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三维设计江苏专用2017届高三数学一轮总复习第十章算法统计与概率第三节概率第二课时古典概型课时跟踪检测理


课时跟踪检测(五十九)
?一抓基础,多练小题做到眼疾手快

古典概型

1.(2015·扬州模拟)把一颗骰子投掷两次,观察出现的点数,记第一次出现的点数为

a,第二次出现的点数为 b,直线 l1:ax+by=4,直线 l2:x+2y=2,则 l1∥l2 的概率为
________. 解析:把一颗骰子投掷两次,第一次出现的点数记为 a,第二次出现的点数记为 b,共 有 36 种结果.要使直线 l1:ax+by=4 与直线 l2:x+2y=2 平行,则有 a=1,b=2 或 a= 2 1 3,b=6,即(1,2),(3,6),共 2 种结果,所以两条直线平行的概率是 = . 36 18 答案: 1 18

2.4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡 片上的数字之和为偶数的概率为________. 解析:因为从 4 张卡片中任取出 2 张的情况为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4), (3,4),共 6 种.其中 2 张卡片上数字和为偶数的情况为(1,3),(2,4)共 2 种,所以 2 张卡 1 片上的数字之和为偶数的概率为 . 3 1 答案: 3 3 .在正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点,则构成的四边形是梯形的概率为 ________. 解析:如图,在正六边形 ABCDEF 的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点,共 有 15 种选法, 其中构成的四边形是梯形的有 ABEF, BCDE, ABCF, CDEF, ABCD,

ADEF,共 6 种情况,故构成的四边形是梯形的概率 P= = .
2 答案: 5

6 15

2 5

4.如图所示方格,在每一个方格中填入一个数字,数字可以是 1,2,3,4 中 的任何一个,允许重复,则填入 A 方格的数字大于 B 方格的数字的概率为 ________. 解析:只考虑 A,B 两个方格的填法,不考虑大小,A,B 两个方格有 16 种填法.要使 填入 A 方格的数字大于 B 方格的数字,则从 1,2,3,4 中选 2 个数字,大的放入 A 格,小的放 入 B 格,有(4,3),(4,2),(4,1),(3,2),(3,1),(2,1),共 6 种,故填入 A 方格的数字大

1

6 3 于 B 方格的数字的概率为 = . 16 8 3 答案: 8 5.从装有 3 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球,则所取的 3 个球中至少有 1 个白球 的概率是________. 解析:从 5 个球中任取三个共有 10 种结果,没有白球只有一种结果,所以至少有一个 1 9 白球的概率为 1- = . 10 10 答案: 9 10

?二保高考,全练题型做到高考达标 1.(2016·启东检测)有 5 根细木棒,长度分别为 1,3,5,7,9,从中任取 3 根,能构成 三角形的概率是________. 解析:从 5 根细木棒中任取 3 根共有 10 种取法,能构成三角形的有 3 种取法:3,5,7; 3 5,7,9;3,7,9.所以所求概率为 P= . 10 答案: 3 10

2.设 m,n 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,则在先后两次出现的点数中有 5 的条 件下,方程 x +mx+n=0 有实根的概率为________. 解析:先后两次出现的点数中有 5 的情况有:(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5), (6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共 11 种.其中使方程 x +mx+n=0 有实根 7 的情况有:(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共 7 种.故所求概率为 . 11 答案: 7 11
2 2

3.一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为 a,b,c,当且仅当 a>b,b<c 时称 为“凹数”(如 213,312)等.若 a,b,c∈{1,2,3,4},且 a,b,c 互不相同,则这个三位数 为“凹数”的概率是________. 解析:由 1,2,3 组成的三位数有 123,132,213,231,312,321,共 6 个;由 1,2,4 组成的 三 位 数 有 124,142,214,241,412,421 , 共 6 个 ; 由 1,3,4 组 成 的 三 位 数 有 134,143,314,341,413,431,共 6 个;由 2,3,4 组成的三位数有 234,243,324,342,423,432, 共 6 个.所以共有 6+6+6+6=24 个三位数.当 b=1 时,有 214,213,314,412,312,413, 共 6 个“凹数”;当 b=2 时,有 324,423,共 2 个“凹数”.故这个三位数为“凹数”的 6+2 1 概率 P= = . 24 3
2

1 答案: 3 4.设集合 A={1,2},B={1,2,3},分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b,确定平 面上的一个点 P(a,b),记“点 P(a,b)落在直线 x+y=n 上”为事件 Cn(2≤n≤5,n∈N), 若事件 Cn 发生的概率最大,则 n 的所有可能值为________. 解析: 分别从集合 A 和 B 中随机取出一个数, 确定平面上的一个点 P(a, b), 则有(1,1), (1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),共 6 种情况,a+b=2 的有 1 种情况,a+b=3 的有 2 种情况,a+b=4 的有 2 种情况,a+b=5 的有 1 种情况,所以可知若事件 Cn 发生的概率 最大,则 n 的所有可能值为 3 和 4. 答案:3 和 4 5.记连续投掷两次骰子得到的点数分别为 m,n,向量 a=(m,n)与向量 b=(1,0)的夹

? π? 角为 α ,则 α ∈?0, ?的概率为________. 4? ?
解析:法一:依题意,向量 a=(m,n)共有 6×6=36(个),其中满足向量 a=(m,n)与

? π? 向量 b=(1,0)的夹角 α ∈?0, ?,即 n<m 的(m,n)可根据 n 的具体取值进行分类计数: 4? ?
第一类,当 n=1 时,m 有 5 个不同的取值;第二类,当 n=2 时,m 有 4 个不同的取值;第 三类,当 n=3 时,m 有 3 个不同的取值;第四类,当 n=4 时,m 有 2 个不同的取值;第五

? π? 类, 当 n=5 时, m 有 1 个取值, 因此满足向量 a=(m, n)与向量 b=(1,0)的夹角 α ∈?0, ? 4? ?
15 5 的(m,n)共有 1+2+3+4+5=15(个),所以所求概率为 = . 36 12 法二:依题意可得向量 a=(m,n)共有 6×6=36(个),其中满足向量 a=(m,n)与向量

b=(1,0)的夹角 α ∈?0, ?,即 n<m 的向量 a=(m,n)有 4

? ?

π?

?

36-6 =15(个),所以所求概率为 2

15 5 = . 36 12 答案: 5 12

6.(2016·南京三模)现有红心 1,2,3 和黑桃 4,5 共五张牌,从这五张牌中随机取 2 张 牌,则所取 2 张牌均为红心的概率为________. 解析:所有的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4), (3,5),(4,5),共 10 个,其中 2 张牌均为红心的事件有(1,2),(1,3),(2,3),共 3 个,故 3 所求的概率为 P= . 10 答案: 3 10
3

7.某同学同时掷两颗骰子,得到点数分别为 a,b,则双曲线 2- 2=1 的离心率 e> 5 的概率是________. 解析:由 e= 1+ 2> 5,得 b>2a.当 a=1 时,b=3,4,5,6 四种情况;当 a=2 时,

x2 y2 a b

b2 a

b=5,6 两种情况, 总共有 6 种情况. 又同时掷两颗骰子, 得到的点数(a, b)共有 36 种结果. ∴
6 1 所求事件的概率 P= = . 36 6 1 答案: 6 8.(2016·常州一模)现有 7 名数理化成绩优秀者,分别用 A1,A2,A3,B1,B2,C1,C2 表示,其中 A1,A2,A3 的数学成绩优秀,B1,B2 的物理成绩优秀,C1,C2 的化学成绩优秀.从 中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 1 名,组成一个小组代表学校参加竞赛,则 A1 和 B1 不全被选中的概率为________. 解析:从这 7 人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 1 名,所有可能的结果组成的 12 个基本事件为:(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A2,B1,C1), (A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,

B2,C2).
设“A1 和 B1 不全被选中”为事件 N, 则其对立事件 N 表示“A1 和 B1 全被选中”, 由于 N 2 1 ={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2)},所以 P( N )= = ,由对立事件的概率计算公式得 P(N) 12 6 1 5 =1-P( N )=1- = . 6 6 5 答案: 6 9.(2016·兰州双基测试)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字 1,2,3,这三张 卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取 3 次,每次抽取一张,将抽取的卡片上的 数字依次记为 a,b,c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率; (2)求“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概率. 解:(1)由题意,(a,b,c)所有可能的结果为:(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1), (1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1), (2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1), (3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共 27 种. 设“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”为事件 A,则事件 A 包括(1,1,2),(1,2,3), (2,1,3),共 3 种,
4

3 1 所以 P(A)= = , 27 9 1 因此,“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率为 . 9 (2)设“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”为事件 B,则事件 B 包括(1,1,1), (2,2,2),(3,3,3),共 3 种, 3 8 所以 P(B)=1-P( B )=1- = , 27 9 8 因此,“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概率为 . 9 10.(2016·深圳一调)一个袋中有 4 个大小相同的小球,其中红球 1 个,白球 2 个,黑 球 1 个,现从袋中有放回地取球,每次随机取一个. (1)求连续取两次都是白球的概率; (2)假设取一个红球记 2 分,取一个白球记 1 分,取一个黑球记 0 分,若连续取三次, 则分数之和为 4 分的概率是多少? 解:(1)连续取两次的基本事件有:(红,红),(红,白 1),(红,白 2),(红,黑);(白 1,红),(白 1,白 1),(白 1,白 2),(白 1,黑);(白 2,红),(白 2,白 1),(白 2,白 2),(白 2,黑);(黑,红),(黑,白 1),(黑,白 2),(黑,黑),共 16 个. 连续取两次都是白球的基本事件有:(白 1,白 1),(白 1,白 2),(白 2,白 1),(白 2, 白 2),共 4 个, 4 1 故所求概率为 = . 16 4 (2)连续取三次的基本事件有:(红,红,红),(红,红,白 1),(红,红,白 2),(红, 红,黑);(红,白 1,红),(红,白 1,白 1),(红,白 1,白 2),(红,白 1,黑),?,共 64 个. 因为取一个红球记 2 分,取一个白球记 1 分,取一个黑球记 0 分,若连续取三次,则分 数之和为 4 分的基本事件有: (红,白 1,白 1),(红,白 1,白 2),(红,白 2,白 1),(红,白 2,白 2),(白 1, 红,白 1),(白 1,红,白 2),(白 2,红,白 1),(白 2,红,白 2),(白 1,白 1,红),(白 1,白 2,红),(白 2,白 1,红),(白 2,白 2,红),(红,红,黑),(红,黑,红),(黑, 红,红),共 15 个. 15 故所求概率为 . 64

?三上台阶,自主选做志在冲刺名校

5

1 3 2 2 1.已知函数 f(x)= x +ax +b x+1,若 a 是从 1,2,3 三个数中任取的一个数,b 是从 3 0,1,2 三个数中任取的一个数,则该函数有两个极值点的概率为________. 解析:对函数 f(x)求导可得 f′(x)=x +2ax+b ,要满足题意需 x +2ax+b =0 有两 个不等实根, 即 Δ =4(a -b )>0, 即 a>b.又(a, b)的取法共有 9 种, 其中满足 a>b 的有(1,0), 6 2 (2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),共 6 种,故所求的概率 P= = . 9 3 2 答案: 3 2.在一个不透明的箱子里装有 5 个完全相同的小球,球上分别标有数字 1,2,3,4,5.甲 先从箱子中摸出一个小球,记下球上所标数字后,再将该小球放回箱子中摇匀后,乙从该箱 子中摸出一个小球. (1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局),求甲获胜 的概率; (2)若规定:两人摸到的球上所标数字之和小于 6,则甲获胜,否则乙获胜,这样规定 公平吗? 解:用(x,y)(x 表示甲摸到的数字,y 表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的 基本事件,则基本事件有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3), (2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),共 25 个. (1)设甲获胜的事件为 A,则事件 A 包含的基本事件有:(2,1),(3,1),(3,2),(4,1), 10 2 (4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共 10 个.则 P(A)= = . 25 5 (2)设甲获胜的事件为 B, 乙获胜的事件为 C.事件 B 所包含的基本事件有: (1,1), (1,2), (1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1),共 10 个. 10 2 则 P(B)= = , 25 5 3 所以 P(C)=1-P(B)= . 5 因为 P(B)≠P(C),所以这样规定不公平.
2 2 2 2 2 2

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