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浙江省温州中学2014届高三数学上学期期中试卷 文 新人教A版

温州中学 2013 学年第一学期期中考试 高三数学试卷(文科)
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1 . 已 知 全 集 U ? R , 集 合 A ? x | ?2 ≤ x ≤ 3 , B ? x | x ? 3 x ? 4 ? 0 , 那 么
2

?

?

?

?

A ? (CU B) ? (
A. x | ?2 ≤ x ? 4

) B. x | x ≤ 3或x ≥ 4 C. x | ?2 ≤ x ? ?1

?

?

?

? ?

?

D. x | ?1 ≤ x ≤ 3

?

?

2. ?x ? R, x 2 ? ax ? 1 ? 0 为假命题,则 a 的取值范围为( A. (?2, 2) B. [?2, 2]

) D. (??, ?2] ? [2, ??)

C. (??, ?2) ? (2, ??)

3.已知 a 是函数 f(x)=2 -log1x 的零点,若 0<x0<a,则 f(x0)的值满足(
2

x



A.f(x0)=0

B. f(x0)<0

C f(x0)>0

D.f(x0)的符号不确定

4.已知等差数列 ? an ? 满足 a2 ? a4 ? 4 , a3 ? a5 ? 10 ,则它的前 6 项的和 S 6 为( A.2 1 B.13 5 C.9 5 D.2 3



5.在正方体 ABCD? A' B' C' D' 中,直线 BB / 与平面 A' BD 所成的 角的正弦值等于( A. ) B.

2 4

2 3

C.

3 3
2

D.

3 2
2

6.已知点 P( x, y ) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上运动,则 ( x ? 2) ? ( y ? 2) 的最小值为(



A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2

D.

3 2 2

7.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 a 2 ? b2 ? 2bc , sin C ? 3sin B ,则

A? (
A.

)

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6

1

?x ? y ?1 ? 0 ? 8. 在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? 1 ? 0 ( a 为常数)所表示平面区域的面积 ? ax ? y ? 1 ? 0 ?
等于 2,则 a 的值为( A. -5 ) B. 1 C. 2 D. 3

9.圆 c1 : ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 ,圆 c2 : ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 9 ,M、N 分别是圆 c1 , c2 上的动 点,P 为 x 轴上的动点,则 | PM | ? | PN | 的最小值为: ( A. 5 2 ? 4 B. 17 ? 1 C. 6 ? 2 2 ) D. 17

10.定义在 R 上的奇函数 f (x) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? ?

?log 1 ( x ? 1), x ? [0,1) ?
2

,则函数

?1? | x ? 3 |, x ? [1,??) ?
) D. 1? 2 a

F ( x) ? f ( x) ? a(0 ? a ? 1) 的所有零点之和为(
A. 2 ? 1
a

B. 2

?a

?1

C. 1 ? 2

?a

二、填空题(每小题 4 分,共 28 分) 11. 一个球的外切正方体的表面积等于 6,则此球的表面积为
? ? ? ? ? ? ?
? ?

. .

12. 已知平面向量?, , |? 1,? |? 2, ? ? - 2 ? ) | 2? ? ? | 的值是 则 ? |? | ? ( 13. 若关于 x 的不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集为 (?
2

1 1 , ) ,其中 a , 2 3

b 为常数,则 a ? b ?
14. 已知 x ? 0, y ? 0, x ? 2 y ? xy ? 6 ,则 x ? 2 y 的最小值为 15.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), (A ,? ,? 是常数, A ? 0, ? ? 0) 的部 分图象如图所示,则 f (0) ? ____ 16. 已知函数 f ( x) ? x3 ? mx 2 ? 2n ( m , n 为常数) ,当 x ? 2 时,函数 f ( x) 有极值,若 函数 y ? f ( x) 有且只有三个零点,则实数 n 的取值范围是 17.设不等式 log a (1 ? ) ? 1 的解集为 D ,若 ?1 ? D ,则 D ? .

1 3

1 x

2

三、解答题(共 72 分) 18. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ?

3 ?x 1 sin ? x ? sin 2 ? ( ? ? 0 )的最小正周 2 2 2

期为 ? .(1)求 ? 的值及函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)当 x ? [0, ] 时,求函数 f ( x) 的取值范围.

? 2

19. (本题满分 14 分) 四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,E 为 AD 的中点,ABCE 为菱形,∠BAD=120°,PA =AB,G、F 分别是线段 CE、PB 的中点. P (Ⅰ) 求证:FG∥平面 PDC; (Ⅱ) 求二面角 F-CD-G 的正切值. F A B C
(第 20 题图)

G

E

D

20. (本题满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x +y -12x+32=0 的圆心为 Q, 过点 P(0,2),且斜率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A、B. (1)求 k 的取值范围; (2)是否存在常数 k, 使得向量 OA + OB 与 PQ 共线?如果存在, k 值; 求 如果不存在, 请说明理由.

2

2

??? ?

??? ?

?

3

21.(本题 15 分) 已知数列{ a n }的前 n 项和为 S n , S n ? 2 ? (

2 ? 1)an (n ? 1) . n

(Ⅰ)求证:数列{

an n } 是 等 比 数 列 ; Ⅱ ) 设 数 列 { 2 ? an } 的 前 n 项 和 为 T n , ( n

An =

1 1 1 1 2 .试比较 A n 与 的大小. ? ? ??? T1 T2 T3 Tn na n

22.(本小题满分 15 分)

已知 f ( x) ? x ? ax ? ln x, a ? R
2

(1)若 a ? 0 时,求函数 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若函数 f ( x) 在 ?1,2? 上是减函数,求实数 a 的取值范围; (3)令 g (x) ? f (x) ?x , 是否存在实数 a ,当 x ? (0, e]( e 是自然对数的底)时,函数
2

g ( x) 的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由。

4

浙江省温州中学 2013 学年第一学期高三期中考试卷(文科) 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 D 2 A 3 B 4 A 5 C 6 A 7 B 8 D 9 A 10 D

1 . 已 知 全 集 U ? R , 集 合 A ? x | ?2 ≤ x ≤ 3 , B ? x | x ? 3 x ? 4 ? 0 , 那 么
2

?

?

?

?

A ? (CU B) ? (D)
A. x | ?2 ≤ x ? 4

?

?

B. x | x ≤ 3或x ≥ 4 C. x | ?2 ≤ x ? ?1

?

? ?

?

D. x | ?1 ≤ x ≤ 3

?

?

2. ?x ? R, x 2 ? ax ? 1 ? 0 为假命题,则 a 的取值范围为(A) A. (?2, 2) B. [?2, 2]
x

C. (??, ?2) ? (2, ??)

D. (??, ?2] ? [2, ??)

3.已知 a 是函数 f(x)=2 -log1x 的零点,若 0<x0<a,则 f(x0)的值满足( B )
2

A.f(x0)=0

B. f(x0)<0

C f(x0)>0

D.f(x0)的符号不确定

4.已知等差数列 ? an ? 满足 a2 ? a4 ? 4 , a3 ? a5 ? 10 ,则它的前 6 项的和 S 6 为(A ) A.2 1 B.13 5 C.9 5 D.2 3

5.在正方体 ABCD? A' B' C' D' 中,直线 BB / 与平面 A' BD 所成的 角的正弦值等于( C ) A.

2 4

B.

2 3

C.

3 3
2

D.

3 2
2

6. 已知点 P( x, y ) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上运动, ( x ? 2) ? ( y ? 2) 的 则 最小值为( A ) A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2

D.

3 2 2

7.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 a 2 ? b2 ? 2bc , sin C ? 3sin B ,则

A? ( B )
A.

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6

5

?x ? y ?1 ? 0 ? 8. 在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? 1 ? 0 ( a 为常数)所表示平面区域的面积 ? ax ? y ? 1 ? 0 ?
等于 2,则 a 的值为( D ) A. -5 B. 1 C. 2 D. 3

9.圆 c1 : ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 ,圆 c2 : ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 9 ,M、N 分别是圆 c1 , c2 上的动 点,P 为 x 轴上的动点,则 | PM | ? | PN | 的最小值为: A) ( A. 5 2 ? 4 B. 17 ? 1 C. 6 ? 2 2 D. 17

10.定义在 R 上的奇函数 f (x) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? ?

?log 1 ( x ? 1), x ? [0,1) ?
2

,则函数

?1? | x ? 3 |, x ? [1,??) ?
) D. 1? 2 a

F ( x) ? f ( x) ? a(0 ? a ? 1) 的所有零点之和为( D
A. 2 ? 1
a

B. 2

?a

?1

C. 1 ? 2

?a

二、填空题(每小题 4 分,共 28 分)

11. 一个球的外切正方体的表面积等于 6,则此球的表面积为
? ? ? ? ? ? ?
? ?

?



12. 已知平面向量?, , |? 1,? |? 2, ? ? - 2 ? ) | 2? ? ? | 的值是 则 ? |? | ? ( 13. 若关于 x 的不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集为 (?
2

10

.

1 1 , ) ,其中 a , 2 3
4

b 为常数,则 a ? b ?

-14

14. 已知 x ? 0, y ? 0, x ? 2 y ? xy ? 6 ,则 x ? 2 y 的最小值为

15.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), (A ,? ,? 是常数, A ? 0, ? ? 0) 的部 分图象如图所示,则 f (0) ? ____

6 2

16. 已知函数 f ( x) ? x3 ? mx 2 ? 2n ( m , n 为常数) ,当 x ? 2 时,函数 f ( x) 有极值,若 函数 y ? f ( x) 有且只有三个零点,则实数 n 的取值范围是 (0, )

1 3

2 3



17.设不等式 log a (1 ? ) ? 1 的解集为 D ,若 ?1 ? D ,则 D ?

1 x

( 1 ,0) 1? a



6

浙江省温州中学 2013 学年第一学期高三期中考答卷纸(文科) 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 D 2 A 3 B 4 A 5 C 6 A 7 B 8 D 9 A 10 D

二、填空题(每小题 4 分,共 28 分) 11. 12. 13.

14.

15.

16.

17. 三、解答题(共 72 分) 18. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ?

3 ?x 1 sin ? x ? sin 2 ? ( ? ? 0 )的最小正周 2 2 2

期为 ? .(1)求 ? 的值及函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)当 x ? [0, ] 时,求函数 f ( x) 的取值范围.

? 2

解: (1) f ( x) ?

3 1 ? cos ? x 1 sin ? x ? ? 2 2 2 3 1 sin ? x ? cos ? x 2 2

?

? ? sin(? x ? ) . 6
因为 f ( x) 最小正周期为 ? ,所以 ? ? 2 .

7

于是 f ( x) ? sin(2 x ? ) .

? ? ? ? ? ? 2 x ? ? 2k ? ? , k ?Z ,得 k ? ? ? x ? k ? ? . 2 6 2 3 6 ? ? 所以 f ( x) 的单调递增区间为[ k ? ? , k ? ? ], k ?Z . 3 6 ? ? ? 7? (2)因为 x ? [0, ] ,所以 2 x ? ? [ , ], 2 6 6 6 1 ? 则 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 . 2 6 ? 1 所以 f ( x) 在 [0, ] 上的取值范围是[ ? ,1 ]. 2 2
由 2k ? ? 19. (本题满分 14 分) 四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,E 为 AD 的中点,ABCE 为菱形,∠BAD=120°,PA =AB,G、F 分别是线段 CE、PB 的中点. P (Ⅰ) 求证:FG∥平面 PDC; (Ⅱ) 求二面角 F-CD-G 的正切值. F 证明:(Ⅰ) 延长 BG 交 AD 于点 D,?

? 6

PF CG 1 ? ? PB CE 2 CG BG 1 BF BG 1 而 ? ? ,? ? ? ,所以 FG / / PD , CE BD 2 PB BD 2

A B C

G

E

D

FG ? 平面PDC, PD ? 平面PDC,? FG / / 平面PDC
(Ⅱ)过点 F 作 FM ? AB于M , 易知 FM ? 面ABCD 过 M 作 MN ? CD于N , 连接 FN,则 CD ? 面FMN

(第 20 题图)

?CD ? MN , CD ? FN ,??FNM 即所求二面角的平面角
不妨令 PA=AB=1,则 FM = ,MN ? , 所以 tan ? ?

1 2

3 4

2 . 3
2 2

20. (本题满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x +y -12x+32=0 的圆心为 Q, 过点 P(0,2),且斜率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A、B. (1)求 k 的取值范围; (2)是否存在常数 k, 使得向量 OA + OB 与 PQ 共线?如果存在, k 值; 求 如果不存在, 请说明理由. 解:(1)圆的方程可写成(x-6) +y =4,所以圆心为 Q(6,0).过 P(0,2)且斜率为 k 的 直线方程为 y=kx+2,代入圆的方程得 x +(kx+2) -12x+32=0, 整理得(1+k )x +4(k-3)x+36=0.① 直线与圆交于两个不同的点 A、B 等价于 Δ =[4(k-3)] -4×36(1+k )=4 (-8k -
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

??? ?

??? ?

?

8

3 ? 3 ? 6k)>0,解得- <k<0,即 k 的取值范围为?- ,0?. 4 ? 4 ? (2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2) 则 OA + OB =(x1+x2,y1+y2), 4? 由方程①得 x1+x2=-

??? ?

??? ?

k-3? .② 2 1+k

又 y1+y2=k(x1+x2)+4.③ 因 P(0,2)、Q(6,0), PQ =(6,-2), 所以 OA + OB 与 PQ 共线等价于-2(x1+x2)=6(y1+y2),将②③代入上式, 3 解得 k=- . 4

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? 3 ? 而由(1)知 k∈?- ,0?,故没有符合题意的常数 k. ? 4 ?
21.(本题 15 分) 已知数列{ a n }的前 n 项和为 S n , S n ? 2 ? (

2 ? 1)an (n ? 1) . n

(Ⅰ)求证:数列{

an }是等比数列; n
1 1 1 1 2 .试比较 A n 与 的 ? ? ??? T1 T2 T3 Tn na n

(Ⅱ) 设数列{ 2 ? an }的前 n 项和为T n , n = A
n

大小. 解: (1)由 a1=S1=2-3a1 得 a1= 由 Sn=2-(

1 , 2

2 2 +1)an 得 Sn-1=2-( +1)an-1, n n ?1 2 2 于是 an=Sn- Sn-1=( +1)an-1-( +1)an, n ?1 n a 1 a 整理得 n = × n ?1 (n≥2), n 2 n ?1

an 1 }是首项及公比均为 的等比数列. n 2 a 1 1 1 (2)由(Ⅰ)得 n = × ( ) n ?1 = n . n 2 2 2 n(n ? 1) n 于是 2 an=n,Tn=1+2+3+…+n= , 2 1 2 1 1 ? ? 2( ? ), Tn n(n ? 1) n n ?1
所以数列{
9

An=2[(1-

1 1 1 1 1 1 2n )+( - )+…+ ( ? )= . ) =2(12 2 3 n ?1 n ?1 n n ?1



2n 2 n?1 2 2 n?1 2n n = 2 ,问题转化为比较 2 与 的大小,即 2 与 的大小. na n n n ?1 n ?1 n n 2n n ,g(n)= . 2 n ?1 n
2 n [n(n ? 2) ? 1] ,当 n≥3 时, f(n+1)-f(n)>0, [n(n ? 1)] 2

设 f(n)=

∵f(n+1)-f(n)=

∴当 n≥3 时 f(n)单调递增, ∴当 n≥4 时,f(n) ≥f(4)=1,而 g(n)<1, ∴当 n≥4 时 f(n) >g(n), 经检验 n=1,2,3 时,仍有 f(n) ≥g(n), 因此,对任意正整数 n,都有 f(n) >g(n), 即 An <

2 . na n
已知 f ( x) ? x ? ax ? ln x, a ? R
2

22.(本小题满分 15 分)

(1)若 a ? 0 时,求函数 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若函数 f ( x) 在 ?1,2? 上是减函数,求实数 a 的取值范围; (3)令 g (x) ? f (x) ?x , 是否存在实数 a ,当 x ? (0, e]( e 是自然对数的底)时,函数
2

g ( x) 的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由。
解: (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? x ? ln x
2

∴ f ?( x) ? 2 x ?

1 x

…………1

分 ∴ f ?(1) ? 1, f (1) ? 1……2 分∴函数 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 0 …3 分 (2)∵函数 f ( x) 在 ?1,2? 上是减函数 ∴ f ?( x) ? 2 x ? a ? 分

1 2 x 2 ? ax ? 1 ? ? 0 在 ?1,2? 上恒成立 x x

…………4

? a ? ?1 ?h(1) ? 0 ? 令 h( x) ? 2 x ? ax ? 1 ,有 ? 得? 7 ?h(2) ? 0 ?a ? ? 2 ?
2

…………6

10

分 ∴a ? ? 分 (3)假设存在实数 a ,使 g ( x) ? ax ? ln x 在 x ? ?0, e? 上的最小值是 3

7 2

…………7

g ?( x) ? a ?


1 ax ? 1 ? x x

…………8

①当 a ? 0 时, g ?( x) ? 0 ,∴ g (x) 在 ?0, e? 上单调递减, g ( x) min ? g (e) ? ae ? 1 ? 3

a?


4 (舍去) e

…………10

1 1 ? e 时,即 a ? , g ?( x) ? 0 在 ?0, e? 上恒成立,∴ g (x) 在 ?0, e? 上单调递减 a e 4 ∴ g ( x) min ? g (e) ? ae ? 1 ? 3 , a ? (舍去) …………11 e
②当 分 ③当 0 ?

1 1 1 1 ? e 时,即 a ? ,令 g ?( x) ? 0 , 0 ? x ? , g ?( x) ? 0 , ? x ? e a e a a
? ? 1? ?1 ? ? 上单调递减,在 ? , e? 上单调递增 a? ?a ?

∴ g (x) 在 ? 0,

∴ g ( x) min ? g ( ) ? 1 ? ln a ? 3 , a ? e 满足条件
2
2

1 a

……13 分

综上所述,存在实数 a ? e ,使 g ( x) ? ax ? ln x 在 x ? ?0, e? 上的最小值是 3 …………14 分

11


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