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2016高考数学二轮复习 专题1 集合、常用逻辑用语、函数与导数 第三讲 函数与方程及函数的实际应用 理


专题一 第三讲

集合、常用逻辑用语、函数与导数 函数与方程及函数的实际应用

1.函数的零点. (1)定义:对于函数 y=f(x),方程 f(x)=0 的实根叫做函数的零点,函数的零点是一 个实数而不是一个点. (2)性质:对于任意函数,只要它的图象是连续不断的,其函数的零点具有下列性质: ①当它通过零点(不是偶次零点)时函数值变号;②相邻两个零点之间的所有函数值保持同 号. 2.函数的零点与方程的根的关系. 函数 F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程 f(x)=g(x)的实根,即函数 y=f(x)的图象与 函数 y=g(x)的图象交点的横坐标. 3.函数有零点的判定. 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)·f(b) <0,那么函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根.

1.二分法的定义. 对于在区间[a,b]上连续不断,且 f(a)·f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断地把函数

f(x)的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点的近似值
的方法,叫做二分法. 2.用二分法求函数零点的近似值的步骤. (1)确定区间[a,b],验证 f(a)·f(b)<0,给定精确度 ε ; (2)求区间(a,b)的中点 x1; (3)计算 f(x1); ①若 f(x1)=0,则 x1 就是函数的零点, ②若 f(a)·f(x1)<0,则令 b=x1[此时零点 x0∈(a,x1)],
1

③若 f(x1)·f(b)<0,则令 a=x1[此时零点 x0∈(x1,b)]. (4)判断是否达到其精确度 ε ,即|a-b|<ε ,则得零点近似值 a(或 b),否则重复以 上步骤.

3.建立函数模型解函数应用题的过程.

2

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)函数 y=2 的函数值比 y=x 的函数值大.(×) (2)幂函数增长比直线增长更快.(×) (3)不存在 x0,使 ax0<x0<logax0.(×) (4)美缘公司 2013 年上市的一种化妆品,由于脱销,在 2014 年曾提价 25%,2015 年想 要恢复成原价,则应降价 25%.(√) (5)某种商品进价为每件 100 元,按进价增加 25%出售,后因库存积压降价,若按九折
3
n x
2

出售,则每件还能获利.(√) (6)f(x)=x , g(x)=2 , h(x)=log2x,当 x∈(4,+∞)时, 恒有 h(x)<f(x)<g(x). (√)
2

x

6 1.已知函数 f(x)= -log2x 在下列区间中,包含 f(x)零点的区间是(C)

x

A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞) 3 解析:因为 f(2)=3-1>0,f(4)= -2<0,所以由根的存在性定理可知,选 C. 2 2.(2015·安徽卷)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是(D) A.y=ln x B.y=x +1 C.y=sin x D.y=cos x
2

解析:A 是非奇非偶函数,故排除;B 是偶函数,但没有零点,故排除;C 是奇函数, 故排除;y=cos x 是偶函数,且有无数个零点.故选 D. 3.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x -3x,则函数 g(x)=f(x) -x+3 的零点的集合为(D) A.{1,3} B.{-3,-1,1,3}
4
2

C.{2- 7,1,3} D.{-2- 7,1,3} 解析:因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x -3x,所以 f(x)=
?x -3x,x≥0, ? ? 2 ?-x -3x,x<0, ? ? ?x -4x+3,x≥0, 所以 g(x)=? 2 ?-x -4x+3,x<0, ?
2 2 2

由?

?x≥0, ?
2

?x -4x+3=0 ? ? ?x<0,
2

解得 x=1 或 3;

由?

?-x -4x+3=0 ?

解得 x=-2- 7.

所以函数 g(x)=f(x)-x+3 的零点的集合为{-2- 7,1,3}.故选 D. 4.(2015·北京卷)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程,下图描 述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是(D)

A.消耗 1 升汽油,乙车最多可行驶 5 千米 B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以 80 千米/时的速度行驶 1 小时,消耗 10 升汽油 D.某城市机动车最高限速 80 千米/时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 解析:根据图象知消耗 1 升汽油,乙车最多行驶里程大于 5 千米,故选项 A 错;以相同 速度行驶时,甲车燃油效率最高,因此以相同速度行驶相同路程时,甲车消耗汽油最少,故 选项 B 错;甲车以 80 千米/时的速度行驶时燃油效率为 10 千米/升,行驶 1 小时,里程为 80 千米,消耗 8 升汽油,故选项 C 错;最高限速 80 千米/时,丙车的燃油效率比乙车高, 因此相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油,故选项 D 对.
5

一、选择题 1.已知 0<a<1,则函数 y=a -|logax|的零点的个数为(B)
6
|x|

A.1 个 C.3 个

B.2 个 D.4 个

2.方程 log4x+x=7 的解所在区间是(C) A.(1,2) B.(3,4) C.(5,6) D.(6,7) 解析:构造函数 F(x)=log4x+x-7,F(5)=log45-2<0,F(6)=log46-1>0,F(x) 在(5,6)内有零点,即 log4x+x-7=0 在(5,6)内有解. 3.方程 mx +2(m+1)x+m+3=0 仅有一个负根,则 m 的取值范围是(C) A.(-3,0) C.[-3,0] B.[-3,0) D.[-1,0]
2

3 解析:当 m=0 时,由原方程得 x=- <0 成立,排除选项 A,B;当 m=-3 时,原方 2 4 2 程变为-3x -4x=0,两根为 x1=0,x2=- ,也符合题意,故选 C. 3
?2-|x|,x≤2, ? 4.(2015·天津卷)已知函数 f(x)=? 函数 g(x)=b-f(2-x),其中 2 ?(x-2) ,x>2, ?

b∈R.若函数 y=f(x)-g(x)恰有 4 个零点,则 b 的取值范围是(D)

?7 ? A.? ,+∞? ?4 ? ? 7? C.?0, ? ? 4?

7? ? B.?-∞, ? 4? ?

?7 ? D.? ,2? ?4 ?
2

解析:当 x>2 时,g(x)=x+b-4,f(x)=(x-2) ; 当 0≤x≤2 时,g(x)=b-x,f(x)=2-x; 当 x<0 时,g(x)=b-x ,f(x)=2+x. 由于函数 y=f(x)-g(x) 恰有 4 个零点,所以方程 f(x)-g(x)=0 恰有 4 个根. 当 b=0 时, 当 x>2 时,方程 f(x)-g(x)=0 可化为 x -5x+8=0,无解; 当 0≤x≤2 时,方程 f(x)-g(x)=0 可化为 2-x-(-x)=0,无解; 当 x<0 时,方程 f(x)-g(x)=0 可化为 x +x+2=0,无解. 所以 b≠0,排除答案 B. 当 b=2 时, 当 x>2 时, 方程 f(x)-g(x)=0 可化为(x-2) =x-2, 得 x=2(舍去)或 x=3, 有 1 解; 当 0≤x≤2 时,方程 f(x)-g(x)=0 可化为 2-x=2-x,有无数个解; 当 x<0 时,方程 f(x)-g(x)=0 可化为 2-x =x+2,得 x=0(舍去)或 x=-1,有 1 解.
2 2 2 2 2

7

所以 b≠2,排除答案 A. 当 b=1 时, 当 x>2 时,方程 f(x)-g(x)=0 可化为 x -5x+7=0,无解; 当 0≤x≤2 时,方程 f(x)-g(x)=0 可化为 1-x=2-x,无解; 当 x<0 时,方程 f(x)-g(x)=0 可化为 x +x+1=0,无解. 所以 b≠1,排除答案 C. 因此答案选 D. 二、填空题 5.下表是函数 f(x)在区间[1,2]上一些点的数值.
2 2

由此可判断,方程 f(x)=0 的一个近似解为 1.4. (精确度 0.1,且近似解保留两位有效数字) 解析:∵f(1.438)·f(1.406 5)<0,且|1.438-1.406 5|=0.031 5<0.1,∴f(x)=0 的一个近似解为 1.4. 6.如图,将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折 2 起,做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为 时,其容积最大. 3

1 解析:设正六棱柱容器的底面边长为 x,高为 d,则 d= 3× (1-x);又底面六边形面 2 1 2 3 3 2 积为:S=6· ·x ·sin 60°= x, 2 2 3 3 2 3 9 9 ∴V=Sd= x · (1-x)= (x2-x3),对 V 求导,则 V′= (2x-3x2),令 V′=0, 2 2 4 4
8

2 解得 x=0 或 x= , 3 2 2 2 当 0<x< 时,V′>0,V 是增函数;当 x> 时,V′<0,V 是减函数.∴x= 时,V 3 3 3 有最大值. 7.若关于 x 的方程 3x -5x+a=0 的一个根在(-2,0)内,另一个根在(1,3)内,则 a 的取值范围为(-12,0). 解析:设 f(x)=3x -5x+a,
2 2

f(-2)>0, 22+a>0, ? ? ?f(0)<0, ?a<0, 则? ?? f(1)<0, -2+a<0, ? ? ?f(3)>0 ?12+a>0.
解得-12<a<0. 8. (2015·安徽卷)在平面直角坐标系 xOy 中, 若直线 y=2a 与函数 y=|x-a|-1 的图 1 象只有一个交点,则 a 的值为- . 2 解析: 函数 y=|x-a|-1 的图象如图所示, 因为直线 y=2a 与函数 y=|x-a|-1 的图 1 象只有一个交点,故 2a=-1,解得 a=- . 2

三、解答题 9.将一张 2×6 米的硬钢板按图纸的要求进行操作:沿线裁去阴影部分,把剩余部分按 要求焊接成一个有盖的长方体水箱(⑦为底,①②③④为侧面,⑤+⑥为水箱盖,其中①与 ③,②与④分别是全等的矩形,且⑤+⑥=⑦),设水箱的高为 x 米,容积为 y 立方米.

9

(1)写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)如何设计 x 的大小,可使得水箱的容积最大? 6-2x 解析:(1)依题意水箱底的宽为(2-2x)米,长为 =(3-x)米.则水箱的容积 y= 2 (2-2x)(3-x)·x=2x -8x +6x(0<x<1), 即 y 关于 x 的函数关系式为 y=2x -8x +6x(0 <x<1). (2)y=2x -8x +6x(0<x<1), ∴y′=6x -16x+6. 令 y′=6x -16x+6=0, 4- 7 4+ 7 得 x= 或 x= (舍去), 3 3 4- 7 当 0<x< 时,y′>0,函数单调递增; 3 当 4- 7 <x<1 时,y′<0,函数单调递减. 3 4- 7 3 2 时,函数 y=2x -8x +6x(0<x<1)取得最大值,即设计水箱的高为 3
2 2 3 2 3 2 3 2

∴当 x=

4- 7 米时,容积最大. 3 10.为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关, 采用了新工艺, 把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品. 已知该单位每月的处理量最少为 400 吨,最多为 600 吨,月处理成本 y(单位:元)与月处理量 x(单位:吨)之间的函数关系 1 2 可近似的表示为:y= x -200x+80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价 2 值为 200 元. (1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? (2)该单位每月能否获利?如果获利,求最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴 多少元才能使该单位不亏损?

y 1 80 000 解 析 : (1) 由 题 意 可 知 , 二 氧 化 碳 的 每 吨 平 均 处 理 成 本 为 = x + - x 2 x
200≥2 1 80 000 x· -200=200, 2 x

1 80 000 当且仅当 x= ,即 x=400 时,等号成立. 2 x ∴当月处理量为 400 吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为 200 元. (2)设该单位每月获利为 S,

10

则 S=200x-y

?1 2 ? =200x-? x -200x+80 000? ?2 ?
1 2 =- x +400x-80 000 2 1 2 =- (x-400) ,x∈[400,600]. 2 ∵x∈[400,600], ∴当 x=400 时,S 取值最大值为 0. 因此,该单位不能获利,最多能收支平衡. 当 x=600 时,S=-20 000,说明该单位每月最大亏损金额为 20 000 元,所以国家至 少需要每月补贴 20 000 元才能使该单位不亏损.

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