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2016年浙江机电职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)


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2016 年浙江机电职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合 A={x|0≤x≤ 5 ,x∈Z},集合 B={x|x=2a,a∈A},则集合 A∩B 等于 (
A.{0,2} B.{0,1} C.{1,2} D.{0}



4 2. 已知角 ? 的终边经过点 P(?8m,?6 cos60o ) ,且 cos ? ? ? ,则 m 的值是( ) 5
A、 ?

1 2

B、 ?

3 2

C、

3 2

D、

1 2
() D.0
p =( ) q

3.如果向量 a ? (k ,1) 与 b ? (4, k ) 共线且方向相反,则 k = A.± 2 B.-2 C.2

?

?

4.若不等式|2x-3|>4 与不等式 x2+px+q>0 的解集相同,则 A、

7 12

B、 ?

12 7

C、

12 7

D、 ?

3 4
( )

5.设等差数列{an}前 n 项和为 Sn,则使 S6=S7 的一组值是 (A)a3=9, a10=―9(B)a3=―9,a10= 9 (C)a3=―12,a10=9 (D)a3=―9,a10=12

6.要从 10 名男生和 5 名女生中选出 6 人组成啦啦队,若按性别依比例分层抽样且某 男生担任队长,则不同的抽样方法数是
3 2 A. C9 C5 3 2 B. C10 C5 3 2 C. A10 A5 4 2 D. C10 C5





7. 椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线 经过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点 A 、 B 是它的焦点, 长轴长为 2 a ,焦距为 2 c ,静放在点 A 的小球(小球的半径不计),从点 A 沿直线出

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发,经椭圆壁反弹后第一次回到点 A 时,小球经过的路程是 ( ) A. 4 a B. 2(a ? c) C. 2(a ? c) D.以上答案均有可能

8.函数 y ? lg(10 x) ? x 的图象大致形状是 ( )

y
1

y

y

y
1

O

x

O

1

x

O

1

x

O

x

A.

B.

C.

D

9.有以下四个命题:①若直线 a、 b 是异面直线, b、c 是异面直线,则 a、c 是异面直 线;②若一条直线与两个平面所成的角相等,则这两个平面平行;③若一个平面内有 不共线三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行;④三个平面两两相交, 有三条交线,则这三条交线一定平行.以上命题中真命题个数有 ( )

A.?? 0 个

B.?? 1 个

C .?? 2 个

D.?? 3 个

10.已知函数 f(x)是偶函数,且当 x ? [0, ??) 时,f(x)=x-1,则不等式 f(x-1)<0 的解 集为( ) B. (-∞,0)∪(1,2) C.(0,2) D.(1,2)

A.(-1,0)

11. 已知 F1、F2 为双曲线 它与双曲

x2 y2 ? =1(a>0,b>0)的焦点,过 F2 作垂直于 x 轴的直线, a2 b2

线的一个交点为 P,且∠PF1F2=30°,则双曲线的渐近线方程为 A.y=±

(

) D.y=± 2

x

2 x B.y=± 3 x 2

C.y=±

3 x 3

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12.若函数 y ? f ( x) 在 R 上是奇函数且可导,若 f ?( x) ? 1 恒成立,且常数 a ? 0 ,则 下列不等式一定成立的是 ( )

A.?? f (a ) ? a B.?? f (a ) ? a C .?? f (a ) ? a D.?? f (a ) ? a
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上.
2 13.函数 y ? log 4 (5 ? x ) 的定义域为

14.已知球面上 A、B 两点间的球面距离是 1,过这两点的球面半径的夹角为 60°, 则这个球的表面积与球的体积之比是
15.将大小不同的两种钢板截成 A、B 两 种规格的成品,每张钢板可同时截得这两 种规格的成品的块数如右表所示.现在需 要 A、B 两种规格的成品分别为 12 块和 10 块,则至少需要这两种钢板共 16.请阅读下列命题: 张. 第二种钢板 1 3

.
规格类型 钢板类型 第一种钢板

A 规格

B 规格

2

1

x2 y2 = 1 总有两个交点; ①直线 y = kx + 1 与椭圆 + 2 4
②函数 f ( x) = 2sin(3 x 平移得到; ③函数 f ( x) = x 2 - 2ax + b 一定是偶函数; ④抛物线 x = ay 2 (a ? 0) 的焦点坐标是 (

? 3p p ) 的图象可由函数 f ( x) = 2sin 3x 按向量 a = (- , 0) 4 4

1 , 0) . 4a

回答以上四个命题中,真命题是__ _____________(写出所有真命题的编号). 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤. 17.(本小题 12 分)

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某中学有 5 名体育类考生要到某大学参加体育专业测试,学校指派一名教师带队, 已知每位考生测试合格的概率都是

2 , 3

(1)若他们乘坐的汽车恰好有前后两排各 3 个座位,求体育教师不坐后排的概率; (2)若 5 人中恰有 r 人合格的概率为 80 ,求 r 的值; 18. (本小题 12 分)
243

设向量 a ? (sin ? ,1), b ? (0,cos? ),? ? (0, ? ). (1)若 a ? b ,求 ? 的值。 (2)若 ? ? 70? ,求向量 a ? b 所在直线的倾斜角 ? 的大小。 (3)若 ? ?

?

?

? ?

? ?

?
2

,求函数 y ? 2 cos 2

?
2

? 3 sin ? 的值域。

19.(本小题满分 12 分) 如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截面而得到的,其中 AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1. (Ⅰ)求证:四边形 AEC1F 为平行四边形, (Ⅱ)求 BF 的长; (Ⅲ)求点 C 到平面 AEC1F 的距离.

20.(本小题满分 12 分) 已知曲线 C: y ? 4ax3 ? x, 过点 Q(0, ?1) 作 C 的切线 l ,切点为 P. (1)求证:不论 a 怎样变化,点 P 总在一条定直线上。

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(2)若 a ? 0 ,求过 P 且与 l 垂直的直线与 x 轴的交点到原点 O 的最小距离。 21.(本小题 12 分) 已知数列 {an } 、 ?bn ? 满足: a1 ? 1, a2 ? a(a 为常数),且 bn ? an ? an?1 ,其中

n ? 1, 2,3 …
(Ⅰ)若{an}是等比数列,试求数列{bn}的前 n 项和 Sn 的表达式; (Ⅱ)当{bn}是等比数列时,甲同学说:{an}一定是等比数列;乙同学说:{an}一定 不是等比数列,你认为他们的说法是否正确?为什么?

22.(本小题满分 14 分) 在直角坐标系 XOY 中,已知点 A(1,0), B( ?1,0) ,C(0,1), D(0, ? 1) , 动点 M 满足 AM ? BM ? m(CM ? DM ? | OA? OM | 2 ) ,其中 m 是参数( m ?R ) (Ⅰ)求动点 M 的轨迹方程,并根据 m 的取值讨论方程所表示的曲线类型; (Ⅱ)当动点 M 的轨迹表示椭圆或双曲线,且曲线与直线 l:y ? x ? 2 交于不同的两 点 时,求该曲线的离心率的取值范围.

?

?

?

?

? ?

参考答案
一、 选择题:

1. A 2. D 3. B 4. C 5. C 6. A 7. D 8. A 9. A 10. A 11. D 12. A 二、 填空题:

13. ? ?2,2? 14. ? 15.7 16.①④ 三、解答题:

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17. 解:(1)体育教师不坐后排记为事件 A,则 P ( A) ?

C3 C6

1 1

?

1 。 2

(2)每位考生测试合格的概率 P ?

2 1 ,测试不合格的概率为 1 ? P ? 3 3

则 P5 (r ) ? C5 P r (1 ? P) 5? r ?
r

80 ,( r ? 0,1,2,3,4,5) 243

2 r 1 5? r C5 2 r 80 即 C5 ( ) ( ) ? , ? 5 3 3 243 3
r

r

∴ C5 2r ? 80 ,可得 r ? 3 或 r =4 18.解:(1)? a ? b ,?sin ? cos ? ? 0, 又 ? ? (0, ? ) ,故 ? ? (2)?a ? b ? (sin 70? ,1 ? cos70? ) ,

r

? ?

?
2

? ?

1 ? cos 70? 2sin 2 35? ? tan ? ? ? sin 70? 2sin 35? cos 35?
= tan 35? ,又 ? ?[0, ? ),?? ? 35? (3)将原函数化简得 y ? 1 ? 2sin(? ? 可知 ? ? (0,

?
6

) ,由 ? ? (0, ? ) 及 ? ?

?
2

?
2

), 故 ? ?

?

? 2? ? ( , ) ,于是 y ? (2,3 ] 6 6 3

19. 解法 1:(Ⅰ)由长方体的性质得平面 ADF//平面 BC C1 E 又? 平面 AE C1 F ? 平面 BC C1 E= C1 E 平面 AE C1 F ? 平面 ADF=AF ∴AF// C1 E 同理 AE// C1 F ∴四边形 AEC1F 为平行四边形, (Ⅱ)过 E 作 EH//BC 交 CC1 于 H,则 CH=BE=1,EH//AD,且 EH=AD.

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又∵AF∥EC1,∴∠FAD=∠C1EH. ∴Rt△ADF≌Rt△EHC1. ∴DF=C1H=2.

? BF ? BD2 ? DF 2 ? 2 6.
( Ⅲ)延长 C1E 与 CB 交于 G,连 AG, 则平面 AEC1F 与平面 ABCD 相交于 AG. 过 C 作 CM⊥AG,垂足为 M,连 C1M, 由三垂线定理可知 AG⊥C1M.由于 AG⊥面 C1MC,且 AG ? 面 AEC1F,所以平面 AEC1F⊥面 C1MC.在 Rt△C1CM 中,作 CQ⊥MC1,垂足为 Q,则 CQ 的长即为 C 到平面 AEC1F 的距离.



EB BG ? 可得, BG ? 1, 从而AG ? CC1 CG

AB 2 ? BG 2 ? 17. 4 17 ? 12 解法 2:(Ⅰ) , 17

由?GAB ? ?MCG知, CM ? 3 cos MCG ? 3 cosGAB ? 3 ? CM ? CC1 ? MC1 3? 12 17 12 17
2

? CQ ?

?

32 ?

4 33 . 11

同上 (Ⅱ)建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0),B(2,4,0),A (2,0,0), C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).设 F(0,0,z). ∵AEC1F 为平行四边形,

?由AEC1 F为平行四边形, ??? ? ???? ? ?由AF ? EC1得, (?2, 0, z ) ? (?2, 0, 2), ? z ? 2.? F (0, 0, 2). ??? ? ? BF ? (?2, ?4, 2). ??? ? 于是 | BF |? 2 6, 即BF的长为2 6.

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(Ⅲ)设 n1 为平面 AEC1F 的法向量,

显然n1不垂直于平面 ADF, 故可设n1 ? ( x, y,1)
? ?n1 ? AE ? 0, ?0 ? x ? 4 ? y ? 1 ? 0 由? 得? ?? 2 ? x ? 0 ? y ? 2 ? 0 ? n ? AF ? 0 , ? 1
? x ? 1, ?? 1 ?4 y ? 1 ? 0, ? 即? ?? 1 ∴ n1 ? (1, ? ,1) 4 ?? 2 x ? 2 ? 0, ? y ? ? . 4 ?
则 C 到平面 AEC1F 的距离为

????? ? ??? | CC1 ? n1 | 4 33 ?? d? ? . 11 ? | n1 |
20.证明:(1)设 P 点的坐标为( x0 , y0 ),则

y0 ? 4ax03 ? x0 . 又 y ' ? 12ax2 ? 1,
则 l 的斜率为 y' |x? x0 ? 12ax0 ?1, 又切线过点 Q(0, ?1) , 故 l 的斜率又为

y0 ? 1 4ax03 ? x0 ? 1 , ? x0 x0



4ax0 ? x0 ? 1 ? 12ax0 2 ? 1 x0
1 2 a
3
3 ,所以 y0 ? 4ax0 ? x0 ?

所以 x0 ?

1 ? x0 , 2

于是点 P 总在直线 y ? x ?

1 上. 2

(2)证法一:直线 l 的斜率为 1 ? 3 3 a ,则垂线的斜率为 ?

1 1? 33 a

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故垂线方程为 y ? ( ?

1 2

1 2 a
3

)??

1 1 (x ? 3 ) 3 1? 3 a 2 a

令 y ? 0 ,解得垂线于 x 轴的交点的坐标为

2 ? 1? 2 ? 1? x ? ?4 ? 3 3 a ? 3 ? ? ? 4 ? 2 3 3 a ? 3 ? ? 2 ? 6 , 2? a? a? 2?
当且仅当 3 3 a ?

3

2 2 2 6 ,即 ( 3 a )2 ? , a ? 时,等号成立. 3 9 a

所以垂线于 x 轴的交点到原点 O 的最小距离为 2 ? 6 证法二:直线 l 的斜率为

y0 ? 1 x ,则垂线斜率为 ? 0 x0 y0 ? 1

垂线方程为 y ? y0 ? ?

x0 ( x ? x0 ), y0 ? 1

令 y ? 0 ,解得垂线于 x 轴的交点的坐标为

x?

x0 2 ? y0 2 ? y0 x0

1 1 x0 2 ? ( x0 ? ) 2 ? ( x0 ? ) 2 2 = x0
= 2 ? (2 x0 ?

3 1 3 ) ? 2 ?2 2 x0 ? ? 2 ? 6 , ( x0 ? 3 ? 0) 4 x0 4 x0 2 a

当且仅当 2 x0 ?

6 3 时,等号成立. , 即 x0 ? 4 4 x0

所以垂线于 x 轴的交点到原点 O 的最小距离为 2 ? 6 . 21.(I)解:因为{an}是等比数列 a1=1,a2=a. ∴a≠0,an=an-1. 又 bn ? an ? an ?1则b1 ? a1 ? a2 ? a,

bn ?1 an ?1 ? an ? 2 an ? 2 a n ?1 ? ? ? n ?1 ? a 2 bn an ? an ?1 an a

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即 {bn } 是以 a 为首项, a2 为公比的等比数列.

? ?n, ? ? ? Sn ? ?? n, ? a(1 ? a 2 n ) ? . ? ? 1 ? a2

(a ? 1) (a ? ?1) (a ? ?1)

(II)甲、乙两个同学的说法都不正确,理由如下: 解法一:设{bn}的公比为 q,则

bn?1 an?1an? 2 an? 2 ? ? ? q且a ? 0 bn an an?2 an

又 a1=1,a2=a, a1, a3, a5,…,a2n-1,…是以 1 为首项,q 为公比的等比数列,

a2, a4, a6, …, a2n , …是以 a 为首项,q 为公比的等比数列,
即{an}为:1,a, q, aq , q2, aq2, 当 q=a2 时,{an}是等比数列; 当 q≠a2 时,{an}不是等比数列. 解法二:{an}可能是等比数列,也可能不是等比数列,举例说明如下: 设{bn}的公比为 q (1)取 a=q=1 时,an=1(n∈N),此时 bn=anan+1=1, {an}、{bn}都是等比数列. (2)取 a=2, q=1 时, an

?1 ?? ?2

(n为奇数) bn ? 2.( n ? N ). (n为偶数)

所以{bn}是等比数列,而{an}不是等比数列. 22.解:(I)设动点 M 的坐标为(x,y) 由题意得 AM ? ( x ? 1,y ) , BM ? ( x ? 1,y )
? ? ? ? CM ? ( x,y ? 1) , DM ? ( x,y ? 1) , OM ? ( x,y) , OA ? (1,0)
? ? ? ? ? ? ? AM ? BM ? x 2 ? 1 ? y 2 , CM ? DM ?| OA? OM |2 ? x 2 ? y 2 ? 1 ? x 2 ? y 2 ? 1

?

?

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? x 2 ? 1 ? y 2 ? m( y 2 ? 1)
?动点 M 的轨迹方程为 x 2 ? (1 ? m) y 2 ? 1 ? m
当 m ? 1时, x 2 ? 0 ,即 x ? 0 ,动点 M 的轨迹是一条直线;
2 当 m ? 1 时,方程可以化为: x ? y 2 ? 1 1? m

此时,当 m ? 0 时,动点 M 的轨迹是一个圆; 当 m ? 0 ,或 0 ? m ? 1时,动点 M 的轨迹是一个椭圆 当 m ? 1时,动点 M 的轨迹是一条双曲线 (II)当 m ? 1 且 m ? 0 时,由 ?
?y ? x ? 2 得 x2 ? x2 2 ?1 ? m ? y ? 1 ?

? (1 ? m)( x 2 ? 4 x ? 4) ? 1 ? m

? (2 ? m) x 2 ? 4(1 ? m) x ? 3(1 ? m) ? 0
? l 与该圆锥曲线交于不同的两个点
?? ? m ? 0 ?? 2 ?? ? 16(1 ? m) ? 4(2 ? m) ? 3(1 ? m) ? 0
m?2 即? ? ?(m ? 1)(m ? 2) ? 0

?m ? 1且 m ? 2 或 m ? ?2
(1) m ? 1且 m ? 2 时,圆锥曲线表示双曲线 y 2 ? 其中, a 2 ? 1,b 2 ? m ? 1,c 2 ? m
x2 ?1 m?1

?e ?

c ? m ? 1且 e ? 2 a
x2 ? y2 ? 1 1? m

(2)当 m ? ?2 时,该圆锥曲线表示椭圆: 其中 a 2 ? 1 ? m,b 2 ? 1,c 2 ? ?m
? e2 ? c2 ?m 1 2 ? ? 1? ,e 2 ? ( ,1) m?1 3 a2 1? m

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? e ?( 6 ,1) 3

综上:该圆锥曲线的离心率 e 的取值范围是 ( 6 ,1) ?(1, 2 ) ?( 2 , ? ?)
3


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