20. (本小题满分 12 分)

6分

6 / 10

7 / 10

22、 (1)∵函数 f (x) 在 x ? 1 处取得极值,∴ a ? 1 , 1 ln x ∴ f ( x) ? bx ? 2 ? 1 ? ? ?b, x x 1 ln x 令 g ( x) ? 1 ? ? ,可得 g (x) 在 0, e 2 上递减,在 e 2 ,?? 上递增, x x 1 1 ∴ g ( x) min ? g (e 2 ) ? 1 ? 2 ,即 b ? 1 ? 2 . 6 分 e e

?

?

?

?

1 ? ln x 在(0,e2)上单调减 x 1 ? ln x 1 ? ln y ? ∴0<x<y<e2 时, g ( x) ? g ( y ) 即 x y

(2)由(Ⅱ)知 g ( x) ? 1 ?

y 1 ? ln y ? x 1 ? ln x y 1 ? ln y 当 e<x<e2 时,1-lnx<0,∴y(1-lnx)>x(1-lny), ∴ ? x 1 ? ln x

当 0<x<e 时,1-lnx>0,∴y(1-lnx)>x(1-lny), ∴

12 分 18. 解: (Ⅰ)? an ?1 ?

2an a ?1 1 1 1 1 1 1 1 ,? ? n ? ? ? , ? ? 1 ? ( ? 1) , an ?1 2an 2 2 an an ?1 2 an an ? 1

又 a1 ? 分

2 1 1 1 1 1 ,? ? 1 ? , ? 数列 { ? 1} 是以为 首项, 为公比的等比数列. ???4 3 2 2 a1 2 an

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

1 1 1 1 ? 1 ? ? n?1 ? n , an?1 2 2 2



1 1 ? n ? 1 , ???6 分 an 2
?

n n ? n ?n. an 2
8 / 10

?

设 Tn ?

1 2 3 n ? 2 ? 3 ? ? ? n , ① ??8 分 2 2 2 2 1 n ? n. n ?1 2 2
???11 分

由错位相减法得:
?

Tn ? 2 ?

? 又 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n(n ? 1) . 2
故 Sn ?

n2 ? n ? 4 n ? 2 - n ???12 分 2 2

9 / 10

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