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人教版-高中数学选修2-3


计数原理
§1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

实际问题
2008年29届夏季奥运会在北京举行.奥运会足 球赛共有16个队参赛.它们先分成4个小组 进行循环赛,决出8强,这8个队按确定的程 序进行淘汰赛后,最后决出冠亚军,此外还决 出了第三、第四名.问一共安排了多少场比赛?
要回答这个问题,就要用到排列、组合的知 识.在运用排列、组合方法时,经常要用到分类 加法计数原理与分步乘法计数原理.

问题1 某班级有34位男生,15位女生,现 要选一位同学参加演讲比赛,则有多少种不 同的选法? 问题2 秋天到了,学校举行“全民健身”登 山活动,山的南面有3条登山路线,山的北面 有2条登山路线,要登上山顶,问共有多少种 不同的路线?
探究1:你能说说以上两个问题的共同特征吗?

分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案,在第1类 方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有 n种不同的方法.那么完成这件事共有 N=m+n 种不同的方法.

完成一件事 有两类不同方案,在第1类方案中 有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法. 那么完成这件事共有 N=m+n 种不同的方法.
问题1 我们班级有34位男生,15位女生,现要选一位同学 参加演讲比赛,则有多少种不同的选法? 问题2 秋天到了,学校举行“全民健身”登山活动,山 的南面有3条登山路线,山的北面有2条登山路线,要登上 山顶,问共有多少种不同的路线?

例1:在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了 解到,A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项 专业,具体情况如下: A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 如果这名同学只能选择一个专业,那么他共有多 少种选择呢?

想一想 在填写高考志愿表时,一名高中毕业 生了解到,A,B,C三所大学各有一些自己感兴趣 的强项专业,具体情况如下: A大学 B大学 C大学 生物学 数学 环境科学 化学 会计学 地质学 医学 信息技术学 车辆工程 物理学 法学 工程学 如果这名同学只能选择一个专业,那么他共有多 少种选择呢?

探究2:如果完成一件事有三类不同方案,

在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类
方案中有m2种不同的方法,在第3类方案中 有m3种不同的方法,那么完成这件事共有多 少种不同的方法?

N=m1+m2+m3

想一想:如果完成一件事情有n类不同方案, 在每一类中都有若干种不同方法,那么应当 如何计数呢?
一般归纳: m1 完成一件事情,有n类方案,在第1类办法中有 m2 种不同的方法 种不同的方法,在第2类方案中有 mn ……在第n类方案中有 种不同的方法.那么完成这件 事共有

N ? m1 ? m2 ???? ? mn

种不同的方法.

练习:
1、一件工作可以用2种方法完成,有5人会用第1种 方法完成,另有4人会用第2种方法完成,从中选出 1人来完成这件工作,不同选法的种数是 . 2、现有高中一年级的学生3名,高中二年级的学 生5名,高中三年级的学生4名.从中任选1人参加 接待外宾的活动,有多少种不同的选法? 3、用一个大写英文字母或一个阿拉伯数字给教室 里的座位编号,总共能编出多少种不同的号码?

如果做一件事情,完成它需要三个步骤,在第一步中

有m1种不同的方法,在第二步中有m2种不同的法,在第三 步中有m3类不同的方法,那么完成这件事情有 N=m1×m2×m3 种不同的方法.

如果做一件事情,完成它需要n个步骤,在第一步中有

m1种不同的方法,在第二步中有m2种不同的法,… 第n步中有mn类不同的方法,那么完成这件事情有 N=m1×m2×m3×…….×mn 种不同的方法.

…在

分类计数原理与分步计数原理有什么异同?
相同点:分类计数原理与分步计数原理都是涉及 完成一件事的不同方法的种数的问题。 不同点:分类计数原理与“分类”有关,各种 方法相互独立,用其中任何一种方法都可以完成这 件事;分步计数原理与“分步”有关,各个步骤相 互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完 成.

例2 书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2
层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的 体育书. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法? (2)从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种 不同的取法?

例3.要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅, 分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问共 有多少种不同的挂法?
解:第1步:从3幅画中选1幅挂在左边墙上,有3种 选法 第2步:从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上,有2 种选法

根据分步乘法计数原理,不同挂法的种数是
N=3×2=6

练习:
1、 在由电键组A、B组成的串联电路中,

如图,要接通电源,使电灯发光的方法 有几种?

练习:
2、某学校的一个班级组织学生义务献血,在体 检合格的学生中,是o型血的有10人,A型血 的有7人,B型血的有8人,AB型血的有5人, (1)从中任选1名学生去献血,有多少种不同的 选法? (2)从四种血型的学生中各选1名学生去献血, 有多少种不同的选法? (3)从中任选2名具有不同血型的学生去献血, 有多少种不同的选法?

例4、给程序模块命名,需要用3个字符,其中首 字符要求用字母A~G或U~Z,后两个要求用数字 1~9,问最多可以给多少个程序命名? 解:第1步:选首字符,共有7+6=13种选法 第2步:选中间字符,共有9种选法

第3步,选最后一个字符,共有9种选法
根据分步计数原理,最多可以有13×9×9= 1053个不同的名称

例5 核糖核酸(RNA)分子是在生物细胞中发现的化学 成分,一个RNA分子是一个有着数百个甚至数千个位置的 长链,长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分 所占据.总共有4种不同的碱基,分别用A,C,G,U表示. 在一个RNA分子中,各种碱基能够以任意次序出现,所以 在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关.假设 有一类RNA分子由100个碱基组成,那么能有多少个不同的 RNA分子?

4100个

A C A G U C C G AU G A

例6 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与 低等两种状态,而这也是最容易控制的两种状态.因此计 算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法,即 二进制.为了使计算机能够识别字符,需要对字符进行编 码,每个字符可以用一个或多个字节来表示,其中字节是 计算机中数据存储的最小计量单位,每个字节由8个二进 制位构成.问: (1)一个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符? (2)计算机汉字国际码(GB码)包含了6 763个汉字,一 个汉字为一个字符,要对这些汉字进行编码,每个汉字至 少要用多少个字节表示?

(1)256个

(2)2个

例7 计算机编程人员在编写好程序以后需要对 程序进行测试,程序员需要知道到底有多少条执 行路径(即程序从开始到结束的路线),以便知 道需要提供多少个测试数据.一般地,一个程序模 块由许多子模块组成.如图所示是一个具有许多执 行路径的程序模块. (1)这个程序模块有多少条执行路径; (2)为了减少测试时间,程序员需要设法减少测 试次数,你能帮助程序员设计一个测试方法,以 减少测试次数吗?

开始

子模块1 18条执行路径

子模块2 45条执行路径

子模块3 28条执行路径

A
子模块4 38条执行路径 子模块5 43条执行路径 结束

7371条

178次

例8 随着人们生活水平的提高,某城市家庭汽车拥有 量迅速增长,汽车牌照号码需要扩容.交通管理部门出台 了一种汽车牌照组成方法,每一个汽车牌照都必须有3个 不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字,并且3个字 母必须合成一组出现,3个数字也必须合成一组出现.那么 这种办法共能给多少辆汽车上牌照? 共能给22 464 000辆汽车上牌照. 用两个计数原理解决计数问题时,最重要的是在开始 计算之前要进行仔细分析——需要分类还是需要分步。 分类要做到“不重不漏”,分步要做到“步骤完整”

练习:
1、 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚 班,有多少种不同的选法? 2、乘积(a1+a2+a3 )(b1+b2+b3+b4 )(c1+c2+c3+c4+c5) 展开后共有多少项? 3、从数字1、2、3、4、5中任选三个数字可以组成多少个无重 复数字的三位数?

4、由数字0,1,2,3,4,5可以组成多少个有重复数字的三位数?

5、3个班分别从5个风景点中选择一处游览,不同选法的种数 是35还是53?

6、某中学的一幢5层教学楼共有3处楼梯,问从1楼到5楼共 有多少种不同的走法? 7、集合A={1,2,3,4},B={5,6,7}, 从A到B的映射有多少个?

8、用5种不同颜色给图中A,B,C,D四个区域涂色,每个区域只 涂一种颜色,相邻区域的颜色不同,求共有多少种不同的涂色方法? A C B D

9、如图,从甲地到乙地有2条路,从乙地到丁地有3条路;从 甲地到丙地有4条路可以走,从丙地到丁地有2条路。从甲地到 丁地共有多少种不同地走法? 甲地 乙地

丙地

丁地

10、如图,该电路,从A到B共有多少条不同的线路可通电?

A

B

11、集合A={1,2,-3},B={-1,-2,3,4} .从A,B 中各取1个元素作为 点P(x,y) 的坐标. (1)可以得到多少个不同的点? (2)这些点中,位于第一象限的有几个? 12、甲、乙、丙3个班各有三好学生3,5,2名,现准备推选 两名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会,共有 几种不同的推选方法.

13、在所有的两位数中,个位数字比十位数字大的两位数有多少 个?
14、有架楼梯共6级,每次只允许上一级或两级,求上完这架楼梯 共有多少种不同的走法? 15、某艺术组有9人,每人至少会钢琴和小号中的一种乐器,其 中7人会钢琴,3人会小号,从中选出会钢琴与会小号的各1人, 有多少种不同的选法?

16、将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的 两端点颜色不同,如果只有5种颜色可供使用,求共有多少种不同 S 的染色方法?
C D A B

17、 ①用0,1,2,……,9可以组成多少个8位号码;

②用0,1,2,……,9可以组成多少个8位整数; ③用0,1,2,……,9可以组成多少个无重复数字 的4位整数; ④用0,1,2,……,9可以组成多少个有重复数字 的4位整数; ⑤用0,1,2,……,9可以组成多少个无重复数字 的4位奇数; ⑥用0,1,2,……,9可以组成多少个有两个重复 数字的4位整数.


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